文档内容
专题4.2 等差数列
知识储备
知识点一 等差数列的概念
思考1 给出以下三个数列：
(1)0,5,10,15,20.
(2)4,4,4,4，….
(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.
它们有什么共同的特征？
【答案】从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.
思考2 你能从上面几个具体例子中抽象出一般等差数列的定义吗？
【答案】如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零.
知识点二 等差中项的概念
思考1 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0.
【答案】插入的数分别为3,2，，0.
思考2 如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，试用x，y表示A.
【答案】∵x，A，y组成等差数列，
∴A－x＝y－A，∴2A＝x＋y，
∴A＝.
知识点三 等差数列的通项公式
思考1 对于等差数列2,4,6,8，…，有a －a ＝2，即a ＝a ＋2；a －a ＝2，即a ＝a ＋d＝a ＋
2 1 2 1 3 2 3 2 1
2×2；a－a＝2，即a＝a＋d＝a＋3×2.
4 3 4 3 1
试猜想a＝a＋( )×2.
n 1
【答案】n－1
思考2 若一个等差数列{a}，首项是a，公差为d，你能用a 和d表示a 吗？
n 1 1 n
【答案】a＝a＋(n－1)d.
n 1
知识点四 等差数列通项公式的推广
思考1 已知等差数列{a}的首项a 和公差d能表示出通项a ＝a ＋(n－1)d，如果已知第m项a 和
n 1 n 1 m
公差d，又如何表示通项a
n?
【答案】设等差数列的首项为a，则a ＝a＋(m－1)d，
1 m 1
变形得a＝a －(m－1)d，
1 m
则a＝a＋(n－1)d＝a －(m－1)d＋(n－1)d
n 1 m
＝a ＋(n－m)d.
m
思考2 由思考1可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
【答案】等差数列通项公式可变形为a ＝dn＋(a －d)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，
n 1a)，(n，a)，(m，a )都是这条直线上的点.d为直线的斜率，故两点(1，a)，(n，a)连线的斜率d＝.
1 n m 1 n
当两点为(n，a)，(m，a )时，有d＝.
n m
知识点五 等差数列的性质
思考1 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？
【答案】利用1＋100＝2＋99＝….
思考2 推广到一般的等差数列，你有什么猜想？
【答案】在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a ＋a ＝a
1 n 2
＋a ＝a＋a ＝….
n－1 3 n－2
注意到上式中的序号1＋n＝2＋(n－1)＝…，
有：在等差数列{a}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a ＋a ＝a ＋a.特别地，若m＋n＝
n m n p q
2p，则a＋a ＝2a.
n m p
知识点六 由等差数列衍生的新数列
思考 利用等差数列的定义，尝试证明下列结论：
若{a}、{b}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
n n
数列 结论
{c＋a} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
n
{c·a} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
n
{a＋a } 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
n n＋k
{pa＋qb} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
n n
此处以{a＋a }为例.
n n＋k
(a ＋a )－(a＋a )＝a －a＋a －a ＝2d.
n＋1 n＋k＋1 n n＋k n＋1 n n＋k＋1 n＋k
∴{a＋a }是公差为2d的等差数列.
n n＋k
能力检测
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字
笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(
)
A．9 B．10
C．11 D．12
2．数列{a }为等差数列，它的前n项和为S ，若S ＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
n n n
A．－2 B．－ 1
C．0 D．13．已知等差数列{a }的前n项和为S ，若 ，且A，B，C三点共线(该直线不
n n
过点O)，则S 等于( )
200
A．100 B．101
C．200 D．201
4．若数列{a }的前n项和为S ＝n2－4n＋2，则|a|＋|a|＋…＋|a |等于( )
n n 1 2 10
A．15 B．35
C．66 D．100
5．设数列{a }是等差数列，若a ＋a ＋a ＝105，a ＋a ＋a ＝99，以S 表示{a }的前n项和，则使
n 1 3 5 2 4 6 n n
S 达到最大值的n是( )
n
A．18 B．19
C．20 D．21
6.设等差数列{a }的前n项和为S ，S ＝－2，S ＝0，S ＝3，则m等于( )
n n m－1 m m＋1
A．3 B．4
C．5 D．6
7．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢
管的根数为( )
A．9 B．10
C．19 D．29
8．已知命题：“在等差数列{a }中，若4a ＋a ＋a ＝24，则S 为定值”为真命题，由于印刷问
n 2 10 ( ) 11
题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( )
A．15 B．24
C．18 D．28
二、多选题
9．设等差数列{a }的前n项和为S ，公差为d.已知a＝12，S >0，a<0，则( )
n n 3 12 7
A．a>0
6
B．－ 0，a ·a <0，则使前n项和S <0的最大自然数
n 1 203 204 203 204 n
n是________．
16. 已知等差数列{a }的公差d>0，前n项和为S ，且aa＝45，S＝28.
n n 2 3 4
(1)则数列{a }的通项公式为a ＝________；
n n
(2)若b ＝ (c为非零常数)，且数列{b }也是等差数列，则c＝________.
n n
四、解答题
17．若等差数列{a }的首项a＝13，d＝－4，记T ＝|a|＋|a|＋…＋|a |，求T .
n 1 n 1 2 n n
18．在等差数列{a }中，a ＝23，a ＝－22.
n 10 25
(1)数列{a }前多少项和最大？
n
(2)求{|a |}的前n项和S .
n n
19．已知数列{a }的前n项和为S ，数列{a }为等差数列，a＝12，d＝－2.
n n n 1
(1)求S ，并画出{S }(1≤n≤13)的图象；
n n
(2)分别求{S }单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{S }的最大(或最小)的项；
n n
(3){S }有多少项大于零？
n
20．已知等差数列{a }的前n项和S ＝n2－2n，求a＋a－a＋a＋a.
n n 2 3 4 5 6
21．设S 是数列{a }的前n项和且n∈N*，所有项a ＞0，且S ＝ a＋ a － .
n n n n n
(1)证明：{a }是等差数列；
n
(2)求数列{a }的通项公式．
n
22．求等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)与{6m－3}(1≤m≤200)的公共项之和．
