2.4 直线的方程（二）
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：直线的一般式方程.......................................................... 2
考点二：直线的一般式方程与其他形式方程的互化............................. 2
考点三：一般式方程的平行与垂直..................................................3
考点四：直线方程的不同形式间的关系............................................3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：直线的一般式方程.......................................................... 4
题型二：直线的一般式方程及其辨析...............................................7
题型三：一般式方程的图象判断...................................................11
题型四：直线一般方程与平行参数问题..........................................13
题型五：直线一般方程与垂直参数问题..........................................15
题型六：两条直线平行求方程......................................................17
题型七：两条直线垂直求方程......................................................18
题型八：直线过定点问题........................................................... 19
题型九：直线综合问题.............................................................. 22
题型十：直线与实际应用综合......................................................29
模块三：综合巩固....................................................................... 33
2.4 直线的方程（二）
模块一：基础知识
考点一：直线的一般式方程
1.一般式方程的定义
在平面直角坐标系中，任意一个关于x ，y 的二元一次方程
0
Ax
By
C
都表示一条直线．我们把关
于x ，y 的二元一次方程
0
Ax
By
C
（其中A、B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般
式．
2.系数的几何意义
（1）当
0
B
时，方程
0
Ax
By
C
可以写成
A
C
y
x
B
B
它表示斜率为
A
B
，在y 轴截上的截距
为
C
B
的直线．特别的，当
0
A
时，它表示垂直于y 轴的直线．
（2）当
0
B
时，
0
A
，方程
0
Ax
By
C
可以写成
C
x
A
，它表示垂直于x 轴的直线．
3.一般式方程适用范围
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线．
考点二：直线的一般式方程与其他形式方程的互化
1.一般式方程的桥梁作用：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的互化，一般要利
用一般式方程作为桥梁，现将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式．
2.一般式化为斜截式的步骤
（1）移项得By
Ax
C
；
（2）当
0
B
时，得斜截式方程
A
C
y
x
B
B
．
3.一般式化为截距式的步骤
（1）把常数项移到方程右边，得Ax
By
C
；
（2）当
0
C
，方程两边同时除以C
，得
1
Ax
By
C
C
；
（3）化为截距式方程：
1
x
y
C
C
A
B
．
考点三：一般式方程的平行与垂直
1.平行与垂直的系数关系
已知直线1
2
,l l 的方程分别是1
1
1
1
:
0
l
A x
B y
C
（
1
1
,
A B 不同时为0），
2
2
2
2
:
0
l
A x
B y
C
（
2
2
,
A B 不同时为0）
（1）若
1
2
1
2
1
2
0
A A
B B
l
l
（2）若
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
0
/ /
0
A B
A B
l
l
AC
A C
2.平行与垂直的直线系方程
（1）平行直线系：与直线
0
Ax
By
n
垂直的直线方程可设为
0
Ax
By
m
（2）垂直直线系：与直线
0
Ax
By
n
垂直的直线方程可设为
0
Bx
Ay
m
考点四：直线方程的不同形式间的关系
知识点诠释：
在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要
求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多
1
2
1
2
,
)
(x
x
y
y
，应用时若采用
2
1
1
2
1
1
0
y
y
x
x
x
x
y
y
的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，
首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上
的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的
名称
方程的形式
常数的几何意义
适用范围
点斜式
1
1
y
y
k x
x
1
1
( ,
)
x y
是直线上一定点，k 是斜率
不垂直于x 轴
斜截式
y
kx
b
k 是斜率，b 是直线在y 轴上的截距
不垂直于x 轴
两点式
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
1
1
( ,
)
x y
，
2
2
(
,
)
x
y
是直线上两定点
不垂直于x 轴和y
轴
截距式
1
x
y
a
b
a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直
线在y 轴上的非零截距
不垂直于x 轴和y
轴，且不过原点
一般式
2
2
0(
0)
Ax
By
C
A
B
A 、B 、C 为系数
任何位置的直线
方程也不同．
模块二：题型分类
题型一：直线的一般式方程
1.写出满足下列条件的直线的方程，并把它化成一般式：
(1)经过点
3,2 ，倾斜角是直线
3
3
0
x
y
的倾斜角的2 倍；
(2)经过两点
2,3
A
，
3, 2
B
；
(3)经过点
2,4
P
，平行于x 轴；
(4)在x 轴，y 轴上的截距分别为5
2 ，3
．
【解析】（1）直线
3
3
0
x
y
的斜率为
3
3
，其倾斜角为30，因此所求直线的倾斜角为60，斜率为
3 ，
所以所求直线的方程为
2
3(
3)
y
x
，即3
2
3 3
0
x
y
.
（2）直线AB 的斜率
2
3
5
3
2
k
，
所以直线AB 的方程为
3
5(
2)
y
x
，即5
13
0
x
y
.
（3）经过点
2,4
P
，平行于x 轴的直线斜率为0，
所以经过点
2,4
P
，平行于x 轴的直线方程为
4
0
y
.
（4）在x 轴，y 轴上的截距分别为5
2 ，3
的直线方程为
1
5
3
2
x
y
，即6
5
15
0
x
y
.
2.直线
3
3
0
x
y
的倾斜角为（
）
A．120
B．60
C．30
D．150
【答案】B
【解析】设直线
3
3
0
x
y
的倾斜角为，
因为直线
3
3
0
x
y
的斜率为
3 ，
即tan
3
，因为0
180
，所以
60
．故选：B．
3.直线3
1
0
x
y
的一个方向向量为（
）
A．(3, 1)
B．( 1,3)
C．( 3,1)
D．(1,3)
【答案】B
【解析】由直线方程知：直线方向向量有
1,3
及它的平行向量均可作为其方向向量.
故选：B
4.已知经过点
3,1 的直线l 的一个方向向量为
3,2 ，则l 的方程为（
）
A．3
2
11
0
x
y
B．2
3
3
0
x
y
C．2
3
9
0
x
y
D．3
2
7
0
x
y
【答案】B
【分析】
由题意得QP
与
3,2 共线，P 为直线l 上的点，且不与
3,1
Q
重合，由此即可得解.
【详解】设直线l 上任意与点
3,1
Q
不重合的一点为
,
P x y ，由题意有QP
与
3,2 共线，
所以
1
2
3
3
y
x
，整理得l 的方程为
2
3
3
0
3
x
y
x
，
又点
3,1
Q
在直线l 上，且点
3,1
Q
满足方程2
3
3
0
x
y
，
综上所述，l 的方程为2
3
3
0
x
y
.
故选：B.
5.倾斜角为45，在y 轴上的截距是2
的直线方程为
.（写成一般式方程）
【答案】
2
0
x
y
【分析】根据题设确定直线的斜率及所过的点，应用点斜式写出直线方程.
【详解】由题设，所求直线斜率为tan45
1
且过点(0, 2)
，
所以，所求直线为
2
1 (
0)
y
x
，即
2
0
x
y
.
故答案为：
2
0
x
y
6.若方程
2
2
2
3
4
1
0
m
m
x
m
m y
m
表示一条直线，则实数m 满足（
）
A．
0
m
B．
3
2
m
C．
1
m
D．
1
m ，
3
2
m
，
0
m
【答案】C
【解析】因为方程
2
2
2
3
4
1
0
m
m
x
m
m y
m
表示一条直线，
所以
2
2
3
0
m
m
，
2
0
m
m
，不能同时成立，解得
1
m ．
故选：C.
7.如果
0
AB
且
0
BC
，那么直线
0
Ax
By
C
不经过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】由
0
AB
且
0
BC
，可得
,
A B 同号，
,
B C 异号，所以
,
A C 也是异号；
令
0
x
，得
0
C
y
B
；令
0
y
，得
0
C
x
A
；
所以直线
0
Ax
By
C
不经过第三象限.
故选：C
8.将直线
3
2
y
x
绕点
2,0 按逆时针方向旋转60后所得直线方程是（
）
A．
3
2 3
0
x
y
B．
3
2 3
0
x
y
C．
3
2 3
0
x
y
D．
3
2 3
0
x
y
【答案】A
【解析】点(2,0) 为直线
3(
2)
y
x
与x 轴的交点，
直线
3(
2)
y
x
的斜率为
3 ，则直线的倾斜角为60，
则将直线
3(
2)
y
x
绕点(2,0) 按逆时针方向旋转60后所得直线的倾斜角为120，
则所求直线的斜率为
3
，
所以所求直线的方程为
3(
2)
y
x
，即
3
2 3
0
x
y
．
故选：A．
9.根据下列条件求直线的一般式方程．
(1)直线的斜率为2 ，且经过点
1,3
A
；
(2)斜率为
3 ，且在y 轴上的截距为4 ；
(3)经过两点
2, 3
A
,
1, 5
B
；
(4)在,x y 轴上的截距分别为2, 4
．
【答案】(1)2
1
0
x
y
(2)
3
4
0
x
y
(3)2
3
13
0
x
y
(4) 2
4
0
x
y
【分析】（1）先由点斜式求方程，再化为一般式；
（2）先求斜截式方程，再化为一般式；
（3）先求直线的两点式方程，再化为一般式；
（4）先求直线的截距式方程，再化为一般式.
【详解】（1）因为
2
k
，且经过点
1,3
A
，
由直线的点斜式方程可得
3
2
1
y
x
，
整理可得直线的一般式方程为2
1
0
x
y
．
（2）由直线的斜率
3
k
，且在y 轴上的截距为4
得直线的斜截式方程为
3
4
y
x
．
整理可得直线的一般式方程为
3
4
0
x
y
．
（3）由直线的两点式方程可得
3
2
5
3
1 2
y
x
，
整理得直线的一般式方程为2
3
13
0
x
y
（4）由直线的截距式方程可得
1
2
4
x
y
，
整理得直线的一般式方程为2
4
0
x
y
题型二：直线的一般式方程及其辨析
1.对于直线:
3
6
0
l x
y
，下列选项正确的为（
）
A．直线l 倾斜角为π
3
B．直线l 在y 轴上的截距为2 3
C．直线l 的一个方向向量为(3, 3)
D．直线l 经过第二象限
【答案】C
【分析】
由直线斜率与倾斜角的关系可判断A，令
0
x
可判断B，得出直线l 上两点，可作一个确定的向量，判断
该向量与(3, 3) 是否共线即可，画出图形即可判断D.
