文档文本内容
四
专题
概率统计
第八讲 计数原理与概率
1.【解答】解：由题意知，先将2 名语文老师分到两个校区，有2 种方法，
第二步将3 名数学老师分成2 组，一组1 人另一组2 人，有
种分法，然后再分到两个校区，共有
种
方法，
第三步只需将其他3 人分成2 组，一组1 人另一组2 人，由于每个校区各4 人，故分组后两人所去的校区
就已确定，共有
种方法．
根据分步乘法计数原理共有
种．
故选：
．
2.【解答】解：6 位同学参加接力赛跑，先考虑
和
的顺序不能相邻，其他四人的顺序数为
种，
和
进行插空共有
种，在所有符合条件的排序中，
要安排在
之前与
要安排在
之后的数量一
样多，所以，符合要求的顺序有
种．
故选：
．
3.【解答】解：第一类，4 个小球放到4 个盒子，每个盒子放一个小球，有
种，
第二类，4 个小球放到2 个盒子里，每个盒子两个小球，且小球编号只能为1，3 或2，4，故有
种，
第三类，4 个小球放到3 个盒子，其中一个盒子放2 个小球，且小球编号为1，3 或1，4 或2，4，故有
种．
故有
种．
故选：
．
4.【解答】解：由已知可得
，
选项
：各项的二项式系数和为
，故
正确，
选项
：令
，则各项系数和为
，故
正确，
选项
：因为
，则展开式的第4 项与第5 项的二项式系数最大，故
正确，
选项
：展开式的通项公式为
，
令
，且
，1，
，7，则
，2，4，6，所以有理项共有4 项，故
错误，
故选：
．
5.【解答】解：令
，则
，即选项
正确；
，其展开式的通项公式为
，
所以
，
，
所以
，即选项
错误；
同理可得，
，
，
，
，
所以
，即选项
正确；
当
时，
，
其中前6 项均可以被2000 整除，只有最后一项为1 不能被2000 整除，所以余数为1，即选项
正确．
故选：
．
6.【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于
，若
，
为互斥事件，则
，则
（A）
（B）
，
正确；
对于
，若
，
为互斥事件，则事件
不会同时发生，则
一定发生，则
，
错误；
对于
，若
，
相互独立，
，则
（A ）
（B ）
，
正确；
对于
，若
，即
，解可得
，则
（B ）
，
故
，
正确．
故选：
．
7.【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于
，甲箱中有3 个红球和2 个白球，则
，
正确；
对于
，
，
，
，
（B）
，
正确；
对于
，
，
错误；
对于
，
，
正确．
故选：
．
8.【解答】解：奖品在1 号箱，甲选择了1 号箱，主持人可打开2，3，4 号箱，
则
；
若奖品在1 号箱，其概率为
，抽奖人更改了选择，则其选中奖品所在箱子的概率为0；
若奖品不在1 号箱，其概率为
，
主持人随机打开不含奖品的两个箱子中的1 个，若此时抽奖人更改选择，其选中奖品所在箱子的概率为
；
若抽奖人更改选择，其中奖的概率为
．
故答案为：
；
．
【精选练习】
9.【解答】解：由已知可得：从10 个大小一样的小球中任意取出3 个，至少含有两种不同的颜色的小球的
取法共有
，
故选：
．
10.【解答】解：根据题意，分4 种情况讨论：
①甲乙都不参加志愿活动，在剩下4 人中任选3 人参加即可，有
种选拔方法，
②甲参加乙不参加志愿活动，甲只能参加
项目，在剩下4 人中任选2 人参加
、
项目即可，有
种选拔方法，
③乙参加甲不参加志愿活动，乙只能参加
项目，在剩下4 人中任选2 人参加
、
项目即可，有
种选拔方法，
④甲乙都参加志愿活动，甲只能参加
项目，乙只能参加
项目，在剩下4 人中任选1 人参加
项目，有
种选拔方法，
则有
种选拔方法；
故选：
．
11.【解答】解：选项
：令
，则
，故
正确，
选项
：展开式中含
的项为
，展开式中含
的项为
，
所以
，
，令
，则
，
所以
，故
错误，
选项
：二项式
，
令
，则
，
所以
，故
错误，
选项
：对已知关系式两边同时求导可得：
，
令
，则
，故
正确，
故选：
．
12.【解答】解：对于
：因为
（A）
（B），所以
与
