专题29
圆锥曲线的综合问题
十年大数据*全景展示
年份
题号
考点
考查内容
2015[来
源:学。科。网]
卷1[来
源:Z|xx|k.Com]
文5[来源:学&科&网
Z&X&X&K]
椭圆、抛物线
椭圆标准方程及其几何性质，抛物线标准方程及其几何性质[来源:Zxxk.Com]
理20
抛物线
直线与抛物线的位置关系，抛物线存在问题的解法
卷2
理20
直线与椭圆
直线和椭圆的位置关系，椭圆的存在型问题的解法
文20
直线与椭圆
椭圆方程求法，直线和椭圆的位置关系，椭圆的定值问题的解法
2016
卷1
文5
直线与椭圆
椭圆的几何性质，直线和椭圆的位置关系
卷2
理20
直线与椭圆
椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系
2017
卷1
理20
直线与椭圆
椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，椭圆的定点问题
卷2
文理20
直线与椭圆
轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系，椭圆的定点问题
2018
卷2
理12
直线与椭圆
椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系
文11
椭圆
椭圆的定义、标准方程及其几何性质，椭圆离心率的计算
卷3
文理20
直线与椭圆
直线与椭圆的位置关系
文理20
直线与椭圆
直线与椭圆的位置关系
2019
卷2
理8 文
9
椭圆与抛物线
抛物线与椭圆的几何性质
卷3
理21
直线与圆，直线
与抛物线
直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方
程及其几何性质，抛物线的定点问题
文21
直线与圆，直线
与抛物线
直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方
程及其几何性质，抛物线的定点问题
2020
卷1
理20 文
21
椭圆
椭圆的标准方程及其几何性质，椭圆定点问题
卷2
理19
椭圆、抛物线
椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
文19
椭圆、抛物线
椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
卷3
文6
圆锥曲线
圆锥曲线的轨迹问题
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021 年预测
考点98 曲线与方程
37 次考1 次
命题角度：(1)定点、定值问题；(2)最值、范围问题；(3)
证明、探究性问题．
核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象
考点99 定点与定值问题
37 次考6 次
考点100 最值与范围问题
37 次考5 次
考点101 探索型与存在性问题
37 次考3 次
十年试题分类*探求规律
考点98
曲线与方程
1．(2020 山东)已知曲线
2
2
:
1
C mx
ny
．(
)
A．若m>n>0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上
B．若m=n>0，则C 是圆，其半径为
n
C．若mn<0，则C 是双曲线，其渐近线方程为
m
y
x
n
D．若m=0，n>0，则C 是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于A，若
0
m
n
，则
2
2
1
mx
ny
可化为
2
2
1
1
1
x
y
m
n
，
∵
0
m
n
，∴1
1
m
n
，
即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；
对于B，若
0
m
n
，则
2
2
1
mx
ny
可化为
2
2
1
x
y
n
，
此时曲线C 表示圆心在原点，半径为
n
n
的圆，故B 不正确；[来源：Z+xx+k．Com]
对于C，若
0
mn
，则
2
2
1
mx
ny
可化为
2
2
1
1
1
x
y
m
n
，
此时曲线C 表示双曲线，
由
2
2
0
mx
ny
可得
m
y
x
n
，故C 正确；
对于D，若
0,
0
m
n
，则
2
2
1
mx
ny
可化为
2
1
y
n
，
n
y
n
，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确．
2．(2020 天津)设双曲线C 的方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
，过抛物线
2
4
y
x
的焦点和点(0, )
b 的直线为
l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为(
)
A．
2
2
1
4
4
x
y
B．
2
2
1
4
y
x
C．
2
2
1
4
x
y
D．
2
2
1
x
y
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为
1,0 ，∴直线l 的方程为
1
y
x
b
，即直线的斜率为b
，
又双曲线的渐近线的方程为
b
y
x
a
，∴
b
b
a
，
1
b
b
a
，∵
0,
0
a
b
，解得
1,
1
a
b
，故
选D．
3．【2019 北京理】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：
2
2
1 |
|
x
y
x y
就是其中之一(如
图)．给出下列三个结论：
①曲线C 恰好经过6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过
2 ；
③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是
A．①
B．②
C．①②
D．①②③
【答案】C
【解析】由
2
2
1
x
y
x y
得，
2
2
1
y
x y
x
，
2
2
2
2
|
|
3
3
4
1
,1
0,
2
4
4
3
x
x
x
y
x
.
-
，
∴x 可取的整数有0，−1，1，从而曲线
2
2
:
1
C x
y
x y
恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)，(−1，
0)，(−1，1)，共6 个整点，结论①正确．
由
2
2
1
x
y
x y
得，
2
2
2
2 1
2
x
y
x
y
-
，解得
2
2
2
x
y
，∴曲线C 上任意一点到原点的距离都不
超过
2 ．结论②正确．
如图所示，易知
0, 1 ,
1,0 ,
1,1, ,
0,1
A
B
C
D
，
四边形ABCD 的面积
1
3
1 1 1 1
2
2
ABCD
S
四边形
，很明显“心形”区域的面积大于2
ABCD
S四边形
，即“心形”
区域的面积大于3，说法③错误．
故选C．
4．(2020 全国Ⅱ文19)已知椭圆
2
2
1
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点F 与抛物线
2
C 的焦点重合，1
C 的中心与
2
C
的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交
1
C 于
,
A B 两点，交
2
C 于
,
C D 两点，且
4
3
CD
AB
．
(1)求
1
C 的离心率；
(2)若
1
C 的四个顶点到
2
C 的准线距离之和为12，求
1
C 与
2
C 的标准方程．
【解析】(1)解：∵椭圆
1
C 的右焦点坐标为：(c,0)
F
，∴抛物线
2
C 的方程为
2
4
y
cx
，其中
2
2
c
a
b
．不
妨设
,
A C 在第一象限，∵椭圆
1
C 的方程为：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，∴当x
c
时，有
2
2
2
2
2
1
c
y
b
y
a
b
a
，因
此
,
A B 的纵坐标分别为
2
b
a
，
2
b
a
．
又∵抛物线
2
C 的方程为
2
4
y
cx
，∴当x
c
时，有
2
4
2
y
c c
y
c
，∴
,
C D 的纵坐标分别为2c ，
2c
，故
2
2
|
|
b
AB
a
，|
| 4
CD
c
．由
4
|
|
|
|
3
CD
AB
得
2
8
4
3
b
c
a
，即
2
3
2
2( )
c
c
a
a
，解得
2
c
a (舍
去)，
1
2
c
a
，∴
1
C 的离心率为1
2 ．
(2)由(1)知
2
a
c
，
3
b
c
，故
2
2
1
2
2
:
1
4
3
x
y
C
c
c
，∴
1
C 的四个顶点坐标分别为(2 ,0)
c
，( 2 ,0)
c
，(0, 3 )
c ，
(0,
3 )
c
，
2
C 的准线为x
c
．
由已知得3
12
c
c
c
c
，即
2
c
，∴
1
C 的标准方程为
2
2
1
16
12
x
y
，
2
C 的标准方程为
2
8
y
x
．
5．(2020 全国Ⅱ理19)已知椭圆
2
2
1
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点F 与抛物线
2
C 的焦点重合，1
C 的中心与
2
C
的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交
1
C 于
,
A B 两点，交
2
C 于
,
C D 两点，且
4
3
CD
AB
．
(1)求
1
C 的离心率；
(2)设M 是
1
C 与
2
C 的公共点，若
5
MF
，求
1
C 与
2
C 的标准方程．
【解析】(1)
,0
F c
，AB
x
轴且与椭圆
1
C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x
c
，
联立
2
2
2
2
2
2
2
1
x
c
x
y
a
b
a
b
c
，解得
2
x
c
b
y
a
，则
2
2b
AB
a
，
抛物线
2
C 的方程为
2
4
y
cx
，联立
2
4
x
c
y
cx
，
解得
2
x
c
y
c
，
4
CD
c
，
4
3
CD
AB
，即
2
8
4
3
b
c
a
，
2
2
3
b
ac
，
即
2
2
2
3
2
0
c
ac
a
，即
2
2
3
2
0
e
e
，
0
1
e
Q
，解得
1
2
e
，因此，椭圆
1
C 的离心率为1
2 ；
(2)由(1)知
2
a
c
，
3
b
c
，椭圆
1
C 的方程为
2
2
2
2
1
4
3
x
y
c
c
，
联立
2
2
2
2
2
4
1
4
3
y
cx
x
y
c
c
，消去y 并整理得
2
2
3
16
12
0
x
cx
c
，解得
2
3
x
c
或
6
x
c
(舍去)，
由抛物线的定义可得
2
5
5
3
3
c
MF
c
c
，解得
3
c
．
因此曲线
1
C 的标准方程为
2
2
1
36
27
x
y
，曲线
2
C 的标准方程为
2
12
y
x
．
6．(2018 江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点
1
( 3, )
2
，焦点
1
2
(
3,0),
( 3,0)
F
F
，圆O 的直径为
1
2
F F ．
(1)求椭圆C 及圆O 的方程；
(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；
②直线l 与椭圆C 交于
,
A B 两点．若
OAB
△
的面积为2 6
7
，求直线l 的方程．
【解析】(1)因为椭圆C 的焦点为
1
2
(
)
3,0 ,
( 3,0)
F
F
，
可设椭圆C 的方程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
．又点
1
( 3, )
2 在椭圆C 上，
所以
2
2
2
2
3
1
1,
4
3,
a
b
a
b
，解得
2
2
4,
1,
a
b
因此，椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
．
因为圆O 的直径为
1
2
F F ，所以其方程为
2
2
3
x
y
．
(2)①设直线l 与圆O 相切于
0
0
0
0
(
)
,
,
(
0
0)
P x
y
x
y
，则
2
2
0
0
3
x
y
，
所以直线l 的方程为
0
0
0
0
(
)
x
y
x
x
y
y
，即
0
0
0
3
x
y
x
y
y
．
由
2
2
0
0
0
1,
4
3 ,
x
y
x
y
x
y
y
消去y ，得
2
2
2
2
0
0
0
0
4
24
36
4
0
(
)
x
y
x
x x
y
．(*)
因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，
所以
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
(
)
(
)(
24
)
4 4
36
4
(
48
)
2
0
x
x
y
y
y
x
．
因为
0
0
,
0
x
y
，所以
0
0
2,
1
x
y
．
因此，点P 的坐标为( 2,1) ．
②因为三角形OAB 的面积为2 6
7
，所以
2
1
2
6
7
AB OP
，从而
4 2
7
AB
．
设
1
1
2
2
,
,
(
)
(
)
,
A x y
B x
y
，
由(*)得
2
2
0
0
0
2
2
0
0
1,2
24
48
(
2)
2(4
)
x
y
x
x
x
y
，
所以
2
2
2
2
1
2
1
(
)
(
)
x
B
y
y
x
A
2
2
2
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
48
(
2)
(1
)
(4
)
x
y
x
y
x
y
．
因为
2
2
0
0
3
x
y
，
所以
2
2
0
2
2
0
16(
2)
32
(
1)
49
x
AB
x
，即
4
2
0
0
2
45
100
0
x
x
，
解得
2
2
0
0
5 (
20
2
x
x
舍去)，则
2
0
1
2
y
，因此P 的坐标为
10
2
(
,
)
2
2
．
综上，直线l 的方程为
5
3 2
y
x
．
7．(2017 新课标Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：
2
2
1
2
x
y
上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，
点P 满足
2
NP
NM
．
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)设点Q 在直线
3
x 上，且
1
OP PQ
．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．
【解析】(1)设
( , )
P x y ，
0
0
(
,
)
M x
y
，则
0
(
,0)
N x
，
0
(
, )
NP
x
x
y
，
0
(0.
)
NM
y
．
由
2
NP
NM
得
0x
x
，
0
2
2
y
y
．
因为
0
0
(
,
)
M x
y
在C 上，所以
2
2
1
2
2
x
y
，因此点P 的轨迹方程为
2
2
2
x
y
．
(2)由题意知
( 1,0)
F
．设
( 3, )
Q
t
，( , )
P m n ，则
( 3, )
OQ
t
，
( 1
,
)
PF
m
n
，
3
3
OQ PF
m
tn
，
( , )
OP
m n
，
( 3
,
)
PQ
m t
n
，
由
1
OP PQ
得
2
2
3
1
m
m
tn
n
，又由(1)知
2
2
2
m
n
，故3
3
0
m
tn
．
所以
0
OQ PF
，即OQ
PF
．又过点P 存在唯一直线垂直与OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l
过C 的左焦点F ．
8．(2016 全国Ⅲ文理)已知抛物线C ：
2
2
y
x
的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1
2
,
l l 分别交C 于A
B
，
两点，交C 的准线于P
Q
，
两点．
(I)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR
FQ
；
(II)若PQF
的面积是ABF
的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．
【解析】(Ⅰ)由题设
)
0,
2
1
(
F
．设
b
y
l
a
y
l
:
,
:
2
1
，则
0
ab
，且
2
2
1
1
1
(
, ), (
, ), (
, ),
(
, ), (
,
)
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
A
a B
b P
a Q
b R
．
记过
B
A,
两点的直线为l ，则l 的方程为
0
)
(
2
ab
y
b
a
x
．
(Ⅰ)由于F 在线段AB 上，故
0
1
ab
．
记AR 的斜率为
1k ，FQ 的斜率为
2k ，则
2
2
2
1
1
1
k
b
a
ab
a
ab
a
b
a
a
b
a
k
．
所以
FQ
AR∥
．
(Ⅱ)设l 与x 轴的交点为
)
0,
( 1x
D
，
则
2
,
2
1
2
1
2
1
1
b
a
S
x
a
b
FD
a
b
S
PQF
ABF
．
由题设可得
1
1
1
2 2
2
2
a b
b a x
，所以
0
1
x
(舍去)，
1
1
x
．
设满足条件的AB 的中点为
)
,
(
y
x
E
．
当AB 与x 轴不垂直时，由
DE
AB
k
k
可得
)1
(
1
2
x
x
y
b
a
．
而
y
b
a
2
，所以
)1
(1
2
x
x
y
．
当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为
1
2
x
y
．
9．(2015 江苏理)如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的离心率为
2
2
，且右
焦点F 到左准线l 的距离为3．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过F 的直线与椭圆交于
,
A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点
,
P C ，若
2
PC
AB
，
求直线AB 的方程．
【解析】(1)由题意，得
2
2
c
a
且
2
3
a
c
c
，
解得
2
a
，
1
c
，则
1
b
，所以椭圆的标准方程为
2
2 1
2
x
y
+
= ．
(2)当AB x 轴时，
2
AB
，又C
3
，不合题意．
当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为
1
y
k x
，
1
1
,
x y
，
2
2
,
x
y
，将AB 的方程代入椭圆方程，得
2
2
2
2
1 2
4
2
1
0
k
x
k x
k
，
则
2
2
1,2
2
2
2 1
1 2
k
k
x
k
，C 的坐标为
2
2
2
2
,
1
2
1
2
k
k
k
k
，且
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2 2 1
1
1
2
k
AB
x
x
y
y
k
x
x
k
．
若
0
k
，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．
从而
0
k
，故直线C
的方程为
2
2
2
1
2
1
2
1
2
k
k
y
x
k
k
k
，
则P 点的坐标为
2
2
5
2
2,
1
2
k
k
k
，从而
2
2
2
2 3
1
1
1
2
k
k
PC
k
k
．
因为
2
PC
AB
，所以
2
2
2
2
2
2 3
1
1
4 2 1
1
2
1
2
k
k
k
k
k
k
，解得
1
k ．
此时直线AB 方程为
1
y
x
或
1
y
x
．
10．(2014 广东理)已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的一个焦点为( 5,0) ，离心率为
