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2.4 圆的方程
【题组一 圆的方程】
1．（2020·江苏如东高一期中）已知两点 ，以线段 为直径的圆的方程为
________________.
【答案】
【解析】由题得圆心的坐标为（1,0），|MN|=
所以圆的半径为 所以圆的方程为 .故答案为
2．（2020·江苏建邺.高一期中）已知圆 圆心为 ， 为坐标原点，则以
为直径的圆的标准方程为_____.
【答案】
【解析】圆 的标准方程为 ，则点 ，
线段 的中点为 ，且 ，
因此，以 为直径的圆的标准方程为 .
故答案为： .
3．（2020·景东彝族自治县第一中学高一月考）圆C的圆心为点 ，且经过点 ，则圆C的方
程为________.
【答案】
【解析】由于圆C的圆心为点 ，且经过点 ，
圆的半径为 ，则 ,
所以圆的方程为 ，故答案为： .
4．（2020·全国高二）圆心为 且经过点 的圆的方程为________.
【答案】
【解析】圆心为 ,则圆的半径为: ，
所以所求的圆的方程为: ，
故答案为: .
5．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三二模（理））经过点 且圆心在直线 上的圆的
方程是____.
【答案】
【解析】设圆的方程为
因为圆心 在直线 上，得 ，
所以可得圆的方程为 ，
因为圆经过点 ，
所以 ，解得 ，
因此，所求圆的方程为 ，
故答案为 ．6．（2018·甘肃武威十八中课时练习）过三点 、 、 的圆的方程为
____________________.
【答案】 .
【解析】点 、 的中点为（2，5）， ，中垂线为x=2.
点 、 的中点为 ， ，所以 ,中垂线为x-7y+5=0.
两直线交点为圆心D（2，1），r=AD=5.所以圆的方程为 ，也即
.填 .
【题组二 根据圆的方程求参数】
1．（2020·天津南开。高三二模）方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的一个充分不必要条件是（ ）
A．k∈(﹣∞，﹣2)∪(2，+∞) B．k∈(2，+∞)
C．k∈(﹣2，2) D．k∈(0，1]
【答案】D由x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0，得 ，
若方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆，则 0，即﹣2＜k＜2.
∴A，B为方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的既不充分也不必要条件，C为充要条件，
而（0，1] （﹣2，2），则D为充分不必要条件.故选：D.
2．（2020⊂·包头市田家炳中学高二期中）方程x2+y2+ax﹣2by+c＝0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，
则a，b，c的值依次为（ ）
A．4、2、4 B．﹣4、2、4 C．﹣4、2、﹣4 D．4、﹣2、﹣4
【答案】B
【解析】x2+y2+ax﹣2by+c＝0可化为：，解得 故选：B
3．（2020·河北新华.石家庄二中高二月考）圆 的圆心到直线 的距
离为2，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】圆的标准方程是 ，圆心为 ，
∴ ，解得 ．故选：B.
4．（2020·全国高二课时练习）若方程 表示圆，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题 ，则 解得 故选：A
5．（2020·梅河口市第五中学高一月考）若 ，则方程
表示的圆的个数为______．
【答案】1
【解析】方程 即方程 ，
可以表示以 ， 为圆心、半径为 的圆．
当 时，圆心 、半径为0，不表示圆．当 时，圆心 、半径为1，表示一个圆．
当 时，圆心 ， 、 ，不表示圆．
当 时，圆心 ， 、 ，不表示圆．
综上可得，所给的方程表示的圆的个数为1，
故答案为：1．
【题组三 点与圆的位置关系】
1．（2020·苏州市相城区陆慕高级中学高一月考）若点 在圆 的内部，则实数a的
取值范围是( )
A．( 1,1) B．(0,1) C． D．
【答案】A
【解析】因为点 在圆 的内部，则 ，解得 .故选
A.