不独立，故
错误；
对于
：若
，
相互独立，则
，故
错误；
对于
：因为
，所以
（B）
，故
错误；
对于
：若
，则
（B）
，所以
，故
正确．
故选：
．
13.【解答】解：
，所以
错误；
，故
，所以
正确；
，所以
正确；
由题意可得，
，
所以
，
，所以
，所以
错误．
故选：
．
14.【解答】解：根据题意，记事件
视频是“
”合成，事件
视频被鉴定为“
”，
则
（A）
，
（A）
，
，
，
，
，
则
（B）
（A）
，
故
．
故选：
．
第九讲 随机变量及其分布
1.【解答】解：（1）设顾客第次摸到红球为
，
则
；
（2）由题意知，
，
，
，
，
因此，顾客分别获一、二、三等奖的概率分别为
、
、
；
（3）由（2）可知，顾客抽奖一次获奖的概率为
，
则
，
所以
，
，
，
，
则
分布列为：
0
1
2
3
所以
．
2.【解答】解：（1）依题意
服从超几何分布，且
，
，
，
故
；
（2）当
时，
，
当
时，
，
记
，
则
，
由
，
当且仅当
，
则可知当
时，
；
当
时，
，
故
时，
最大，
所以
的估计值为6666．
3.【解答】解：（1）由题得
，
，
由条件概率公式可知
；
（2）由题知，
的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
则
，
，
，
，
，
，
，
所以
的分布列如下：
0
1
2
3
4
5
6
所以
．
4.【解答】解（1）设小明采用策略一的得分为
，则
，2，3，
故
，
，
，
所以
，
设小明采用策略二的得分
，则
，4，6，
故
，
，
，
所以
，
故小明分别采取策略一和策略二的得分的期望分别为
和
；
（2）设小明选择策略一的得分为
，则
，4，6，
所以
，
，
，
则
，
设小明采用策略二的得分为
，则
，6，
所以
，
，
则
，
所以
，
故小明应选择策略一．
5.【解答】解：（1）抽取的200 名考生数学成绩的方差估计值为：
．
故估计这20000 名考生数学成绩方差为150，标准差
．
（2）由（1）知
可用
来估计，
可用
来估计．故
．
．
又
，
故
．
又
，
所以
．
故这20000 名考生中成绩在
，
的人数服从二项分布
，约为
．
【精选练习】
6.【解答】解：对于
，由题
，故
错误；
对于
，由题随机变量
的所有取值为：0，1，2，
则
，
，
，
所以
，故
正确；
对于
，因为
，则
，故
正确；
对于
，因为
，又
，
所以由正态分布的
准则知
为定值，故
正确．
故选：
．
7.【解答】解：对于
，由题意
，则
，
，
所以
，故选项
错误；
对于
，由
，
，
，
又
，则
，
，
所以
，
，故选项
错误；
对于
，因为
，
所以
，
又
，所以
，
所以
，故选项
正确；
对于
，
，则
，
设当
时概率最大，
则有
，即
，
解得
，由
，所以当
时概率最大，
则
，
即
随
的增大先增大后减小，故
选项正确．
故选：
．
8.【解答】解：记事件
为每局比赛“甲获胜”，
记事件
为每局比赛“乙获胜”，
记事件
为甲运动员恰好在第4 局比赛后赢得比赛，
则事件
包括事件
，
两种情况，
则
（C）
（B）
（A）
；
每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，
即
，由题意得
的所有可能取值为2，4，5，
则
，
，
，
所以
的分布列为：
2
4
5
所
以
的
期
望
，
因为
，所以
，
当且仅当
时等号成立，所以
，
所以
，
故
的最大值为
．
故答案为：
．
9.【解答】解：（1）由题可知
，
因为
，所以当
时，
的最小值为
；
（2）由题设知，
的可能取值为1，2，3，4，
①当
时，相应四次接收到的信号数字依次为0101 或1010，
所以
，
②当
时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，
或1100，或0011，
所以
，
③当
时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000，