5
3
．
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；
(Ⅱ)若动点
0
0
(
,
)
P x
y
为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．
【解析】(Ⅰ)可知
5
c
，又
5
3
c
a
，
3
a
，
2
2
2
4
b
a
c
，
椭圆C 的标准方程为
2
2
1
9
4
x
y
；
(Ⅱ)设两切线为1
2
,
l l ，
①当1l
x
轴或1 / /
l
x 轴时，对应2 / /
l
x 轴或2l
x
轴，可知
( 3, 2)
P
②当1l 与x 轴不垂直且不平行时，
0
3
x ，设1l 的斜率为k ，则
0
k
，2l 的斜率为
1
k
，1l 的方程为
0
0
(
)
y
y
k x
x
，联立
2
2
1
9
4
x
y
，得
2
2
2
0
0
0
0
(9
4)
18(
)
9(
)
36
0
k
x
y
kx kx
y
kx
，
因为直线与椭圆相切，所以
0
，得
2
2
2
2
0
0
0
0
9(
)
(9
4)[(
)
4]
0
y
kx
k
k
y
kx
，
2
2
0
0
36
4[(
)
4]
0
k
y
kx
，
2
2
2
0
0
0
0
(
9)
2
4
0
x
k
x y k
y
，
所以k 是方程
2
2
2
0
0
0
0
(
9)
2
4
0
x
x
x y x
y
的一个根，同理
1
k
是方程
2
2
2
0
0
0
0
(
9)
2
4
0
x
x
x y x
y
的另一个根，
1
(
)
k
k
2
0
2
0
4
9
y
x
，得
2
2
0
0
13
x
y
，其中
0
3
x ，
所以点P 的轨迹方程为
2
2
13
x
y
(
3
x )，因为
( 3, 2)
P
满足上式，综上知：点P 的轨迹方程为
2
2
13
x
y
．
11．(2014 辽宁理)圆
2
2
4
x
y
的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小
时，切点为P (如图)，双曲线
2
2
1
2
2
:
1
x
y
C
a
b
过点P 且离心率为
3 ．
(1)求
1
C 的方程；
(2)椭圆
2
C 过点P 且与
1
C 有相同的焦点，直线l 过
2
C 的右焦点且与
2
C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直
径的圆心过点P ，求l 的方程．
【解析】(Ⅰ)设圆的半径为r ，P 点上下两段分别为
,
m n ，
2
4
r
，
由射影定理得
2r
mn
，三角形的面积
2
2
4
2
2
1
1
4
4
4(
)
16
2
2
s
m
n
r
m
n
4
2
2
4
2
1
1
8
16
8
16
2
2
r
m n
r
r
当
2
m
n
时，s 取得最大，此时
( 2,
2)
P
∵
2
2
2
3,
c
c
b
a
a
，
( 2,
2)
P
在双曲线上
∴
2
2
2
3
2
1
c
b
a
，
，
，∴双曲线的方程为
2
2-
1
2
y
x
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
2
C 的焦点为(- 3,0),( 3,0) ，由此设
2
C 的方程为
2
2
2
2
1
1
1
3
x
y
b
b
，
其中
1
0
b
，由
( 2,
2)
P
在
2
C 上，得
2
1
3
b
，∴
2
C 的方程为
2
2
1
6
3
x
y
，
显然，l 不是直线
0
y
，设l 的方程为
3
x
my
，点
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，
由
2
2
3
1
6
3
x
my
x
y
得
2
2
(2
)
2 3
-3
0
m
y
my
，
∴
1
2
1
2
2
2
-2 3
-3
,
2
2
m
y
y
y y
m
m
①
1
1
2
2
0
( - 2,
- 2)(
- 2,
- 2)
PA PB
x
y
x
y
2
1
2
1
2
(1
)
[( 3- 2) - 2](
)
7-2 6
m
y y
m
y
y
②
由①②得
2
2
-2 6
4 6-11
0
m
m
，解得
1
2
3 6-2
2- 6
,
2
2
m
m
，
因此直线l 的方程
3 6-2
3
0
2
x
y
或
2- 6
3
0
2
x
y
．
12．(2013 四川理)已知椭圆C：
)
0
(1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
的两个焦点分别为
1( 1 0)
F ，，
2 1 0
F（，），且椭圆C
经过点
）
，3
1
3
4
(
P
．
(Ⅰ)求椭圆C 的离心率
(Ⅱ)设过点
）
，
（2
0
A
的直线l 与椭圆C 交于M，N 两点，点Q 是MN 上的点，且
2
2
2
1
1
2
AN
AM
AQ
，求点Q 的轨迹方程．
【解析】(Ⅰ)由椭圆定义知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝
2
2
2
2
4
1
4
1
1
1
2 2
3
3
3
3
，
所以
2
a
．又由已知，c＝1，所以椭圆C 的离心率
1
2
2
2
c
e
a
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，椭圆C 的方程为
2
2
x
＋y2＝1．设点Q 的坐标为(x，y)．
(ⅰ)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0，1)，(0，－1)两点，此时点Q 的坐标为
3 5
0,2
5
．
(ⅱ)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y＝kx＋2．
因为M，N 在直线l 上，可设点M，N 的坐标分别为(
1x ，k
1x ＋2)，(
2x ，k
2x ＋2)，
则|AM|2＝(1＋k2)
2
1x ，|AN|2＝(1＋k2)
2
2x ．
又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)
2x ．
由
2
2
2
2
1
1
|
|
|
|
|
|
AQ
AM
AN
，得
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1
1
1
k
x
k
x
k
x
，
即
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
x
x
x x
x
x
x
x x
．①
将y＝kx＋2 代入
2
2
x
＋y2＝1 中，得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0．②
由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞3
2
．
由②可知，
1
2
x
x
＝
2
8
2
1
k
k
，
1
2
x x ＝
2
6
2
1
k
，代入①中并化简，得
2
2
18
10
3
x
k
．③
因为点Q 在直线y＝kx＋2 上，所以
2
y
k
x
，代入③中并化简，得10(y－2)2－3x2＝18．
由③及k2＞3
2
，可知0＜x2＜3
2
，即x∈
6 ,0
2
∪
6
0, 2
．
又
3 5
0,2
5
满足10(y－2)2－3x2＝18，故x∈
6
6
,
2
2
．
由题意，Q(x，y)在椭圆C 内，所以－1≤y≤1．
又由10(y－2)2＝18＋3x2 有(y－2)2∈9 9
,
5 4
且－1≤y≤1，则y∈1
3 5
,2
2
5
．
所以，点Q 的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈
6
6
,
2
2
，y∈1
3 5
,2
2
5
．
13．(2011 天津理)在平面直角坐标系xOy 中，点
( , )
P a b (
0)
a
b
为动点，
1
2
,
F F 分别为椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
的左右焦点．已知△
1
2
F PF 为等腰三角形．
(Ⅰ)求椭圆的离心率e ；
(Ⅱ)设直线
2
PF 与椭圆相交于
,
A B 两点，M 是直线
2
PF 上的点，满足
2
AM BM
，求点M 的轨迹方程．
【解析】(Ⅰ)解：设
1
2
(
,0),
( ,0)(
0)
F
c
F c
c
，由题意，可得
2
1
2
|
| |
|,
PF
F F
即
2
2
(
)
2 .
a
c
b
c
整理得
2
2( )
1
0,
1
c
c
c
a
a
a
得
(舍)，或
1 .
2
c
a
所以
1 .
2
e
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知
2 ,
3 ,
a
c b
c
可得椭圆方程为
2
2
2
3
4
12
,
x
y
c
直线PF2 方程为
3(
).
y
x
c
A，B 两点的坐标满足方程组
2
2
2
3
4
12
,
3(
).
x
y
c
y
x
c
消去y 并整理，得
2
5
8
0.
x
cx
解得
1
2
8
0,
.
5
x
x
c
得方程组的解
2
1
1
2
8 ,
0,
5
3 ,
3 3 .
5
x
c
x
y
c
y
c
不妨设
8
3 3
(
,
),
(0,
3 )
5
5
A
c
c B
c
设点M 的坐标为
8
3 3
( , ),
(
,
),
( ,
3 )
5
5
x y
AM
x
c y
c BM
x y
c
则
，
由
3
3(
),
.
3
y
x
c
c
x
y
得
于是
8 3
3
8
3 3
(
,
),
15
5
5
5
AM
y
x
y
x
( , 3 ).
BM
x
x
由
2,
AM BM
即8 3
3
8
3 3
(
)
(
)
3
2
15
5
5
5
y
x
x
y
x
x
，
化简得
2
18
16 3
15
0.
x
xy
将
2
2
18
15
3
10
5
,
0.
3
16
16 3
x
x
y
c
x
y
c
x
x
代入
得
所以
0.
x
因此，点M 的轨迹方程是
2
18
16 3
15
0(
0).
x
xy
x
考点99
定点与定值问题
14．【2020 全国Ⅰ文21 理20】已知
,
A B 分别为椭圆
2
2
2
:
1
1
x
E
y
a
a
的左、右顶点，G 为E 的上顶
点，
8
AG GB
，P 为直线
6
x
上的动点，PA 与E 的另一交点为
,
C PB 与E 的另一交点为D ．
(1)求E 的方程；
(2)证明：直线CD 过定点．
【解析】(1)依据题意作出如下图像：
由椭圆方程
2
2
2
:
1(
1)
x
E
y
a
a
可得：
,0
A
a
，
,0
B a
，
0,1
G
，
,1
AG
a
，
, 1
GB
a
，
2
1
8
AG GB
a
，
2
9
a
，椭圆方程为：
2
2
1
9
x
y
．
(2)证明：设
0
6,
P
y
，则直线AP 的方程为：
0
0
3
6
3
y
y
x
，即：
0
3
9
y
y
x
，
联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：
2
2
0
1
9
3
9
x
y
y
y
x
，整理得：
2
2
2
2
0
0
0
9
6
9
81
0
y
x
y x
y
，解得：
3
x 或
2
0
2
0
3
27
9
y
x
y
，
将
2
0
2
0
3
27
9
y
x
y
代入直线
0
3
9
y
y
x
可得：
0
2
0
6
9
y
y
y
，∴点C 的坐标为
2
0
0
2
2
0
0
3
27
6
,
9
9
y
y
y
y
，
同理可得：点D 的坐标为
2
0
0
2
2
0
0
3
3
2
,
1
1
y
y
y
y
，
直线CD 的方程为：
0
0
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
0
0
6
2
9
1
2
3
3
3
27
3
3
1
1
9
1
y
y
y
y
y
y
y
x
y
y
y
y
y
y
，
整理可得：
2
2
2
0
0
0
0
0
0
2
2
2
4
2
0
0
0
0
0
8
3
2
3
3
8
3
3
1
1
1
6 9
6 3
y
y
y
y
y
y
y
x
x
y
y
y
y
y
，
整理得：
0
0
0
2
2
2
0
0
0
4
2
4
3
3
2
3 3
3 3
y
y
y
y
x
x
y
y
y
，故直线CD 过定点3 ,0
2
．
15．【2020 山东】已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为
2
2 ，且过点
2 ,1
A
．
(1)求C 的方程；
(2)点M ，N 在C 上，且AM
AN
，AD
MN
，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．
【解析】(1)根据题意，把点
(2,3)
M
代入椭圆得到
2
2
4
9
1
a
b
①，设
(
,0)
A
a
，又
3
1
2
2
AM
k
a
，∴
4
a
，
代入①式，求得
2
12
b
，∴椭圆C 的方程为
2
2
1
16
12
x
y
．
(2)解法一：由题意知AM 的直线方程为
2
4
0
x
y
，设直线
2
0
x
y
m
与椭圆相切于点N ，
2
2
2
0
1
16
12
m
x
x
y
y
，联立方程组得
2
2
16
12
3
48
0
y
my
m
，
2
2
144
64(3
48)
0
m
m
，得
8
m ，
由题意可知
8
m
时，
AMN
面积最大，直线
2
4
0
x
y
与直线
2
8
0
x
y
距离
2
2
| 4
( 8) |
12 5
5
1
( 2)
d
，|
| 3 5
AM
，∴
1
12 5
3 5
18
2
5
AMN
S
．
解法二：设
，
解法三：设点
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
．∵AM⊥AN，∴
1
2
1
2
1
1
1
2
2
y
y
x
x
．
整理可得：
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
y y
y
y
x x
x
x
①
设MN 的方程为y=kx+m，联立直线与椭圆方程可得：
2
2
2
2
1
4
2
6
0
k
x
kmx
m
，
韦达定理可得：
2
1
2
1
2
2
2
4
2
6
,
2
1
2
1
km
m
x
x
x x
k
k
，
1
2
1
2
2
2
2
1
m
y
y
kx
m
kx
m
k
，
2
2
1
2
1
2
2
6
2
1
m
k
y y
kx
m
kx
m
k
，
代入①式有：
2
2
2
2
6
2
2
6
2
4
5 2
0
1
m
k
m
m
km
k
，
化简可得：
2
4
8
1 3
1
0
k
km
m
m
，即
2
1 2
3
1
0
k
m
k
m
，
据此可得：2
1
k
m
或2
1
3
k
m
，∴直线MN 的方程为
1
2
y
kx
k
或
1
2
3
k
y
kx
，
即
2
1
y
k x
或
2
1
3
3
y
k x
，∴直线过定点
2,1 或2
1
,
3
3
．
又∵
2,1 和A 点重合，∴舍去，则直线过定点
2
1
,
3
3
E
．
由于AE 为定值，且△AED 为直角三角形，AE 为斜边，
∴AE 中点Q 满足QD 为定值(AE 长度的一半
2
2
1
2
1
4 2
2
1
2
3
3
3
)．
由于
2
1
,
3
2,1
3
,
A
E
，故由中点坐标公式可得
4 1
,
3 3
Q
．
16．【2019 全国Ⅲ理】已知曲线C：y=
2
2
x
，D 为直线y=
1
2
上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别
为A，B．
(1)证明：直线AB 过定点：
(2)若以E(0，5
2
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．
【答案】(1)见详解；(2)3 或4 2 ．
【解析】(1)设
1
1
1
,
,
,
2
D t
A x y
，则
2
1
1
2
x
y
．
由于y'
x
，∴切线DA的斜率为
1x ，故
1
1
1
1
2
y
x
x
t
．
整理得
1
1
2
2 +1=0.
tx
y
设
2
2
,
B x
y
，同理可得
2
2
2
2
+1=0
tx
y
．
故直线AB的方程为2
2
1
0
tx
y
．
∴直线AB过定点
1
(0, )
2
．
(2)由(1)得直线AB的方程为
1
2
y
tx
．
由
2
1
2
2
y
tx
x
y
，可得
2
2
1
0
x
tx
．
于是
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2 ,
1,
1
2
1
x
x
t
x x
y
y
t x
x
t
，
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
|
|
1
1
4
2
1
AB
t
x
x
t
x
x
x x
t
．
设
1
2
,
d d 分别为点D，E到直线AB的距离，则
2
1
2
2
2
1,
1
d
t
d
t
．
因此，四边形ADBE的面积
2
2
1
2
1 |
|
3
1
2
S
AB
d
d
t
t
．
设M为线段AB的中点，则
2
1
,
2
M t t
．
由于EM
AB
，而
2
,
2
EM
t t
，AB
与向量(1, )t 平行，∴
2
2
0
t
t
t
．解得t=0或
1
t ．
当t =0时，S=3；当
1
t 时，
4 2
S
．
因此，四边形ADBE的面积为3或4 2 ．
17．【2019 北京理】已知抛物线C：x2=−2py 经过点(2，−1)．
(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；
(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0 的直线l 交抛物线C 于两点M，N，直线y=−1 分别交直
线OM，ON 于点A 和点B．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．
【解析】(1)由抛物线
2
:
2
C x
py
经过点(2, 1)
，得
2
p
．
∴抛物线C 的方程为
2
4
x
y
，其准线方程为
1
y ．
(2)抛物线C 的焦点为
(0, 1)
F
，设直线l 的方程为
1(
0)
y
kx
k
，由
2
1,
4
y
kx
x
y
得
2
4
4
0
x
kx
．
设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，则
1
2
4
x x ．直线OM 的方程为
1
1
y
y
x
x
．
令
1
y ，得点A 的横坐标
1
1
A
x
x
y
，同理得点B 的横坐标
2
2
B
x
x
y
．
设点
(0, )
D
n ，则
1
2
1
2
, 1
,
, 1
x
x
DA
n
DB
n
y
y
，
2
1
2
1
2
(
1)
x x
DA DB
n
y y
2
1
2
2
2
1
2
(
1)
4
4
x x
n
x
x
2
1
2
16
(
1)
n
x x
2
4
(
1)
n
．
令
0
DA DB
，即
2
4
(
1)
0
n
，则
1
n
或
3
n ．
综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1) 和(0,
3)
．
18．【2019 全国Ⅲ文】已知曲线C：y=
2
2
x
，D 为直线y=
1
2
上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别
为A，B．
(1)证明：直线AB 过定点；
(2)若以E(0，5
2
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．
【解析】(1)设
1
1
1
,
,
,
2
D t
A x y
，则
2
1
1
2
x
y
．
由于y'
x
，∴切线DA的斜率为
1x ，故
1
1
1
1
2
y
x
x
t
．
整理得
1
1
2
2 +1=0.