【详解】因为直线l 的斜率为
3
3
，所以直线l 倾斜角为π
6 ，故A 错误；
在:
3
6
0
l x
y
中，令
0
x
，解得
2 3
y
，即直线l 在y 轴上的截距为2 3
，故B 错误；
在:
3
6
0
l x
y
中，令
0
y
，解得
6
x
，即直线l 过
0, 2 3 ,
6,0
A
B
两点，
6,2 3
2 3, 3
AB
，所以直线l 的一个方向向量为(3, 3) ，故C 正确；
画出直线:
3
6
0
l x
y
的图象如图所示，
所以直线l 不经过第二象限，故D 错误.
故选：C.
2.（多选）下列结论正确的是（
）
A．经过点P（－2，5），且斜率为－3
4 的直线的方程是3x－4y＋26＝0
B．过点M（－3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为x－y＋8＝0
C．过点（x1，y1），（x2，y2）的直线的方程为（y－y1）（x2－x1）＝（y2－y1）（x－x1）
D．任意一条不过点（0，2）的直线均可用方程mx＋n（y－2）＝1 形式表示
【答案】CD
【详解】
解析：A 选项，由点斜式，得所求直线方程是y－5＝－（x＋2），即3x＋4y－14＝0，错误．B 选项，
①当过原点时，直线方程为y＝－x；②当不过原点时，设直线方程为＋
＝1，即x－y＝a，代入点
（－3，5），得a＝－8，即直线方程为y＝－x 或x－y＋8＝0，错误．C 选项，若直线的斜率不存在，
即x1＝x2，且y1≠y2，则直线方程为x＝x1，若直线的斜率存在，则x1≠x2，则直线方程为y－y1＝
（x
－x1），即（y－y1）（x2－x1）＝（y2－y1）（x－x1），且x＝x1，也满足该方程，C 正确．D 选项，当方
程mx＋n（y－2）＝1 中的x＝0，y＝2 时，0＝1，不成立，则该直线不过点（0，2），D 正确．
3.（多选）已知直线:
0
l Ax
By
C
（
,
A B 不同时为0），则（
）
A．当
0,
0
A
B
时，l 与x 轴垂直
B．当
0,
0,
0
A
B
C
时，l 与y 轴重合
C．当
0
C
时，l 过原点
D．当
0,
0
A
B
时，l 的倾斜角为锐角
【答案】BC
【解析】对于A：当
0,
0
A
B
时直线:
0
l By
C
（
0
B
），即
C
y
B
，
表示与x 轴平行（重合）的直线，故A 错误；
对于B：当
0,
0,
0
A
B
C
时直线:
0
l Ax
，即
0
x
，即l 与y 轴重合，故B 正确；
对于C：当
0
C
时直线:
0
l Ax
By
，此时
0
0
x
y
满足方程
0
Ax
By
，即l 过原点，故C 正确；
对于D：当
0,
0
A
B
时直线:
0
l Ax
By
C
，即
A
C
y
x
B
B
，斜率
0
A
k
B
，
所以l 的倾斜角为钝角，故D 错误；故选：BC
4.以下关于直线3
1
0
x
ay
的说法中，不正确的是（
）
A．直线3
1
0
x
ay
一定不经过原点
B．直线3
1
0
x
ay
一定不经过第三象限
C．直线3
1
0
x
ay
一定经过第二象限
D．直线3
1
0
x
ay
可表示经过点
1,0
3
的所有直线
【答案】B
【解析】对于直线3
1
0
x
ay
，令
0
y
，解得
1
3
x = -
，故直线恒过点
1,0
3
，
一定不经过原点，故A 正确；
当
0
a
时直线即为
1
3
x = -
，直线过二、三象限，
当
0
a
时直线即为
3
1
y
x
a
a
，
若
0
a
，则1
0
a
，3
0
a
，直线过一、二、三象限，
若a<0 ，则1
0
a
，3
0
a
，直线过二、三、四象限，
所以直线一定过二、三象限，故B 错误，C 正确；
因为直线恒过点
1,0
3
，所以直线3
1
0
x
ay
可表示经过点
1,0
3
的所有直线，
故选：B
5.（多选）直线
0
Ax
By
C
（A，B 不同时为0）下列说法正确的是（
）
A．
0
AB
则该直线与两坐标轴都相交
B．
0
A
，则该直线与x 轴平行
C．
0,
0
B
C
则该直线为y 轴所在直线
D．
0
C
，则该直线过原点
【答案】ACD
【分析】根据A ，B ，C 与零的关系得到直线方程的形式，然后判断即可.
【详解】若
0
AB
，则
0
A
，
0
B
，该直线与两坐标轴都有交点，故A 正确；
0
A
，则直线方程为
0
By
C
，该直线与x 轴平行或重合，故B 错；
0
B
，
0
C
，则直线方程为
0
x
，表示y 轴所在的直线，故C 正确；
0
C
，则直线方程为
0
Ax
By
，经过原点，故D 正确.
故选：ACD.
6.（多选）已知直线:
0
l Ax
By
C
（
,
A B 不同时为0），则（
）
A．当
0,
0
A
B
时，l 与x 轴垂直
B．当
0,
0,
0
A
B
C
时，l 与y 轴重合
C．当
0
C
时，l 过原点
D．当
0,
0
A
B
时，l 的倾斜角为锐角
【答案】BC
【分析】根据直线方程的特征一一分析即可.
【详解】对于A：当
0,
0
A
B
时直线:
0
l By
C
（
0
B
），即
C
y
B
，表示与x 轴平行（重合）的直
线，故A 错误；
对于B：当
0,
0,
0
A
B
C
时直线:
0
l Ax
，即
0
x
，即l 与y 轴重合，故B 正确；
对于C：当
0
C
时直线:
0
l Ax
By
，此时
0
0
x
y
满足方程
0
Ax
By
，即l 过原点，故C 正确；
对于D：当
0,
0
A
B
时直线:
0
l Ax
By
C
，即
A
C
y
x
B
B
，斜率
0
A
k
B
，
所以l 的倾斜角为钝角，故D 错误；
故选：BC
7.已知方程
2
2
2
3
2
1
6
2
0
m
m
x
m
m
y
m
m
R ．
(1)求该方程表示一条直线的条件；
(2)当m 为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；
(3)已知方程表示的直线l 在x 轴上的截距为3
，求实数m 的值；
(4)若方程表示的直线l 的倾斜角是45°，求实数m 的值．
【答案】(1)
1
m m
；
(2)
1
2
m
；3
4
0
x
；
(3)
5
3
；
(4) 4
3
【分析】（1）先令x ，y 的系数同时为零时得到
1
m ，即得
1
m 时方程表示一条直线；
（2）由（1）知
1
2
m
时y 的系数为零，方程表示的直线的斜率不存在，即得结果；
（3）由（1）知x 的系数不为零时，直线在x 轴上的截距存在，解得截距构建关系，即解得参数m；
（4）由（1）知，y 的系数为零时，直线的斜率存在，解得斜率构建关系式，解得参数m.
【详解】（1）当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线．
令
2
2
3
0
m
m
，解得
1
m 或
3
m
；
令
2
2
1
0
m
m
，解得
1
m 或
1
2
m
．
所以x ，y 的系数同时为零时
1
m ，
故若方程表示一条直线，则
1
m ，
即实数m 的取值范围为
1
m m
；
（2）当x 的系数不为0，y 的系数为0 时斜率不存在，
由（1）知当
1
2
m
时，
2
2
1
0
m
m
且
2
2
3
0
m
m
，方程表示的直线的斜率不存在，
此时直线方程为3
4
0
x
；
（3）易知
1
m 且
3
m 时，直线在x 轴上的截距存在.
依题意，令
0
y
，得直线在x 轴上的截距
2
2
6
3
2
3
m
m
m
，解得
5
3
m
，（
3
m
舍去）．
所以实数m 的值为
5
3
；
（4）易知
1
m 且
1
2
m
时，直线的斜率存在，
方程即
2
2
2
2
3
6
2
2
1
2
1
m
m
m
y
x
m
m
m
m
m
R ，
故斜率为
2
2
2
3
2
1
m
m
m
m
.
因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1，所以
2
2
2
3
1
2
1
m
m
m
m
，解得
4
3
m
，（
1
m 舍去）．
所以实数m 的值为4
3 ．
8.（多选）已知直线:
0
l Ax
By
C
，其中
,
A B 不全为0，则下列说法正确的是（
）
A．当
0
C
时，l 过坐标原点
B．当
0
AB
时，l 的倾斜角为锐角
C．当
0,
0
B
C
时，l 和x 轴平行
D．若直线l 过点
0
0
(
,
)
P x
y
，直线l 的方程可化为
0
0
0
A x
x
B y
y
【答案】AD
【分析】选项A，原点坐标适合直线方程；选项B，化为斜截式方程可得斜率为负，倾斜角为钝角；选项
C，方程变形为
C
x
A
可知；选项D，由直线l 过点
0
0
(
,
)
P x
y
，得
0
0
C
Ax
By
，代入直线方程可得.
【详解】选项A，当
0
C
时，
0
0
x
y
是方程
0
Ax
By
的解，
即l 过坐标原点，故A 正确；
选项B，当
0
AB
时，直线:
0
l Ax
By
C
的方程可化为
A
C
y
x
B
B
，
则直线的斜率
0
A
k
B
，l 的倾斜角为钝角，故B 错误；
选项C，当
0,
0
B
C
时，由
,
A B 不全为0，
0
A
，
直线:
0
l Ax
By
C
的方程可化为
C
x
A
，
故直线l 和x 轴垂直，不平行，故C 错误；
选项D，直线l 过点
0
0
(
,
)
P x
y
，则
0
0
0
Ax
By
C
，
可得
0
0
C
Ax
By
，代入直线方程:
0
l Ax
By
C
，
得
0
0
0
Ax
By
Ax
By
，即
0
0
0
A x
x
B y
y
，故D 正确.
故选：AD.
题型三：一般式方程的图象判断
1.（多选）如果
0,
0
AC
BC
，那么直线
0
Ax
By
C
通过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】ACD
【解析】因为
0
Ax
By
C
，
0,
0
AC
BC
,所以
0,
AB
所以
0
A
k
B
，
令
0,
0,
C
x
y
B
所以直线经过一三四象限.故选：ACD.
2.（多选）已知
0
abc
，直线:
0
l ax
by
c
经过第一、二、四象限，则（
）
A．
0
ab
B．
0
bc
C．
0
ac
D．
0
<
a
【答案】ABC
【解析】将直线l 的方程转化为
a
c
y
x
b
b
，因为l 经过第一、二、四象限，
所以
0,
0,
a
b
c
b
即
0
ab
，
0
bc
，
0
ac
.
对D，若
0
a
，则
0
b
，
0
c
，满足题意，故D 错误.故选：ABC.