所以
，
④当
时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111，
所以
，
所以
的分布列为：
1
2
3
4
期望
．
第十讲 统计与成对数据的统计分析
1.【解答】解：运动员甲特训的成绩从小到大排序为：8，9，12，12，13，16，16，16，18，20，众数
为16，故
错误；
平均数为：
，故
正确；
中位数为：
，故
正确；
，
则第85 百分位数为18，故
错误．
故选：
．
2.【解答】解：（1）
，
，
，
．
（2）由题意
，
，
所以
关于
的经验回归方程为
，
所以预测2024 年2 月份该公司的销售金额为
万元．
3.【解答】解：（1）
，
，
所以回归方程为
；
（2）设投入
万元生产食品淀粉，
万元生产药用淀粉，
所以
，
设
，则
，
易得
在
上单调递增，
上单调递减，
所以
，
又因为
，所以年收益最大值约为36.5 万元．
4.【解答】解：（1）经验回归方程②的残差数据如下表：
5
7
9
11
200
298
431
609
20
21
经验回归方程②的残差图如图所示：
经验回归方程①更适宜作为
关于
的回归方程．
理由1：经验回归方程①这4 个样本点的残差的绝对值都比经验回归方程②的小．
理由2：经验回归方程①这4 个样本的残差点落在的带状区域比经验回归方程②的带状区域更窄．
理由3：经验回归方程①这4 个样本的残差点比经验回归方程②的残差点更贴近
轴．
（2）（ⅰ）每件产品为优等品的概率
，
则
，所以
，
由
，所以
；
（ⅱ）总成本估计值
（万元），由（ⅰ）知总利润为216 万元，
则
．
5.【解答】解：（1）根据题目所给数据得到如下
的列联表：
优级品
非优级品
甲车间
26
24
乙车间
70
30
零假设
：根据
的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，
，
有
的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；
零假设
：根据
的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，
，没有
的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．
（2）由题意得
，
，
所以
，故有优化提升．
6.【解答】解：对于
，因为众数为22、中位数为24，所以22 出现了两次，
若有一天低于22，则中位数不可能为24，所以另两个数据均大于24（且不相等），
故甲地一定进入夏季，故
正确；
对于
，若乙地区的数据从小到大依次为18、23、25、26、28，
满足中位数为25，平均数为24，但是乙地不一定进入夏季，故
错误；
对于
，若丙地区的数据从小到大依次为18、22、22、22、26，满足平均数为22，众数为22，
但是丙地不一定进入夏季，故
错误；
对于
：设其余4 个数据分别为
、
、
、
（正整数），
则方差
，
所以
，
若正整数
、
、
、
中有一个数据小于22，
则
，不符合题意，
故正整数
、
、
、
均不小于22，丁地区进入夏季，故
正确．
故选：
．
7.【解答】解：对于
选项：随着变量
的增加，变量
也在增加，故变量
和变量
成正相关，即样本相
关系数为正数，正确；
对于
选项：因为
，故
比
的拟合效果好，正确；
对于
选项：回归方程可预测2024 年的能源消费总量，不可准确预测，错误；
对于
选项：由回归方程必过样本中心点，可知
，正确．
故选：
．
8.【解答】解：由频率分布直方图可得
，解得
，故选项
正确；
作业完成比率在区间
，
的频率为
，
所以作业完成比率在区间
，
的学生有
（人，故选项
错误；
作业完成比率在区间
，
的频率为
，作业完成比率在区间
，
的频率为
，
作业完成比率在区间
，
的频率为
，作业完成比率在区间
，
的频率为
，
因为
，所以，全校学生作业完成比率的中位数在区间
，
内，设中位数为
，则
解得
，
所以，估计全校学生作业完成比率的中位数约为
，故选项
正确；