tx
y
设
2
2
,
B x
y
，同理可得
2
2
2
2
+1=0
tx
y
．
故直线AB的方程为2
2
1
0
tx
y
．
∴直线AB过定点
1
(0, )
2
．
(2)由(1)得直线AB的方程为
1
2
y
tx
．
由
2
1
2
2
y
tx
x
y
，可得
2
2
1
0
x
tx
．
于是
2
1
2
1
2
1
2
2 ,
1
2
1
x
x
t y
y
t x
x
t
．
设M为线段AB的中点，则
2
1
,
2
M t t
．
由于EM
AB
，而
2
,
2
EM
t t
，AB
与向量(1, )t 平行，∴
2
2
0
t
t
t
．解得t=0或
1
t ．
当t =0时，|
|
EM
=2，所求圆的方程为
2
2
5
4
2
x
y
；
当
1
t 时，|
|
2
EM
，所求圆的方程为
2
2
5
2
2
x
y
．
【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求
解就可以，思路较为清晰，但计算量不小．
19．【2019 北京文】已知椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
的右焦点为(1,0) ，且经过点
(0,1)
A
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设O 为原点，直线:
(
1)
l y
kx
t t
与椭圆C 交于两个不同点P，Q，直线AP 与x 轴交于点M，直
线AQ 与x 轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l 经过定点．
【解析】(1)由题意得，b2=1，c=1，∴a2=b2+c2=2，∴椭圆C的方程为
2
2
1
2
x
y
．
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为
1
1
1
1
y
y
x
x
．
令y=0，得点M的横坐标
1
1
1
M
x
x
y
．
又
1
1
y
kx
t
，从而
1
1
|
|
|
|1
M
x
OM
x
kx
t
．同理，
2
2
|
| |
|1
x
ON
kx
t
．
由
2
2
,
1
2
y
kx
t
x
y
得
2
2
2
(1
2
)
4
2
2
0
k
x
ktx
t
．
则
1
2
2
4
1 2
kt
x
x
k
，
2
1
2
2
2
2
1
2
t
x x
k
．
∴
1
2
1
2
|
| |
| |
||
|
1
1
x
x
OM
ON
kx
t
kx
t
1
2
2
2
1
2
1
2
|
|
(
1)
(
1)
x x
k x x
k t
x
x
t
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
|
|
2
2
4
(
1) (
)
(
1)
1
2
1
2
t
k
t
kt
k
k t
t
k
k
1
2|
|
1
t
t
．
又|
| |
| 2
OM
ON
，∴
1
2|
|
2
1
t
t
．解得t=0，∴直线l经过定点(0，0)．
20．【2018 北京文20】(本小题14 分)
已知椭圆M ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0)
a
b
的离心率为
6
3
，焦距为2 2 ，斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个
不同的焦点
,
A B
(I)求椭圆M 的方程；
(II)若
1
k
，求AB 的最大值；
(III)设
2 , 0
P
，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若
,
C D
和点
7
1
,
4
4
Q
共线，求k ．
【解析】(Ⅰ)由题意得2
2 2
c
，∴
2
c
，
又
6
3
c
e
a
，∴
3
a
，∴
2
2
2
1
b
a
c
，∴椭圆M 的标准方程为
2
2
1
3
x
y
．
(Ⅱ)设直线AB 的方程为y
x
m
，由
2
2
1
3
y
x
m
x
y
消去y 可得
2
2
4
6
3
3
0
x
mx
m
，
则
2
2
2
36
4 4(3
3)
48 12
0
m
m
m
，即
2
4
m
，
设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，则
1
2
3
2
m
x
x
，
2
1
2
3
3
4
m
x x
，
则
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
6
4
|
|
1
|
|
1
(
)
4
2
m
AB
k
x
x
k
x
x
x x
，
易得当
2
0
m
时，
max
|
|
6
AB
，故|
|
AB 的最大值为
6 ．
(Ⅲ)设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
3
3
(
,
)
C x
y
，
4
4
(
,
)
D x
y
，
则
2
2
1
1
3
3
x
y
①，
2
2
2
2
3
3
x
y
②，
又
( 2,0)
P
，∴可设
1
1
1
2
PA
y
k
k
x
，直线PA 的方程为
1(
2)
y
k x
，
由
1
2
2
(
2)
1
3
y
k x
x
y
消去y 可得
2
2
2
2
1
1
1
(1 3
)
12
12
3
0
k
x
k x
k
，
则
2
1
1
3
2
1
12
1 3
k
x
x
k
，即
2
1
3
1
2
1
12
1 3
k
x
x
k
，
又
1
1
1
2
y
k
x
，代入①式可得
1
3
1
7
12
4
7
x
x
x
，∴
1
3
1
4
7
y
y
x
，
∴
1
1
1
1
7
12
(
,
)
4
7
4
7
x
y
C
x
x
，同理可得
2
2
2
2
7
12
(
,
)
4
7
4
7
x
y
D
x
x
．
故
3
3
7
1
(
,
)
4
4
QC
x
y
，
4
4
7
1
(
,
)
4
4
QD
x
y
，
∵
,
,
Q C D 三点共线，∴
3
4
4
3
7
1
7
1
(
)(
)
(
)(
)
0
4
4
4
4
x
y
x
y
，
将点
,
C D 的坐标代入化简可得
1
2
1
2
1
y
y
x
x
，即
1
k
．
21．【2018 北京理19】(本小题14 分)
已知抛物线
2
:
2
C y
px
经过点
1, 2
P
，过点
0 ,1
Q
的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点
,
A B ，且直
线PA 交于y 轴与M ，直线PB 交y 轴与N ．
(I)求直线l 的斜率的取值范围．
(II)设O 为原点，
,
QM
QO QN
QO
，求证：1
1
为定值．
【解析】解：(Ⅰ)∵抛物线
2
2
y
px
经过点
1 2
P
,
，
4
2p
，解得
2
p
，抛物线的方程为
2
4
y
x
．
由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为
1
0
y
kx
k
．
由
2
4
1
y
x
y
kx
, ，得
2
2
2
4
1
0
k x
k
x
．
依题意
2
2
2
4
4
1
0
k
k
，解得
0
k
或0
1
k
．
又PA PB
,
与y 轴相交，故直线l 不过点
1
2
,
．从而
3
k ．
∴直线l 斜率的取值范围是
3
3 0
0 1
,
,
,
．
(Ⅱ)设
1
1
2
2
A x
y
B x
y
,
,
,
．由(I)知
1
2
1
2
2
2
2
4
1
k
x
x
x x
k
k
,
．
直线PA 的方程为
1
1
2
1
1
2
y
x
y
x
．
令
0
x
，得点M 的纵坐标为
1
1
1
1
2
1
2
2
1
1
M
y
kx
y
x
x
．
同理得点N 的纵坐标为
2
2
1
2
1
N
kx
y
x
．
由QM
QO QN
QO
,
得
1
1
M
N
y
y
,
．
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
4
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
M
N
k
x x
x
x
x
x
k
k
y
y
k
x
k
x
k
x x
k
k
，
1
1
为定值．
22．(2017 新课标Ⅰ理)已知椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
，四点
1(1,1)
P
，
2(0,1)
P
，
3
3
( 1,
)
2
P
，
4
3
(1,
)
2
P
中恰有三点在椭圆C 上．
(1)求C 的方程；
(2)设直线l 不经过
2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线
2P A 与直线
2P B 的斜率的和为1
，证明：l 过定
点．
【解析】(1)由于
3P ，
4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过
3P ，
4P 两点．
又由
2
2
2
2
1
1
1
3
4
a
b
a
b
知，C 不经过点
1P ，∴点
2P 在C 上．
因此
2
2
2
1
1
1
3
1
4
b
a
b
，解得
2
2
4
1
a
b
．故C 的方程为
2
2
1
4
x
y
．
(2)设直线
2P A 与直线
2P B 的斜率分别为
1k ，
2k ，
如果l 与x 轴垂直，设l ：x
t
，由题设知
0
t
，且| | 2
t
，可得A，B 的坐标分别为
(t，
2
4
2
t
)，(t，
2
4
2
t
)．
则
2
2
1
2
4
2
4
2
1
2
2
t
t
k
k
t
t
，得
2
t
，不符合题设．
从而可设l ：y
kx
m
(
1
m
)．将y
kx
m
代入
2
2
1
4
x
y
得
2
2
2
(4
1)
8
4
4
0
k
x
kmx
m
由题设可知
2
2
=16(4
1)
0
k
m
．
设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，则
1
2
2
8
4
1
km
x
x
k
，
2
1
2
2
4
4
4
1
m
x x
k
．
而
1
2
1
2
1
2
1
1
y
y
k
k
x
x
1
2
1
2
1
1
kx
m
kx
m
x
x
1
2
1
2
1
2
2
(
1)(
)
kx x
m
x
x
x x
．
由题设
1
2
1
k
k
，故
1
2
1
2
(2
1)
(
1)(
)
0
k
x x
m
x
x
．
即
2
2
2
4
4
8
(2
1)
(
1)
0
4
1
4
1
m
km
k
m
k
k
．
解得
1
2
m
k
．
当且仅当
1
m 时，
0
，欲使l ：
1
2
m
y
x
m
，即
1
1
(
2)
2
m
y
x
，∴l 过定点(2，1
)．
23．(2017 新课标Ⅱ文理)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：
2
2
1
2
x
y
上，过M 做x 轴的垂线，垂足
为N ，点P 满足
2
NP
NM
．
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)设点Q 在直线
3
x 上，且
1
OP PQ
．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．
【解析】(1)设
( , )
P x y ，
0
0
(
,
)
M x
y
，则
0
(
,0)
N x
，
0
(
, )
NP
x
x
y
，
0
(0.
)
NM
y
．
由
2
NP
NM
得
0x
x
，
0
2
2
y
y
．
∵
0
0
(
,
)
M x
y
在C 上，∴
2
2
1
2
2
x
y
．
因此点P 的轨迹方程为
2
2
2
x
y
．
(2)由题意知
( 1,0)
F
．设
( 3, )
Q
t
，
( , )
P m n ，则
( 3, )
OQ
t
，
( 1
,
)
PF
m
n
，
3
3
OQ PF
m
tn
，
( , )
OP
m n
，
( 3
,
)
PQ
m t
n
，
由
1
OP PQ
得
2
2
3
1
m
m
tn
n
，又由(1)知
2
2
2
m
n
，
故3
3
0
m
tn
．
∴
0
OQ PF
，即OQ
PF
．又过点P 存在唯一直线垂直与OQ ，∴过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C
的左焦点F ．
24．(2017 北京文)已知椭圆C 的两个顶点分别为
( 2,0)
A
，
(2,0)
B
，焦点在x 轴上，离心率为
3
2
．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN
于点E ．求证：BDE
与BDN
的面积之比为4：5．
【解析】(Ⅰ)设椭圆C 的方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
．
由题意得
2,
3 ,
2
a
c
a
解得
3
c
．
∴
2
2
2
1
b
a
c
．
∴椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
．
(Ⅱ)设
( , )
M m n ，且2
2
m
，则
( ,0),
( ,
)
D m
N m
n
．
直线AM 的斜率
2
AM
n
k
m
，由AM
DE
，则
1
AM
DE
k
k
，故直线DE 的斜率
2
DE
m
k
n
．
∴直线DE 的方程为
2 (
)
m
y
x
m
n
．直线BN 的方程为
(
2)
2
n
y
x
m
．
联立
2 (
),
(
2),
2
m
y
x
m
n
n
y
x
m
，解得点E 的纵坐标
2
2
2
(4
)
4
E
n
m
y
m
n
．
由点M 在椭圆C 上，得
2
2
4
4
m
n
．∴
4
5
E
y
n
．
又
1
2
|
| |
|
|
| |
|
2
5
BDE
E
S
BD
y
BD
n
△
，
1 |
| |
|
2
BDN
S
BD
n
△
，∴
BDE
△
与
BDN
△
的面积之比为4:5．
25．(2016 年全国I 理)设圆
2
2
2
15
0
x
y
x
的圆心为A ，直线l 过点
(1,0)
B
且与x 轴不重合，l 交圆A
于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．
(I)证明EA
EB
为定值，并写出点E 的轨迹方程；
(II)设点E 的轨迹为曲线
1
C ，直线l 交
1
C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，
求四边形MPNQ 面积的取值范围．
【解析】(Ⅰ)∵
|
|
|
|
AC
AD
，
AC
EB//
，故
ADC
ACD
EBD
，
∴
|
|
|
|
ED
EB
，故
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AD
ED
EA
EB
EA
．
又圆A 的标准方程为
16
)1
(
2
2
y
x
，从而
4
|
|
AD
，∴
4
|
|
|
|
EB
EA
．
由题设得
)
0,1
(
A
，
)
0,1(
B
，
2
|
|
AB
，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：
1
3
4
2
2
y
x
(
0
y
)．
(Ⅱ)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为
)
0
)(
1
(
k
x
k
y
，
)
,
(
1
1 y
x
M
，
)
,
(
2
2 y
x
N
．
由
1
3
4
)1
(
2
2
y
x
x
k
y
得
0
12
4
8
)
3
4
(
2
2
2
2
k
x
k
x
k
．
则
3
4
8
2
2
2
1
k
k
x
x
，
3
4
12
4
2
2
2
1
k
k
x
x
．
∴
3
4
)1
(
12
|
|
1
|
|
2
2
2
1
2
k
k
x
x
k
MN
．
过点
)
0,1(
B
且与l 垂直的直线m ：
)1
(
1
x
k
y
，A 到m 的距离为
1
2
2
k
，∴
1
3
4
4
)
1
2
(
4
2
|
|
2
2
2
2
2
k
k
k
PQ
．故四边形MPNQ 的面积
3
4
1
1
12
|
||
|
2
1
2
k
PQ
MN
S
．
可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为
)
3
8,
12
[
．
当l 与x 轴垂直时，其方程为
1
x
，
3
|
|
MN
，
8
|
|
PQ
，四边形MPNQ 的面积为12．
综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为
)
3
8,
12
[
．
26．(2016 年北京文)已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
过
(2,0)
A
，
(0,1)
B
两点．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程及离心率；
(Ⅱ)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：
四边形ABNM 的面积为定值．
【解析】(I)由题意得，
2
a
，
1
b ．∴椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
．
又
2
2
3
c
a
b
，∴离心率
3
2
c
e
a
．
(II)设
0
0
,
x
y
(
0
0
x
，
0
0
y
)，则
2
2
0
0
4
4
x
y
．
又
2,0
，
0,1
，∴直线的方程为
0
0
2
2
y
y
x
x
．
令
0
x
，得
0
0
2
2
y
y
x
，从而
0
0
2
1
1
2
y
y
x
．
直线的方程为
0
0
1
1
y
y
x
x
．
令
0
y
，得
0
0
1
x
x
y
，从而
0
0
2
2
1
x
x
y
，∴四边形的面积
1
2
S
0
0
0
0
2
1 2
1
2
1
2
x
y
y
x
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
4
4
8
4
2
2
2
x
y
x y
x
y
x y
x
y
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
4
4
2
2
x y
x
y
x y
x
y
2
．
从而四边形的面积为定值．
27．(2016 年北京理)已知椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的离心率为
3
2
，
( ,0)
A a
，
(0, )
B
b ，
(0,0)
O
，
ΔOAB 的面积为1．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．
求证：|
| |
|
AN
BM
为定值．
【解析】(Ⅰ)由题意得
,
,1
2
1
,
2
3
2
2
2
c
b
a
ab
a
c
解得
1
,2
b
a
．
∴椭圆C 的方程为
1
4
2
2
y
x
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
)1,0
(
),
0,2
(
B
A
，设
)
,
(
0
0 y
x
P
，则
4
4
2
0
2
0
y
x
．
当
0
0
x
时，直线PA 的方程为
)
2
(
2
0
0
x
x
y
y
．
令
0
x
，得
2
2
0
0
x
y
yM
．从而
2
2
1
1
0
0
x
y
y
BM
M
．
直线PB 的方程为
1
1
0
0
x
x
y
y
．
令
0
y
，得
1
0
0
y
x
xN
．从而
1
2
2
0
0
y
x
x
AN
N
．
∴
2
2
1
1
2
0
0
0
0
x
y
y
x
BM
AN
2
2
8
8
4
4
2
2
4
8
4
4
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
2
0
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
4
．
当
0
0
x
时，
1
0
y
，
,2
,2
AN
BM
∴
4
BM
AN
．
综上，
BM
AN
为定值．
28．(2016 年山东文)已知椭圆C：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的长轴长为4，焦距为2 2．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x 轴与点N，交C 于点A，P(P 在第一象限)，且M 是线段PN 的
中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q，延长线QM 交C 于点B．
(i)设直线PM、QM 的斜率分别为k、k'，证明k
k
为定值；
(ii)求直线AB 的斜率的最小值．
【解析】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c ，由题意知2
4,2
2 2
a
c
，
∴
2
2
2,
2
a
b
a
c
，∴椭圆C 的方程为
2
2
1
4
2
x
y
．
(Ⅱ)(i)设
0
0
0
0
,
0,
0
P x y
x
y
，由M(0，m )，可得
0
0
,2
,
, 2
.
