3.2 椭圆的简单几何性质
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：椭圆的简单几何性质....................................................... 2
考点二：直线与椭圆的位置关系.................................................... 2
考点三：椭圆的中点弦问题.......................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：由椭圆方程求研究几何性质...............................................4
题型二：利用几何性质求椭圆方程..................................................6
题型三：求椭圆的离心率............................................................. 8
题型四：离心率取值范围........................................................... 10
题型五：直线与椭圆的位置关系...................................................12
题型六：直线与椭圆相交弦长......................................................14
题型七：椭圆的中点弦问题........................................................ 16
题型八：椭圆的实际应用........................................................... 18
题型九：椭圆的综合应用........................................................... 21
模块三：综合巩固....................................................................... 23
3.2 椭圆的简单几何性质
模块一：基础知识
考点一：椭圆的简单几何性质
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
)
0
(1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
)
0
(1
2
2
2
2
b
a
b
x
a
y
范围
a
x
a
，
b
y
b
b
x
b
，
a
y
a
对称性
关于x,y 轴、原点对称
轴长
长轴长：|A1A2|=2a；短轴长：|B1B2|=2b
顶点
,0
a
0, b
0, a
,0
b
离心率
)1
0
(
1
2
2
e
a
b
a
c
e
)1
0
(
1
2
2
e
a
b
a
c
e
离心率越接近1，则椭圆越扁；离心率越接近0，则椭圆越圆
通径
通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长
通径的大小：
a
b2
2
注意：
①.由
2
2
2
2
1
0
1
b
a
c
e
e
a
a
可知,当e 越趋近于1 时, b
a
越趋近于0,椭圆越扁；当e 越趋近于
0 时, b
a
越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当a
b
时,
0
c
,两焦点重合,图形变为圆,方程为
2
2
2
x
y
a
＋
②离心率的推导e =
c
a =
c2
a2 =
a2−b2
a2
=
a2
a2 −
b2
a2 =
1 −
b2
a2
考点二：直线与椭圆的位置关系
1．直线与椭圆的三种位置关系
类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示．
2．利用方程讨论直线与椭圆的位置关系
设直线方程为y
kx
m
＋
,椭圆方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
,由方程组
2
2
2
2
1
y
kx
m
x
y
a
b
消去一个变量,得到
关于另一个变量的一元二次方程,则有下列结论：
0
直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交；
0
直线与椭圆有且只有一个公共点⇔直线与椭圆相切；
0
直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离．
3．弦长问题
设直线l
y
kx
m
：
交椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
于点
1
1
1
2
2
2
,
,
,
P x y
P x
y
两点, 则
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
|
|
1
1
y
y
PP
x
x
y
y
x
x
k
x
x
x
x
2
1
2
1
|
|
k
x
x
同理可得
1
2
1
2
2
1
|
|
1
PP
y
y
k
可利用根与系数的关系求解
1
2
1
2
,
x
x
y
y
,常进行以下变形：
2
1
2
1
2
1
2
|
|
4
,
x
x
x
x
x x
2
1
2
1
2
1
2
|
|
4
y
y
y
y
y y
考点三：椭圆的中点弦问题
1.根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数
的关系以及中点坐标公式解决；
2.点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐
标和斜率的关系，具体如下：直线l (不平行于y 轴)过椭圆
1
2
2
2
2
b
y
a
x
(
0
b
a
)上两点A 、B ，其中AB 中
点为
)
(
0
0
y
x
P
，
，则有
2
2
a
b
k
k
OP
AB
．
证明：设
)
(
1
1
y
x
A
，
、
)
(
2
2
y
x
B
，
，则有
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
b
y
a
x
b
y
a
x
，
上式减下式得
0
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
b
y
y
a
x
x
，∴
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
a
b
x
x
y
y
，
∴
2
2
0
0
2
1
2
1
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
a
b
x
y
x
x
y
y
x
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
，∴
2
2
a
b
k
k
OP
AB
．(焦点在x 轴椭圆)
特殊的：直线l (存在斜率)过椭圆
1
2
2
2
2
b
x
a
y
(
0
b
a
)上两点A 、B ，线段AB 中点为
)
(
0
0
y
x
P
，
，则有
2
2
b
a
k
k
OP
AB
．(焦点在y 轴椭圆)
模块二：题型分类
题型一：由椭圆方程求研究几何性质
1．求椭圆
2
2
1
25
9
x
y
的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．
2.椭圆9�2 + 25�2 = 225 上的点��, �的横、纵坐标的范围分别为（
）
A．�≤3, �≤5
B．�≤
1
3 , �≤
1
5
C．�≤5, �≤3
D．�≤
1
5 , �≤
1
3
3.（多选）已知椭圆
2
2
:
1
2
11
x
y
C
，则（
）
A．椭圆C 的长轴长为2 2
B．椭圆C 的焦距为6
C．椭圆C 的短半轴长为2 11
D．椭圆C 的离心率为3 11
11
4.有关椭圆�2 + 4�2 = 16 叙述错误的是（
）
A．长轴长等于4
B．短轴长等于4
C．离心率为
3
2
D．�的取值范围是[ −4,4]
5.椭圆
2
2
1
x
my
的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（
）
A．1
4
B．
1
2
C．2
D．4
6．椭圆
2
2
1
25
16
x
y
的四个顶点所围成的四边形的面积是
.