由频率分布直方图可得，
，
所以，估计全校学生作业完成比率的平均值为
，故选项
正确．
故选：
．
9.【解答】解：（1）证明：
所以
．
（2）将该班参加考试学生成绩的平均数记为
，方差记为
，
则
，
所以
，
又
，所以
．
即该班参加考试学生成绩的平均数为96 分，标准差约为18 分．
（3）由（2）知
，
，所以全年级学生的考试成绩
服从正态分布
，
，
所以
，
，
，
．
故可将
定为
等级，
定为
等级，
定为
等级，
定为
等级．
微专题9 马尔科夫链
1.【解答】解：（1）设第2 次投篮的人是乙的概率为
，
由题意得
；
（2）由题意设
为第
次投篮的是甲，
则
，
，
又
，则
是首项为
，公比为0.4 的等比数列，
，即
，
第次投篮的人是甲的概率为
；
（3）由（2）得
，
当
时，
，
综上所述，
，
．
2.【解答】解：（1）甲每轮游戏的积分可能为0 分、1 分、2 分，
记其每轮积分为0 分、1 分、2 分的概率分别为
，
（1），
（2），
则
，
经过4 轮游戏，甲的累计积分为4 分的所有可能情况如下：
4 轮中甲掷2 轮，且每轮积分均为2 分，
4 轮中甲掷3 轮，每轮积分分别为2 分，1 分，1 分，
甲掷4 轮，每轮积分均为1 分，
所以经过4 轮游戏，甲的累计积分为4 分的概率
；
（2）
证明：记“累计积分之和为
”为事件
，“累计积分之和为
”为事件
，
“累计积分之和为
”为事件
，
则
，
则
，
又
，
所以
是首项为
，公比为
的等比数列；
由
得，当
时，
，
累加得
，
因此
，当
，
为奇数时，
单调递增，且
，
当
且
为偶数时，
单调递减，且
，
则当
时，
最大，即甲选择6 分对自己最有利．
3.【解答】解：（1）
，
，
记
，
则
，
相减得：
，
由题意：
；
（2）
，
解得：
；
期待在
次试验后，首次出现连续
次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数
为
；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是
，此时总的试验次数为
，
即
，
整理得：
，即
，
所以
，由（1）知
，
代入得：
．
4.【解答】解：由题意，当投掷3 次骰子后，球在甲手中，共有4 中情况：
①：甲
甲
甲
甲，其概率为
，
②：甲
甲
乙
甲，其概率为
，
③：甲
乙
甲
甲，其概率为
，
④：甲
乙
丙
甲，其概率为
，
所以投掷3 次后，球在甲手中的概率为
，
，
设投掷
次后，球仍在乙手中的概率为
，
所以当
时，
，
，
所以
，
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，
，
所以
，
符合该式，
所以
．
故答案为：
．
【精选练习】
5.【解答】解：（1）由题可知2 号盒子里有2 个红球的概率为
；
（2）由题可知，
可取1，2，3，
，
，
，
所以3 号盒子里的红球的个数
的分布列为：
1
2
3
（3）记
为第
号盒子有三个红球和一个白球的概率，则
，
为第
号盒子有两个红球和两个白球的概率，则
，
则
第
号
盒
子
有
一
个
红
球
和
三
个
白
球
的
概
率
为
，
且
，
化解得
，
得
，
而
，则数列
为等比数列，首项为
，公比为
，
所以
，
又由
，求得
，
因此
．
6.【解答】解：（1）设进行完3 轮答题时，得1 分的次数为
，
．
，
，1，2，3，
随机变量
表示甲同学的总分，其可能取值为3，4，5，6，
，
，
，
，
所以
的分布列为：
3
4
5
6
；
（2）①当
时，即累计得分为1 分，是第一轮抢答得1 分，
，则
，
累计得分为
分的情况分两种：
，即累计得分为
分，又一轮抢答得2 分，其概率为
．
，即累计得分为
分，又一轮抢答得1 分，其概率为
．
则
，所以
，3，
，
．
所以数列
，2，
是首项为
，公比为
的等比数列．
所以
．
②由①得
，
，
，
，
各式累加得：
．
而
，所以
．
所以获得冠军的概率：
．
所以获得亚军的概率为：
．
微专题10 极大似然估计
1.