P x
m Q x
m
∴直线PM 的斜率
0
0
2m
m
m
k
x
x
，直线QM 的斜率
0
0
2
3
'
m
m
m
k
x
x
．
此时
'
3
k
k ，∴
'
k
k
为定值3
．
(ii)设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，直线PA 的方程为y
kx
m
，
直线QB 的方程为
3
y
kx
m
．
联立
2
2
1
4
2
y
kx
m
x
y
，整理得
2
2
2
2
1
4
2
4
0
k
x
mkx
m
．
由
2
0 1
2
2
4
2
1
m
x x
k
可得
2
1
2
0
2
2
2
1
m
x
k
x
，∴
2
1
1
2
0
2
2
2
1
k m
y
kx
m
m
k
x
，
同理
2
2
2
2
2
2
0
0
2
2
6
2
,
18
1
18
1
m
k m
x
y
m
k
x
k
x
．
∴
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
0
0
0
2
2
2
2
32
2
18
1
2
1
18
1
2
1
m
m
k
m
x
x
k
x
k
x
k
k
x
，
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
0
0
0
6
2
2
2
8
6
1
2
18
1
2
1
18
1
2
1
k m
m
k
k
m
y
y
m
m
k
x
k
x
k
k
x
，
∴
2
2
1
2
1
6
1
1
1
6
.
4
4
AB
y
y
k
k
k
x
x
k
k
由
0
0,
0
m
x
，可知k>0，∴
1
6
2 6
k
k
，等号当且仅当
6
6
k
时取得，此时
2
6
6
4
8
m
m
，即
14
7
m
，符号题意，∴直线AB 的斜率的最小值为
6
2
．
29．(2015 新课标2 文)已知椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的离心率为
2
2
，点(2,
2)
在C 上．
(Ⅰ)求C 的方程；
(Ⅱ)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点
,
A B ，线段AB 的中点为M ．证明：直线
OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．
【解析】(Ⅰ)由题意有
2
2
2
2
a
b
a
，
2
2
4
2
1
a
b
，解得
2
2
8,
4
a
b
．
∴C 的方程为
2
2
1
8
4
x
y
．
(Ⅱ)设直线l ：y
kx
b
(
0,
0)
k
b
，
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
(
,
)
M
M
M x
y
将y
kx
b
=
+
代入
2
2
1
8
4
x
y
得
2
2
2
(2
1)
4
2
8
0
k
x
kbx
b
．
故
1
2
2
2
2
2
1
M
x
x
kb
x
k
，
2
2
1
M
M
b
y
k x
b
k
．
于是直线OM 的斜率
1
2
M
OM
M
y
k
x
k
，即
1
2
OM
k
k
．
∴直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．
30．(2015 新课标2 理)已知椭圆C：
2
2
2
9x
y
m
(
0
m
)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C
有两个交点A，B，线段AB 的中点为M．
(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
(Ⅱ)若l 过点(
,
)
3
m m ，延长线段OM 与C 交于点P，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜
率；若不能，说明理由．
【解析】(Ⅰ)设直线:l y
kx
b
(
0,
0)
k
b
，
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
(
,
)
M
M
M x
y
．
将y
kx
b
代入
2
2
2
9x
y
m
得
2
2
2
2
(
9)
2
0
k
x
kbx
b
m
，
故
1
2
2
2
9
M
x
x
kb
x
k
，
2
9
9
M
M
b
y
kx
b
k
．
于是直线OM 的斜率
9
M
OM
M
y
k
x
k
，即
9
OM
k
k
．
∴直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．
(Ⅱ)四边形OAPB 能为平行四边形．
∵直线l 过点(
,
)
3
m m ，
∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是
0
k
，
3
k
．
由(Ⅰ)得OM 的方程为
9
y
x
k
．设点P 的横坐标为
P
x ．
由
2
2
2
9 ,
9
,
y
x
k
x
y
m
得
2
2
2
2
9
81
P
k m
x
k
，即
2
3
9
P
km
x
k
．
将点(
,
)
3
m m 的坐标代入直线l 的方程得
(3
)
3
m
k
b
，因此
2
(
3)
3(
9)
M
mk k
x
k
．
四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即
2
P
M
x
x
．
于是
2
3
9
km
k
2
(
3)
2
3(
9)
mk k
k
．解得
1
4
7
k
，
2
4
7
k
．
∵
0,
3
i
i
k
k
，
1
i
，2 ，∴当l 的斜率为4
7
或4
7
时，四边形OAPB 为平行四边形．
31．(2015 陕西文)如图，椭圆E ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(a >b >0)经过点
(0, 1)
A
，且离心率为
2
2
．
(Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)经过点(1,1) ，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点
,
P Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ
的斜率之和为2．
【解析】(Ⅰ)由题设知
2
2
c
a
，
1
b= 结合
2
2
2
a
b
c
，解得
2
a
．
∴椭圆的方程式为
2
2
1
2
x
y
．
(Ⅱ)由题设知，直线PQ 的方程式为
1 +1
y
k x
（
）(
2)
k
，代入
2
2
1
2
x
y
，
得
2
2
(1
2
)
4 (
1)
2 (
2)
0
k
x
k k
x
k k
．
由已知Δ >0．
设
1
1
(
,
)
P x y
，
2
2
(
,
)
Q x
y
，
1
2
0
x x
，则
1
2
1
2
2
2
4 (
1)
2 (
2)
,
1
2
1
2
k k
k k
x
x
x x
k
k
．
从而直线
,
AP AQ 的斜率之和
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
AP
AQ
y
y
kx
k
kx
k
k
k
x
x
x
x
=
1
2
1
2
1
2
1
1
2
(2
)(
)
2
(2
) x
x
k
k
k
k
x
x
x x
=
4 (
1)
2
(2
)
2
2(
1)
2
2 (
2)
k k
k
k
k
k
k k
．
32．(2014 江西文理)如图，已知双曲线C ：
2
2
2
1
x
y
a
(
0
a
)的右焦点F ，点
B
A,
分别在C 的两条渐近
线上，
x
AF
轴，
BF
OB
AB
,
∥OA(O 为坐标原点)．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过C 上一点
)
0
)(
(
0
0
,0
y
y
x
P
的直线
1
:
0
2
0
y
y
a
x
x
l
与直线AF 相交于点M ，与直线
2
3
x
相交于点
N ，证明：当点P 在C 上移动时，NF
MF 恒为定值，并求此定值．
【解析】(1)设
( ,0)
F c
，∵
1
b ，∴
2
1
c
a
，直线OB 方程为
1
y
x
a
，直线BF 的方程为
1 (
)
y
x
c
a
，
解得
( ,
)
2
2
c
c
B
a
，又直线OA 的方程为
1
y
x
a
，则
3
( ,
),
.
AB
c
A c
k
a
a
又∵AB OB，∴3
1
(
)
1
a
a
，解得
2
3
a
，故双曲线C 的方程为
2
2
1.
3
x
y
(2)由(1)知
3
a
，则直线l 的方程为
0
0
0
1(
0)
3
x x
y y
y
，即
0
0
3
3
x x
y
y
，
∵直线AF 的方程为
2
x
，∴直线l 与AF 的交点
0
0
2
3
(2,
)
3
x
M
y
，直线l 与直线
3
2
x
的交点为
0
0
3
3
3 2
( ,
)
2
3
x
N
y
，
则
2
2
0
2
2
2
0
0
4(2
3)
9[
(
2) ]
x
MF
NF
y
x
，∵是C 上一点，则
2
2
0
0
1.
3
x
y
，代入上式得
2
2
2
0
0
2
2
2
2
2
0
0
0
0
4(2
3)
4(2
3)
4
9[
(
2) ]
3
9[
1
(
2) ]
3
x
x
MF
x
NF
y
x
x
，所求定值为
2 3
3
MF
NF
．
33．(2013 山东文理)椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别是
1
2
,
F F ，离心率为
3
2
，过
1F 且垂
直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接
1
2
,
PF PF ．设
1
2
F PF
的角平分线PM 交C 的长轴于点
,0
M m
，求m 的取值范围；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线
1
2
,
PF PF 的
斜率分别为
1
2
,
k k ，若
0
k
，试证明
1
2
1
1
kk
kk
为定值，并求出这个定值．
【解析】：(Ⅰ)由于
2
2
2
c
a
b
，将x
c
代入椭圆方程
2
2
2
2
1
x
y
a
b
得
2
b
y
a
由题意知
2
2
1
b
a ，即
2
2
a
b
，又
c
e
a
3
2
，
∴
2
a
，
1
b ，∴椭圆方程为
2
2
1
4
x
y
．
(Ⅱ)由题意可知：
1
1
|
||
|
PF PM
PF
PM
=
2
2
|
||
|
PF
PM
PF
PM
，
1
1
|
|
PF PM
PF
=
2
2
|
|
PF
PM
PF
，
设
0
0
(
,
)
P x
y
其中
2
0
4
x
，将向量坐标代入并化简得：
2
3
0
0
0
(4
16)
3
12
m
x
x
x
，
∵
2
0
4
x
，
∴
0
3
4
m
x
，而
0
( 2,2)
x
，∴
3 3
(
, )
2 2
m
(Ⅲ)由题意可知，l 为椭圆的在P 点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：
0
0
1
4
x x
y y
，∴
0
0
4
x
k
y
，而
0
0
1
2
,
3
3
y
y
k
k
x
x
，代入
1
2
1
1
kk
kk
中得
0
0
1
2
0
0
3
3
1
1
4(
)
8
x
x
kk
kk
x
x
为定值．
34．(2012 湖南理)在直角坐标系xoy 中，曲线
1
C 的点均在
2
C ：
2
2
(
5)
9
x
y
外，且对
1
C 上任意一点M ，
M 到直线
2
x 的距离等于该点与圆
2
C 上点的距离的最小值．
(Ⅰ)求曲线
1
C 的方程；
(Ⅱ)设
0
0
(
,
)
P x
y
(
3
y )为圆
2
C 外一点，过P 作圆
2
C 的两条切线，分别与曲线
1
C 相交于点A，B 和C，D．证
明：当P 在直线
4
x 上运动时，四点A，B，C，D 的纵坐标之积为定值．
【解析】(Ⅰ)解法1 ：设M 的坐标为( , )
x y ，由已知得
2
2
2
(
5)
3
x
x
y
，
易知圆
2
C 上的点位于直线
2
x 的右侧．于是
2
0
x
，所以
2
2
(
5)
5
x
y
x
．
化简得曲线
1
C 的方程为
2
20
y
x
．
解法2 ：由题设知，曲线
1
C 上任意一点M 到圆心
2
C (5,0) 的距离等于它到直线
5
x 的距离，因此，曲
线
1
C 是以(5,0) 为焦点，直线
5
x 为准线的抛物线，故其方程为
2
20
y
x
．
(Ⅱ)当点P 在直线
4
x 上运动时，P 的坐标为
0
( 4,
)
y
，又
0
3
y ，则过P 且与圆
2
C 相切的直线的斜率
k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为
0
(
4),
y
y
k x
0
即kx-y+y +4k=0 ．于是
0
2
5
4
3.
1
k
y
k
k
整理得
2
2
0
0
72
18
9
0.
k
y k
y
①
设过P 所作的两条切线
,
PA PC 的斜率分别为
1
2
,
k k ，则
1
2
,
k k 是方程①的两个实根，故
0
0
1
2
18
.
72
4
y
y
k
k
②
由
1
0
1
2
4
0,
20 ,
k x
y
y
k
y
x
得
2
1
0
1
20
20(
4 )
0.
k y
y
y
k
③
设四点A，B，C，D 的纵坐标分别为
1
2
3
4
,
,
,
y y
y
y ，则
1
2
,
y y 是方程③的两个实根，所以
0
1
1
2
1
20(
4 ) .
y
k
y
y
k
④
同理可得
0
2
3
4
2
20(
4
) .
y
k
y
y
k
⑤
于是由②，④，⑤三式得
0
1
0
2
1
2
3
4
1
2
400(
4 )(
4
)
y
k
y
k
y y y y
k k
2
0
1
2
0
1
2
1
2
400
4(
)
16
y
k
k
y
k k
k k
2
2
0
0
1
2
1
2
400[
16
]
6400
y
y
k k
k k
．
所以当P 在直线
4
x 上运动时，四点
, ,
,
A B C D 的纵坐标之积为定值6400．
考点100
最值与范围问题
34．【2020 年江苏18】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
E
的左、右焦点分别为
1F 、
2
F ，
点
A 在椭圆E 上且在第一象限内，
2
1
2
AF
F F
，直线
1
AF 与椭圆E 相交于另一点B ．
(1)求
1
2
AF F
的周长；
(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP
的最小值；
(3)设点M 在椭圆E 上，记OAB
与MAB
的面积分别为
1
2
,
S S ，若
2
1
3
S
S
，求点M 的坐标．
【答案】见解析
【解析】(1)
1
2
AF F
的周长
2
2
6
l
a
c
．
(2)由椭圆方程得
3
(1, )
2
A
，设点
( ,0)
P t
，则直线AP 方程为
3
2 (
)
1
y
x
t
t
，
令
2
4
a
x
c
得
3
6
12
3
2
1
2(1
)
Q
t
t
y
t
t
，即
12
3
(4,
)
2
2
t
Q
t
，
12
3
(
4,
)
2
2
t
QP
t
t
，
2
2
4
(
2)
4
4
OP QP
t
t
t
，即OP QP
的最小值为4
．
(3)设 O 到直线AB 的距离为
1d ，M 到直线AB 的距离为
2
d ，
若
2
1
3
S
S
，则
2
1
1
1
|
|
|
|
3
2
2
AB
d
AB
d
，即
2
1
3
d
d
，
由(1)可得直线AB 方程为
3 (
1)
4
y
x
，即3
4
3
0
x
y
，∴
1
3
5
d
，
2
9
5
d
．
由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为9
5
的直线与椭圆的交点，
设平行于AB 的直线l 为3
4
0
x
y
m
，与直线AB 的距离为9
5
，
∴|
3|
9
5
9
16
m
，即
6
m 或12 ．
当
6
m 时，直线l 为3
4
6
0
x
y
，即
3 (
2)
4
y
x
，
联立
2
2
3 (
2)
4
1
4
3
y
x
x
y
可得(
2)(7
2)
0
x
x
，即
2
0
M
N
x
y
或
2
7
12
7
M
N
x
y
，
∴
(2,0)
M
或
2
12
(
,
)
7
7
．
当
12
m
时，直线l 为3
4
12
0
x
y
，即
3 (
4)
4
y
x
，
联立
2
2
3 (
4)
4
1
4
3
y
x
x
y
可得
2
21
18
24
0
4 x
x
，
9
(36
56)
0
，∴无解．
综上所述，M 点坐标为(2,0) 或
2
12
(
,
)
7
7
．
36．【2020 浙江21】如图，已知椭圆
2
2
1 :
1
2
x
C
y
，抛物线
2
2 :
2
(
0)
C
y
px p
，点A 是椭圆
1
C 与抛
物线
2
C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆
1
C 于点B，交抛物线
2
C 于M(B，M 不同于A)．
(Ⅰ)若
1
16
p
，求抛物线
2
C 的焦点坐标；
(Ⅱ)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．
【解析】(Ⅰ)当
1
16
p
时，
2
C 的方程为
2
1
8
y
x
，故抛物线
2
C 的焦点坐标为
1
(
,0)
32
；
(Ⅱ)设
1
1
2
2
0
0
,
,
,
,
,
,
:
A x y
B x
y
M
m
l
x
y
x
y
由
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
x
y
y
my
m
x
y
m
1
2
0
0
0
2
2
2
2
2
,
,
2
2
2
m
m
m
y
y
y
x
y
m
由M 在抛物线上，∴
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2
2
2
m
pm
m
p
2
2
2
2
2 (
)
2
2
0
y
px
y
p
y
m
y
p y
pm
x
y
m
1
2
1
0
1
0
2
1
2
0
2
2
2
2
2
2
2
y
y
p
x
x
y
m
y
m
p
m
m
x
p
m
由
2
2
2
2
1
{
4
2,
2
2
x
y
x
px
y
px
即
2
4
2
0
x
px
2
2
1
4
16
8
2
4
2
2
p
p
x
p
p
2
2
2
2
2
2
1
8
2
4
2
2
2
2
8
16
2
p
p
p
p
m
p
p
p
∴
2
4
2
18
p
p
，
2
1
160
p
，
10
40
p
，∴p 的最大值为
10
40
，此时
2 10
5
(
,
)
5
5
A
．
37．【2019 全国Ⅱ理】已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为−1
2
．记
M 的轨迹为曲线C．
(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交C 于P，Q 两点，点P 在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为E，连结QE 并延长交C 于
点G．
(i)证明：
PQG
△
是直角三角形；
(ii)求
PQG
△
面积的最大值．
【答案】(1)见解析；(2)16
9
．
【解析】(1)由题设得
1
2
2
2
y
y
x
x
，化简得
2
2
1(|
| 2)
4
2
x
y
x
，∴C 为中心在坐标原点，焦点在x
轴上的椭圆，不含左右顶点．
(2)(i)设直线PQ 的斜率为k，则其方程为
(
0)
y
kx k
．
由
2
2
1
4
2
y
kx
x
y
得
2
2
1
2
x
k
．
记
2
2
1
2
u
k
，则
( ,
),
(
,
),
( ,0)
P u uk Q
u
uk
E u
．
于是直线QG 的斜率为2
k ，方程为
(
)
2
k
y
x
u
．
由
2
2
(
),
2
1
4
2
k
y
x
u
x
y
得
2
2
2
2
2
(2
)
2
8
0
k
x
uk x
k u
．①
设
(
,
)
G
G
G x
y
，则u
和
G
x 是方程①的解，故
2
2
(3
2)
2
G
u
k
x
k
，由此得
3
2
2
G
uk
y
k
．
从而直线PG 的斜率为
3
2
2
2
1
2
(3
2)
2
uk
uk
k
u
k
k
u
k
．
∴PQ
PG
，即
PQG
△
是直角三角形．
(ii)
由
(i)
得
2
|
| 2
1
PQ
u
k
，
2
2
2
1
|
|
2
uk k
PG
k
，
∴
△
PQG
的
面
积
2
2
2
2
1
8(
)
1
8 (1
)
|
|
1
2
(1
2
)(2
)
1
2(
)
k
k
k
k
S
PQ PG
k
k
k
k
‖
．
设t=k+ 1
k
，则由k>0 得t≥2，当且仅当k=1 时取等号．
∵
2
8
1 2
t
S
t
在[2，+∞)单调递减，∴当t=2，即k=1 时，S 取得最大值，最大值为16
9
．
因此，△PQG 面积的最大值为16
9
．
38．【2019 浙江】如图，已知点
(1 0)
F ，为抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的焦点，过点F 的直线交抛物线于A、B
两点，点C 在抛物线上，使得
ABC
△
的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q，且Q 在点F 的右侧．记
,
AFG
CQG
△
△
的面积分别为
1
2
,
S S ．
(1)求p 的值及抛物线的准线方程；
(2)求
1
2
S
S
的最小值及此时点G 的坐标．
【解析】(1)由题意得
1
2
p
，即p=2．
∴，抛物线的准线方程为x=−1．
(2)设
,
,
,
,
,
A
A
B
B
c
c
A x
y
B x
y
C x y
，重心
,
G
G
G x
y
．令
2 ,
0
A
y
t t
，则
2
A
x
t
．
由于直线AB过F，故直线AB方程为
2
1
1
2
t
x
y
t
，代入
2
4
y
x
，得
2
2
2
1
4
0
t
y
y
t
，
故2
4
B
ty ，即
2
B
y
t
，∴
2
1
2
,
B t
t
．
又由于
1
1
,
3
3
G
A
B
c
G
A
B
c
x
x
x
x
y
y
y
y
及重心G 在x 轴上，故
2
2
0
c
t
y
t
，得
2
4
2
2
1
1
2
2
2
,2
,
,0
3
t
t
C
t
t
G
t
t
t
．
∴，直线AC方程为
2
2
2
y
t
t x
t
，得
2
1,0
Q t
．
由于Q在焦点F的右侧，故
2
2
t
．从而
4
2
2
4
2
2
1
2
4
4
2
4
2
2
2
2
2
1
1 | 2 |
|
|
3
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
|
|
|
1
| |
2 |
2
3
A
c
t
t
t
FG
y
t
S
t
t
t
t
t
S
t
t
QG
y
t
t
t
t
．
令
2
2
m
t
，则m>0，
1
2
2
1
1
3
2
2
2
1
3
4
3
2
3
4
2
4
S
m
S
m
m
m
m
m
m
.