7．（多选）已知椭圆
2
2
1
16
x
y
m
的焦距是2 3 ，则m 的值可能是（
）
A．13
B．13
C．19
D．19
8.椭圆
2
2
1
9
x
y
m
的焦距为2，则m 为（
）
A．5 或13
B．5
C．8 或10
D．8
9.若椭圆�2＋��2 = 1 的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2 倍，则m 的值为
，焦点坐标
为
．
10.椭圆�:
�2
80 +
�2
35 = 1 的长轴长与焦距之差等于（
）
A．5
B．2 5
C．2 6
D．3 6
11.若椭圆
�2
�2 +
�2
3 = 1(�> 0)的离心率为
2
2 ，则该椭圆的焦距为（
）
A．3
B．6
C．2 6或3
D．2 3或6
12．已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，右顶点为A ，上顶点为B ，点P 在C 上，
1
1
2
2
,
,
3
PF
F F AB
PF
AB
∥
，则该椭圆的长轴长为
．
13．已知椭圆C ：
2
2
1
16
7
x
y
，F 为椭圆C 的左焦点，A 为椭圆C 的右顶点，B 为椭圆C 上一点．若
4
7
AF
BF
，则AB
．
14.椭圆
2
2
1
25
9
x
y
与椭圆
2
2
1
9
25
9
x
y
k
k
k
的（
）
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
15.已知椭圆
�2
4 + �2 = 1 经过点��, �，则�2 + �2的取值范围是（
）
A．0,1
B．0,4
C．4, + ∞
D．1,4
16．（多选）中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器．如
图，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的
椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用
1
2c 和
2
2c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用
1
2a 和
2
2a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（
）
A．
1
1
2
2
a
c
a
c
B．
1
1
2
2
a
c
a
c
C．
1
2
1
2
c
c
a
a
D．
1
2
1
2
c
c
a
a
题型二：利用几何性质求椭圆方程
1.与椭圆
2
2
9
4
36
x
y
有相同焦点，且满足短半轴长为2 5 的椭圆方程是（
）
A．
2
2
1
25
20
x
y
B．
2
2
1
20
25
x
y
C．
2
2
1
20
45
x
y
D．
2
2
1
80
85
x
y
2.已知椭圆
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)的长轴长为4，离心率为
2
2 ，则该椭圆的方程为（
）
A．
�2
4 +
�2
2 = 1
B．
�2
4 + �2 = 1
C．
�2
16 +
�2
8 = 1
D．
�2
8 +
�2
16 = 1
3．已知椭圆C 过点(3,0) ，且离心率为
6
3
，则椭圆C 的标准方程为（
）
A．
2
2
1
9
3
x
y
B．
2
2
1
27
9
y
x
C．
2
2
1
9
3
x
y
或
2
2
1
3
9
x
y
D．
2
2
1
9
3
x
y
或
2
2
1
27
9
y
x
4.已知直线
2
2
0
x
y
，经过椭圆的右顶点和上顶点，则椭圆的标准方程为（）
A．
2
2
1
5
x
y
B．
2
2
1
5
3
x
y
C．
2
2
1
4
x
y
D．
2
2
1
4
3
x
y
5.已知P 是椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上一点，
1F 、
2
F 分别是椭圆的左、右焦点，若
1
2
PF F
△
的周长为6.且
椭圆的离心率为
1
2 ，则椭圆方程为（
）
A．
2
2
1
2
x
y
B．
2
2
1
4
x
y
C．
2
2
1
4
3
x
y
D．
2
2
1
3
4
x
y
6.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6．
(1)求这个椭圆的离心率；
(2)求这个椭圆的标准方程．
7.已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为1
2 ，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（
）
A．
2
2
1
4
3
x
y
B．
2
2
1
16
12
x
y
C．
2
2
1
4
x
y
D．
2
2
1
16
4
x
y
8．分别根据下列条件求椭圆标准方程：
(1)一个焦点为
3,0
2
F
a
c
，
(2)与椭圆
2
2
1
2
x
y
有相同的焦点，且经过点
3
(1, )
2
P
9.求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)经过点
3,0
P
，
0,2
Q
的椭圆标准方程.
(2)焦点在y 轴上，短轴长为12，离心率为4
5 的椭圆标准方程.