3.如图所示，直线1 :
0
l
ax
y
b
与2 :
0(
0,
)
l
bx
y
a
ab
a
b
的图象只可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对A，由
1y
ax
b
=
+ 经过第一，四，三象限，可知
0
a
，
0
b
，
由
2y
bx
a
=
+
过第一，二，三象限知
0
b
，
0
a
，故本选项错误；
对B，由
1y
ax
b
=
+ 经过第一，二，四象限，可知
0
a
，
0
b
，
由
2y
bx
a
=
+
过第一，二，三象限知
0
b
，
0
a
，故本选项错误；
对C，由
1y
ax
b
=
+ 经过第一，三，四象限，可知
0
a
，
0
b
，
由
2y
bx
a
=
+
过第一，三，四象限知
0
b
，
0
a
，故本选项错误；
对D，由
1y
ax
b
=
+ 经过第一，二，四象限，可知
0
a
，
0
b
，
由
2y
bx
a
=
+
过第一，二，四象限知
0
b
，
0
a
，故本选项正确；故选：D.
4.（多选）若
0
ab
，
0
bc
，则在下列函数图象中，不可能是直线
0
ax by
c
+
+
=
的图象的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由
0
ax by
c
+
+
=
可知直线斜率
0
a
k
b
，
直线在y 轴上的截距
0
c
y
b
，满足条件的只有B，
所以不可能是ACD.故选：ACD
题型四：直线一般方程与平行参数问题
1.直线2
0
x
y
m
与直线4
2
0
x
y
n
的位置关系是（
）
A．平行
B．相交
C．不确定
D．重合
【答案】C
【解析】当
2
n
m
时，两直线重合，
当
2
n
m
时，两直线平行，
所以题设两直线位置可能重合、平行.故选：C.
2.已知直线
2
6
0
ax
y
与直线
2
1
5
0
x
a
y
a
互相平行，则实数a 的值（
）
A．-2
B．-2 或1
C．2
D．1
【答案】A
【分析】根据平行得到方程，求出
1
a 或2
，检验后得到答案.
【详解】由题意得
1
2
0
a a
，解得
1
a 或2
，
当
1
a 时，两直线都为
2
6
0
x
y
，两直线重合，舍去；
当
2
a 时，两直线分别为2
2
6
0
x
y
和
9
0
x
y
，两直线平行，满足要求；
故选：A
3.若直线
3
4
0
ax
y
与
2
2
0
x
a
y
平行，则
a
（
）
A．1
B．3
C．1 或3
D．
3
2
【答案】C
【解析】直线
3
4
0
ax
y
与
2
2
0
x
a
y
平行,所以
2
3
0
a a
,即
2
2
3
0
a
a
，解得
3
a 或
1
a ，
当
3
a 时，直线
3
4
0
ax
y
为3
3
4
0
x
y
；
2
2
0
x
a
y
为
+2=0
x
y
，两直线不重
合.
当
1
a 时，直线
3
4
0
ax
y
为+3
4
0
x
y
；
2
2
0
x
a
y
为
3 +2=0
x
y
，两直线不重合.
所以
1
a 或3
.故选：C
4.“
3
m
”是“直线1 :
0
l
mx
y
m
与2,3
(
2)
3
0
l
x
m
y
m
平行”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据直线平行的条件，判断“
3
m
”和“直线1 :
0
l
mx
y
m
与2,3
(
2)
3
0
l
x
m
y
m
平行”之间
的逻辑关系，即可得答案.
【详解】当
3
m
时，直线1 :3
3
0
l
x
y
与2,3
9
0
l
x
y
平行；
当直线1 :
0
l
mx
y
m
与2,3
(
2)
3
0
l
x
m
y
m
平行时，
有
(
2)
3
0
m m
且3
(
2)
0
m
m m
，解得
3
m
，
故“
3
m
”是“直线1 :
0
l
mx
y
m
与2,3
(
2)
3
0
l
x
m
y
m
平行”的充要条件，
故选：C
5.若直线
3
2
6
0
a
x
ay
和直线
3
0
ax
y
平行，则（
）
A．
0
a
或
1
3
a
B．
1
a 或
2
a
C．
1
a
D．
2
a
【答案】C
【分析】根据两条直线平行求出a 的值，验证即可.
【详解】直线
3
2
6
0
a
x
ay
和直线
3
0
ax
y
平行，
2
3
2
0
a
a
，解得
2
a 或
1
a ，
当
2
a 时，两条直线重合；
当
1
a 时，两条直线平行.
综上，
1
a .
故选：C.
6.若直线
2
1
0
ax
y
和
1
0
x
a
y
a
平行，则a 的值为（
）
A．
2
a
B．
1
a
C．
2
a 或
1
a
D．
1
a
【答案】A
【分析】利用两条直线的平行关系，求出a 的值即可.
【详解】因为直线
2
1
0
ax
y
和
1
0
x
a
y
a
平行，
所以
1
2 1
a a
，解得
2
a 或
1
a ；
当
2
a 时，此时直线
1
0
2
x
y
和
2
0
x
y
平行，满足题意；
当
1
a 时，此时直线
2
1
0
x
y
和
2
1
0
x
y
重合，不满足题意，舍去.
综上所述：
2
a .
故选：A.
7.若直线
3
4
0
ax
y
与
2
2
0
x
a
y
平行，则
a
（
）
A．1
B．3
C．1 或3
D．
3
2
【答案】C
【分析】根据两直线平行可得
2
3
0
a a
，解得
3
a 或
1
a ，检验均符合题意，得到结果.
【详解】直线
3
4
0
ax
y
与
2
2
0
x
a
y
平行,所以
2
3
0
a a
,即
2
2
3
0
a
a
，解得
3
a 或
1
a ，
当
3
a 时，直线
3
4
0
ax
y
为3
3
4
0
x
y
；
2
2
0
x
a
y
为
+2=0
x
y
，两直线不重合.
当
1
a 时，直线
3
4
0
ax
y
为+3
4
0
x
y
；
2
2
0
x
a
y
为
3 +2=0
x
y
，两直线不重合.
所以
1
a 或3
.
故选：C
8.已知直线1 :
(
1)
0
l
x
m
y
m
，，2 :
2
1
0
l
mx
y
，则“ 1
2
l
l
// ”的必要不充分条件是（
）
A．
2
m
B．
1
m
C．
2
m 或
1
m
D．
2
m
【答案】C
【分析】直线1 :
(
1)
0
l
x
m
y
m
，2 :
2
1
0
l
mx
y
平行的充要条件是“
2
m ”，进而可得答案．
【详解】解：直线1 :
(
1)
0
l
x
m
y
m
，2 :
2
1
0
l
mx
y
，
若1
2
l
l
// ，则
(
1)
2
0
m m
，解得：
2
m 或
1
m
当
1
m 时，1l 与2l 重合，故“ 1
2
l
l
// ” “
2
m ”，
故“ 1
2
l
l
// ”的必要不充分条件是“
2
m 或
1
m ”，
故选：C．
题型五：直线一般方程与垂直参数问题
1.若直线1 :
2
1
0
l
ax
y
与直线2
1
: (
1)
0
2
l
a
x
y
垂直，则实数a 的取值是（
）
A．
1
a 或
2
a
B．
1
a
C．
2
a
D．
2
3
a
【答案】A
【解析】直线1 :
2
1
0
l
ax
y
与直线2
1
: (
1)
0
2
l
a
x
y
垂直，
则有(
1)
2
0
a a
，解得
1
a 或
2
a
，故选：A．
2.已知直线1 :(
2)
3
2
l
m
x
y
m
，2 :
1
l
x
my
，若1
2
l
l
，则实数m （
）
A．2
B．3
C．
1
2
D．2
【答案】C
【分析】由两直线垂直的关系求解.
【详解】因为1
2
l
l
，所以
2
(
2) 1 3
0,
1
m
m
m
.
故选：C
3.已知直线1l ：
2
2
0
kx
k y
与2l ：
2
2
1
1
0
k
x
k
y
互相垂直，则实数k （
）
A．1
B．2
C．1 或2
D．1 或2
【答案】D
【分析】根据两条直线垂直的充要条件可得.
【详解】由题意知，,2
k
k
不同时为0 ，且
2,2
1
k
k
也不同时为0 ，
则两直线1
2
(
2)
(2
)(2
1)
0
l
l
k k
k
k
，
化简得
2
3
2
0
k
k
，解得
1
k ，或
2
k
.
故选：D.
4.已知直线
1 :
1
1
0
l
a
x
y
和直线
2 :
1
1
0
l
a
x
y
互相垂直，则实数a 的值为
．
【答案】0 或2
【分析】根据两条直线垂直的充要条件列出方程即可得解.
【详解】因为直线
1 :
1
1
0
l
a
x
y
和直线
2 :
1
1
0
l
a
x
y
互相垂直，
所以
2
(
1)
1 ( 1)
0
a
，
解得
0
a
或
2
a
.
故答案为：0 或2
5.“
1
a ”是“直线
1
0
x
ay
与直线
1
0
ax
y
相互垂直”的（
）条件
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充要
D．既非充分也非必要
【答案】A
【分析】首先判断两直线的位置关系，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】直线
1
0
x
ay
与直线
1
0
ax
y
相互垂直，
则
1
1
0
a
a
，所以不管a 为何值，两直线垂直，
所以“
1
a ”是“直线
1
0
x
ay
与直线
1
0
ax
y
相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
6.若a ，b 为正实数，直线
2
1
1
0
x
a
y
与直线
2
1
0
bx
y
互相垂直，则ab 的最大值为
.
【答案】1
4 /0.25
【分析】根据直线垂直的充要条件可得a，b 关系，然后由基本不等式可解.
【详解】因为直线
2
1
1
0
x
a
y
与直线
2
1
0
bx
y
互相垂直，
所以
2(2
1)
0
b
a
，即4
2
a
b
，
由基本不等式可得2
4
2 4
a
b
ab
，即
1
4
ab
，当且仅当
1
4
1
a
b
时等号成立.
所以ab 的最大值为1
4 .
故答案为：1
4
7.已知直线1 :(
2)
(
2)
2
0
l
m
x
m
y
，直线2 : 3
5
0
l
x
my
，且1
2
l
l
，求m 的值．
【答案】6 或-1
【分析】根据直线垂直的充要条件，列出等式，求解，即可得出结果.
【详解】因为直线1 :(
2)
(
2)
2
0
l
m
x
m
y
与直线2 : 3
5
0
l
x
my
垂直，
所以3(
2)
(
2)
0
m
m m
，
即
2
5
6
0
m
m
，解得
6
m 或
1
m .