．
当
3
m
时，
1
2
S
S
取得最小值
3
1
2
，此时G(2，0)．
39．(2018 浙江21)
如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线
2
:
4
C y
x
上存在不同的两点
,
A B 满足
,
PA PB 的中
点均在C 上．
(I)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；
(II)若P 是半椭圆
2
2
1(
0)
4
y
x
x
上的动点，求
PAB
△
面积的取值范围．
【解析】解析一【标准答案】：(I)设
0
0
,
P x
y
，
2
1
1
1
4
,
A
y
y
，
2
2
2
1
4
,
B
y
y
．
∵
,
PA PB 的中点在抛物线上，∴
1
2
,
y
y 为方程
2
2
0
0
1
4
4
2
2
y
x
y
y
，即
2
2
0
0
0
2
8
0
y
y y
x
y
的两个不同的实根．
∴
1
2
0
2
y
y
y
，因此，PM
y
轴．
(II)由(I)可知
1
2
0
2
1
2
0
0
2
,
8
y
y
y
y
y
x
y
，
∴
2
2
2
1
2
0
0
0
1
3
3
8
4
PM
y
y
x
y
x
，
2
1
2
0
0
2 2
4
y
y
y
x
因此
PAB
△
的面积
3
2
2
1
2
0
0
1
3 2
4
2
4
PAB
S
PM
y
y
y
x
△
．
∵
2
2
0
0
0
1
0
4
y
x
x
，∴
2
2
0
0
0
0
4
4
4
4
4 , 5
y
x
x
x
，
因此，
PAB
△
的面积的取值范围是
15 10
6 2 ,
4
．
解法二：(I)设
1
1
2
2
,
,
,
A
B
x
y
x
y
，AB 中点
,
M
M
M x
y
．
,
PA PB 的中点为
,
C D ．CD 中点为
,
N
N
N x
y
．由题知
//
AB
CD ，
2
AB
CD
．由三角形知识可知，
,
,
P M
N 三点共线．
当
2
1
x
x
时，
2
1
2
1
1
2
4
2
AB
M
y
y
k
x
x
y
y
y
，同理
2
CD
N
k
y
．
M
N
y
y
，
PM
垂直于y 轴．
当
2
1
x
x
时，
,
,
P M
N 三点都在x 轴上，∴PM 垂直于y 轴．
综上可知，PM 垂直于y 轴．
40．(2017 浙江文理)如图，已知抛物线
2x
y
．点
1 1
(
, )
2 4
A
，
3 9
( , )
2 4
B
，抛物线上的点
( , )
P x y
1
3
(
)
2
2
x
，
过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．
(Ⅰ)求直线AP 斜率的取值范围；
(Ⅱ)求|
| |
|
PA
PQ
的最大值．
【解析】(Ⅰ)设直线AP 的斜率为k ，
2
1
1
4
1
2
2
x
k
x
x
，
因为
1
3
2
2
x
，所以直线AP 斜率的取值范围是( 1,1)
．
(Ⅱ)联立直线AP 与BQ 的方程
1
1
0,
2
4
9
3
0,
4
2
kx
y
k
x
ky
k
解得点Q 的横坐标是
2
2
4
3
2(
1)
Q
k
k
x
k
，
因为|
|
PA =
2
1
1
(
)
2
k
x
=
2
1
(
1)
k
k
，|
|
PQ =
2
1
(
)
Q
k
x
x
=
2
2
(
1)(
1)
1
k
k
k
，
所以|
||
|
PA PQ =
3
(
1)(
1)
k
k
，令
( )
f k
3
(
1)(
1)
k
k
，因为
2
( )
(4
2)(
1)
f
k
k
k
，
所以
( )
f k 在区间
1
( 1, )
2
上单调递增，1
( ,1)
2
上单调递减，因此当
1
2
k
时，|
||
|
PA PQ 取得最大值27
16
．
41．(2017 山东文)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0)
a
b
的离心率为
2
2
，椭圆
C 截直线
1
y 所得线段的长度为2 2 ．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)动直线l ：
(
0)
y
kx
m m
交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ．点N 是M 关于O 的对称
点，
N
的半径为|
|
NO ．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与
N
分别相切于点E ，F ，求
EDF
的最小值．
【解析】(Ⅰ)由椭圆的离心率为
2
2
，得
2
2
2
2(
)
a
a
b
，又当
1
y 时，
2
2
2
2
a
x
a
b
，得
2
2
2
2
a
a
b
，
∴
2
4
a
，
2
2
b
，因此椭圆方程为
2
2
1
4
2
x
y
．
(Ⅱ)设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，联立方程
2
2
2
4
y
kx
m
x
y
，得
2
2
2
(2
1)
4
2
4
0
k
x
kmx
m
，
由
0
得
2
2
4
2
m
k
(*)
且
1
2
2
4
2
1
km
x
x
k
，因此
1
2
2
2
2
1
m
y
y
k
，∴
2
2
2
(
,
)
2
1 2
1
km
m
D
k
k
，又
(0,
)
N
m
，
∴
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
2
1
2
1
km
m
ND
m
k
k
，整理得：
2
2
4
2
2
2
4
(1 3
)
(2
1)
m
k
k
ND
k
，
∵NF
m
，∴
2
4
2
2
2
2
2
2
2
4(
3
1)
8
3
1
(2
1)
(2
1)
ND
k
k
k
k
k
NF
，
令
2
8
3
t
k
，
3
t≥
，故
2
1
2
1
4
t
k
，∴
2
2
2
16
16
1
1
1
(1
)
2
ND
t
t
NF
t
t
．
令
1
y
t
t
，∴
2
1
1
y
t
．
当
3
t≥
时，
0
y
，从而
1
y
t
t
在[3,
)
上单调递增，因此
1
10
3
t
t
≥
，等号当且仅当
3
t
时成立，
此时
0
k
，∴
2
2
1 3
4
ND
NF
≤
，由(*)得
2
2
m
且
0
m
，故
1
2
ND
NF ≥
，
设
2
EDF
，则
1
sin
2
NF
ND
≥
，∴得最小值为6
．
从而
EDF
的最小值为3
，此时直线l 的斜率时0 ．
综上所述：当
0
k
，
(
2,0)
(0,
2)
m
时，
EDF
取得最小值为3
．
42．(2017 山东理)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
0
a
b
的离心率为
2
2 ，焦距为2 ．
(Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)如图，动直线l ：
1
3
2
y
k x
交椭圆E 于,
A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为
2k ，且
1
2
2
4
k k
，M 是线段OC 延长线上一点，且
:
2:3
MC
AB
，
M
的半径为MC ，
,
OS OT 是
M
的两条
切线，切点分别为,
S T ．求
SOT
的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．
【解析】(I)由题意知
2
2
c
e
a
，2
2
c
，∴
2,
1
a
b
，因此椭圆E 的方程为
2
2
1
2
x
y
．
(Ⅱ)设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，联立方程
2
2
1
1,
2
3 ,
2
x
y
y
k x
得
2
2
1
1
4
2
4 3
1
0
k
x
k x
，
由题意知
0
，且
1
1
2
1
2
2
2
1
1
2 3
1
,
2
1
2 2
1
k
x
x
x x
k
k
，∴
2
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
1
8
1
2
1+2
k
k
AB
k
x
x
k
．
由题意可知圆M 的半径r 为
2
2
1
1
2
1
1 +
1 + 8
2
2 2
3
3
2
+ 1
k
k
r
AB
k
，
由题设知
1
2
2
4
k k
，∴
2
1
2
4
k
k
，因此直线OC 的方程为
1
2
4
y
x
k
．
联立方程
2
2
1
1,
2
2 ,
4
x
y
y
x
k
得
2
2
2
1
2
2
1
1
8
1
,
1
4
1
4
k
x
y
k
k
，因此
2
2
2
1
2
1
1 8
1
4
k
OC
x
y
k
．
由题意可知
1
sin
2
1
SOT
r
OC
r
OC
r
，而
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1 8
1
4
1
1 8
2 2
3
2
1
k
OC
k
r
k
k
k
2
1
2
2
1
1
1
2
3 2
4
1
4
1
k
k
k
，
令
2
1
1
2
t
k
，则
1
1,
0,1
t
t
，因此
2
2
2
3
3
1
3
1
1
2
2
2
1
1
2
1
1
1
9
2
2
4
OC
t
r
t
t
t
t
t
，当且仅当
1
1
2
t
，即
2
t
时等号成立，此时
1
2
2
k
，∴
1
sin
2
2
SOT
，因此
2
6
SOT
，∴
SOT
最大值为3
．
综上所述：
SOT
的最大值为3
，取得最大值时直线l 的斜率为
1
2
2
k
．
43．(2016 全国II 理)已知椭圆
:
E
2
2
1
3
x
y
t
的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(
0)
k k
的直线
交E 于
,
A M 两点，点N 在E 上，MA
NA
．
(Ⅰ)当
4,|
| |
|
t
AM
AN
时，求AMN
的面积；
(Ⅱ)当2 AM
AN
时，求k 的取值范围．
【解析】(I)设
1
1
(
,
)
M x y
，则由题意知
1
0
y
．
当
4
t
时，椭圆E 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
，A 点坐标为
2
0
，
，
由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4
．
因此直线AM 的方程为
2
y
x
．
将
2
x
y
代入
2
2
1
4
3
x
y
得
2
7
12
0
y
y
．
解得
0
y
或
12
7
y
，所以
1
12
7
y
．
所以
AMN
△
的面积为
2
1
1
12
12
144
2
2
2
7
7
49
AMN
S
AM
．
(Ⅱ)由题意知
3,
0, (
,0)
t
k
A
t
，则直线AM 的方程为
y
k x
t
，
联立
2
2
1
3
x
y
t
y
k x
t
并整理得，
2
2
2
2
2
3
2
3
0
tk
x
t tk x
t k
t
解得x
t
或
2
2
3
3
t tk
t
x
tk
，
所以
2
2
2
2
2
3
6
1
1
3
3
t tk
t
t
AM
k
t
k
tk
tk
由题意MA
NA
，所以AN 的方程为
1 (
)
y
x
t
k
，
同理可得
2
2
6
(1
)
|
|
3
k t
k
AN
k
t
由2 AM
AN
，得
2
2
2
3
3
k
tk
k
t
，即
3
(
2)
3 (2
1)
k
t
k
k
当
3 2
k
时上式成立，因此
2
3
6
3
2
k
k
t
k
．
因为
3
t ，即
2
3
6
3
3
2
k
k
k
，整理得
2
3
1
2
0
2
k
k
k
即
3
2
0
2
k
k
，解得3 2
2
k
．
44．(2016 天津理)设椭圆
1
3
2
2
2
y
a
x
(
3)
a
的右焦点为F ，右顶点为A，已知
|
|
3
|
|
1
|
|
1
FA
e
OA
OF
，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B ( B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，
若
HF
BF
，且
MOA
MAO
≤
，求直线l 的斜率的取值范围．
【解析】(Ⅰ)设
( ,0)
F c
，由
1
1
3
|
|
|
|
|
|
c
OF
OA
FA
，即1
1
3
(
)
c
c
a
a a
c
，
可得
2
2
2
3
a
c
c
，又
2
2
2
3
a
c
b
，所以
2
1
c
，因此
2
4
a
，
所以椭圆的方程为
2
2
1
4
3
x
y
．
(Ⅱ)解：设直线l 的斜率为k (
0
k
)，则直线l 的方程为
)
2
(
x
k
y
．
设
)
,
(
B
B y
x
B
，由方程组
)
2
(
1
3
4
2
2
x
k
y
y
x
，消去y ，
整理得
0
12
16
16
)
3
4
(
2
2
2
2
k
x
k
x
k
．
解得
2
x
，或
3
4
6
8
2
2
k
k
x
，由题意得
3
4
6
8
2
2
k
k
xB
，从而
3
4
12
2
k
k
yB
．
由(Ⅰ)知，
)
0,1(
F
，设
)
,0
(
H
y
H
，有
)
,1
(
H
y
FH
，
)
3
4
12
,
3
4
4
9
(
2
2
2
k
k
k
k
BF
．
由
HF
BF
，得
0
HF
BF
，所以
0
3
4
12
3
4
4
9
2
2
2
k
ky
k
k
H
，解得
k
k
yH
12
4
9
2
．
因此直线MH 的方程为
k
k
x
k
y
12
4
9
1
2
．
设
)
,
(
M
M y
x
M
，由方程组
)
2
(
12
4
9
1
2
x
k
y
k
k
x
k
y
消去y ，解得
)1
(
12
9
20
2
2
k
k
xM
．
在MAO
中，
|
|
|
|
MO
MA
MAO
MOA
，即
2
2
2
2)
2
(
M
M
M
M
y
x
y
x
，
化简得
1
M
x
，即
1
)1
(
12
9
20
2
2
k
k
，解得
4
6
k
或
4
6
k
．
所以，直线l 的斜率的取值范围为
)
,
4
6
[
]
4
6
,
(
．
45．(2016 浙江文)如图，设抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的焦点为F，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|
| 1
AF ．
(I)求p 的值；
(II)若直线AF 交抛物线于另一点B，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N，AN 与x 轴
交于点M．求M 的横坐标的取值范围．
【解析】(Ⅰ)由题意得抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线
1
x 的距离．
由抛物线的第一得
1
2
p ，即
2
p
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为
2
4 ,
(1,0)
y
x F
，可设
2
( ,2 ),
0,
1
A t
t t
t
．
因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF：
1
x
sy
，
0
s
，由
2
4
1
y
x
x
sy
消去x 得
2
4
4
0
y
sy
，故
1
2
4
y y ，所以
2
1
2
,
B t
t
．
又直线AB 的斜率为
2 1
2t
t ，故直线FN 的斜率为
2
1
2
t
t
，从而的直线FN：
2
1
1
2
t
y
x
t
，直线BN：
2
y
t
，所以
2
2
3
2
,
1
t
N
t
t
，
设M(m ，0)，由A，M，N 三点共线得：
2
2
2
2
2
2
2
3
1
t
t
t
t
t
m
t
t
，于是
2
2
2
1
t
m
t
，经检验，
0
m
或
2
m
满足题意．
综上，点M 的横坐标的取值范围是
,0
2,
．
45．(2015 重庆文)如图，椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(a >b >0)的左、右焦点分别为
1F ，2
F ，且过
2
F 的直线交椭圆于
,
P Q
两点，且PQ
1
PF ．
(Ⅰ)若
1
2
2
PF
|，
2
2
2
PF
|，求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)若|
1
PQ
PF
，且3
4
4
3
≤
≤
，试确定椭圆离心率e 的取值范围．
【解析】(Ⅰ)由椭圆的定义，
1
2
2
|
|
|
|
2
2
2
2
4
a
PF
PF
，故
2
a
．
设椭圆的半焦距为c ，由已知
1
2
PF
PF
，因此
2
2
2
2
1
2
1
2
2
|
|
|
|
|
|
2
2
2
2
2 3
c
F F
PF
PF
，
即
3
c
，从而
2
2
1
b
a
c
．故所求椭圆的标准方程为
2
2
1
4
x
y
．
(Ⅱ)如题(21)图，由
1
1
,|
|
|
|
PF
PQ PQ
PF
，
得
2
2
2
1
1
1
|
|
|
|
|
|
1
|
|
QF
PF
PQ
PF
．
由椭圆的定义，
1
2
|
|
|
| 2
PF
PF
a
，
1
2
|
|
|
| 2
QF
QF
a
，
进而
1
1
|
|
|
|
|
| 4
PF
PQ
QF
a
．
于是
2
1
(1
1
) |
| 4
PF
a
．
解得
1
2
4
|
|
1
1
a
PF
，故
2
2
1
2
2 (
1
1)
|
| 2
|
|
1
1
a
PF
a
PF
．
由勾股定理得
2
2
2
2
2
1
2
2
|
|
|
|
|
|
(2 )
4
PF
PF
PF
c
c
，
从而
2
2
2
2
2
2
4
2 (
1
1)
4
1
1
1
1
a
a
c
，
两边除以
2
4a ，得
2
2
2
2
2
2
2
1
(
1
1)
1
1
1
1
e
，
若记
2
1
1
t
，则上式变成
2
2
2
2
4
(t 2)
1
1
1
8
4
2
e
t
t
．
由3
4
4
3
，并注意到
2
1
1
关于的单调性，得3
4
t
，即1
1
1
4
3
t
，进而
2
1
5
2
9
e
，
即
2
5
2
3
e
．
46．(2014 新课标1 文理) 已知点A (0, 2)
，椭圆E ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的离心率为
3
2
，F 是椭圆
E 的右焦点，直线AF 的斜率为2 3
3
，O 为坐标原点．
(Ⅰ)求E 的方程；
(Ⅱ)设过点A 的动直线l 与E 相交于
,
P Q 两点，当OPQ
的面积最大时，求l 的方程．
【解析】
2
2 3
(c,0)
=
= 3.