10．已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点为
1F ，
2
F ，离心率为
3
3
，过
2
F 的直线l 交椭圆于A 、B 两
点．若
1
ABF
的周长为4 6 ，则椭圆的方程为（
）
A．
2
2
1
3
x
y
B．
2
2
1
3
2
x
y
C．
2
2
1
6
4
x
y
D．
2
2
1
12
8
x
y
11．已知椭圆的方程为
2
2
1(
0)
x
y
m
n
m
n
，且离心率为
3
2
e
，则下列选项中不满足
．．．条件的为（
）
A．
2
2
1
4
x
y
B．
2
2
1
8
2
x
y
C．
2
2
1
2
x
y
D．
2
2
4
1
x
y
12.（1）求与椭圆
�2
2 + �2 = 1 有相同的焦点，且经过点1,
3
2 的椭圆标准方程；
（2）已知椭圆�2 + (�+ 3)�2 = �(�> 0)的离心率�=
3
2 ，求�的值及椭圆的长轴长､焦距､焦点坐标､顶
点坐标；
13．已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为
1
2
1 ,
,
2 A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若
1
2
2
BA BA
，则椭圆C 的方程为（
）
A．
2
2
1
16
12
x
y
B．
2
2
1
8
6
x
y
=
C．
2
2
1
4
3
x
y
D．
2
2
2
1
2
3
x
y
14.已知椭圆�的中心为原点，焦点为�1 −2,0 ，�2 2,0 ，以�1为圆心，�1�2 为半径的圆交椭圆�于�、�
两点，且∠��1�= 120°，则椭圆�的方程是（
）
A．
�2
12 +
�2
8 = 1
B．
�2
8 +
�2
12 = 1
C．
�2
16 +
�2
12 = 1
D．
�2
12 +
�2
16 = 1
15.已知椭圆�：
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 的离心率为
1
3，�1，�2分别为�的左、右焦点，�为�上一点，若△�1��2
的面积等于2，且cos∠�1��2 =
15
17，则�的方程为（
）
A．
�2
2 + �2 = 1
B．
�2
3 +
�2
2 = 1
C．
�2
9 +
�2
8 = 1
D．
�2
18 +
�2
16 = 1
题型三：求椭圆的离心率
1.如图，直线�: �−2�+ 2 = 0 过椭圆
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 的左焦点�1和一个顶点B，该椭圆的离心率为
（
）
A．
1
5
B．
2
5
C．
5
5
D．
2 5
5
2.已知椭圆E：
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 与直线�= �相交于A，B 两点，O 是坐标原点，如果△���是等边三
角形，那么椭圆E 的离心率等于（
）
A．
3
6
B．
3
4
C．
3
3
D．
3
2
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的上顶点、左焦点、右顶点分别为A，F，B，且点A 为
AFB
△
的垂心，
则椭圆C 的离心率为（）
A．
5
1
2
B．1
2
C．
2
2
D．
3
2
4．已知椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点
0,
B
b ，点P 在x 轴上，
1F B
BP
，
且
2
F 为线段
1F P 的中点，则C 的离心率为
.
5．已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点A 是椭圆短轴的一个端点，且
1
2
5
cos
6
F AF
，则椭圆的离心率为（
）
A．
1
2
B．
3
2
C．
3
6
D．
33
6
6.已知
1F ，
2
F 是椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的两个焦点，M 为C 的顶点，若
1
2
MF F
的内心和重心重合，
则C 的离心率为（
）
A．
3
3
B．
3
2
C．1
2
D．1
3
7.设椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 的左、右焦点分别为�1，�2，点�在�上，
1
2 ��1 = 5 −
1
2 ��2 ，且椭圆
过点�0,4 ，则椭圆�的离心率为（
）
A．
1
5
B．
2
5
C．
3
5
D．
4
5
8．已知P 是椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
上一点，
1
2
F F
､
分别是椭圆的左､右焦点､若
1
2
PF F
△
的周长为6，且椭
圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（
）
A．1
2
B．1
3
C．
3
2
D．
3
3
9.已知�1，�2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，��2Ԧ
ሬሬሬሬሬ⋅�1�2Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ= 0，∠��1�2 =
π
6，则C 的离心率为（
）
A．
3
3
B．
3−1
2
C．3 −1
D．3
10．已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆
的离心率为（
）
A．
2
2
B．
3
1
2
C．
5
1
2
D．
5
1
2
11.椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
的右顶点为A ，右焦点为F
B
，
为椭圆在第二象限上的点，直线BO
交椭圆E 于点C ，11 延长直线BF 交线段AC 于M
，若CM
MA
，则椭圆E 的离心率是
（
）
A．1
3
B．2
3
C．1
2
D．
2
2
12.椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的右焦点为F，过F 的直线交椭圆于A，B 两点，点C 是A 点关于原点O 的对
称点，若CF
AB
且
2
AB
CF
，则椭圆的离心率为（
）
A．3 1
B．
6
3
C．
5
2 5
D．
6
3 3
13．设椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的半焦距为c，离心率为e，已知圆O：
2
2
2
x
y
c
与C 有四个公共
点，依次连接这四点组成一个正方形，则
2e （
）
A．3 1
B．2
3
C．
2
1
D．2
2
14．已知右焦点为F 的椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上的三点A ，B ，C 满足直线AB 过坐标原点，若
BF
AC
于点F ，且
3
BF
CF
，则E 的离心率是（
）
A．
2
2
B．
7
5
C．
3
2
D．1
2
题型四：离心率取值范围
1.已知
1
2
F
F
、
是椭圆的两个焦点，满足
1
2
MF
MF
的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（
）
A．
1
0, 2
B．
2
0, 2
C．1
2
,
2
2
D．
2 ,1
2
2．若椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上存在一点M，使得
1
2
90
F MF
（
1F ，
2
F 分别为椭圆的左、右焦点），
则椭圆的离心率e 的取值范围为
.
