十年大数据*全景展示
专题 29 圆锥曲线的综合问题
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2015
卷 1
文5
椭圆、抛物线
椭圆标准方程及其几何性质，抛物线标准方程及其几何性质
理 20
抛物线
直线与抛物线的位置关系，抛物线存在问题的解法
卷 2
理 20
直线与椭圆
直线和椭圆的位置关系，椭圆的存在型问题的解法
文 2 0
直线与椭圆
椭圆方程求法，直线和椭圆的位置关系，椭圆的定值问题的解法
2016
卷 1
文 5
直线与椭圆
椭圆的几何性质，直线和椭圆的位置关系
卷 2
理 20
直线与椭圆
椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系
2017
卷 1
理 20
直线与椭圆
椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，椭圆的定点问题
卷 2
文理 20
直线与椭圆
轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系，椭圆的定点问题
2018
卷 2
理 12
直线与椭圆
椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系
文 11
椭圆
椭圆的定义、标准方程及其几何性质，椭圆离心率的计算
卷 3
文理 20
直线与椭圆
直线与椭圆的位置关系
文理 20
直线与椭圆
直线与椭圆的位置关系
2019
卷 2
理8 文9
椭圆与抛物线
抛物线与椭圆的几何性质
卷 3
理 21
直线与圆，直线
与抛物线
直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方
程及其几何性质，抛物线的定点问题
文 21
直线与圆，直线
与抛物线
直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方
程及其几何性质，抛物线的定点问题
2020
卷 1
理 20 文
21
椭圆
椭圆的标准方程及其几何性质，椭圆定点问题
卷 2
理 19
椭圆、抛物线
椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
文 19
椭圆、抛物线
椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
卷 3
文 6
圆锥曲线
圆锥曲线的轨迹问题
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021 年预测
考点 98 曲线与方程
37 次考 1 次
命题角度：(1)定点、定值问题；(2)最值、范围问题；(3) 证
明、探究性问题．
核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象
考点 99 定点与定值问题
37 次考 6 次
考点 100 最值与范围问题
37 次考 5 次
考点 101 探索型与存在性问题37 次考 3 次
2
十年试题分类*探求规律
考点 98 曲线与方程
1．(2020 山东)已知曲线C : mx
2 ny
2 1 ．(
)
A．若 m>n>0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上
B.
若 m=n>0，则 C 是圆，其半径为
C.
若 mn<0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 y mx
n
D.
若 m=0，n>0， 则 C 是两条直线
2．(2020 天津)设双曲线C 的方程为 x
2
y
2
1(a 0,b 0) ，过抛物线 y2 4x 的焦点和点(0, b) 的直线为
a
2
b
2
l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为(
)
x
2
y
2
2
y
2
x
2
2
2
2
A．
1 4
4
B.
x
1 4
C.
y 1 4
D.
x y 1
3．【2019 北京理】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C： x
2 y
2 1 | x | y 就是其中之一(如
图)．给出下列三个结论：
①曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过
；
③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于
3． 其中，所有正确结论的序号是
A．①
B．②
C．①②
D．①②③
x
2
y
2
4．(2020 全国Ⅱ文 19)已知椭圆C1 :
a
2
b
2 1(a b 0) 的右焦点 F 与抛物线C2 的焦点重合，C1 的中心与C2
的顶点重合．过 F 且与 x 轴垂直的直线交C 于 A , B 两点，交C 于C , D 两点，且 CD
AB ．
1
2
n
4
3
2 6
7
(1)求C1 的离心率；
(2)若C1 的四个顶点到C2 的准线距离之和为 12，求C1 与C2 的标准方程．
x
2
y
2
5．(2020 全国Ⅱ理 19)已知椭圆C1 :
a
2
b
2 1(a b 0) 的右焦点 F 与抛物线C2 的焦点重合，C1 的中心与C2
的顶点重合．过 F 且与 x 轴垂直的直线交C 于 A , B 两点，交C 于C , D 两点，且 CD
AB ．
1
2
(1)求C1 的离心率；
(2)设M 是C1 与C2 的公共点，若 MF 5 ，求C1 与C2 的标准方程．
6．(2018 江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 过点( 3, 1 ) ，焦点
2
F1 ( 3, 0), F2 ( 3, 0) ，圆O 的直径为 F1F2 ．
(1) 求椭圆C 及圆O 的方程；
(2) 设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点 P ．
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；