3
F
c
c
（I）设
，由条件知，
，得
2
2
2
3 ,
=2,
1.
2
c
a
b
a
c
a
又
所以
2
2
1.
4
x
E
y
故的方程为
(Ⅱ)
1
1
2
2
: =
2, ( ,
),
(
,
).
l
x
l y kx
P x y
Q x
y
当
轴时不合题意，故设
2
2
2
1
4
x
y
kx
y
将
代入
得
2
2
(1
4
)
16
12
0.
k
x
kx
2
2
2
1,2
2
3
8
2 4
3
=16(4
3)
0,
.
4
4
1
k
k
k
k
x
k
当
即
时，
2
2
2
1
2
2
4
1
4
3
1
.
4
1
k
k
PQ
k
x
x
k
从而
2
2
.
1
O
PQ
d
OPQ
k
又点到直线
的距离
所以
的面积
2
2
1
4 4
3
=
.
2
4
1
OPQ
k
S
d PQ
k
2
2
4
4
4
3
,
0,
.
4
4
OPQ
t
k
t
t
S
t
t
t
设
则
4
7
4,
2
0.
2
t
t
k
t
因为
当且仅当
，即
时等号成立，且满足
OPQ
所以，当
的面积最大时，的方程为
7
7
2
2
2
2
y
x
y
x
或
．
47．(2014浙江文理)如图，设椭圆
,
0
1
:
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
C
动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P
在第一象限．
(Ⅰ)已知直线l 的斜率为k ，用
k
b
a
,
,
表示点P 的坐标；
(Ⅱ)若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为
b
a
．
【解析】(Ⅰ)设直线l 的方程为
0
y
kx
m k
，由
2
2
2
2
1
y
kx
m
x
y
a
b
，
消去y 得，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
b
a k
x
a kmx
a m
a b
，
由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故
0
，即
2
2
2
2
0
b
m
a k
，
解得点P 的坐标为
2
2
2
2
2
2
2
2
,
a km
b m
b
a k
b
a k
，由点P 在第一象限，
故点P 的坐标为
2
2
2
2
2
2
2
2
,
a k
b
b
a k
b
a k
；
(Ⅱ)由于直线1l 过原点O ，且与l 垂直，故直线1l 的方程为
0
x
ky
，
∴点P 到直线1l 的距离
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
a k
b
b
a k
b
a k
d
k
，
整理得
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
d
b
b
a
a k
k
，∵
2
2
2
2
2
b
a k
ab
k
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
a
b
b
b
a
ab
b
a
a k
k
，当且仅当
2
b
k
a
时等号成立，
∴点P 到直线1l 的距离的最大值为
b
a
．
48．(2015 山东理)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的离心率为
3
2
，左、右
焦点分别是
1F 、
2
F ．以
1F 为圆心以3 为半径的圆与以
2
F 为圆心以1 为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)设椭圆E ：
2
2
2
2
1
4
4
x
y
a
b
，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线
y
kx
m 交椭圆E 于
,
A B 两
点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．
( i )求|
|
|
|
OQ
OP
的值；
(ii)求△ABQ 面积的最大值．
【解析】(Ⅰ)由题意知
4
2
a
，则
2
a
，又
3
2
c
a
，
2
2
2
a
c
b
，
可得
1
b
，∴椭圆C 的方程为
1
4
2
2
y
x
．
(Ⅱ)由(I)知椭圆E 的方程为
1
4
16
2
2
y
x
．
(i)设
|
|
|
|
),
,
(
0
0
OP
OQ
y
x
P
，由题意知
)
,
(
0
0
y
x
Q
，
∵
1
4
2
0
2
0
y
x
，又
1
4
)
(
16
)
(
2
0
2
0
y
x
，即
1
)
4
(
4
2
0
2
0
y
x
，
∴
2
，即
2
|
|
|
|
OP
OQ
．
(ii)设
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A
，将
m
kx
y
代入椭圆E 的方程，
可得
0
16
4
8
)
4
1(
2
2
2
m
kmx
x
k
，
由
0
，可得
2
2
16
4
k
m
，
则有
2
2
2
1
2
2
1
4
1
16
4
,
4
1
8
k
m
x
x
k
km
x
x
，
∴
2
2
2
2
1
4
1
4
16
4
|
|
k
m
k
x
x
．
∵直线
m
kx
y
与y 轴交点的坐标为
)
,0
(
m ，
∴OAB
的面积
|
||
|
2
1
2
1
x
x
m
S
2
2
2
4
1
|
|
4
16
2
k
m
m
k
2
2
2
2
4
1
)
4
16
(
2
k
m
m
k
2
2
2
2
4
1
)
4
1
4
(
2
k
m
k
m
令
t
k
m
2
2
4
1
，将
m
kx
y
代入椭圆C 的方程，
可得
0
4
4
8
)
4
1(
2
2
2
m
kmx
x
k
，
由
0
≥，可得
2
2
4
1
k
m
，
由①②可知
1
0
t
，因此
t
t
t
t
S
4
2
)
4
(
2
2
，
故
2 3
S ≤
，
当且仅当
1
t
时，即
2
2
4
1
k
m
时取得最大值
3
2
，
由(i)知，ABQ
面积为S
3 ，
∴ABQ
面积的最大值为
3
6
．
49．(2014 山东文理)已知抛物线
）
＞0
(
2
:
2
p
px
y
C
的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A
的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA
FD
，当点A 的横坐标为3 时，ADF
为
正三角形．
(Ⅰ)求C 的方程；
(Ⅱ)若直线
l
l //
1
，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，
(ⅰ)证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；
(ⅱ) ABE
的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【解析】(Ⅰ)由题意知
(
,0)
2
p
F
，设
( ,0)(
0)
D t
t
，则FD 的中点为
2
(
,0)
4
p
t
因为FA
FD
，由抛物线的定义可知3
2
2
p
p
t
，
解得
3
t
p
或
3
t (舍去)
由
2
3
4
p
t
，解得
2
p
．所以抛物线C 的方程为
2
4
y
x
．
(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)知
(1,0)
F
，设
0
0
0
0
(
,
)(
0)
A x
y
x y
．
(
,0)(
0)
D
D
D x
x
因为FA
FD
，则
0
1
1
D
x
x
，
由
0
D
x
得
0
2
D
x
x
，故
0
(
2,0)
D x
，故直线AB 的斜率
0
2
AB
y
k
因为直线1l 和直线AB 平行，
设直线1l 的方程为
0
2
y
y
x
b
，代入抛物线的方程得
2
0
0
8
8
0
b
y
y
y
y
，
由题意
2
0
0
64
32
0
b
y
y
，得
0
2
b
y
设
(
,
)
E
E
E x
y
，则
2
0
0
4
4
,
E
E
y
x
y
y
当
2
0
4
y
时，
0
0
2
0
0
4
4
E
AE
E
y
y
y
k
x
x
y
，
可得直线AE 的方程为
0
0
0
2
0
4
(
)
4
y
y
y
x
x
y
，由
2
0
0
4
y
x
，
整理得
0
2
0
4
(
1)
4
y
y
x
y
，直线AE 恒过点
(1,0)
F
当
2
0
4
y
时，直线AE 的方程为
1
x
，过点
(1,0)
F
，所以直线AE 过定点
(1,0)
F
．
(ⅱ)由(ⅰ)知直线AE 过定点
(1,0)
F
，
所以
0
0
0
0
1
1
(
1)
(
1)
2
AE
AF
FE
x
x
x
x
．
设直线AE 的方程为
1
x
my
，因为点
0
0
(
,
)
A x
y
在直线AE 上
故
0
0
1
x
m
y
．设
1
1
(
,
)
B x y
，直线AB 的方程为
0
0
0
(
)
2
y
y
y
x
x
由于
0
0
y
，可得
0
0
2
2
x
y
x
y
，代入抛物线的方程得
2
0
0
8
8
4
0
y
y
x
y
所以
0
1
0
8
y
y
y
，可求得
1
0
0
8
y
y
y
，
1
0
0
4
4
x
x
x
所以点B 到直线AE 的距离为
0
0
0
0
2
4
8
4
(
) 1
1
x
m y
x
y
d
m
=
0
0
4(
1)
x
x
=
0
0
1
4(
)
x
x
则ABE
的面积
0
0
0
0
1
1
1
4(
)(
2)
16
2
S
x
x
x
x
，
当且仅当
0
0
1
x
x
即
0
1
x
时等号成立，
所以ABE
的面积的最小值为16．
50．(2014 山东理)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为
3
2
，直线y
x
被椭圆C 截得的线段长为4 10
5
．
(Ｉ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C 交于A，B 两点(A，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD
AB
，
直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M，N 两点．
(ⅰ)设直线BD，AM 的斜率分别为
1
2
,
k k ，证明存在常数使得
1
2
k
k
，并求出的值；
(ⅱ)求OMN
面积的最大值．
【解析】(Ｉ)由题意知
2
2
3
2
a
b
a
，可得
2
2
4
a
b
．
椭圆C 的方程可化简为
2
2
2
4
x
y
a
．
将y
x
代入可得
5
5
a
x
，
因此
2 5
4 10
2
5
5
a
，可得
2
a
．
因此
1
b ，
∴椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
．
(Ⅱ)(ⅰ)设
1
1
1
1
2
2
( ,
)(
0),
(
,
)
A x y
x y
D x
y
，则
1
1
(
,
)
B
x
y
，
∵直线AB 的斜率
1
1
AB
y
k
x
，
又AB
AD
，∴直线AD 的斜率
1
1
x
k
y
，
设直线AD 的方程为y
kx
m
，
由题意知
0,
0
k
m
，
由
2
2
1
4
y
kx
m
x
y
，可得
2
2
2
(1
4
)
8
4
4
0
k
x
mkx
m
．
∴
1
2
2
8
1
4
mk
x
x
k
，
因此
1
2
1
2
2
2
(
)
2
1
4
m
y
y
k x
x
m
k
，
由题意知，
1
2
x
x
，∴
1
2
1
1
1
2
1
1
4
4
y
y
y
k
x
x
k
x
，
∴直线BD 的方程为
1
1
1
1
(
)
4
y
y
y
x
x
x
，
令
0
y
，得
1
3
x
x
，即
1
(3 ,0)
M
x
．可得
1
2
1
2
y
k
x
．
∴
1
2
1
2
k
k
，即
1
2
．
因此存在常数
1
2
使得结论成立．
(ⅱ)直线BD 的方程
1
1
1
1
(
)
4
y
y
y
x
x
x
，
令
0
x
，得
1
3
4
y
y
，即
1
3
(0,
)
4
N
y
，
由(ⅰ)知
1
(3 ,0)
M
x
，
可得OMN
的面积
1
1
1
1
1
3
9
3|
|
|
|
|
||
|
2
4
8
S
x
y
x
y
，
∵
2
2
1
1
1
1
|
||
|
1
4
x
x
y
y
，当且仅当
1
1
|
|
2
|
|
2
2
x
y
时等号成立，
此时S 取得最大值9
8
，∴OMN
的面积的最大值为9
8
．
51．(2014 四川文理)已知椭圆C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0
a
b
)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端
点构成正三角形．
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；
(Ⅱ)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线
3
x 上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P，Q．
(i)证明：OT 平分线段PQ(其中O 为坐标原点)；
(ii)当|
|
|
|
TF
PQ
最小时，求点T 的坐标．
【解析】(1)依条件
2
2
2
2
2
2
6
3
2
4
c
a
a
b
b
a
b
c
，∴椭圆C 的标准方程为
2
2
1
6
2
x
y
．
(Ⅱ)设( 3,
)
T
m
，
1
1
(
,
)
P x y
，
2
2
(
,
)
Q x
y
，又设PQ 中点为
0
0
(
,
)
N x
y
，
(i)∵
( 2,0)
F
，∴直线PQ 的方程为：
2
x
my
，
2
2
2
2
2
(
3)
4
2
0
1
6
2
x
my
m
y
my
x
y
，∴
2
2
2
1
2
2
1
2
2
16
8(
3)
24(
1)
0
4
3
2
3
m
m
m
m
y
y
m
y y
m
于是
1
2
0
2
2
2
3
y
y
m
y
m
，
2
0
0
2
2
2
6
2
2
3
3
m
x
my
m
m
，∴
2
2
6
2
(
,
)
3
3
m
N m
m
．
∵
3
OT
ON
m
k
k
，∴O ，N ，T 三点共线，即OT 平分线段PQ(其中O 为坐标原点)．
(ii)
2
|
|
1
TF
m
，
2
2
2
1
2
2
24(
1)
|
| |
|
1
1
3
m
PQ
y
y
m
m
m
，
∴
2
2
2
2
2
2
|
|
1
3
|
|
24(
1)
24(
1)
1
3
TF
m
m
PQ
m
m
m
m
，令
2
1
m
x
(
1
x )，
则
2
|
|
2
1
2
3
(
)
|
|
3
2 6
2 6
TF
x
x
PQ
x
x
(当且仅当
2
2
x
时取“”)，
∴当|
|
|
|
TF
PQ
最小时，
2
2
x
即
1
m 或1
，此时点T 的坐标为( 3,1)
或( 3, 1)
．
52．(2013 广东文理)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点
0,
0
F
c
c
到直线:
2
0
l x
y
的距离为
3 2
2
．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线
,
PA PB ，其中
,
A B 为切点．
(Ⅰ)求抛物线C 的方程；
(Ⅱ)当点
0
0
,
P x
y
为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；
(Ⅲ)当点P 在直线l 上移动时，求AF
BF
的最小值．
【解析】(Ⅰ)依题意
0
2
3 2
2
2
c
d
，解得
1
c
(负根舍去)
抛物线C 的方程为
2
4
x
y
．
(Ⅱ)设点
1
1
(
,
)
A x
y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
)
,
(
0
0 y
x
P
，
由
2
4
x
y
，即
2
1
4
y
x ,
得y1
2 x ．
∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为
)
(
2
1
1
1
x
x
x
y
y
，
即
2
1
1
1
2
1
2
x
y
x
x
y
．
∵
2
1
1
4
1 x
y
，∴
1
1
2
y
x
x
y
．
∵点
)
,
(
0
0 y
x
P
在切线1l 上，
∴
1
0
1
0
2
y
x
x
y
．
①
同理，
2
0
2
0
2
y
x
x
y
．②
综合①、②得，点
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
的坐标都满足方程
y
x
x
y
0
0
2
．
∵经过
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
两点的直线是唯一的，
∴直线AB
的方程为
y
x
x
y
0
0
2
，即
0
0
2
2
0
x x
y
y
．
(Ⅲ)由抛物线的定义可知
1
2
1,
1
AF
y
BF
y
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
1
1
AF
BF
y
y
y
y
y y
联立
2
0
0
4
2
2
0
x
y
x x
y
y
，消去x 得
2
2
2
0
0
0
2
0
y
y
x
y
y
，
2
2
1
2
0
0
1
2
0
2
,
y
y
x
y
y y
y
0
0
2
0
x
y
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
2
1=
2
2
1
AF
BF
y
y
x
y
y
y
2
2
0
0
0
1
9
=2
2
+5=2
+
2
2
y
y
y
当
0
1
2
y
时，AF
BF
取得最小值为9
2
．
53．(2011 新课标文理)在平面直角坐标系xoy 中，已知点
(0, 1)
A
，B 点在直线
3
y 上，M 点满足
/ /
MB
OA
，MA AB
MB BA
，M 点的轨迹为曲线C．
(Ⅰ)求C 的方程；
(Ⅱ) P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．
【解析】(Ⅰ)设
( , )
M x y ，由已知得
( , 3)
B x
，
(0, 1)
A
．
所以MA
uuur
=(
, 1
)
x
y
，MB
uuur
=(0，3
y
)，AB
uuur
=( x ，-2)．
再由题意可知( MA
uuur
+ MB
uuur
)• AB
uuur
=0，即( x
，4
2y
)• ( x ，－2)=0．
所以曲线C 的方程式为
2
1
2
4
y
x
．
(Ⅱ)设
0
0
(
,
)
P x
y
为曲线C：
2
1
2
4
y
x
上一点，因为
1
2
y
x
，所以l 的斜率为
0
1
2 x ，
因此直线l 的方程为
0
0
0
1
(
)
2
y
y
x x
x
，即
2
0
0
0
2
2
0
x x
y
y
x
．
则O 点到l 的距离
2
0
0
2
0
| 2
|
4
y
x
d
x
．又
2
0
0
1
2
4
y
x
，所以
2
0
2
0
2
2
0
0
1
4
1
4
2
(
4
)
2,
2
4
4
x
d
x
x
x
当
2
0x =0 时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2．
54．(2011 广东文理)设圆C 与两圆
2
2
2
2
(
5)
4,(
5)
4
x
y
x
y
中的一个内切，另一个外切．
(1)求C 的圆心轨迹L 的方程；
(2)已知点M 3 5 4 5
(
,
),
( 5,0)
5
5
F
，且P 为L 上动点，求MP
FP
的最大值及此时点P 的坐标．
【解析】(1)设C 的圆心的坐标为( , )
x y ，由题设条件知
2
2
2
2
|
(
5)
(
5)
| 4,
x
y
x
y
化简得L 的方程为
2
2
1.