3.设
1F ，
2
F 分别是椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点，过
2
F 作x 轴的垂线与椭圆C 交于A ，B 两点，
若
1
ABF
为钝角三角形，则离心率e的取值范围为（
）
A．0
2 1
e
B．
2
1
1
e
C．1
1
2
e
D．
1
0
2
e
4.已知椭圆
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 上一点�关于原点的对称点为点�，�为其右焦点，若��⊥��，设∠���=
�，且�∈
π
6 ,
π
4 ，则该椭圆离心率�的取值范围为（
）
A．
2
2 ,
3 −1
B．
2
2 , 1
C．
2
2 ,
3
2
D．
3
3 ,
6
3
5.椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左，右焦点分别为
1F ，
2
F ，若椭圆上存在点Q ，使
1
2
120
FQF
，则椭圆
离心率e的取值范围为（
）
A．
3
0, 2
B．
3
0, 2
C．
3 ,1
2
D．
3 ,1
2
6.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
，P 是椭圆C 上的点，
1
2
,0 ,
,0
F
c
F c
是椭圆C 的左右焦点，若
1
2
2
PF
PF
ac
恒成立，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（
）
A．
5
1,1
2
B．0,
2
1
C．
5
1
0,
2
D．
2
1,1
7．已知圆
2
2
2
1 :
C
x
y
b
与椭圆
2 :
C
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，若在椭圆
2
C 上存在一点P ，使得由点P 所作
的圆
1
C 的两条切线的夹角为60，则椭圆
2
C 的离心率的取值范围是（
）
A．
3
[
,1)
2
B．1
[ ,1)
2
C．
2
3
,
2
2
D．
2
[
,1)
2
8．设椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的焦点为
1
2
,
,
F F P 为椭圆C 上的任意一点，
1
2
PF PF
的最小值取值范围为
2
2
,3
c
c
，其中
2
2
2
a
b
c
，则椭圆C 的离心率为（
）
A．1 1
,
4 2
B．1
2
,
2
2
C．1 1
,
5 3
D．
5
3
,
5
3
9．已知两定点
( 2,0)
A
和
(2,0)
B
，动点
( , )
P x y 在直线:
3
l y
x
上移动，椭圆C 以A，B 为焦点且经过点
P，则椭圆C 的离心率的最大值为（
）
A．
26
13
B．2 26
13
C．2 13
13
D．4 13
13
10．若
1F 、
2
F 为椭圆C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
的左、右焦点，焦距为4，点P 为C 上一点，若对任意的
1,4
，
均存在四个不同的点P 满足
1
2
PF PF
，则C 的离心率e的取值范围为
.
11.已知�1，�2是椭圆
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 的左、右焦点，若椭圆上总存在点�，使得tan∠�1��2 =−2 6，
则椭圆的离心率的取值范围为（
）
A．0,
2
2
B．0,
3
5
C．
3
5 , 1
D．
15
5 , 1
12．已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的两个焦点为
1
2
,
F F ．点
,
P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且
1
2
PQ
F F
，
2
PF Q
△
的面积
2
1
8
S
PQ
，则C 的离心率的取值范围为
．
13．（多选）已知
1
2
,
F F 为椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0
a
b
)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，
2
1
2
1
2
1
4
BF BF
F F
，则椭圆的离心率的取值可以是（
）
A．1
2
B．
3
6
C．
3
3
D．
3
2
题型五：直线与椭圆的位置关系
1．求直线
3
2
2
0
x
y
和椭圆
2
2
1
4
x
y
的公共点的坐标．
2．判断直线
2
2
y
x
与椭圆
2
2
1
5
4
x
y
是否有公共点．如有两个公共点，求出公共点的坐标，并求出以
这两个公共点为端点的线段长．
3．设直线
1
y
kx
和椭圆
2
2
1
4
x
y
m
有且仅有一个公共点，求k 和m 的取值范围．
4．已知直线l ：y
x
m
与椭圆C ：
2
2
1
5
4
x
y
有公共点，则m 的取值范围是（
）
A．
2 2
,
B．
3,3
C．
, 2
2,
U
D．
, 3
3,
5.已知椭圆
2
2
:
1
4
x
C
y
，直线:
2
2
0
l x
y
，则l 与C 的位置关系为（
）
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上选项都不对
6．直线l：
2
1
1
7
4
0
m
x
m
y
m
与椭圆C：
2
2
1
18
12
x
y
的位置关系是（
）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
7.已知直线l 的方程为
2
1
mx
y
m
，椭圆C 的方程为
2
2
1
9
4
x
y
，则直线l 与椭圆C 的位置关系为（
）
A．相离
B．相交
C．相切
D．不能确定
8．已知点P（x，y）是椭圆
2
2
1
9
4
x
y
上任意一点，则点P 到直线l：
2 13
y
x
的最大距离为
.
9.直线
1
x
y
a
b
与椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的位置关系为（
）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
10.已知直线
1
y
kx
与焦点在x 轴上的椭圆
2
2
2
2
mx
y
m
总有公共点，则m 的取值范围（
）.