②直线l 与椭圆C 交于 A, B 两点．若△OAB 的面积为
，求直线l 的方程．
4
3
y
1 2
7．(2017 新课标Ⅱ)设O 为坐标原点，动点 M 在椭圆C
：
x
2
2
2
1 上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N
，
点 P 满足 NP
2 NM ．
(1) 求点 P 的轨迹方程；
(2) 设点Q 在直线 x 3 上，且OP PQ 1 ．证明：过点 P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点 F ．
8．(2016 全国Ⅲ文理)已知抛物线C ： y
2 2x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线l , l 分别交C 于 A，B
两点，交C 的准线于 P，Q 两点．
(I)若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR FQ ；
(II) 若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程．
9．(2015 江苏理)如图，在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 x
2
y
2
1a b 0 的离心率为2
，且右
a
2
b
2
2
焦点 F 到左准线l 的距离为 3．
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 过 F 的直线与椭圆交于 A, B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线l 和 AB 于点 P, C ，若 PC
2AB ， 求直线 AB 的方程．
5
3
10．(2014 广东理)已知椭圆C : x
a
2
y
2
1(a b 0) 的一个焦点为( 5, 0) ，离心率为
．
b
2
3
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程；
(Ⅱ)若动点 P(x0 , y0 ) 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程．
11．(2014 辽宁理)圆 x
2 y
2 4 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小
x
2
y
2
时，切点为 P (如图)，双曲线C1 :
a
2
b
2
1 过点 P 且离心率为
．
(1) 求C1 的方程；
(2) 椭圆C2 过点 P 且与C1 有相同的焦点，直线l 过C2 的右焦点且与C2 交于 A ，B 两点，若以线段 AB
为直径的圆心过点 P ，求l 的方程．
x
2
12．(2013 四川理)已知椭圆 C：
a
2
y
2
b
2
1(a b 0) 的两个焦点分别为 F1 (1，0) ， F（2 1，0），且
椭圆 C
经过点
P(
4 1，）．
3 3
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率
(Ⅱ)设过点 A（0，2）的直线l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，点 Q 是 MN 上的点，且
2
AQ 2
1
AM 2
1
AN 2 ，求点 Q 的轨迹方程．
2
2
AG GB
2
2
x
2
y
2
13．(2011 天津理)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(a, b) (a b 0) 为动点，F1 , F2 分别为椭圆
a
2
b
2 1
的左右焦点．已知△ F1PF2 为等腰三角形．
(Ⅰ)求椭圆的离心率e ；
(Ⅱ)设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点，M 是直线 PF2 上的点，满足 AM BM 2 ，求点 M 的轨迹方程．
考点 99 定点与定值问题
14．【2020 全国Ⅰ文 21 理 20】已
知
A ,
B
分别为椭圆 E
:
x
2
a
2
y
1a 1 的左、右顶点，G 为 E 的上顶
点，
8 ， P 为直线 x 6 上的动点， PA 与 E 的另一交点为C , PB 与 E 的另一交点为 D ．
(1) 求 E 的方程；
(2) 证明：直线CD 过定点．
2
15.
【2020 山东】已知椭圆C : x
y
1(a
b
0) 的离心率为
2
，且过点 A2 , 1 ．
a
b
2
(1)求C 的方程；
(2)点 M ， N 在C 上，且 AM AN ， AD MN ， D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得 DQ 为定值．
16.
【2019 全国Ⅲ理】已知曲线 C：y= x
2 ，D 为直线 y=
1
2
上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别
2
2
为 A，B．
(1)证明：直线 AB 过定点：
5
(2)若以 E(0，
2
)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积．
17.
【2019 北京理】已知抛物线 C：x2=−2py 经过点(2，−1)．
(1)求抛物线 C 的方程及其准线方程；
(2) 设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y=−1 分别交
直线 OM，ON 于点 A 和点 B．求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点．
18.
【2019 全国Ⅲ文】已知曲线 C：y= x
2
，D 为直线 y=
1
2
上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别
为 A，B．
(1)证明：直线 AB 过定点；
5
(2)若以 E(0，
2
)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程．
19.