4
x
y
(2)过M，F 的直线l 方程为
2(
5)
y
x
，将其代入L 的方程得
2
15
32 5
84
0.
x
x
解得
1
2
1
2
6 5
14 5
6 5
2 5
14 5 2 5
,
,
(
,
),
(
,
).
5
15
5
5
15
15
x
x
l
L
T
T
故与交点为
因T1 在线段MF 外，T2 在线段MF 内，故
1
1
|
|
|
|
|
| 2,
MT
FT
MF
2
2
|
|
|
|
|
| 2.
MT
FT
MF
，若P 不在直线MF 上，在MFP
中有|
|
|
|
|
| 2.
MP
FP
MF
故|
|
|
|
MP
FP
只在T1 点取得最大值2．
考点101
探索型与存在性问题
55．【2018 上海20】(本题满分16 分，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第2 小题满分6 分，第3
小题满分6 分)
设常数
2
t
，在平面直角坐标系xOy 中，已知点
2 0
F
,
，直线:l x
t
，曲线
2
:
8
0
0
y
x
x
t y
,
．l
与x 轴交于点A ，与交于点B P Q
,
,
分别是曲线与线段AB 上的动点．
(1)用t 为表示点B 到点F 的距离；
(2)设
,
2
3
t
FQ
，线段OQ 的中点在直线FP 上，求
AQP
△
的面积；
(3)设
8
t
，是否存在以FP FQ
,
为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，
说明理由．
【解析】(1)由抛物线的几何性质可得点B 到点F 的距离为
2
t
．
(2)由已知
3 , 3 3
Q
，直线FP 的方程为
3
2
y
x
，联立
2
8
y
x
解得
2
3
P
x
．
又点
1
2
3
3 , 0 ,
3
3
2
3
6
AQP
A
S
△
．
(3)存在．理由如下：
焦点为
2 , 0
F
，设
2
,
8
n
P
n
，则
2
2
8
16
,
18
8
PF
QF
n
n
k
k
n
n
，根据FP
FQ
FE
得到
2
2
2
2
2
48
48
6 ,
,
8
6
8
4
4
8
n
n
n
n
E
n
n
，解得
2
16 ,
5
n
2
4 5
,
5
5
P
满足题意．
56．(2016 全国I 文)在直角坐标系xOy 中，直线l ：
(
0)
y
t t
交y 轴于点M ，交抛物线C ：
2
2
(
0)
y
px p
于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．
(I)求|
|
|
|
OH
ON
；
(II)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．
【解析】(Ⅰ)由已知得
)
,0
(
t
M
，
)
,
2
(
2
t
p
t
P
．
又N 为M 关于点P 的对称点，故
)
,
(
2
t
p
t
N
，ON 的方程为
x
t
p
y
，
代入
px
y
2
2
整理得
0
2 2
2
x
t
px
，解得
0
1
x
，
p
t
x
2
2
2
，
因此
)
2,
2
(
2
t
p
t
H
．所以N 为OH 的中点，即
2
|
|
|
|
ON
OH
．
(Ⅱ)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点．理由如下：
直线MH 的方程为
x
t
p
t
y
2
，即
)
(
2
t
y
p
t
x
．
代入
px
y
2
2
得
0
4
4
2
2
t
ty
y
，解得
t
y
y
2
2
1
，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以
外直线MH 与C 没有其它公共点．
57．(2015 新课标1 理)在直角坐标系xoy 中，曲线C ：
2
4
x
y
与直线y
kx
a
(
0)
a
交与M ，N 两点，
(Ⅰ)当
0
k
时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
(Ⅱ) y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有
OPM
OPN
？说明理由．
【解析】(Ⅰ)由题设可得
(2
, )
M
a a ，
( 2 2, )
N
a
，或
( 2 2, )
M
a
，
(2
, )
N
a a ．∵
1
2
y
x
，故
2
4
x
y
在x =2 2a 处的导数值为
a ，
C 在(2 2 , )
a a 处的切线方程为
(
2
)
y
a
a x
a
，即
0
ax
y
a
．
故
2
4
x
y
在
2 2
x
a
处的导数值为
a
，C 在( 2 2 , )
a a
处的切线方程为
(
2
)
y
a
a x
a
，即
0
ax
y
a
．
故所求切线方程为
0
ax
y
a
或
0
ax
y
a
．
(Ⅱ)存在符合题意的点，证明如下：
设
(0, )
P
b 为符合题意的点，
1
1
( ,
)
M x y
，
2
2
(
,
)
N x
y
，
直线PM ，PN 的斜率分别为
1
2
,
k k ．
将y
kx
a
代入C 的方程整理得
2
4
4
0
x
kx
a
．
∴
1
2
1
2
4 ,
4
x
x
k x x
a
．
∴
1
2
1
2
1
2
y
b
y
b
k
k
x
x
=
1
2
1
2
1
2
2
(
)(
)
kx x
a
b x
x
x x
= (
)
k a
b
a
．
当b
a
时，有
1
2
k
k
=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，
故∠OPM =∠OPN ，所以
(0,
)
P
a
符合题意．
58．(2015 北京理)已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的离心率为
2
2 ，点
0 1
P
，和点
A m
n
，
0
m≠
都
在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；
(Ⅱ)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得
OQM
ONQ
？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】(Ⅰ)由题意得
2
2
2
1,
2
,
2
.
b
c
a
a
b
c
解得
2
a =2，故椭圆C 的方程为
2
2
1
2
x
y
．
设M (
N
x ，0)．∵
0
m
，∴1
1
n
．
直线PA 的方程为
1
1
n
y
x
m
，∴
M
x
=1
m
n
，即
(
,0)
1
m
M
n
．
(Ⅱ)∵点B 与点A 关于x 轴对称，∴
( ,
)
B m
n
，设
(
,0)
N
N x
，则
N
x =1
m
n
．
“存在点
(0,
)
Q
Q
y
使得
OQM
=
ONQ
等价”，“存在点
(0,
)
Q
Q
y
使得OM
OQ
= OQ
ON
”即
Q
y 满足
2
Q
M
N
y
x
x
．∵
1
M
m
x
n
，
1
N
m
x
n
，
2
2
1
2
m
n
，∴
2
2
2
2
1
Q
M
N
m
y
x
x
n
．
∴
Q
y = 2 或
2
Q
y
，故在y 轴上存在点Q ，使得
OQM
=
ONQ
，点Q 的坐标为(0,
2) 或(0,
2)
．
59．(2015 湖北理)一种作图工具如图1 所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N
处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且
1
DN
ON
，
3
MN
．当栓子D 在滑槽AB
内作往复运动时，带动
．．N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C．以O 为原
点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2 所示的平面直角坐标系．
(Ⅰ)求曲线C 的方程；
(Ⅱ)设动直线l 与两定直线1 :
2
0
l
x
y
和2 :
2
0
l
x
y
分别交于
,
P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有
一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
【解析】(Ⅰ)设点
( , 0)
D t
(| | 2)
t
，
0
0
(
,
),
( , )
N x
y
M x y ，依题意，
2
MD
DN
，且|
| |
| 1
DN
ON
，
所以
0
0
(
,
)
2(
,
)
t
x
y
x
t y
，且
2
2
0
0
2
2
0
0
(
)
1
1
x
t
y
x
y
即
0
0
2
2
2
t
x
x
t
y
y
，且
0
(
2
)
0
t t
x
．
由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，
于是
0
2
t
x
，故
0
0
,
4
2
x
y
x
y
，代入
2
2
0
0
1
x
y
，可得
2
2
1
16
4
x
y
，
即所求的曲线C 的方程为
2
2
1
16
4
x
y
．
(Ⅱ)(1)当直线l 的斜率不存在时，直线l 为
4
x
或
4
x ，
都有
1
4
4
8
2
OPQ
S
．
(2)当直线l 的斜率存在时，设直线
1
:
(
)
2
l y
kx
m
k
，
由
2
2
4
16
y
kx
m
x
y
，消去y ，可得
2
2
2
(1
4
)
8
4
16
0
k
x
kmx
m
．
因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，
所以
2
2
2
2
64
4(1
4
)(4
16)
0
k m
k
m
，即
2
2
16
4
m
k
．
①
又由
,
2
0,
y
kx
m
x
y
可得
2
(
,
)
1
2
1
2
m
m
P
k
k
；同理可得
2
(
,
)
1
2
1
2
m
m
Q
k
k
．
由原点O 到直线PQ 的距离为
2
|
|
1
m
d
k
和
2
|
|
1
|
|
P
Q
PQ
k
x
x
，可得
2
2
1
1
1
2
2
2
|
|
|
||
|
|
|
2
2
2
1
2
1
2
1
4
OPQ
P
Q
m
m
m
S
PQ d
m
x
x
m
k
k
k
．②
将①代入②得，
2
2
2
2
4
1
2
8
1
4
4
1
OPQ
k
m
S
k
k
．
当
2
1
4
k
时，
2
2
2
4
1
2
8(
)
8(1
)
8
4
1
4
1
OPQ
k
S
k
k
；
当
2
1
0
4
k
时，
2
2
2
4
1
2
8(
)
8( 1
)
1
4
1
4
OPQ
k
S
k
k
．
因
2
1
0
4
k
，则
2
0
1
4
1
k
，
2
2
2
1
4k
，所以
2
2
8( 1
)
8
1
4
OPQ
S
k
，
当且仅当
0
k
时取等号．所以当
0
k
时，
OPQ
S
的最小值为8．
综合(1)(2)可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．
60．(2015 四川理)如图，椭圆E ：
2
2
2
2
+
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的离心率是
2
2
，过点
(0,1)
P
的动直线l 与椭圆
相交于
,
A B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2 ．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA
PA
QB
PB
恒成立？若存在，求出点Q
的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)由已知，点( 2,1) 在椭圆E 上．
因此，
2
2
2
2
2
2
1
1,
,
2 ,
2
a
b
a
b
c
c
a
解得
2
a
，
2
b
．
所以椭圆的方程为
2
2
1
4
2
x
y
．
(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点．
如果存在定点Q 满足条件，则|
|
|
|
1
|
|
|
|
QC
PC
QD
PD
，即|
| |
|
QC
QD
．
所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为
0
(0,
)
y
．
当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点．
则
(0,
2)
M
，
(0,
2)
N
，
由|
|
|
|
|
|
|
|
QM
PM
QN
PN
，有
0
0
|
2 |
2
1
|
2 |
2
1
y
y
，解得
0
1
y
或
0
2
y
．
所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为
(0,2)
Q
．
下面证明：对任意的直线l ，均有|
|
|
|
|
|
|
|
QA
PA
QB
PB
．
当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为
1
y
kx
，A 、B 的坐标分别为
1
1
2
2
( ,
),(
,
)
x y
x
y
．
联立
2
2
1,
4
2
1
x
y
y
kx
得
2
2
(2
1)
4
2
0
k
x
kx
．
其判别式
2
2
16
8(2
1)
0
k
k
，
所以，
1
2
1
2
2
2
4
2
,
2
1
2
1
k
x
x
x x
k
k
．
因此
1
2
1
2
1
2
1
1
2
x
x
k
x
x
x x
．
易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为
2
2
(
,
)
B
x
y
．
又
1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
1
,
QA
QB
y
y
k
k
k
k
k
x
x
x
x
x
，
所以
QA
QB
k
k
，即
, ,
Q A B三点共线．
所以
1
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
QA
QA
PA
QB
QB
x
PB
．
故存在与P 不同的定点
(0,2)
Q
，使得|
|
|
|
|
|
|
|
QA
PA
QB
PB
恒成立．
61．(2015 浙江理)已知椭圆
2
2
1
2
x
y
上两个不同的点
,
A B 关于直线
1
2
y
mx
对称．
(Ⅰ)求实数m 的取值范围；
(Ⅱ)求AOB
面积的最大值(O 为坐标原点)．
【解析】(Ⅰ)由题意知
0
m
，可设直线AB 的方程为
1
y
x
b
m
．
由
2
2
1
1
2
y
x
b
m
x
y
消去y ，得
2
2
2
1
1
2
(
)
1
0
2
b
x
x
b
m
m
．
因为直线
1
y
x
b
m
与椭圆
2
2
1
2
x
y
有两个不同的交点，所以
2
2
4
Δ
2
2
0
b
m
，①
设M 为AB 的中点，则
2
2
2
2
(
,
)
2
2
mb
m b
M m
m
，代入直线方程
1
2
y
mx
解得
2
2
2
2
m
b
m
．②
由①②得
6
3
m
或
6
3
m
．
(Ⅱ)令
1
6
6
(
,0)
(0,
)
2
2
t
m
，则
4
2
2
2
3
2
2
2
|
|
1
1
2
t
t
AB
t
t
，且O 到直线AB 的距离
2
2
1
2
1
t
d
t
．
设ΔAOB 的面积为( )
S t ，所以
2
2
1
1
1
2
( )
|
|
2(
)
2
2
2
2
2
S t
AB d
t
≤
，当且仅当
2
1
2
t
时，等号
成立，故ΔAOB 面积的最大值为
2
2
．
62．(2014 湖南文理)如图5，O 为坐标原点，双曲线
2
2
1
1
1
2
2
1
1
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
和椭圆
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
均过点
2 3
(
,1)
3
P
，且以
1
C 的两个顶点和
2
C 的两个焦点为顶点的四边形
是面积为2 的正方形．
(Ｉ)求
1
2
,
C C 的方程；
(Ⅱ)是否存在直线l ，使得l 与
1
C 交于
,
A B 两点，与
2
C 只有一个公共点，且|
| |
|
OA
OB
AB
？证明你
的结论．
【解析】(Ｉ)设
2
C 的焦距为
2
2c ，由题可得
2
1
2
2,2
2
c
a
，从而
1
2
1,
1
a
c
，
∵点
2 3 ,1
3
P
在双曲线
2
2
2
1
1
y
x
b
上，∴
2
2
1
2
1
2 3
2
1
3
3
b
b
，
由椭圆的定义可得
2
2
2
2
2
2 3
2 3
2
1 1
1 1
2 3
3
3
a
2
3
a
，
2
2
2
2
2
2
2
b