8.设a 为实数，若直线
2
1
0
ax
ay
垂直于直线
1
1
1
0
a
x
a
y
，则
a
（
）
A．0 或-3
B．0
C．-3
D．3
【答案】C
【分析】根据直线一般方程的垂直关系可得
1
2
1
0
a a
a a
，求解并检验即可.
【详解】因为直线
2
1
0
ax
ay
垂直于直线
1
1
1
0
a
x
a
y
，
所以
1
2
1
0
a a
a a
，解得
0
a
或
3
a .
当
0
a
时，直线
2
1
0
ax
ay
为1
0
，不符合题意，舍去.
当
3
a 时，直线
2
1
0
ax
ay
为3
6
1
0
x
y
，
直线
1
1
1
0
a
x
a
y
为4
2
1
0
x
y
，符合题意.
所以
3
a .
故选：C.
题型六：两条直线平行求方程
1.经过点
3,2
A
，且与直线4
2
0
x
y
平行的直线方程是（
）
A．4
10
0
x
y
B．
4
11
0
x
y
C．4
14
0
x
y
D．
4
5
0
x
y
【答案】C
【分析】由与已知直线平行设出所求直线的一般式方程为4
0
x
y
c
，代入已知点的坐标待定系数c 可
得.
【详解】与直线4
2
0
x
y
平行的直线的方程可设为
4
0
2
x
y
c
c
，
又经过点
3,2
A
，所以12
2
0
c
，解得
14
c
，
故所求直线方程为4
14
0
x
y
.
故选：C.
2.过点
0,1
P
且与直线
0
x
y
平行的直线的方程为
.
【答案】
1
0
x
y
【分析】由直线平行设直线为
0
x
y
c
，将点代入求参数，即可得方程.
【详解】设所求直线方程为
0
x
y
c
，
将点
0,1
P
代入1
0
c
，解得
1
c ，
则所求直线方程为
1
0
x
y
.
故答案为：
1
0
x
y
3.已知直线l 与直线
0
x
y
平行，且在y 轴上的截距是2
，则直线l 的方程是（
）．
A．
2
0
x
y
B．
2
4
0
x
y
C．
2
0
x
y
D．
2
4
0
x
y
【答案】C
【分析】依题意设直线l 的方程为
0
x
y
m
，代入
0, 2
求出参数的值，即可得解.
【详解】因为直线l 平行于直线
0
x
y
，所以直线l 可设为
0
x
y
m
，
因为在y 轴上的截距是2
，则过点
0, 2
，代入直线方程得
0
2
0
m
，
解得
2
m ，所以直线l 的方程是
2
0
x
y
.
故选：C
4.已知直线l 与直线2
1
0
x
y
具有相同的法向量，且经过点
3,4 ，则直线l 的一般式方程为
.
【答案】2
10
0
x
y
【分析】分析可知，直线l 与直线2
1
0
x
y
平行，可设直线l 的方程为2
0
x
y
c
，将点
3,4 的坐标
代入直线l 的方程，求出c 的值，即可得出直线l 的一般方程.
【详解】因为2 3
4 1
0
，所以，点
3,4 不在直线2
1
0
x
y
上，
又因为直线l 与直线2
1
0
x
y
具有相同的法向量，且直线l 过点
3,4 ，
则直线l 与直线2
1
0
x
y
平行，
设直线l 的方程为2
0
x
y
c
，则2 3
4
0
c
，解得
10
c
，
所以，直线l 的一般方程为2
10
0
x
y
.
故答案为：2
10
0
x
y
.
题型七：两条直线垂直求方程
1.过点
2,3
A
且与直线
2
6
0
x
y
垂直的直线方程是
.
【答案】2
1
0
x
y
．
【分析】根据垂直关系设出方程，代入点的坐标可得答案.
【详解】因为所求直线与直线
2
6
0
x
y
垂直，所以设所求直线方程为2
0
x
y
m
，
代入点
2,3
A
可得
1
m ，所以所求直线为2
1
0
x
y
.
故答案为：2
1
0
x
y
2.过点
2,3
A
且垂直于直线2
5
0
x
y
的直线方程为（
）
A．2
5
0
x
y
B．2
7
0
x
y
C．
2
3
0
x
y
D．
2
4
0
x
y
【答案】D
【分析】利用待定系数法，结合直线垂直的性质即可得解.
【详解】设垂直于直线2
5
0
x
y
的直线方程为
2
0
x
y
m
，
又直线过点
(2,3)
A
，所以2
2 3
0
m
，解得
4
m
，
故所求直线的方程为
2
4
0
x
y
.
故选：D.
3.过点
2, 3
M
且与直线
2
9
0
x
y
垂直的直线方程是（
）
A．2
8
0
x
y
B．
2
7
0
x
y
C．
2
4
0
x
y
D．2
7
0
x
y
【答案】D
【分析】由垂直设出直线方程为2
0
x
y
m
，代入已知点坐标求得参数即得．
【详解】由题意设直线方程为2
0
x
y
m
，
代入M 点坐标得2 2
( 3)
0
m
，解得
7
m ，
∴直线方程为2
7
0
x
y
．
故选：D．
4.直线
0
cx
dy
a
与
0
dx
cy
b
( ,c d 不同时为0)的位置关系是（
）
A．平行
B．垂直
C．斜交
D．与a b c d
, ,
,
的值有关
【答案】B
【解析】d 与c 不能同时为0，
①当两者都不为0 时，两条直线斜率的乘积为
1
c d
d
c
，故两条直线垂直；
②当d 与c 中有一个为零时，
若
0,
0
d
c
时，则两直线分别为
0
cx
a
与
0
cy
b
，两直线垂直，
若
0,
0
c
d
时，则两直线分别为
0
dy
a
与
0
dx
b
，两直线垂直，
故两条直线垂直．故选：B
题型八：直线过定点问题
1.直线
1 3
0
kx
y
k
，当k 变动时，所有直线都通过定点（
）
A．
3,1
B．
0,1
C．
0,0
D．
2,1
【答案】A
【解析】直线方程转化为：
3
1
0
x
k
y
，
令
3
0
1
0
x
y
，解得
3,
1
x
y
，所以直线过定点
3,1 ，故选：A．
2.已知直线1 :
2
1
0
l
ax
y
，直线2 :
(
1)
2
0
l
x
a
y
，则下列命题中不正确的是（
）
A．直线2l 过定点( 2,0)
B．若1
2
l
l
，则
2
3
a
C．直线1l 过定点
1
0,
2
D．若1
2
//
l
l ，则
2
a
【答案】D
【解析】对于A：直线2 :
(
1)
2
0
l
x
a
y
，当
0
y
时，无论a 取何值，
2
x 恒成立，
所以直线2l 恒过定点( 2,0)
，故A 正确．
对于B：若1
2
l
l
，则
1
2(
1)
0
a
a
，
2
3
a
，故B 正确；
对于C：直线1 :
2
1
0
l
ax
y
，当
0
x
时，无论a 取何值，
1
2
y
恒成立，
所以此时直线1l 恒过定点
1
0,
2
，故C 正确；
对于D：若1
2
//
l
l ，则
(
1)
2
0
a
a
，
2
2
0
a
a
，
2
a
或
1
a ，经检验此时两直线平行，故D 错误；
故选：D
3.无论k 为何值，直线
2
1
2
4
0
k
x
k y
k
都过一个定点，则该定点为（
）
A．
2,0
B．
0,2
C．
2,0
D．
0, 2
【答案】C
【解析】将直线方程整理成
2
2
4
0
k x
y
x
y
，
令
2
0
2
4
0
x
y
x
y
，解得
2
0
x
y
，即直线经过定点
2,0 .故选：C.
4.已知直线l 的方程为
2
0
x
my
，则直线l（
）
A．恒过点
2,0
且不垂直x 轴
B．恒过点
2,0
且不垂直y 轴
C．恒过点
2,0 且不垂直x 轴
D．恒过点
2,0 且不垂直y 轴
【答案】B
【分析】由直线l 的方程，令
0
y
，对m 分类讨论即可求解.
【详解】由直线l 的方程为
2
0
x
my
，
令
0
y
，解得
2
x ．
∴直线恒过点
2,0
，
若
0
m
，则直线
1
2
y
x
m
不垂直y 轴，
若
0
m
，则直线
2
x 不垂直于y 轴，
综上所述，恒过点
2,0
且不垂直y 轴.
故选：B．
5.不论a 为何实数，直线(
3)
(2
1)
7
0
a
x
a
y
恒过第
象限.
【答案】二
【分析】
根据题意，将直线方程变形，列出方程代入计算，即可得到结果.
【详解】直线方程可变形为：(3
7)
(
2 )
0
x
y
a x
y
，
由
3
7
0
2
0
x
y
x
y
，求得
2
1
x
y
，
直线过定点( 2,1)
，因此直线必定过第二象限，
故答案为：二.
6.已知a ，b 满足2
1
a
b
，则直线
3
0
ax
y
b
必过定点（
）
A．
1 ,2
3
B．1 1
,
6 2
C．1 1
,
2 6
D．
1
2,
3
【答案】D
【解析】由2
1
a
b
，得
1 2
b
a
，
代入直线方程
3
0
ax
y
b
中，得
3
1
2
0
ax
y
a
，即(
2)
3
1
0
a x
y
，
令
2
0
3
1
0
x
y
，解得
2
1
3
x
y
，
所以该直线必过定点2,
1
3
.故选：D
7．（1）求证：动直线
2
2
2
2
3
1
3
1
0
m
m
x
m
m
y
m
（其中
R
m
）恒过定点，并求出定点坐标；
（2）求经过两直线1 :
2
4
0
l
x
y
和2 :
2
0
l
x
y
的交点P ，且与直线3 :3
4
5
0
x
l
y
垂直的直线l 的
方程.
题型九：直线综合问题
1.把直线
2
2 3 1
0
x
y
绕点
1, 3 顺时针旋转45°后得到的直线的方程为
．
【答案】
3
3 3 1
0
x
y
【解析】若为已知直线倾斜角，将其顺时针旋转45°后的直线倾斜角为
45
，
而
1
tan
2
，故
1
1
tan
tan 45
1
2
tan(
45 )
1
1
tan
tan 45
3
1
1
2
，
所以旋转后直线为
1
3
(
1)
3
y
x
，则
3
3 3 1
0
x
y
.