【2019 北京文】已知椭圆C : x
a
2
y
2
1 的右焦点
为
b
2
(1,
0)
，且经过
点
A(0,1) ．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2) 设 O 为原点，直线l : y kx t(t 1) 与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP 与 x 轴交于点 M，直
2
2
2
b
0)
线 AQ 与 x 轴交于点 N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线 l 经过定点．
20．【2018 北京文 20】(本小题 14 分)
已知椭圆 M ： x
a
2 y
2
1 (a
的离心率为
b
，焦距为 2
3
，斜率为k 的直线l 与椭圆 M 有两个
不同的焦点 A, B
(I)求椭圆 M 的方程；
(II) 若 k 1 ，求 AB 的最大值；
(III) 设 P 2 , 0 ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为C ，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D ，若C , D
和点Q 7 , 1 共线，求 k ．
4 4
21．【2018 北京理 19】(本小题 14 分)
已知抛物线C : y
2 2 px 经过点 P 1 , 2 ，过点Q 0 , 1的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点 A , B
，且直线 PA 交于 y 轴与 M ，直线 PB 交 y 轴与 N ．
(I)求直线l 的斜率的取值范围．
(II) 设O 为原点， QM QO , QN QO ，求证：1
1 为定值．
2
6
2
3
y
x
2
y
2
22．(2017 新课标Ⅰ理)已知椭圆C ：
a
2
b
2 1(a b 0) ，四点 P1 (1,1) ， P2 (0,1) ，
P (1,
) ， P (1, 3 ) 中恰有三点在椭圆C 上．
3
2
4
2
(1) 求C 的方程；
(2) 设直线l 不经过 P2 点且与C 相交于 A ， B 两点．若直线 P2 A 与直线 P2 B 的斜率的和为1，证明：l
过定点．
23．(2017 新课标Ⅱ文理)设O 为坐标原点，动点 M 在椭圆C
：
x
2
2
2
1 上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足
为 N ，点 P 满足 NP
(1) 求点 P 的轨迹方程；
2 NM ．
(2) 设点Q 在直线 x 3 上，且OP PQ 1 ．证明：过点 P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点 F
．
24．(2017 北京文)已知椭圆C 的两个顶点分别为 A(2, 0) ， B(2, 0) ，焦点在 x 轴上，离心率为 3 ．
2
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点 M ，N ，过 D 作 AM 的垂线交 BN
于点 E ．求证： BDE 与BDN 的面积之比为 4：5．
3
25．(2016 年全国 I 理)设圆 x
2 y
2 2x 15 0 的圆心为 A ，直线l 过点 B(1, 0) 且与 x 轴不重合，l 交圆 A
于C ， D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E ．
(I)证明 EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；
(II)设点 E 的轨迹为曲线C1 ，直线l 交C1 于 M ， N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P ， Q 两
点， 求四边形 MPNQ 面积的取值范围．
26．(2016 年北京文)已知椭圆C ： x
a
2
(Ⅰ)求椭圆C 的方程及离心率；
y
2
b
2
1 过 A(2, 0) ， B(0,1) 两点．
(Ⅱ)设 P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N ，求
证： 四边形 ABNM 的面积为定值．
27．(2016 年北京理)已知椭圆C ： x
a
2
ΔOAB 的面积为 1．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
y
2
b
2
1(a
b
0) 的离心率为
2
， A(a, 0) ， B(0, b) ， O(0, 0)
，
(Ⅱ)设 P 是椭圆C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N
． 求证： | AN | | BM |为定值．
2
2
2
x
2
y
2
28．(2016 年山东文)已知椭圆 C：
a
2 b
2
1(a
b
0) 的长轴长为 4，焦距为 2 2．
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程；
(Ⅱ)过动点 M(0，m)(m>0)的直线交 x 轴与点 N，交 C 于点 A，P(P 在第一象限)，且 M 是线段 PN
的中点．过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延长线 QM 交 C 于点 B．
k
(i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k'，证明
k
(ii)求直线 AB 的斜率的最小值．
为定值；
29．(2015 新课标 2 文)已知椭圆C ： x
a
2
在C 上．
(Ⅰ)求C 的方程；
y
2
b
2
1(a
b
0) 的离心率为
2
，点(2, 2)
(Ⅱ)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点 A, B ，线段 AB 的中点为 M ．证明：直线
OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．
30．(2015 新课标 2 理)已知椭圆 C： 9x
2 y
2 m
2 ( m 0 )，直线l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C
2
2
2
3
有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M．
(Ⅰ)证明：直线 OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
(Ⅱ)若 l 过
点
m
(
,
m) 3
，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时 l 的斜
率；若不能，说明理由．
31．(2015 陕西文)如图，椭圆 E ： x
a
2
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程；
y
2
1( a > b >0)经过点 A(0, 1) ，且离心率为
．
b
2
2
(Ⅱ)经过点(1,1) ，且斜率为k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P, Q (均异于点 A )，证明：直线 AP 与 AQ
的斜率之和为 2．
32．(2014 江西文理)如图，已知双曲线C
：
x
2
a
2
y
1( a 0 )的右焦点 F ，点 A, B 分别在C 的两条渐近
线上， AF x 轴， AB OB, BF ∥ OA ( O 为坐标原点)．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过C 上一点
P(x0,
y0 )(
y0
0) 的直线l : x0 x y
a
2
0y 1 与直线 AF 相交于点 M ，与直线 x 相交于点
2
N ，证明：当点 P 在C 上移动时，
恒为定值，并求此定值．
2
MF
NF
x
2
y
2
3
33．(2013 山东文理)椭圆C :
a
2
b
2 1(a b 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ，离心率
为
2
，过 F1 且垂
直于 x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为 l．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)点 P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1 , PF2 ．设F1PF2 的角平分线 PM 交C 的长轴于点
M m, 0 ，求 m 的取值范围；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，过点 P 作斜率为 k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线 PF1 , PF2 的
斜率分别为 k , k ，若 k 0 ，试证明 1 1
为定值，并求出这个定值．
kk1
kk2
34．(2012 湖南理)在直角坐标系 xoy 中，曲线C 的点均在C ：(x 5)
2 y
2 9 外，且对C 上任意一点 M ，
1
2
1
M 到直线 x 2 的距离等于该点与圆C2 上点的距离的最小值．
(Ⅰ)求曲线C1 的方程；
(Ⅱ)设 P(x0 , y0 ) ( y 3 )为圆C2 外一点，过 P 作圆C2 的两条切线，分别与曲线C1 相交于点 A，B 和 C，
D．证
1
2
x
1
2
明：当 P 在直线 x 4 上运动时，四点 A，B，C，D 的纵坐标之积为定值．
考点 100 最值与范围问题
35.
【2020 年江苏 18】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E : x y
4
3 1 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ，
点
A 在椭圆 E 上且在第一象限内， AF2 F1F2 ，直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B ．
(1)求AF1F2 的周长；
(2)在 x 轴上任取一点 P ，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点Q ，求OP QP 的最小值；
(3)设点 M 在椭圆 E 上，记OAB 与MAB 的面积分别为 S1 , S2 ，若 S2 3S1 ，求点 M 的坐标．
2
36.
【2020 浙江 21】如图，已知椭圆C1 :
2
y
2 1 ，抛物线
C2
: y
2 2 px( p 0) ，点 A 是椭圆C 与抛
物线C2 的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆C1 于点 B，交抛物线C2 于 M(B，M 不同于 A)．
2
(Ⅰ)若 p 1
16 ，求抛物线C2 的焦点坐标；
(Ⅱ)若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值．
1
37.
【2019 全国Ⅱ理】已知点 A(−2，0)，B(2，0)，动点 M(x，y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为−
．
记
2
M 的轨迹为曲线 C．
(1)求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；
(2) 过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交 C 于
点 G．
(i)证明： △PQG 是直角三角形；
(ii) 求△PQG 面积的最大值．
38.