A．
0,1
B．1 ,2
2
C．
1 ,1
2
D．
1,2
11．直线:
2
4 0
l x
y
＋
－＝与椭圆
2
2
1
1
x
y
m
m
(m>0)有且仅有一个公共点P，则m＝
，点P 的坐标
是
.
题型六：直线与椭圆相交弦长
1.直线l ：
2
1
y
x
在椭圆
2
2
1
2
y
x
上截得的弦长是（
）
A．10
3
B．2 5
3
C．8 5
9
D．5 2
3
2.已知椭圆�:
�2
4 + �2 = 1，过原点�且倾斜角为
π
4的直线交椭圆于�, �两点，则��=（
）
A．
10
5
B．
2 10
5
C．
3 10
5
D．
4 10
5
3.过椭圆
2
2
2
2
x
y
的左焦点作斜率为1 的弦AB ，则弦AB 的长为（
）
A．
3
B．
2
C．4
3
3
D．4
2
3
4.过椭圆
2
2
1
4
x
y
的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于
,
A B 两点，则AB 等于（
）
A．4
B．2 3
C．1
D．4 3
5．（多选）已知过点
0,1 的直线与椭圆
2
2
1
2
y
x
交于A 、B 两点，则弦长AB 可能是（
）
A．1
B．
2
C．
3
D．3
6．（多选）已知椭圆
2
2
1
2
x
y
与直线y
x
m
交于
,
A B 两点，且
4 2
3
AB
，则实数m ＝（
）
A．1
B．
2
C．1
2
D．1
7.斜率为1 的直线�与椭圆
�2
4 + �2 = 1 相交于A，B 两点，则��的最大值为（
）
A．2
B．
4 5
5
C．
4 10
5
D．
8 10
5
8.已知椭圆�的中心在原点，焦点为�1( −2 3, 0)，�2(2 3, 0)，且离心率�=
3
2 ．过点�(2, −1)的直线�与
椭圆�相交于�，�两点，且�为��的中点，则弦长��=（
）
A．2 3
B．2 2
C．2 5
D．2 6
9.已知直线�: ��−�+ 1 = 0 与椭圆�:
�2
4 + �2 = 1 交于�，�两点，当��取最大值时�的值为（
）
A．±
5
2
B．±
3
2
C．±
2
2
D．±
1
2
10．已知椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
与椭圆
2
2
1
5
2
x
y
有相同的焦点，过椭圆C 的右焦点且垂直于x 轴
的弦长度为1．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)直线l：y
x
m
与椭圆C 交于A，B 两点，若
8
5
AB
，求实数m 的值．
11．直线:l y
kx
m
与圆
2
2
2
x
y
相切，并与椭圆
2
2
1
4
3
y
x
交于
,
M N 两点，若
12 2
7
MN
，求k 的
值．
12.已知椭圆C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
，
0
b
）的长轴为4 3 ，短轴长为4．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线l：y
x
m
与椭圆C 交于不同两点A、B，且
3 2
AB
，求直线AB 的方程．
题型七：椭圆的中点弦问题
1.在椭圆
�2
16 +
�2
9 = 1 中，以点�2,
3
2 为中点的弦所在的直线方程为（
）
A．�−2�+ 1 = 0
B．3�−4�= 0
C．3�+ 4�−12 = 0
D．8�−6�−25 = 0
2．椭圆
2
2
4
9
144
x
y
内有一点
3,2
P
，设某条弦过点P 且以P 为中点，那么这条弦所在直线的方程为
（
）
A．3
2
12
0
x
y
B．2
3
12
0
x
y
C．4
9
14
0
x
y
D．9
4
14
0
x
y
3．椭圆
2
2
1
12
9
x
y
内有一点
(1,2)
P
，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（
）
A．
8
3
B．
3
2
C．
2
3
D．
3
8
4.不经过原点的直线l 与椭圆
2
2
1
3
2
x
y
相交于
1P ，
2P ，线段
1
2
PP 的中点为P ，设直线l 的斜率为
1
1
(
0)
k k
，
直线OP （O 为原点）的斜率为
2k ，则
1 2
k k 的值为（
）
A．
2
3
B．
3
2
C．2
3
D．3
2
5.若椭圆
2
2
1
3
4
x
y
的动弦AB 斜率为1，则弦中点坐标可能是（
）
A．
3 4
，
B．
3 ,1
4
C．
4 3
，
D．
4 ,1
3
6.已知椭圆方程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
，其右焦点为
4,0
F
，过点F 的直线交椭圆与A ，B 两点．若AB 的
中点坐标为(
)
1, 1
-
，则椭圆的方程为（
）
A．
2
2
1
52
36
x
y
B．
2
2
1
20
4
x
y
C．
2
2
1
24
8
x
y
D．
2
2
1
25
9
x
y
7.已知倾斜角为
π
4的直线�与椭圆�:
�2
4 + �2 = 1 交于�, �两点，�为��中点，�为坐标原点，则直线��的斜率
为（
）
A．−1
B．−
1
2
C．−
1
3
D．−
1
4
8.椭圆
�2
16 +
�2
4 = 1 上的两点A，B 关于直线2�−2�−3 = 0 对称，则弦��的中点坐标为（
）
A．−1,
1
2
B．
1
2 , −1
C．
1
2 , 2
D．2,
1
2
9.已知斜率为�(�> 0)的直线�与椭圆�:
�2
16 +
�2
2 = 1 交于�，�两点，�为坐标原点，以��，��为邻边作平行
四边形����，点�恰好在�上．若线段��的中点�在直线�=−1 上，则直线�的方程为（
）
A．�−
6�+ 2 = 0
B．�−2 6�+ 4 = 0
C．6�−2�+ 1 = 0
D．�−4 6�+ 5 = 0
10．斜率为k 的直线l 与椭圆C ：
2
2
1
6
3
x
y
交于A ，B 两点，线段AB 的中点为
2,
M
m ，则k 的范围是（
）
A．
1
k
B．
1
1
3
3
k
C．
1
k 或
1
k
D．
2
2
3
3
k
11.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
M
a
b
a
b
的短半轴为3，离心率为
2
2
.