a
c
，∴
1
2
,
C C 的方程为
2
2
2
2
1,
1
3
3
2
y
y
x
x
．
(Ⅱ)不存在符合题设条件的直线．
(1)若直线l 垂直于x 轴，∵l 与
2
C 只有一个公共点，
∴直线的方程为
2
x
或
2
x
，
当
2
x
时，易知
2, 3 ,
2,
3 ,
A
B
∴
2 2,
2 3
OA
OB
AB
，
此时OA
OB
AB
．当
2
x
时，同理可得OA
OB
AB
．
(2)当直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y
kx
m
，由
2
2
1
3
y
kx
m
y
x
可得
2
2
2
3
2
3
0
k
x
kmx
m
，当l 与
1
C 相交于
,
A B 两点时，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
1
2
,
x x 满足上述方程的两个实根，从而
2
1
2
1
2
2
2
2
3
,
3
3
km
m
x
x
x x
k
k
，于是
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
3
3
3
k
m
y y
k x x
km x
x
m
k
，
由
2
2
1
3
2
y
kx
m
y
x
可得
2
2
2
2
3
4
2
6
0
k
x
kmx
m
，∵直线l 与
2
C 只有一个公共点，∴上述方程的判
别式
2
2
2
2
0
16
8 2
3
3
0
k m
k
m
，
化简可得
2
2
2
3
k
m
，因此
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
3
3
3
3
0
3
3
3
m
k
m
k
OA OB
x x
y y
k
k
k
，
于是
2
2
2
2
2
2
OA
OB
OA OB
OA
OB
OA OB
，即
2
2
OA
OB
OA OB
，∴OA
OB
AB
，
综合(i)(ii)可知，不存在符合题目条件的直线．
63．(2013安徽文理)已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的焦距为4，且过点
( 2
3)
P
，
．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)设
0
0
0
0
(
,
)(
0)
Q x
y
x y
为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ．取点
(0,2 2)
A
，连
接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，
问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．
【解析】(Ⅰ)∵焦距为4，所
2
2
4
a
b
，又∵椭圆C 过点
( 2, 3)
P
，∴
2
2
2
3
1
a
b
，故
2
8
a
，
2
4
b
，
从而椭圆C 的方程为
2
2
1
8
4
x
y
．
(Ⅱ)由题意，E 点坐标为
0
(
,0)
x
，设
(
,0)
D
D x
，则
0 , 2 2
AE
x
，
0 , 2 2
AD
x
，再由AD
AE
知，
0
AE
AD
，即
0
8
0
Dx x
．
由于
0
0
0
x y
，故
0
8
Dx
x
．∵点G 是点D 关于y 轴的对称点，∴点
0
8
(
,0)
G x
．
故直线QG 的斜率
0
0
0
2
0
0
0
8
8
QG
y
x y
k
x
x
x
．
又因
0
0
,
Q x
y
在椭圆C 上，∴
2
2
0
0
2
8
x
y
．
①
从而
0
2
QG
n
x
k
y
故直线QG 的方程为
0
0
0
8
2
x
y
x
y
x
②
将②代入椭圆C 方程，得：
2
2
2
2
0
0
0
2
16
64 16
0
nx
y
x
x x
y
③
再将①代入③，化简得：
2
2
0
2
0
n
x
x x
x
解得
0
0
,
x
x
y
y
，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点．
64．(2013 湖北文理)如图，已知椭圆
1
C 与
2
C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别
为2m ，2
(
)
n m
n
，过原点且不与x 轴重合的直线l 与
1
C ，
2
C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，
B，C，D．记
m
n
，△BDM 和△ABN 的面积分别为
1S 和
2
S ．
(Ⅰ)当直线l 与y 轴重合时，若
1
2
S
S
，求的值；
(Ⅱ)当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得
1
2
S
S
？并说明理由．
【解析】依题意可设椭圆
1
C 和
2
C 的方程分别为
1
C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
m
，
2
C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
n
．其中
0
a
m
n
，
1.
m
n
(Ⅰ)解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为
0
x
，则
1
1
1
|
| |
|
|
|
2
2
S
BD
OM
a BD
，
2
1
1
|
| |
|
|
|
2
2
S
AB
ON
a AB
，∴
1
2
|
|
|
|
S
BD
S
AB
．
在C1 和C2 的方程中分别令
0
x
，可得
A
y
m
，
B
y
n
，
D
y
m
，
于是
|
|
|
|
1
|
|
|
|
1
B
D
A
B
y
y
BD
m
n
AB
y
y
m
n
．
若
1
2
S
S
，则
1
1
，化简得
2
2
1
0
．由
1
，可解得
2
1
．
故当直线l 与y 轴重合时，若
1
2
S
S
，则
2
1
．
解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则
|
| |
|
|
|
BD
OB
OD
m
n
，|
| |
|
|
|
AB
OA
OB
m
n
；
1
1
1
|
| |
|
|
|
2
2
S
BD
OM
a BD
，
2
1
1
|
| |
|
|
|
2
2
S
AB
ON
a AB
．．
∴
1
2
|
|
1
|
|
1
S
BD
m
n
S
AB
m
n
．
若
1
2
S
S
，则
1
1
，化简得
2
2
1
0
．由
1
，可解得
2
1
．
故当直线l 与y 轴重合时，若
1
2
S
S
，则
2
1
．
O
x
y
B
A
第28 题解答图1
C
D
M
N
O
x
y
B
A
第28 题解答图2
C
D
M
N
(Ⅱ)解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得
1
2
S
S
．根据对称性，
不妨设直线l ：
(
0)
y
kx k
，
点
(
, 0)
M
a
，
( , 0)
N a
到直线l 的距离分别为
1d ，
2
d ，则
∵
1
2
2
|
0 |
1
1
ak
ak
d
k
k
，
2
2
2
|
0 |
1
1
ak
ak
d
k
k
，∴
1
2
d
d
．
又
1
1
1 |
|
2
S
BD d
，
2
2
1 |
|
2
S
AB d
，∴
1
2
|
|
|
|
S
BD
S
AB
，即|
|
|
|
BD
AB
．
由对称性可知|
| |
|
AB
CD
，∴|
| |
|
|
|
(
1) |
|
BC
BD
AB
AB
，
|
| |
|
|
| (
1) |
|
AD
BD
AB
AB
，于是
|
|
1
|
|
1
AD
BC
．
①
将l 的方程分别与C1，C2 的方程联立，可求得
2
2
2
A
am
x
a k
m
，
2
2
2
B
an
x
a k
n
．
根据对称性可知
C
B
x
x
，
D
A
x
x
，于是
2
2
2
2
2
2
2
2
1
|
|
2
|
|
|
|
2
1
|
|
A
D
A
B
B
C
k
x
x
x
AD
m
a k
n
BC
x
n
a k
m
k
x
x
．
②
从而由①和②式可得
2
2
2
2
2
2
1
(
1)
a k
n
a k
m
．
③
令
1
(
1)
t
，则由m
n
，可得
1
t ，于是由③可解得
2
2 2
2
2
2
(
1)
(1
)
n
t
k
a
t
．
∵
0
k
，∴
2
0
k
．于是③式关于k 有解，当且仅当
2
2 2
2
2
(
1)
0
(1
)
n
t
a
t
，
等价于
2
2
2
1
(
1)(
)
0
t
t
．由
1
，可解得1
1
t
，
即1
1
1
(
1)
，由
1
，解得
1
2
，∴
当1
1
2
时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得
1
2
S
S
；
当
1
2
时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得
1
2
S
S
．
解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得
1
2
S
S
．根据对称性，
不妨设直线l ：
(
0)
y
kx k
，
点
(
, 0)
M
a
，
( , 0)
N a
到直线l 的距离分别为
1d ，
2
d ，则
∵
1
2
2
|
0 |
1
1
ak
ak
d
k
k
，
2
2
2
|
0 |
1
1
ak
ak
d
k
k
，∴
1
2
d
d
．
又
1
1
1 |
|
2
S
BD d
，
2
2
1 |
|
2
S
AB d
，∴
1
2
|
|
|
|
S
BD
S
AB
．
∵
2
2
1
|
|
|
|
|
|
1
|
|
B
D
A
B
A
B
A
B
k
x
x
x
x
BD
AB
x
x
k
x
x
，∴
1
1
A
B
x
x
．
由点
(
,
)
A
A
A x
kx
，
(
,
)
B
B
B x
kx
分别在C1，C2 上，可得
2
2
2
2
2
1
A
A
x
k x
a
m
，
2
2
2
2
2
1
B
B
x
k x
a
n
，两式相减可得
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
0
A
B
A
B
x
x
k
x
x
a
m
，
依题意
0
A
B
x
x
，∴
2
2
A
B
x
x
．∴由上式解得
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
A
B
B
A
m
x
x
k
a
x
x
．
∵
2
0
k
，∴由
2
2
2
2
2
2
2
(
)
0
(
)
A
B
B
A
m
x
x
a
x
x
，可解得1
A
B
x
x
，从而
1
1
1
，解得
1
2
，
∴当1
1
2
时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得
1
2
S
S
；当
1
2
时，存在与坐标轴不重
合的直线l 使得
1
2
S
S
．
65．(2012 广东文理)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的离心率
2
3
e
，
且椭圆C 上的点到
(0,2)
Q
的距离的最大值为3．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)在椭圆C 上，是否存在点
( , )
M m n 使得直线l ：
1
mx
ny
与圆O ：
2
2
1
x
y
相交于不同的两
点
,
A B ，且OAB
的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB
的面积；若不存
在，请说明理由．
【解析】(Ⅰ)由
2
2
2
2
3
3
c
e
c
a
a
，∴
2
2
2
2
1
3
b
a
c
a
设
( , )
P x y 是椭圆C 上任意一点，则
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，∴
2
2
2
2
2
2
(1
)
3
y
x
a
a
y
b
2
2
2
2
2
2
2
|
|
(
2)
3
(
2)
2(
1)
6
PQ
x
y
a
y
y
y
a
∴，当
1
y 时，|
|
PQ 有最大值
2
6
3
a
，可得
3
a
，∴
1,
2
b
c
故椭圆C 的方程为：
2
2
1
3
x
y
(Ⅱ)存在点M 满足要求，使OAB
得面积最大．
假设直线:
1
l mx
ny
与圆
2
2
:
1
O x
y
相交于不同两点
,
A B ，
则圆心O 到l 的距离
2
2
1
1
d
m
n
，∴
2
2
1
m
n
①
∵
( , )
M m n 在椭圆C 上，∴
2
2
1
3
m
n
②，由①②得：
2
0
3
m
-
∵
2
2
2
2
2
1
|
| 2 1
2 m
n
AB
d
m
n
∴
2
2
2
2
1
1
1
|
|
(1
)
2
OAB
S
AB d
m
n
m
n
，由②得
2
2
1
3
m
n
代入上式
得
2
2
2
2
1
3
3
2
2
2
1
2 1
3
3
OAB
m
m
S
m
m
-
，当且仅当
2
2
2
3
1
(0,3]
3
2
m
m
，
∴
2
2
3
1
,
2
2
m
n
，此时满足要求的点
6
2
(
,
)
2
2
M
有四个．
此时对应的OAB
的面积为1
2
．
66．(2011 山东文理)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆
2
2
:
1
3
x
C
y
．如图所示，斜率为(
0)
k k＞
且不
过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线
3
x 于点
( 3,
)
D
m
．
(Ⅰ)求
2
2
m
k
的最小值；
(Ⅱ)若
2
OG
OD
∙OE ，
(i)求证：直线l 过定点；
(ii)试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG
的外接圆方程；若不能，请说明理由．
【解析】(Ⅰ)设直线
(
0)
l
y
kx
t k
的方程为
，由题意，
0.
t
由方程组
2
2
,
1,
3
y
kx
t
x
y
得
2
2
2
(3
1)
6
3
3
0
k
x
ktx
t
，
由题意
0
，∴
2
2
3
1
.
k
t
设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，由韦达定理得
1
2
2
6
,
3
1
kt
x
x
k
∴
1
2
2
2
.
3
1
t
y
y
k
由于E 为线段AB 的中点，因此
2
2
3
,
,
3
1
3
1
E
E
kt
t
x
y
k
k
此时
1 .
3
E
OE
E
y
k
x
k
∴OE 所在直线方程为
1
,
3
y
x
k
又由题设知D(－3，m)，
令x =－3，得
1
m
k
，即mk =1，∴
2
2
2
2,
m
k
mk
当且仅当m =k =1 时上式等号成立，此时
由
0
得0
2,
t
因此
当
1
0
2
m
k
t
且
时，
2
2
m
k
取最小值2．
(Ⅱ)(i)由(I)知OD 所在直线的方程为
1
,
3
y
x
k
将其代入椭圆C 的方程，并由
0,
k
解得
2
2
3
1
(
,
)
3
1
3
1
k
G
k
k
，又
2
2
3
1
(
,
),
( 3,
)
3
1 3
1
k
t
E
D
k
k
k
，由距离公式及
0
t
得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
1
9
1
|
|
(
)
(
)
,
3
1
3
1
3
1
1
9
1
|
|
( 3)
( )
,
3
9
1
|
|
(
)
(
)
,
3
1
3
1
3
1
k
k
OG
k
k
k
k
OD
k
k
kt
t
t
k
OE
k
k
k
由
2
|
|
|
| |
|
,
OG
OD
OE
t
k
得
因此，直线l 的方程为
(
1).
y
k x
∴直线
( 1,0).
l
恒过定点
(ii)由(i)得
2
2
3
1
(
,
)
3
1
3
1
k
G
k
k
，若B，G 关于x 轴对称，则
2
2
3
1
(
,
).
3
1
3
1
k
B
k
k
代入
2
2
(
1)
3
1
3
1,
y
k x
k
k
k
整理得
即
4
2
6
7
1
0
k
k
，解得
2
1
6
k
(舍去)或
2
1,
k
∴k=1，此时
3
1
3 1
(
,
),
(
, )
2
2
2 2
B
G
关于x 轴对称．
又由(I)得
1
1
0,
1,
x
y
∴A(0，1)．
由于ABG
的外接圆的圆心在x 轴上，可设ABG
的外接圆的圆心为(d，0)，
因此
2
2
3
1
1
1
(
)
,
,
2
4
2
d
d
d
解得
故ABG
的外接圆的半径为
2
5
1
2
r
d
，∴ABG
的外接圆方程为
2
2
1
5
(
)
.
2
4
x
y