【2019 浙江】如图，已知点 F (1，0) 为抛物线 y
2 2 px( p 0) 的焦点，过点 F 的直线交抛物线于
A、B
两点，点 C 在抛物线上，使得△ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 Q 在点 F 的右侧．记
△AFG,△CQG 的面积分别为 S1 , S2 ．
(1)求 p 的值及抛物线的准线方程；
(2)求 S1 的最小值及此时点 G 的坐标．
S2
39．(2018 浙江 21)
如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线C : y
2 4x 上存在不同的两点 A, B 满足 PA, PB 的
中点均在C 上．
(I)设 AB 中点为 M ，证明： PM 垂直于 y 轴；
(II) 若 P 是半椭圆
x
2
y
2
1(x
0) 上的动点，求△PAB 面积的取值范围．
4
, )
1
3
40．(2017 浙江文理)如图，已知抛物线 x
2 y ．点 A( 1
1
2 4
3 9
，B( , )
2 4
，抛物线上的点 P(x, y) ( x
) ，
2
2
过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为Q ．
(Ⅰ)求直线 AP 斜率的取值范围；
(Ⅱ)求| PA | | PQ |的最大值．
2
41．(2017 山东文)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： x
a
2
y
2
1 (a b 0) 的离心率为
b
2
2
，椭圆
C 截直线 y 1 所得线段的长度为 2 ．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)动直线l ： y kx m(m 0) 交椭圆C 于 A ， B 两点，交 y 轴于点 M ．点 N 是 M 关于O 的对
称
点， N 的半径为| NO | ．设 D 为 AB 的中点，DE ，DF 与 N 分别相切于点 E ，F ，求
EDF
的最小值．
42．(2017 山东理)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E ： x
2
y
2
1 a b 0 的离心率为 2 ，焦距为 2 ．
a2
b2
2
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程；
(Ⅱ)如图，动直线l ： y k x 3 交椭圆 E 于 A, B 两点， C 是椭圆 E 上一点，直线OC 的斜率为 k ，且
1
2
2
k1k2
2 ， M 是线段OC 延长线上一点，且 MC : AB 2 : 3 ， M 的半径为 MC ， OS,OT 是M 的两条
4
切线，切点分别为 S,T ．求SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．
2
2
E : x
y
2
2
2
43．(2016 全国 II 理)已知椭圆
1 的焦点在
x
轴上，A 是
E
的左顶点，斜率为k (k
0)
的直线
t
3
交 E 于 A, M 两点，点 N 在 E 上， MA NA ．
(Ⅰ)当t 4,| AM || AN | 时，求AMN 的面积；
(Ⅱ) 当 2
AM
AN 时，求k 的取值范围．
44．(2016 天津理)设椭圆 x y
a2
3 1 (a
3) 的右焦点为 F ，右顶点为 A ，已知
1
| OF
|
1
| OA
|
3e
| FA |
，其中O 为原点， e 为椭圆的离心率．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
2
2
2
(Ⅱ)设过点 A 的直线l 与椭圆交于点 B ( B 不在 x 轴上) ，垂直于l 的直线与l 交于点 M ，与 y 轴交于点
H ， 若 BF HF ，且MOA ≤MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．
45．(2016 浙江文)如图，设抛物线 y
2 2 px( p 0) 的焦点为F，抛物线上的点 A 到y 轴的距离等于| AF | 1
．
(I)求 p 的值；
(II) 若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N，AN 与 x
轴交于点 M．求 M 的横坐标的取值范围．
x
2
y
2
45．( 2015 重庆文)如图，椭圆
a
2
b
2
P, Q 两点，且 PQ PF1 ．
1( a > b >0)的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，且过 F2 的直线交椭圆于
(Ⅰ) 若
PF1
2
|，
PF2
2
|，求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)若| PQ PF1
3
4
，且
≤
≤
，试确定椭圆离心率e 的取值范围．
4
3
3
46．(2014 新课标 1 文理) 已知点 A (0, 2) ，椭圆 E ： x
a
2
y
2
b
2
1(a
b
0) 的离心率为
2
， F 是椭圆
E 的右焦点，直线 AF 的斜率为
3
(Ⅰ)求 E 的方程；
， O 为坐标原点．
(Ⅱ)设过点 A 的动直线l 与 E 相交于 P, Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求l 的方程．
47．(2014 浙江文理)如图，设椭
圆
x
2
y
2
动直线l 与椭圆C 只有一个公共点 P ，且点 P
C :
a
2
1 a
b
0 ,
b
2
在第一象限．
(Ⅰ)已知直线l 的斜率为 k ，用 a, b, k 表示点 P 的坐标；
(Ⅱ)若过原点O 的直线l1 与l 垂直，证明：点 P 到直线l1 的距离的最大值为 a b ．
2
2 3
2
48．(2015 山东理)平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C ：