(1)求椭圆M 的方程；
(2)过
1,1
P
的直线l 交椭圆M 于
,
A B 两点，且P 为AB 的中点，求弦AB 的长度.
12．以两条坐标轴为对称轴的椭圆C 过点
2,1
P
和
0,
2
Q
，直线l 与椭圆C 相交于
,
A B 两点，M 为线
段AB 的中点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若点M 的坐标为
2 1
,
3 3
，求直线l 的方程；
13．已知椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的离心率为
2
2
，
2,1
P
是椭圆E 上一点.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)若A ，B 是椭圆E 上两点，且线段AB 的中点坐标为2 1
,
3 3
，求直线AB 的方程.
14．已知椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的长轴长为4 ，且短轴长是长轴长的一半．
(1)求C 的方程；
(2)已知直线1l ：
1
y
x
与椭圆C 相交于两点M ，N ，求线段MN 的长度；
(3)经过点
1
1 2
P
，作直线2l ，交椭圆于A 、B 两点．如果P 恰好是线段AB 的中点，求直线2l 的方程．
题型八：椭圆的实际应用
1．（多选）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假
设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为
2
2
1
9
5
x
y
，则光线从椭圆一个焦点出发，到
首次回到该焦点所经过的路程可能为（
）
A．2
B．8
C．10
D．12
2．搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F 遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射．此后，神舟
十二号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，并快速完成与“天和”核心舱的对接，聂海胜、刘伯明、
汤洪波3 名宇航员成为核心舱首批“入住人员”，并在轨驻留3 个月，开展舱外维修维护，设备更换，科学
应用载荷等一系列操作．已知神舟十二号飞船的运行轨道是以地心为焦点的椭圆，设地球半径为R，其近
地点与地面的距离大约是1
32 R ，远地点与地面的距离大约是1
16 R ，则该运行轨道（椭圆）的离心率大约
是（
）
A．1
67
B．1
3
C．1
35
D．1
9
3．韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江
区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关
“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段AB ，且AB 过椭圆
的下焦点，
44
AB
米，桥塔最高点P 距桥面110米，则此椭圆的离心率为（
）
A．1
3
B．2
5
C．2
3
D．4
5
4．1970 年4 月24 日，我国发射了自己的第一颗人连地球卫星“东方红一号”，从此我国开向了人造卫层的
新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普物行星运动定律；卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行
时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的
时间内扫过的面积相等，如图建系，设椭圆道的长轴长，短轴长，焦距分别为2a，2b，2c，下列结论正确
的是（
）
A．卫星向径的最大值为2a
B．卫星向径的最小值为2b
C．卫星绕行一周时在第三象阻内运动的时间小于在第四象限内运动的时间
D．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆
5．如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F 为圆心的圆
形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P 点处变轨进入以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q 点处
变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆
轨道Ⅱ的离心率为
.（用R、r 表示）
6．某操场的正前方有两根高度均为6m、相距10m 的旗杆（都与地面垂直）.有一条26m 长的绳子，两端
系在两根旗杆的顶部，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内.假定这条绳子在
系到旗杆上时长度没有改变，求绳子与地面（水平面）的接触点到两根旗杆的距离各是多少.
7．贵州省安庆市体育馆的屋盖网壳由两个大小不同的双层椭球壳相贯而成，其屋盖网壳长轴总尺寸约97
米，短轴总尺寸约77 米，短轴长与长轴长的平方比接近黄金比0.618．我们把短轴长与长轴长的平方比为
5
1
2
的椭圆称为黄金椭圆．现有一黄金椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
其中A，F 分别为其左顶点和右焦点，
B 为上顶点．
(1)求黄金椭圆C 的离心率；
(2)某同学在研究黄金椭圆的性质时猜测
ABF
△
可能为直角三角形，试判断该同学的猜测是否正确，并说
明理由．
题型九：椭圆的综合应用
1．已知椭圆C：
2
2
1
4
3
x
y
的左、右顶点分别为A，B，P 为C 上异于A，B 的一点，直线PA，PB 与直线
4
x
分别交于M，N 两点，则MN 的最小值为（
）
A．15
2
B．7
C．13
2
D．6
2．已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x 轴上，过椭圆右焦点F 且斜率为1 的直线l 交椭圆于A B
、两点，
满足OA
OB
与
4, 3
a
共线．
(1)求椭圆的离心率；
(2)当椭圆的焦距为2 时，设P 为椭圆上任意一点，且
,
OP
mOA
nOB m n
R
，求点
,
M m n 到原点O的
最大距离．
3．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且
1
AB ，
2
BC
，
1
O
切直线l 于点A ，又过B 、C 作
1
O
异于l
的两切线，设这两切线交于点P .