故答案为：
3
3 3 1
0
x
y
2.已知直线m ：
3
0
ax
y
与直线:3
(2
1)
1
0,( ,
0)
n
x
b
y
a b
，且m
n
，则2
1
a
b
的最小值为（
）
A．12
B．8
4 3
C．15
D．10
2 3
【答案】B
【分析】根据直线的垂直关系推出3
2
1
a
b
，将2
1
a
b
化为2
1
(
)(3
2 )
a
b
a
b
，展开后利用基本不等式，即
可求得答案.
【详解】由题意知直线m ：
3
0
ax
y
与直线:3
(2
1)
1
0,( ,
0)
n
x
b
y
a b
，m
n
，
则3
2
1
0
a
b
，即3
2
1
a
b
，
故2
1
2
1
4
3
4
3
(
)(3
2 )
8
2
8
8
4 3
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
，
当且仅当4
3
b
a
a
b
，结合3
2
1
a
b
，即
3
3
3
1
,
6
4
a
b
时等号成立。
故2
1
a
b
的最小值为8
4 3
，
故选：B
3.直线l 过点
1,0 ，且与直线1l ：
3
3
0
x
y
的夹角为6
，则直线l 的方程为
．
【答案】
1
x 或
3
1
0
x
y
【解析】由题设，直线1l 斜率为
3
，则其倾斜角为2π
3 ，
所以直线l 的倾斜角为5π
6 或π
2 ，且过
1,0 ，
故直线l 的方程为
1
x 或
3 (
1)
3
y
x
，即
1
x 或
3
1
0
x
y
.
故答案为：
1
x 或
3
1
0
x
y
4.过点
2, 3
A
且与直线
3
5
0
x
y
成60角的直线的一般式方程是
．
【答案】
2
x 或
3
1
0
x
y
【解析】由直线方程
3
5
0
x
y
，可得此直线的斜率为
3
3
，倾斜角为30，
则与该直线成60角的直线的倾斜角为90或150，
又因为所求直线过点
2, 3
A
，
所以所求直线方程为
2
x 或
3
3
2
3
y
x
，
即
2
x 或
3
1
0
x
y
．
故答案为：
2
x 或
3
1
0
x
y
5.已知点
(
)
1,0
A
，
1,2
B
．
(1)设mR ，若直线AB 与直线
1
0
x
my
垂直，求m 的值；
(2)求过点B 且与直线2
1
0
x
y
夹角的余弦值为2 5
5
的直线方程．
【答案】(1)
1
m
(2)3
4
11
0
x
y
或= 1
x
【分析】（1）根据直线垂直即可求解；
（2）先对ACD
用正弦定理，得到的正弦值，对BDE
用正弦定理，得到|
|
BE ，设出交点求解二次方
程即可求解.
【详解】（1）直线AB 的斜率为2
0
1
1 1
，因为直线AB 与直线
1
0
x
my
垂直，
所以
( 1)
1
1
m
，所以
1
m ；
（2）
如图点E 为过点B 且与直线2
1
0
x
y
夹角的余弦值为2 5
5
的直线与直线
2
1
y
x
的交点，
点
1
(
,0)
2
C
为直线
2
1
y
x
与x 轴的交点，点
(0,1)
D
为直线AB 与直线
2
1
y
x
的交点，
点
( 1, 1)
E
为过点B 作x 轴的垂线交直线
2
1
y
x
的交点，
BED
，
BDE
，
设夹角为，因为
2 5
cos
5
，所以
5
sin
5
，
因为
3
|
|
2
AC
，
2
2
1
5
|
|
1
(
)2
2
CD
，
所以在ACD
中，sin
sin 45
|
|
|
|
AC
CD
，所以
5
s n
2
i
3 2
，
因为
2
2
|
|
1
1
2
BD
，所以在BDE
中，sin
sin
|
|
|
|
BE
BD
，
所以
3 2
5
2 5
5
|
|
2
BE
，所以|
| 3
BE
，易知|
| |
| 3
BE
BE
，
设交点E 坐标为( ,2
1)
x
x
，所以
2
2
2
(
1)
(2
1 2)
3
x
x
，
所以
7
5
x
或1
，所以交点坐标为7 19
(
,
)
5
5 或( 1, 1)
，
所以直线方程为
7
7
1
5
5
19
19
2
5
5
x
y
或
( 1)
1 ( 1)
( 1)
2
( 1)
x
y
，
即3
4
11
0
x
y
或= 1
x .
6.如图，已知ABC
的顶点为
1, 1
A
，
1,3
B
，
3,0
C
，AD 是BC 边上的高，AE 是
BAC
的平分线．
(1)求高AD 所在直线的方程；
(2)求AE 所在直线的方程．
（提示：在AB
上取与AC
长度相等的向量
1
AB
，则
1
1
AE
AB
AC
的方向就是AE
的方向．）
【解析】（1）依题意，直线BC 的斜率
3
0
3
1 3
4
BC
k
，于是BC 边上高AD 所在直线的斜率
4
3
AD
k
，
所以直线AD 方程为
4
1
(
1)
3
y
x
，即4
3
7
0
x
y
.
（2）依题意，
(2,1),
( 2,4)
AC
AB
，在向量AB
方向上取
1
AB
，使
1
|
| |
|
AB
AC
，
而|
|
5,|
| 2 5
AC
AB
，则
1
|
|
1
( 1,2)
2
|
|
AC
AB
AB
AB
AB
，令
1
1
(1,3)
AE
AB
AC
，
显然
1
AE 平分
BAC
，于是
BAC
的平分线AE 所在直线的方向向量为(1,3)，即直线AE 的斜率为3，
所以直线AE 的方程为
1
3(
1)
y
x
，即3
4
0
x
y
.
7.已知直线1 :
2
12
0
l
ax
y
，直线2l 过点
4,1
A
，__________．在①直线2l 的斜率是直线
1
4
y
x
的斜
率的2 倍，②直线2l 不过原点且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2 倍，这两个条件中任选一个，补
充在上面的横线中，并解答下列问题．
(1)求2l 的一般式方程；
(2)若1l 与2l 在x 轴上的截距相等，求a 的值．
【解析】（1）选择①：由题意可设直线2l 的方程为
1
4
y
k x
，
因为直线2l 的斜率是直线
1
4
y
x
的斜率的2 倍，所以
1
2
k
，
所以直线2l 的方程为
1
1
4
2
y
x
，即
2
2
0
x
y
．
选择②：由题意可设直线2l 的方程为
1
2
x
y
m
m
，
0
m
，
因为直线2l 过点
4,1
A
，所以
1
4
2
1
m
m
，解得
1
m ．
所以直线2l 的方程为
1
2
1
x
y
，即
2
2
0
x
y
．
（2）由（1）可知直线2l 的方程为
2
2
0
x
y
，令
0
y
，可得
2
x ，
所以直线2l 在x 轴上的截距为2
，所以直线1l 在x 轴上的截距为2
．
故直线1l 过点
2,0
，代入
2
12
0
ax
y
，得2
2 0 12
0
a
，解得
6
a ．
8.已知直线l 的方程为
2
1
2
14
13
0
m
x
m
y
m
.
(1)证明：不论m 为何值，直线l 过定点M .
(2)过（1）中点M ，且与直线l 垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线l 的
方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)5
4
9
0
x
y
.
【分析】（1）将直线方程改写成
2
14
2
13
0
m
x
y
x
y
形式，解方程组
2
14
0
2
13
0
x
y
x
y
即可.
（2）设出与直线l 垂直的方程，分别令
0
x
、
0
y
求出相对于的y 值、x 值，结合三角形面积公式及基
本不等式即可求得结果.
【详解】（1）证明：直线l 的方程
2
1
2
14
13
0
m
x
m
y
m
，
可整理为
2
14
2
13
0
m
x
y
x
y
.
由
2
14
0
2
13
0
x
y
x
y
，解得
5
4
x
y
，
所以直线l 过定点
5,4
M
.
（2）由（1）知，直线l 过定点
5,4
M
，
设过点M 且与直线l 垂直的直线方程为
5
4(
0)
y
k x
k
，
令
0
x
，则
5
4
y
k
.
令
0
y
，则
4
5
x
k
.
所以
1
4
1
16
5
4
5
40
25
2
2
S
k
k
k
k
，
所以
1
16
1
40
2
25
40
40
40
2
2
S
k
k
，
当且仅当
16
25k
k
，即
4
5
k
时，等号成立，
所以直线l 的斜率为5
4 ，
所以直线l 的方程为
5
4
5
4
y
x
，即5
4
9
0
x
y
.
9.已知ABC
中，两个顶点的坐标分别为
2,1
A
、
4, 3
B
，点
0,2
G
是此三角形的重心，分别求BC 、
AC 边所在直线的方程.
【解析】设AG 交BC 于M ，则M 为BC 的中点，设
1
1
2
2
3
3
,
,
,
,
,
,
,
G x y
A x y
B x
y
C x
y
，
因为点
0,2
G
是三角形的重心，
所以
2
AG
GM
，所以AG
GB
GC
，
所以，0
GA
GB
GC
，
所以
1
1
2
2
3
3
0,0
,
,
,
x
x y
y
x
x y
y
x
x y
y
，
所以
1
2
3
1
2
3
,
3
3
x
x
x
y
y
y
x
y
，
故
3
3
2
4
1 3
0
,2
3
3
x
y
，解得
2,8
C
.
故AC 边所在直线的方程为
2
0
x
，
BC 边所在直线的方程为
3
4
8
3
2
4
y
x
，即11
6
26
0
x
y
.
10.已知直线方程为(m－1)x＋(m＋2)y－3－3m＝0.
(1)求证：无论m 为何值，直线一定经过第一象限；
(2)若直线分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A，B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)面积的最小值是4，此时直线的方程为2x＋y－4＝0
【详解】（1）证明：（m－1）x＋（m＋2）y－3－3m＝0 可化为（x＋y－3）m＝x－2y＋3.由
得
∴直线必过定点（1，2），所以直线一定经过第一象限.
（2）解：（解法1）设直线的斜率为k，则其方程为y－2＝k（x－1）（k＜0），∴OA＝1－，OB＝2
－k，∴S△AOB＝·OA·OB＝|（1－）（2－k）|＝|－
|.∵k＜0，∴－k＞0，∴S△AOB＝
[－
]＝
[4＋（－）＋（－k）]≥
[4＋2
]＝4，当且仅当－＝－k，即k＝－2
时取等号，∴△AOB 面积的最小值是4，此时直线的方程为y－2＝－2（x－1），即2x＋y－4＝0.
（解法2）设直线l 的方程为＋＝1，其中a＞0，b＞0，∵直线l 过点P（1，2），∴＋＝1≥2
，
当且仅当＝时取等号，∴ab≥8，∴S△AOB＝ab≥4，当＝时取等号.由＝，＋＝1，得a＝2，b＝
4，∴直线l 的方程为2x＋y－4＝0.