【
解
答
】
解
：
（
1
）
线
上
同
学
平
均
分
分；
线下同学平均分
分；
又200 名同学，线上人数占
，线下人数占
，
所以所有200 名同学的平均分
分．
（2）线上同学成绩良好人数为
人，
线下同学成绩良好人数为
人，
所以抽取数学成绩为良好，且
，故线下的可能性大．
（3）由线下成绩中等同学人数为
人，其它同学90 人，
所以从线下学生中随机抽取10 名同学，抽到
个学生的成绩为中等的概率
，
且
，
要使
最大，则
，即
，
所以
，则
，
故
．
2.【解答】解：对于
，设质点
次移动中向右移动的次数为
，显然每移动一次的概率为
，则
，
，所以
，故
正确；
对于
，由（1）知，
，
，又
，
所以
，故
正确；
对于
，由
可知，
，
，
，
当
为偶数时，
中间的一项
取得最大值，即
时概率最大，此时
，
所以质点最有可能位于位置0；
当
为奇数时，
中间的两项
取得最大值，即
或
时概率最大，此时
或
，
所以
，且质点最有可能位于位置
或1．
故选：
．
3.【解答】解：（1）设小张回答
类题 正确的概率为
（A），
小张回答
类题正确的概率为
（B），
小张在题中任选一题，回答正确的概率为
，
由题意可得
（A）
，
（B）
，
，
小张在题库中任选一题，回答正确的概率为0.6．
（2）由（1）可得
，
设
，即
，
，即
，
解得
，
，
时，
最大．
【精选练习】
4.【解答】解：（1）某人答对每道题的概率都是
，则答对题目的个数
服从二项分布，
即
，
，
由于每道题答对得5 分，所以此人答题得分为
，因此在此项测试中，此人答题得分的期望为
．
（2）设此人答对
道题的可能性为
，
，1，
，8，
，
，2，
，8，
，
当
时，
，
随
的增加而增加，即
，
当
时，
，随
的增加而减小，即
，
所以当
时，
最大，因此此人答对2 道题的可能性最大．
5.【解答】解：（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件
，“回答正确”为事件
，
由题意可知：
，
则
，
所以
；
（2）由（1）可知
，则
，
所以
，
令
，则
，
当
，解得
，可知当
，可得
，
当
，解得
，可知当
，可得
，
当
，解得
，可得
，
所以当
或
时，
最大，即
为7 或8 时，
的值最大．
跨章节综合4 概率与数列
1.【解答】解：（1）若执行规则
，抛掷次数恰为1 次的概率
；
（2）证明：若执行规则
，抛掷次数
的所有可能取值为1，2，3，
，
则
，
，
，
，
记
①，
，
①
②
，
，
．
【精选练习】
2.【解答】（1）解：一位顾客中奖的概率为
，
仅有最后一位顾客中奖的概率
；
（2）证明：由题可知，
的所有可能取值为0，1，2，
，
，
则
，
，
令
，
则
，
两式相减得：
．
跨章节综合5 概率与导数
1.【解答】解：（1）
，
时，设这4 颗番石榴的位置从第1 颗到第4 颗排序，有
（种不
同排法，
要摘到最大的那颗番石榴，有以下两种情况：
①最大的番石榴是第3 颗，其他的番石榴在任意的位置，共有
（种不同排法；
②最大的番石榴是第4 颗，第二大的番石榴是第1 颗或第2 颗，其他的番石榴任意排法，有
（种
不同排法；
综上，所求的概率值为
；
（2）记事件
表示最大的番石榴被摘到，事件
表示最大的番石榴排在第颗，
因为最大的番石榴出现在各个位置上的概率相等，所以
，
以给定所在位置的序号为条件，则
（A）
，
当
时，最大的番石榴在前
颗番石榴内，不会被摘到，此时
；
当
时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前
颗番石榴中的最大的一颗在前
颗番石榴中时，此
时
；
由全概率公式知，
（A）
；
设
，其中
，
为常数；则
，
令
，得
，
所以，当
时，
，
单调递增；当
，
时，
，
单调递减，
所以
的最大值为
；
所以，当
时，
（A）
取得最大值，最大值为
，此时
；
所以
的最大值为
，此时
．
2. 【解答】解：（1 ）根据频率分布直方图相关知识可得
，
．
样本平均数的估计值为
．
（2）
，
，
．
能参加复试的人数约为
（人．
（3）由题意有
．
答对两道题的概率
．
而
．
令
，则
，
令
时，
，
时，
，
在
内单调递增，
当
时，
，
在
内单调递减，
当
时，
．
故概率
的最小值为
．
3.【解答】解：（1）因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为
，所以这10 人中，
购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：
，
，
，
故随机抽取的4 人中恰有2 人购买单程上山票的概率
．
（2）
从
人中任选2 人，有
种选法，其中购票类型相同的有
种选法，则询问的某组被
标为
的概率
．
由题意，5 组中恰有3 组被标为
的概率
，
所以
，
，
所以当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
所以当
时，
取得最大值，且最大值为
．
由
，
且
，得
．
当
时，5 组中恰有3 组被标为
的概率最大，且
的最大值为
．