(1)求点P 的轨迹E 方程；
(2)设M 、N 是P 的轨迹E 上的不同两点且不关于原点O对称，若OM ，ON 的斜率分别为
1k ，
2k ，问：是
否存在实数，使得当
1 2
k k
时，OMN
的面积是定值？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理
由.
4．已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
过
3
(1, )
2 和
6
( 2,
)
2
两点.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M 在定直线
4
x
上运动时，直线AM ，BM 分别
交椭圆于两点P 和Q（不同于B，A）.证明：点B 在以PQ 为直径的圆内.
5．已知点F 为椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
E
的右焦点，A，B 分别为其左、右顶点，过F 作直线l 与椭圆交于M，N
两点（不与A，B 重合），记直线AM 与BN 的斜率分别为
1
2
,
k k .证明
1
2
k
k 为定值.
6．已知椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，
2 2,0
F
为椭圆E 的右焦点，三点3 3 1
,
2
2
，
3 3 1
,
2
2
，
1
2, 3
中恰有两点在椭圆E 上.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)设点
,
A B 为椭圆E 的左右端点，过点
2,0
M
作直线交椭圆E 于P ，Q 两点（不同于
,
A B ），求证：直线
AP 与直线BQ 的交点N 在定直线上运动，并求出该直线的方程.
7．已知椭圆
2
2
2
:
1
2
x
y
C
b
的离心率为
2
2
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)当椭圆的焦点在x 轴上时，直线:
1
l y
kx
与椭圆的一个交点为P（点P 不在坐标轴上），点P 关于x
轴的对称点为Q，经过点Q 且斜率为
2
2
的直线与l 交于点M，点N 满足PN
x
∥轴，MN
x
轴，求证：
点N 在直线
2
1
2
y
x
上．
模块三：综合巩固
1．椭圆
2
2
1
11
y
x
的焦点坐标是（
）
A．
2 3,0
B．
0, 2 3
C．
0,
10
D．
10,0
2.已知椭圆
2
2
1
12
x
y
t
t
的离心率为
6
3
，则椭圆的长轴长为（
）
A．12 2
B．6 2
C．3 2
D．6
3．已知椭圆C：
2
2
1
2
x
y
的左焦点是
1F ，过
1F 的直线l：y
x
m
与圆：
2
2
4
x
y
交于A，B 两点，则
AB 的长为（
）
A．14
B．7
C．2
D．
14
2
4.焦点在y 轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为2 3 的椭圆方程为（
）
A．
2
2
1
4
16
x
y
B．
2
2
1
16
4
x
y
C．
2
2
1
4
x
y
D．
2
2
1
4
y
x
5.通过椭圆
2
2
1
4
3
x
y
的焦点且垂直于x 轴的直线l 被椭圆截得的弦长等于（
）
A．2 3
B．3
C．
3
D．6
6.直线
3
1
y
x
与椭圆
2
2
1
4
8
x
y
的公共点的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．无数个
7.已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，过
2
F 的直线交椭圆于
,
A B 两点，且
2
2
1
:
:
3: 2:6
AF
BF
BF
，则椭圆的离心率为（
）
A．1
3
B．2
3
C．
5
5
D．10
5
8.已知椭圆
2
2
1
4
x
y
，点P 是椭圆上任意一点，则P 到直线
5
0
x
y
的距离最大值是（
）
A．10
B．10
2
C．10
3
D．10
4
9．已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左右焦点分别为
1
2
,
F F ，过
2
F 的直线交C 于,
P Q 两点，直线
1FQ 交y
轴于点M ，若
1
1
,
2
PM
FQ PF
PQ
，则椭圆C 的焦距为（
）
A．
3
B．6
C．
6
2
D．
3
2
10．如图所示，用一束与平面成60角的平行光线照射半径为
3 的球O，在平面上形成的投影为椭圆
C 及其内部，则椭圆C 的（
）
A．长轴长为3
B．离心率为
2
2
C．焦距为2
D．面积为3π
11．已知
1F 、
2
F 是椭圆的两个焦点，满足
1
2
0
MF MF
的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
（
）．
A．
1
(
)
2
0，
B．
2
(0
)
2
，
C．1
2
(
)
2
2
，
D．
2
(
1)
2 ，
12．已知A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上不存在点P 使
π
2
OPA
，则椭圆离心率
e 的取值范围为（
）
A．
2
0, 2
B．
2
0, 2
C．
2 ,1
2
D．
2 ,1
2
13．（选做）已知点P 是椭圆
2
2
1
9
4
x
y
上的动点，则点P 到直线
2
10
0
x
y
的距离最小值为（
）
A．3
B．5
C．3 5
D．5
14.（多选）椭圆
2
2
2
2
:
1
0
1
x
y
C
m
m
m
的焦点为
1F ，
2
F ，上顶点为A，直线
1
AF 与C 的另一个交点为B，
若
1
2
π
3
F AF
，则（
）
A．C 的焦距为2
B．C 的短轴长为2 3
C．C 的离心率为
3
2
D．
2
ABF
△
的周长为8
15.（多选）已知椭圆
2
2
2
2
1
2
: 4
4,
:
1
9
4
x
y
C
x
y
C
，则（
）
A．
1
2
,
C C 的焦点都在x 轴上
B．
1
2
,