11.已知方程
2
2
2
3
2
1
6
2
0
m
m
x
m
m
y
m
（mR ）．
(1)求该方程表示直线的条件；
(2)当m 为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程；
(3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
1
m m
(2)3
4
0
x
(3)不过定点，证明见解析
【分析】（1）先令x ，y 的系数同时为0 时得到
1
m ，即得
1
m 时方程表示一条直线；
（2）由（1）知
1
2
m
时y 的系数为0 ，方程表示的直线的斜率不存在，即得结果；
（3）分别求出斜率不存在和斜率为0 时的直线方程，再求出交点坐标，若存在定点，则定点一定是此交
点，将交点坐标代入原方程，若方程恒成立，则此点是定点，反之则不是定点.
【详解】（1）当x ，y 的系数不同时为0 时，方程表示一条直线，
令
2
2
3
0
m
m
，解得
1
m 或
3
m
；
令
2
2
1
0
m
m
，解得
1
m 或
1
2
m
，
所以x ，y 的系数同时为零时
1
m ，
故若方程表示一条直线，则
1
m ，
即实数m 的取值范围为
1
m m
；
（2）当x 的系数不为0 ，y 的系数为0 时斜率不存在，
由（1）知当
1
2
m
时，
2
2
1
0
m
m
且
2
2
3
0
m
m
，方程表示的直线的斜率不存在，
此时直线方程为3
4
0
x
；
（3）不过定点，证明如下：
证明：当x 的系数为0 ，y 的系数不为0 时斜率为0 ，
由（1）知当
3
m
时，
2
2
3
0
m
m
且
2
2
1
0
m
m
，方程表示的直线的斜率为0 ，
此时直线方程为
0
y
，
由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为3
4
0
x
，
由
3
4
0,
0,
x
y
得交点为4 ,0
3
，
若直线过定点，则定点为4 ,0
3
，
将4 ,0
3
代入方程
2
2
2
3
2
1
6
2
0
m
m
x
m
m
y
m
，
得
2
4
2
3
6
2
0
3
m
m
m
，
整理得
2
2
7
3
0
m
m
，解得
1
2
m
或
3
m
，
只有当
1
2
m
或
3
m
时，直线过4 ,0
3
，
直线不过定点.
题型十：直线与实际应用综合
1.光从介质1 射入介质2 发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2 相对介质1 的折射率.如图，
一个折射率为
2 的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以45的入射角从空气中射入点
2,0
A
，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为
.
【答案】
3
2
2
2 3
0
x
y
【分析】依题意入射角
45
，设折射角为，求出，即可求出B 点坐标，再求出所在直线的倾斜角，
即可求出斜率，再由点斜式计算可得.
【详解】如图，入射角
45
，设折射角为，
sin
2
sin
，
sin45
1
sin
2
2
，
则
30
，
30
OAB
OBA
，
所以
60
xOB
，则
2cos
60
1
Bx
，
2sin
60
3
B
y
，
所以
1,
3
B
，且
45
.
该光线再次返回空气中时，其所在直线的倾斜角为
180
45
30
165
，
则其所在直线的斜率为
tan165
tan15
tan 45
30
3
1
tan 4
tan30
3
1
t
2
an 4
ta
5
n30
3
1 1
3
3
5
，
直线的方程为
3
3
2
1
y
x
，整理得
3
2
2
2 3
0
x
y
.
故答案为：
3
2
2
2 3
0
x
y
2.如图是一个W 形的霓虹灯，每边长都是2m，每相邻两边的夹角都是30．试建立适当的平面直角坐标系，
并写出此霓虹灯的每条边在这个坐标系中的方程．
【解析】如图，以BD 为x 轴，A 点在y 轴上，建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知，|
| |
| |
| |
| 2,
30
AB
BC
CD
DE
ABC
BCD
CDE
，则
15
OAB
，
sin
sin15
sin 45
30
sin 45 cos30
cos45 sin30
OAB
2
3
2
1
6
2
2
2
2
2
4
，
同理可得，
6
2
cos
cos15
4
OAB
，
所以
6
2
6
2
|
| |
| sin
2
4
2
OB
AB
OAB
，
6
2
6
2
|
| |
| cos
2
4
2
OA
AB
OAB
，
6
2
6
2
0,
,
,0
2
2
A
B
，
故
6
2
|
|
2
tan
2
3
|
|
6
2
2
OA
OBA
OB
，
tan
tan
(2
3)
ABD
OBA
，则
tan
(2
3)
AB
k
ABD
，
直线AB 的方程为：
6
2
(2
3)
2
y
x
，即2(2
3)
2
( 6
2)
0
x
y
，
CBD
OBA
，
tan
tan
2
3
BC
k
CBD
OBA
，
直线BC 的方程为：
6
2
(2
3)
,
2
y
x
即2(2
3)
2
( 6
2)
0
x
y
，
由题意可知，直线CD 可由直线AB 向右平移( 6
2)
个单位而得到，
直线DE 可由直线BC 向右平移( 6
2)
个单位而得到，
直线CD 的方程为：2(2
3)[
( 6
2)]
2
( 6
2)
0
x
y
，
即2(2
3)
2
3( 6
2)
0
x
y
，
直线DE 的方程为：2(2
3)[
( 6
2)]
2
( 6
2)
0
x
y
，
即：2(2
3)
2
3( 6
2)
0
x
y
.
3.足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的B 底线宽
72
AB
码，球门宽
8
EF
码，球门位
于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得
EPF
最大，这时候
点P 就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点O处（OA
AB
，OA
AB
）时，根据场上形势判断，
有OA
、OB
两条进攻线路可供选择.
(1)若选择线路OA
，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置；
(2)若选择线路OB
，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置.
【解析】（1）若选择线路OA
，设AP
t
，其中0
72
t
≤
，
32
AE
，
32
8
40
AF
，
则
32
tan
AE
APE
AP
t
，
40
tan
AF
APF
AP
t
，
所以
tan
tan
tan
tan
1
tan
tan
APF
APE
EPF
APF
APE
APF
APE
2
2
40
32
8
8
8
5
1280
1280
1280
20
1280
1
1
2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
，
当且仅当
1280
t
t
时，即当
16 5
t
时，等号成立，此时
72 16 5
OP
OA
AP
，
由题意知
π
0, 2
EPF
，因为函数
tan
y
x
在
π
0, 2
上单调递增，
所以tan
EPF
最大时，
EPF
最大，
所以，若选择线路OA
，则甲带球72 16 5
码时，到达最佳射门位置.
（2）若选择线路OB
，以线段EF 的中点N 为坐标原点，BA
、AP
的方向分别为x 、y 轴的正方向建立如
图所示的平面直角坐标系，
则
36,0
B
，
36,72
O
，
4,0
F
，
4,0
E
，
则
72
1
36
36
OB
k
，直线OB 的方程为
36
y
x
，
设点
,
36
P x x
，其中36
36
x
，
36
tan
4
PF
x
AFP
k
x
，
36
tan
4
PE
x
AEP
k
x
，
所以
tan
tan
tan
tan
1
tan
tan
AEP
AFP
EPF
AEP
AFP
AEP
AFP
2
2
2
2
8
36
36
36
8
4
4
16
36
36
16
36
1
36
1
4
4
36
16
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，
令
36
0,72
m
x
，则
36
x
m
，
所以
2
2
36
16
16
1280
1280
36
2
72
2 2
72
36
m
x
x
m
m
m
x
m
m
m
32 10
72
，
当且仅当
1280
2m
m
，即
8 10
m
，即
8 10
36
x
时，等号成立，
所以
8
8
1
tan
1280
32 10
72
4 10
9
2
72
EPF
m
m
，
当且仅当
8 10
36
x
时，等号成立，此时，
2 36
8 10
36
72 2
16 5
OP
，
由题意知
π
0, 2
EPF
，因为函数
tan
y
x
在
π
0, 2
上单调递增，
所以tan
EPF
最大时，
EPF
最大，
所以，若选择线路OB
，则甲带球72 2
16 5
码时，到达最佳射门位置.
模块三：综合巩固
1.已知直线方程为sin60
cos60
3
0
x
y
，则该直线的倾斜角为（
）
A．30
B．60
C．120
D．150
【答案】C
【解析】由sin60
cos60
3
0
x
y
得：
3
tan 60
cos60
y
x
，
直线的斜率
tan60
tan120
k
，直线的倾斜角为120.
故选：C.
2.若直线
4
0
x
my
在y 轴上的截距为2，则该直线的斜率为（
）
A．2
B．2
C．
1
2
D．1
2
【答案】D
【分析】根据纵截距求解出m 的值，然后由直线方程求解出斜率.
【详解】因为
4
0
x
my
的纵截距为2 ，所以直线经过
0,2 ，
所以2
4
0
m
，所以
2
m ，
所以斜率
1
1
2
k
m
，
故选：D.
3.如果
0
ac
，
0
bc
，那么直线
0
ax by
c
+
+
=
不通过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】如果
0
ac
，
0
bc
，则
0
ab
，
可知：直线
0
ax by
c
+
+
=
在x 轴上的截距为
0
c
a
，在y 轴上的截距为
0
c
b
，
如下图所示：
所以直线
0
ax by
c
+
+
=
不通过第二象限．
故选：B．
4.已知直线l 的方程为
3
2
0
x
y
，则直线的倾斜角为（
）
A．30
B．60
C．120
D．150
【答案】C
【解析】由
3
2
0
x
y
，可得
3
2
y
x
，
所以直线的斜率为
3
，则倾斜角为120，
故选:C.
5.直线:
3
1
l x
y
的倾斜角为（
）
A．6
B．3
C．2
3
D．5
6
【答案】D
【解析】直线:
3
1
l x
y
的斜率为
3
3
，设其倾斜角为
,
0, π
，
则
3
5π
tan
,
3
6
，故选：D.
6.若直线1l ：
2
1
0
mx
y
与直线2l ：
2
1
0
2
x
m y
垂直，则实数m 的值为（
）
A．0
B．
1
2
或0
C．0 或1
2
D．1
2
【答案】C
【解析】由题意得
2
2
0
m
m
，解得
0
m
或1
2 .故选：C
7.已知过点
( 2,
)
A
m
和点
( ,4)
B m
的直线为l1，2
3
1
1
:
2
1,
:
l
y
x
l
y
x
n
n
. 若1
2
2
3
/ / ,
l
l l
l
，则m
n
的值
为（
）
A．10
B．2
C．0
D．8
【答案】A
【解析】因为1
2
l
l
// ，所以
4
2
2
AB
m
k
m
，解得
8
m ，又2
3
l
l
，所以
1
2
1
n
，
解得
2
n .所以
10
m
n
.