2．（2020·西夏.宁夏大学附属中学高一期末）若M（x，y）为圆x2+y2=r2（r＞0）上一点，则直线
0 0
xx+yy=r2与该圆的位置关系为（ ）
0 0
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
【答案】A
【解析】因为M（x，y）为圆x2+y2=r2（r＞0）上一点，所以
0 0
因此圆心O到直线xx+yy=r2距离为 ，即直线xx+yy=r2与该圆相切，选A.
0 0 0 0
3．（2020·浙江高三月考）已知 ， ， 为单位圆 上的三点，有
， ，则 （ ）A．0 B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】因为 ， ， 为单位圆 上的三点，
所以原点 是△ 的外心，
又因为 ， ，
所以原点 是△ 的重心，
所以△ 是正三角形，
该题为选择题，可以用特殊点来求解，
取 ，
此时 ，
故选：B.
4．（2020·江苏淮安.高一期中）若坐标原点在圆 的内部，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】把原点坐标代入圆的方程得:
解得： 本题正确选项：
5．（2018·安徽太湖.高二月考）对于任意实数 ，点 与圆 的位置关系的所有可
能是（ ）
A．都在圆内 B．都在圆外 C．在圆上.圆外 D．在圆上.圆内.圆外【答案】B
【解析】把点 代入圆 方程，得 ，所以点P在
圆外，选B.
5．（2020·盐城市伍佑中学高一月考）若曲线 上所有的点均在第二象
限内，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由曲线方程可知：曲线 是圆心为 ，半径为 的圆
曲线 上所有的点均在第二象限内 ，解得：
的取值范围是 本题正确选项：
【题组四 对称问题】
1．（2019·四川西昌.高二期中（理））圆 关于直线 对称的圆的标
准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意有，圆 的圆心C ，半径为3，设所求圆的圆心为 ，
由圆C和圆C’关于直线l对称得，点C和点C’关于直线l对称，
则 ，解得 ，
则所求圆的标准方程是 ．故选：A．2．（2019·全国专题练习）已知圆C经过点 ,若圆C上存在点B与点A关于直线 对称,且圆心
为 ,则圆C半径为
A． B． C．10 D．20
【答案】B
【解析】圆C上存在点B与点A关于直线 对称,则直线 经过圆心 ,所以 ,
所以圆C半径 ,故选B.
3．已知圆 ，圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，设圆 的圆心为 ，
圆 ，其圆心为 ，半径为 ，
若圆 与圆 关于直线 对称，
则点 与 关于直线 对称，且圆 的半径为 ，
则有 ，解可得 ，
则圆 的方程为 ，故选B。
4．（2019·湖北襄阳.高二期末（理））点 是圆 上的不同两点，且点关于直线 对称，则该圆的半径等于（ ）
A． B． C．3 D．1
【答案】C
【解析】圆 的圆心坐标 ，
因为点M，N在圆 上，且点M，N关于直线l：x-y+1=0对称，
所以直线l：x-y+1=0经过圆心，
所以 ，k=4．
所以圆的方程为： 即 ，圆的半径为3．
故选C．
【题组五 求轨迹方程】
1．（2019·绍兴鲁迅中学高二期中）当点 在圆 上变动时，它与定点 的连线 的中
点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 中点的坐标为 ，则 ，
因为点 在圆 上，故 ，整理得到 .
故选：D.
2．（2020·平罗中学高二月考（理））当点 在圆 上变动时，它与定点 的连结线段
的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解析】设 ，线段 的中点为 ，（如图）
则 即 ，
点 在圆 上变动，即
即 故选：B
3．（2020·全国高三一模（文））已知圆 ， ， 是圆上两点，点 且 ，
则线段 中点 的轨迹方程是______.
【答案】
【解析】如图所示， 是线段 的中点，则 ，因为 ，于是 ，
在 中， ， ， ，
由勾股定理得 ，
整理得 的轨迹是 .
故答案为：