C C 的焦距不相等
C．
1
2
,
C C 有公共点
D．椭圆
1
C 比椭圆
2
C 扁平
16．（多选）某月球探测器顺利进入以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100
千米，远月点与月球表面距离为400 千米．已知月球的直径约为3476 千米，对该椭圆下述四个结论正确
的是（
）
A．焦距约为300 千米
B．长轴长约为3988 千米
C．两焦点坐标约为
150,0
D．离心率约为75
994
17．（多选）如图所示，用一个与圆柱底面成θ（0
2
）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的
底面圆半径为2，
3
，则（
）
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为
3
2
C．椭圆的标准方程可以是
2
2
1
16
4
x
y
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4
2 3
18．（多选）已知椭圆C：
2
2
1
5
x
y
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点
0
0
(
,
)
P x
y
是椭圆C 上异于左、右顶
点的一点，则下列说法正确的是（
）
A．
1
2
PF F
△
的周长为2 5
4
B．
1
2
PF F
△
的面积的最大值为2
C．若
(
)
1,0
A
，则PA 的最小值为5 1
D．
0
0
4
y
x
的最小值为
11
11
19．已知椭圆G：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，斜率为1
2 的直线l交椭圆于A，B两点.若AB的中点坐标为
2,
2
，
试写出椭圆G 的一个标准方程
.
20．若直线
2
y
x
m
与椭圆
2
2
1
4
2
x
y
有唯一公共点，则实数m
．
21．直线:
1
0
l x
y
与椭圆
2
2
:
1
4
2
x
y
C
交于
,
A B 两点，长轴的右顶点为点P ，则ABP
的面积
为
.
22.若焦点在x 轴上的椭圆
2
2
1
10
2
x
y
m
m
的焦距为2 2 ，则实数m 的值为
．
23.设椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
经过点
(0,4)
A
，离心率为3
5 ，求过点(3,0) 且斜率为4
5 的直线被C 所截线
段的中点坐标
.
24.已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
,
F F P 是椭圆上一点，
1
2
PF F
△
是以
2
F P 为底边的
等腰三角形，且
1
2
60
120
PF F
，则该椭圆的离心率的取值范围是
．
25．已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为1
2 ，上顶点为A，过左焦点
1F 的直线1l 与C 交于D，E 两
点，过右焦点
2
F 的直线2l 经过A 点，且1
2
l
l
．若四边形
2
AEF D 的面积为48
13 ，则C 的长轴长为
．
26．我们把
5
1
2
c
a
的椭圆称为“优美椭圆”，设
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
为“优美椭圆”，点F ，A 分别是它
的左焦点和右顶点，点B 是它短轴的一个端点，则
ABF
．
27.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的焦距为2，离心率为
2
2
．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)经过椭圆的左焦点
1F 作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆交于M，N 两点，点
2
F 为椭圆的右焦点，求
2
F MN
的面积．
28．设a 为实数，已知双曲线
2
2
:
1
3
x
y
C
a
与椭圆
2
2
2
1
5
x
y
a
有相同的焦点
1
2
,
F F ．
(1)求a 的值；
(2)若点P 在C 上，且
1
2
PF
PF
，求
1
2
F PF
△
的面积．
29．如图，已知直线: 4
5
0
l
x
y
m
和椭圆
2
2
:
1
25
9
x
y
C
．m 为何值时，直线l 与椭圆C：
(1)有两个公共点？
(2)有且只有一个公共点？
(3)没有公共点？
30.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
L
a
b
a
b
的离心率为
3
2
，短轴长为2．
(1)求椭圆L 的标准方程；
(2)过椭圆内一点
1
1, 2
P
引一条弦，使弦被点P 平分．求此弦所在的直线方程．
31．已知椭圆
:
C
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的离心率为1
2 ，左、右焦点分别为
1F ，2
F ，O为坐标原点，且
1
2
4
F F
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知过点
2,0 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点
8,0
Q
，求证：
MQO
NQO
．
32．已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为4
5 ，点
1
2
,
F F 分别为椭圆的左、右焦点，点
5 6 , 3
3
P
在
椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)过点
(
)
1,0
A
，斜率为k 的直线交椭圆于
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
两点，且
1
2
x
x
，
2
MNF
的面积为
2
45 33
9
25k
，
求直线MN 的方程.