故选：A.
8.平面直角坐标系中下列关于直线的几何性质说法中，正确的有几个（
）
①直线l ：
3
0
x
y
过点
1,2
P
②直线
2
y
kx
在y 轴的截距是2
③直线
4
0
x
y
的图像不经过第四象限
④直线
3
1
0
x
y
的倾斜角为30
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】①将
1,2
P
代入
3
0
x
y
得1
2
3
0
，故正确；
②当
0
x
时，=
2
y
，故在y 轴的截距是2
，故错误；
③由
4
0
x
y
得
4
y
x
，
故
1
0
k
，
4
0
b
故其图像不经过第四象限，故正确；
④
3
1
0
x
y
的斜率为
3
3
，故倾斜角为30，故正确；
故选：C
9.已知直线l ：
2
1
1
0
m
x
m
y
m
经过定点P，直线l经过点P，且l的方向向量
3,2
a
，则直线
l的方程为（
）
A．2
3
5
0
x
y
B．2
3
5
0
x
y
C．3
2
5
0
x
y
D．3
2
5
0
x
y
【答案】A
【解析】
2
1
1
0
m
x
m
y
m
可变形为
2
1
0
x
y
m
x
y
，
解
0
2
1
0
x
y
x
y
得
1
1
x
y
，即P 点坐标为
1,1
.
因为
2
3,2
3 1,3
a
，所以直线l的斜率为2
3 ，又l过点P
1,1
，
代入点斜式方程可得
2
1
1
3
y
x
，整理可得2
3
5
0
x
y
.
故选：A.
10.已知直线l 过点
(1,3)
M
，且分别交两直线
,
y
x y
x
于x 轴上方的
,
A B 两点，O 点为坐标原点，则AOB
面积的最小值为（
）
A．8
B．9
C．3 10
D．20
【答案】A
【解析】由题意知直线l 的斜率一定存在，斜率设为k，则直线l 的方程为
3
(
1)
y
k x
，
分别与
,
y
x y
x
联立可得
,
A B 两点的横坐标：
3
3
,
1
1
A
B
k
k
x
x
k
k
，
故
1
3
3
2
2
2
1
1
AOB
A
B
A
B
k k
S
x
x
x x
k
k
△
，
,
A B 两点都在x 轴的上方，
故1
1
k
，
故
3
3
2(1
)
1
4(1
)
1
4(1
) 1
1
2
4
4
2
8
1 1
1
1
1
1
1
1
AOB
k
k
k
k
k
k
k
k
S
k
k
k
k
k
k
k
k
△
，
当且仅当4(1
)
1
1
1
k
k
k
k
，即
1
3
k
时等号成立，
故AOB
面积的最小值为8，
故选：A．
11.过坐标原点O作直线l ：
2
1
6
0
a
x
a y
的垂线，垂足为
,
H s t ，则
2
2
s
t
的取值范围是（
）
A．0,2 2
B．0,2 2
C．
0,8
D．
0,8
【答案】D
【解析】依题意，
( , )
OH
s t
，直线l 的方向向量
(
1,
2)
n
a
a
，则有
(
1)
(
2)
0
(
2)
(
1)
6
a
s
a
t
a
s
a
t
，
解得
2
2
2
2
6(
2)
(
2)
(
1)
6(
1)
(
2)
(
1)
a
s
a
a
a
t
a
a
，因此，
2
2
2
2
2
36
36
1
9
(
2)
(
1)
2(
)
2
2
s
t
a
a
a
，
因当
1
2
a
时，
2
1
9
2(
)
2
2
a
取最小值9
2 ，则有
2
36
0
8
1
9
2(
)
2
2
a
，
所以
2
2
s
t
的取值范围是(0,8] .
故选：D
12.若直线:
3
0
l x
ky
与直线
3
0
x
y
的交点位于第二象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（
）
A．π 5π
,
3
6
B．π 3π
,
6
4
C．π π
π 3π
,
,
3 2
2
4
D．π 3π
,
3
4
【答案】D
【分析】首先确定直线l 所过定点及直线
3
0
x
y
与坐标轴的交点，结合图象可确定满足题意的临界状
态，结合直线斜率和倾斜角关系可求得结果.
【详解】由题意知：直线:
3
0
l x
ky
恒过定点
3,0
A
；
直线
3
0
x
y
与,x y 轴分别交于点
3,0
B
，
0,3
C
；
在平面直角坐标系中作出直线
3
0
x
y
如下图所示，
结合图象可知：若直线l 与直线
3
0
x
y
交点位于第二象限，则临界状态为如图所示的1
2
,
l l 位置，其中1l
过点AC ，2l 与直线
3
0
x
y
平行；
1
3
0
3
0
3
lk
，
2
1
lk ，
1l
倾斜角为π
3 ，2l 倾斜角为3π
4 ，
直线l 倾斜角的取值范围为π 3π
,
3
4
.
故选：D.
13.点
2, 1
P
到直线
: 1 3
1
2
4
0
R
l
x
y
的距离最大时，其最大值以及此时的直线l 方
程分别为（
）
A．13 ；
2
0
x
y
B．11 ；3
4
0
x
y
C．13 ；3
2
5
0
x
y
D．11 ；2
3
1
0
x
y
【答案】C
【分析】根据题意，得到直线l 过定点
1,1
Q
，若使得
2, 1
P
到直线l 的距离最大，则PQ
l
，求得
2
3
PQ
k
，
得到
3
2
lk
，进而得到直线方程.
【详解】由直线
: 1 3
1
2
4
0
R
l
x
y
，
可得化为
2
3
4
0
x
y
x
y
，
联立方程组
2
0
3
4
0
x
y
x
y
，解得
1
1
x
y
，即直线l 过定点
1,1
Q
，
若要
2, 1
P
到直线l 的距离最大，只需PQ
l
，
此时点
2, 1
P
到直线l 的最大距离，即为线段PQ的长度，可得
13
PQ
，
又由直线PQ 的斜率为
1
1
2
1
2
3
PQ
k
，
因为PQ
l
，可得
1
PQ
l
k
k
，可得
3
2
lk
，
故此时直线l 的方程为
3
1
1
2
y
x
，即3
2
5
0
x
y
，
经检验，此时
1
3
，上述直线l 的方程能够成立.
故选：C.
14.(多选)已知直线l 过点
4,5
P
，且直线l 在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程为（
）
A．5
4
0
x
y
B．
1
0
x
y
C．
9
0
x
y
D．
1
0
x
y
【答案】ABC
【解析】当直线l 过原点时，设直线方程为y
kx
，因过点
4,5
P
，则直线l 的方程为
5
4
y
x
，即5
4
0
x
y
，
故A 正确；
当直线l 截距相等时，设直线方程为
1
x
y
a
a
，因过点
4,5
P
，则9
1
9
a
a
，则直线l 的方程为
9
0
x
y
，故C 正确；
当直线l 截距互为相反数时，设直线方程为
1
x
y
a
a
，因过点
4,5
P
，则
1
1
1
a
a
，则直线l 的方程
为
1
0
x
y
，故B 正确．
故选：ABC．
15.（多选）已知直线1 :(
2)
3
3
0
l
a
x
y
与2
2
:
0
x
y
l
，则（
）
A．若
1
a ，则两直线垂直
B．若两直线平行，则
5
a
C．直线1l 恒过定点(0, 1)
D．直线2l 在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【分析】由
1 2
1
k k ，判断A；由平行关系求出a ，判定B；由直线的点斜式方程判断C；求出截距判断
D.
【详解】当
1
a 时，1 :
1
0
l
x
y
，
1
2
1,
1
k
k
，则
1 2
1
k k ，所以两直线垂直，A 正确；
若两直线平行，则
(
2)
1
3 1
0
a
，解得
5
a ，
经检验，当
5
a 时，两直线平行，B 错误；
由1 :(
2)
3
3
0
l
a
x
y
，即
3
1
(
2)
y
a
x
，
所以直线1l 恒过定点(0, 1)
，C 正确；
由2
2
:
0
x
y
l
，与两坐标轴的截距分别为2,2
，不相等，D 错误.
故选：AC
16.（多选）下列说法正确的是（
）
A．直线
3
1
0
x
y
的倾斜角为120°
B．经过点
2,1
P
，且在x，y 轴上截距互为相反数的直线方程为
1
0
x
y
C．直线l：
2
0
mx
y
m
恒过定点(
)
1, 2
-
D．已知直线l 过点
2,1 ，且与x，y 轴正半轴交于点A､B 两点，则△AOB 面积的最小值为4
【答案】ACD
【解析】对于选项A：直线
3
1
0
x
y
的斜率
3
k
，倾斜角为120°，故A 正确；
对于选项C：因为
2
0
mx
y
m
，整理得
1
2
0
m x
y
，
令
1
0
2
0
x
y
，解得
1
2
x
y
，所以直线l 恒过定点(
)
1, 2
-
，故C 正确；
对于选项B、D：可知直线l 的斜率存在，设为
0
k
，则直线l：
1
2
y
k x
，
令
0
x
，解得
1
2
y
k
= -
，即直线l 在y 轴上的截距为1 2k
；
令
0
y
，解得
1
2
x
k
，即直线l 在x 轴上的截距为
1
2
k
；
对于B：若在x，y 轴上截距互为相反数，则
1
1
2
2
0
k
k
，解得
1
2
k
或
1
k ，
所以直线方程为
2
0
x
y
或
1
0
x
y
，故B 错误；
对于D：直线l 与x，y 轴正半轴交于点A､B 两点，则
0
k
，可知
1
1 2
0,2
0
k
k
-
>
-
> ，
可得AOB
面积
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1 2
2
4
4
2
4
4
4
2
2
2
△AOB
S
k
k
k
k
k
k
=
´
-
-
=
-
+
+
³
-
´
+
=
-
-
，
当且仅当
1
4k
k
，即
1
2
k
时，等号成立，
所以△AOB 面积的最小值为4，故D 正确；
故选：ACD.
17.（多选）设直线l 的方程为
1
2
0
a
x
y
a
（
R
a
）.若直线l 不过第三象限，则a 的取值可以为
（
）
A．－1
B．0
C．1
D．2
【答案】CD
【解析】把直线l 化成斜截式，得
1
2
y
a x
a
.
