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专题 23 圆锥曲线
【考纲要求】
1、掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程，掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
2、掌握双曲线定义、几何图形和标准方程，知道双曲线简单(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
3、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
一、椭圆及相关问题
【思维导图】
【考点总结】
一、椭圆的定义及标准方程
1．定义
平面内与两个定点F ，F 的距离的和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆
1 2 1 2
的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF |＋|MF |＝2a，|FF|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。
1 2 1 2
(1)若a＞c，则M点的轨迹为椭圆。
(2)若a＝c，则M点的轨迹为线段FF。
1 2
(3)若a＜c，则M点不存在。
2．标准方程
中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为：＋＝1(a>b>0)；
中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：＋＝1(a>b>0)．
二、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
－a≤x≤a －b≤x≤b
范围
－b≤y≤b －a≤y≤a
性质 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A(－a,0)，A(a,0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
顶点
B(0，－b)，B(0，b) B(－b,0)，B(b,0)
1 2 1 2轴 长轴AA 的长为2a；短轴BB 的长为2b
1 2 1 2
焦距 |FF|＝2c
1 2
离心率 e＝∈(0,1)
a，b，c
c2＝a2－b2
的关系
二、双曲线及相关问题
【思维导图】
【考点总结】
一、双曲线的定义及标准方程
1．定义
在平面内到两定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数(小于|FF|且大于零)的点的轨迹(或集合)叫做
1 2 1 2
双曲线．定点F，F 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
1 2
集合P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a，|FF|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}。
1 2 1 2
(1)当a＜c时，M点的轨迹是双曲线。
(2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线。
(3)当a＞c时，M点不存在。
2．标准方程
中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)；
中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
二、双曲线的标准方程和几何性质
－＝1 －＝1
标准方程
(a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0)
图形
范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
性质
对称性 对称轴：坐标轴 对称轴：坐标轴对称中心：原点 对称中心：原点
顶点坐标： 顶点坐标：
顶点
A(－a,0)，A(a,0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
线段AA 叫做双曲线的实轴，它的长|AA|＝2a；
1 2 1 2
线段BB 叫做双曲线的虚轴，它的长|BB|＝2b；
1 2 1 2
性质 实虚轴
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴
长
三、抛物线及相关问题
【思维导图】
【考点总结】
一、抛物线的定义及标准方程
1．定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，
直线l叫做抛物线的准线。
2．标准方程
顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为：y2＝2px(p>0)；
顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为：y2＝－2px(p>0)；
顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为：x2＝2py(p>0)；
顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为：x2＝－2py(p>0)．
二、抛物线的标准方程与几何性质
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
标准
(p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径 |PF|＝x＋ |PF|＝－x＋ |PF|＝y＋ |PF|＝－y＋
0 0 0 0
【题型汇编】
题型一：椭圆
题型二：双曲线
题型三：抛物线
【题型讲解】
题型一：椭圆
一、单选题
1．（2022·全国·一模（理））已知椭圆C： 上的动点P到右焦点距离的最小值为 ，
则 （ ）
A．1 B． C． D．
2．（2022·山西大附中三模（文））已知椭圆C： 的右焦点为 ，右顶点为A，
O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，
则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南湘潭·三模）椭圆 的左､右焦点分别为F
1
，F
2
，过点F
1
的直线l与E交于A，
B两点，若△ABF 的周长为12，则E的离心率为（ ）
2
A． B． C． D．
4．（2022·宁夏·银川一中二模（文））椭圆 的一个焦点坐标为 ，则实数m的值为
（ ）
A．2 B．4 C． D．5．（2022·陕西西安·二模（文））已知椭圆 的两焦点为 ，以 为边作正三角
形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知 分别是椭圆 的左、右焦点，点
，点 在椭圆 上， ， 分别是 的中点，且 的周长为 ，则椭圆
的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2022·江苏江苏·一模）若椭圆 的左，右焦点分别为 ，则下列 的值，能使以
为直径的圆与椭圆 有公共点的有（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖北·黄冈中学二模）已知点 ， ， 是椭圆 上的动点，当 取下列哪
些值时，可以使 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
三、解答题
1．（2022·北京·北大附中三模）已知椭圆 经过点 .
(1)求椭圆 的方程及其离心率；
(2)若 为椭圆 上第一象限的点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，且有 ，求点的坐标.
2．（2022·海南海口·二模）已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
(1)求C的方程；
(2)动直线l与圆 相切，与C交于M，N两点，求O到线段MN的中垂线的最大距离．
题型二：双曲线
一、单选题
1．（2022·浙江·三模）双曲线 的实轴长度是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
2．（2022·安徽省舒城中学三模（理））若双曲线 (a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线
所成的锐角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京·二模）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则C的离心率为
（ ）
A． B． C．2 D．
5．（2022·北京房山·二模）双曲线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山东烟台·三模）过双曲线 ： （ ， ）的焦点且斜率不为0的直线交 于A， 两点， 为 中点，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
1．（2022·河北唐山·三模）已知 为双曲线 的两个焦点， 为双曲线 上任意一点，则
（ ）
A． B．双曲线 的渐近线方程为
C．双曲线 的离心率为 D．
三、解答题
1．（2022·河北秦皇岛·二模）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，虚轴长为
，离心率为 ，过 的直线 与双曲线 的右支交于 ， 两点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知 ，若 的外心 的横坐标为0，求直线 的方程.
2．（2022·宁夏·银川一中二模（理））已知双曲线 的离心率等于 ，且点
在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的左顶点为 ，右焦点为 ，P为双曲线右支上任意一点，求 的最小值.
题型三：抛物线
一、单选题
1．（2022·湖北十堰·三模）下列四个抛物线中，开口朝左的是（ ）
A． B． C． D．2．（2022·广东惠州·一模）若抛物线 （ ）上一点P（2， ）到其焦点的距离为4，则抛物
线的标准方程为（ ）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x
3．（2022·陕西渭南·二模（理））抛物线 的焦点为F，点P是C上一点，若 ，则点P到
y轴的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2022·江西九江·二模）已知点M为抛物线 上的动点，过点M向圆 引切
线，切点分别为P，Q，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
5．（2022·安徽马鞍山·一模（理））已知抛物线 过点 ，则其准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·重庆·一模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，直线 与 轴交于点
，且 ，则点 到准线 的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2022·天津南开·二模）设抛物线 的焦点到双曲线 的一条渐近线的距离
为 ，到双曲线左顶点的距离为 ，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
8．（2022·陕西西安·三模（理））已知抛物线 上一点 ， 为其焦点，直线 交抛物线的准线于点 .且线段 的中点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2022·湖南常德·一模）已知抛物线 的焦点 到准线 的距离为2，则（ ）
A．焦点 的坐标为
B．过点 恰有2条直线与抛物线 有且只有一个公共点
C．直线 与抛物线 相交所得弦长为8
D．抛物线 与圆 交于 两点，则
2．（2022·湖南·雅礼中学二模）在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上，抛物
线的焦点为 ，延长 与抛物线相交于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为 B．
C． 的面积为 D．
三、解答题
1．（2022·江西萍乡·三模（理））已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点与圆 的
圆心重合， 为 上一动点，点 .若 的最小值为 .
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)过焦点的直线 与抛物线 和圆 从左向右依次交于 四点，且满足 ，求
直线 的方程．
2．（2022·河北秦皇岛·三模）已知抛物线 上的点 与焦点 的距离为9，点 到 轴
的距离为 ．(1)求抛物线 的方程．
(2)经过点 的直线与抛物线 交于 两点， 为直线 上任意一点，证明：直线 的斜率
成等差数列．