因为直线l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y 轴上的截距大于等于零，
即
1
0
1
2
0
2
a
a
a
a
,解得:
1
a ，
所以a 的取值范围为
1,.
故选：CD.
18.（多选）已知直线:
3
(2
)
0
l x
y
m
x
y
，其中m 为实常数，则（
）
A．直线l 过一定点
B．无论m 取何值，直线l 不经过原点
C．当
0
m
时，直线l 与y 轴交于它的负半轴
D．当
0
m
时，直线l 与坐标轴围成的三角形的面积是9
2
【答案】ABD
【解析】对于A ，因为直线l 的方程为
3
(2
)
0
x
y
m
x
y
，令
3
0
2
0
x
y
x
y
，
解得：
1
2
x
y
，所以直线l 过定点(1,2) ，故选项A 正确；
对于B ，若直线l 经过原点，则0
0
3
0
3
0
m
，所以无论m 取何值，直线l 不经过原点，故选项B
正确；
对于C ，令
0
x
可得：
3
(
1)
1
y
m
m
，当
1
m
时，
0
y
，直线l 与y 轴交于负半轴；当
1
m 时，直
线l 与y 轴没有交点；当
1
m 时，
0
y
直线l 与y 轴交于正半轴，故选项C 错误；
对于D ，当
0
m
时，直线l 的方程为：
3
0
x
y
，与两坐标轴的交点分别为(3,0),(0,3) ，所以直线l 与
坐标轴围成的三角形的面积是9
2 ，故选项D 正确，
故选：ABD .
19.若直线
1
0
a
x
ay
与直线
2
1
ax
y
垂直，则
a
.
【答案】0 或3
【分析】根据直线垂直列出方程，解出即可.
【详解】因为两直线垂直，则
+1
2
0
a
a
a
，
解得
0
a
或
3
a ，
故答案为：0 或3
.
20.已知两点
(3,0), (0,4)
A
B
，动点
( , )
P x y 在线段AB 上运动，则xy 的取值范围为
．
【答案】[0,3]
【分析】由截距得直线线段AB 方程即,x y 的关系，用代入法化xy 为关于x 的二次函数，利用二次函数性
质得其范围．
【详解】线段AB 方程为
1(0
3)
3
4
x
y
x
，于是
4(1
)(0
3)
3
x
y
x
，
从而
2
4
3
4
(1
)
(
)
3
3
3
2
x
xy
x
x
，
显然当
3
2
x
时，xy 取最大值3；当
0
x
或3 时，xy 取最小值0．
故答案为：[0,3]．
21. A 是直线:
3
l y
x
上的第一象限内的一点，
3,2
B
为定点，直线AB 交x 轴正半轴于点C，当AOC
面积
最小时，点A 的坐标是
.
【答案】4
( ,4)
3
【解析】依题意，设
( ,3 ),
0
A a
a a
，
( ,0),
0
C b
b
，则
(
3,3
2),
(
3, 2)
BA
a
a
BC
b
，
而
/ /
BA
BC
，则有(3
2)(
3)
2(
3)
a
b
a
，显然
2
3
a
，于是
2(
3)
7
3
3
2
3
2
a
a
b
a
a
，
由点C 在x 轴正半轴上，得
2
3
a
，AOC
面积
2
1
1
7
7 [(3
2)
2]
3
3
2
2 3
2
6
3
2
a
a
S
b
a
a
a
a
7
4
7
4
28
[(3
2)
4]
[2 (3
2)
4]
6
3
2
6
3
2
3
a
a
a
a
，当且仅当
4
3
2
3
2
a
a
，即
4
3
a
时取等号，
所以当AOC
面积最小时，点A 的坐标是4
( ,4)
3
.
故答案为：4
( ,4)
3
22.若点
1,2 在直线
1
0
ax
by
+
- =
上（其中a，b 都是正实数），则2
1
2
a
b
的最小值为
.
【答案】3
2 2
/2 2
3
【解析】依题意，
2
1
a
b
，而
0,
0
a
b
，
于是2
1
2
1
4
4
(
2 )(
)
3
3
2
3
2 2
2
2
2
2
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
，
当且仅当4
2
b
a
a
b
，即
2 2
a
b
时取等号，由
2 2
2
1
a
b
a
b
，得
2
1
2
2,
2
a
b
，
所以当
2
1
2
2,
2
a
b
时，2
1
2
a
b
取得最小值为3
2 2
.
故答案为：3
2 2
23.已知点
1,1 ,
2,2
P
Q
，若直线:l
0
x
my
m
与PQ的延长线（有方向）相交，则m 的取值范围
为
．
【答案】
2
3,
3
【解析】如下图所示，
由题知
2 1
1
2
1
3
PQ
k
，
直线
0
x
my
m
过点
0, 1
M
.
当
0
m
时，直线化为
0
x
，一定与PQ 相交，所以
0
m
，
当
0
m
时，
1
lk
m
，考虑直线l 的两个极限位置.
①l 经过Q ，即直线1l ，则
1
2
1
3
2
0
2
lk
；
②l 与直线PQ平行，即直线2l ，则
2
1
3
l
PQ
k
k
，
因为直线l 与PQ的延长线相交，
所以1
1
3
3
2
m
，解得
2
3
3
m
，所以
2
3,
3
m
.
故答案为：
2
3,
3
.
24.已知点
0,3
P
到直线
1
2
1
2
0(
R)
m
x
m
y
m
m
的距离为d，则d 的最大值是
．
【答案】5
【解析】直线
1
2
1
(
)
2
0
m
x
m
y
m
m
R
即
(
2
1)
(
2)
0
m x
y
x
y
，
令
2
1
0
2
0
x
y
x
y
得
3
1
x
y
，故直线过定点
(3, 1)
Q
.
所以d 的最大值为PQ ．
因为
0,3
P
，
(3, 1)
Q
，
所以
2
2
0
3
3 1
5
PQ
.
故答案为：5
25.不论k 为任何实数，直线
2
1
3
11
0
k
x
k
y
k
恒过定点，若直线
2
mx
ny
过此定点其m，n 是
正实数，则3
1
2
m
n
的最小值是
.
【答案】27
4 /6.75
【分析】根据题意求出
,
m n 的关系，然后利用基本不等式求出3
1
2
m
n
的最小值.
【详解】直线
2
1
3
11
0
k
x
k
y
k
即
2
1
3
11
0
x
y
k
x
y
，
由题意
2
1
0
3
11
0
x
y
x
y
，解得
2
3
x
y
，即直线恒过点
2,3 ，
因为直线
2
mx
ny
过此定点，其中m，n 是正实数，所以2
3
2
m
n
，
则
3
1
1
3
1
1
3
9
2
3
6
2
2
2
2
2
n
m
m
n
m
n
m
n
m
n
1 15
9
27
2
2
2
4
n
m
m
n
，当且仅当9n
m
m
n
即
2
3
3
m
n
时取等号，
所以3
1
2
m
n
的最小值是27
4 .
故答案为：27
4
26.已知直线l 的方程为：
2
1
1
7
4
0
m
x
m
y
m
(1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；
(2)过点M 引直线1l ，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求1l 的方程．
【解析】（1）证明：由
2
1
1
7
4
0
m
x
m
y
m
可得：
2
7
4
0
m
x
y
x
y
，
令
2
7
0
3
4
0
1
x
y
x
x
y
y
，
所以直线l 过定点
3,1
M
．
（2）由（1）知，直线1l 恒过定点
3,1
M
，
所以设直线1l 的方程为
3
1
0
y
k x
k
，
令
0
x
，则
1 3
y
k ；令
0
y
，则
1
3
x
k ，
所以
1
1
1
1
1 3
3
9
6
2
2
S
k
k
k
k
1
1
2
9
6
6
2
k
k
，
当且仅当
1
9k
k
，即
1
3
k
时，三角形面积最小，
此时1l 的方程为
3
6
0
x
y
．
27.已知直线l 过定点
2,1
P
，且交x 轴负半轴于点A、交y 轴正半轴于点B．点O 为坐标原点．
(1)若AOB
的面积为4，求直线l 的方程；
(2)求OA
OB
的最小值，并求此时直线l 的方程．
【解析】（1）由题意得：直线l 的斜率存在，设为
0
k
，
则直线方程为
1
2
y
k x
，
令
0
x
，得y=2k+1；令
0
y
，得
1
2
x
k
，
所以
1
1
1
2
1
2
4
2
2
AOB
S
OA OB
k
k
，
解得
1
2
k
，
此时直线方程为
1
1
2
2
y
x
，即
2
4
0
x
y
；
（2）OA
OB
1
1
1
2
2
1
2
2
1
2
2
3
2 2
3
k
k
k
k
k
k
，
当且仅当1
2k
k
，即
2
2
k
时，等号成立，
所以OA
OB
的最小值为2 2
3
，此时直线方程为
2
1
2
2
y
x
，
即
2
2
2 2
2
0
x
y
.
28.已知圆C ：
2
2
2
4
20
0
x
y
x
y
，直线l ：
1
1
4
2
0
m
x
m
y
m
．
(1)证明：直线l 恒过定点．
(2)设直线l 交圆C 于A ，B 两点，求弦长AB 的最小值及相应m 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)弦长AB 的最小值为4 5 ，对应m 的值为1
3 ．
【分析】（1）先整理直线方程可得
4
2
0
x
y
m
x
y
，由
4
0,
2
0,
x
y
x
y
即可得解；
（2）先设圆心C 到直线l 的距离为d ，要使直线l 被圆C 截得的线段长度最小，则需d 最大，
当直线CP 垂直于直线l 时，d 取得最大值，最大值为CP 的线段长度，根据垂直求得
1
3
m
，结合距离公
式和弦长公式即可得解.
【详解】（1）直线l 的方程可化为
4
2
0
x
y
m
x
y
，
联立
4
0,
2
0,
x
y
x
y
解得
3,
1,
x
y
故直线l 恒过定点
3,1
P
．
（2）
2
2
2
4
20
0
x
y
x
y
可化为
2
2
1
2
25
x
y
，则圆心为
1,2
C
，
= 5
r
．
设圆心C 到直线l 的距离为d ，要使直线l 被圆C 截得的线段长度最小，则需d 最大，
当直线CP 垂直于直线l 时，d 取得最大值，最大值为CP 的线段长度．
因为
1
2
1
3 1
2
PC
k
，所以
1
1
1
2
1
m
m
，解得
1
3
m
．
由两点间距离公式可得
2
2
3 1
1 2
5
CP
，
所以直线l 被圆C 截得的最短弦长为2 25
5
4 5
．
综上，弦长AB 的最小值为4 5 ，对应m 的值为1
3 ．