x
a
2
y
2
1(a b 0) 的离心率为
b
2
2
，左、右
焦点分别是 F1 、F2 ．以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
2
(Ⅱ)设椭圆 E ： x y
1 ，P 为椭圆C 上任意一点，过点 P 的直线 y kx m 交椭圆 E 于 A, B 两
点，
4a
2
4b
2
射线 PO 交椭圆 E 于点Q ．
( i )求
| OQ
|
| OP
|
的值；
(ii)求△ ABQ 面积的最大值．
49．(2014 山东文理)已知抛物线C : y2 2 px( p＞0）的焦点为 F ， A 为C 上异于原点的任意一点，过点
A
的直线l 交C 于另一点 B ，交 x 轴的正半轴于点 D ，且有 FA FD ，当点 A 的横坐标为 3 时，ADF
2
3
为正三角形．
4 10
y
(Ⅰ)求C 的方程；
(Ⅱ)若直线l1 // l ，且l1 和C 有且只有一个公共点 E ，
(ⅰ)证明直线 AE 过定点，并求出定点坐标；
(ⅱ) ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
50．(2014 山东理)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C :
x
a
2
y
2
1(a b 0) 的离心率为
b
2
2
，直线 y x
被椭圆C 截得的线段长为
．
5
(Ｉ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点(A，B 不是椭圆 C 的顶点)．点 D 在椭圆 C 上，且 AD AB
， 直线 BD 与 x 轴、 y 轴分别交于 M，N 两点．
(ⅰ)设直线 BD，AM 的斜率分别为 k1 , k2 ，证明存在常数使得 k1 k2 ，并求出的值；
(ⅱ)求OMN 面积的最大值．
51．(2014 四川文理)已知椭圆 C： x
a
2
2
1( a b 0 )的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端
b
2
点构成正三角形．
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程；
(Ⅱ)设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x 3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q．
(i)证明：OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点)；
(ii)当| TF
|
| PQ
|
最小时，求点 T 的坐标．
2
2
3
52．(2013 广东文理)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点 F 0, cc 0 到直线l : x y 2 0 的距离为
．设 P 为直线l 上的点，过点 P 作抛物线C 的两条切线 PA, PB ，其中 A, B 为切点．
(Ⅰ)求抛物线C 的方程；
(Ⅱ)当点 P x0, y0 为直线l 上的定点时，求直线 AB 的方程；
(Ⅲ)当点 P 在直线l 上移动时，求 AF
BF
的最小值．
53．(2011 新课标文理)在平面直角坐标系 xoy 中， 已知点 A(0, 1) ， B 点在直线 y 3 上， M 点满足
MB / /OA ， MA AB MBBA ， M 点的轨迹为曲线 C．
(Ⅰ)求 C 的方程；
(Ⅱ) P 为 C 上动点， l 为 C 在点 P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．
54．(2011 广东文理)设圆 C 与两圆(x
5)
2 y
2 4, (x
5)
2 y
2 4 中的一个内切，另一个外切．
(1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程；
(2)已知点 M (3 5 , 4 5 ), F ( 5, 0) ，且 P 为 L 上动点，求 MP FP
5
5
的最大值及此时点 P 的坐标．
3 2
2
考点 101 探索型与存在性问题
55．【2018 上海 20】(本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分，第
3
小题满分 6 分)
设常数t 2 ，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F 2 ,0 ，直线l : x t ，曲线 : y2 8x 0 x t ,y 0
． l 与 x 轴交于点 A ，与交于点 B ,P ,Q 分别是曲线与线段 AB 上的动点．
(1)用t 为表示点 B 到点 F 的距离；
(2)设t 3 , FQ 2 ，线段OQ 的中点在直线 FP 上，求△AQP 的面积；
(3)设t 8 ，是否存在以 FP ,FQ 为邻边的矩形 FPEQ ，使得点 E 在上？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，
说明理由．
56．(2016 全国 I 文)在直角坐标系 xOy 中，直线l ： y t(t 0) 交 y 轴于点 M ，交抛物线C ：
y
2 2 px( p 0) 于点 P ， M 关于点 P 的对称点为 N ，连结ON 并延长交C 于点 H ．
(I)求| OH |
；
| ON |
(II) 除 H 以外，直线 MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．
x
2
57．(2015 新课标 1 理)在直角坐标系 xoy 中，曲线C ： y 与直线 y kx a (a 0) 交与 M ，N 两点，
4
(Ⅰ)当 k 0 时，分别求C 在点 M 和 N 处的切线方程；
(Ⅱ) y 轴上是否存在点 P ，使得当 k 变动时，总有OPM OPN ？说明理由．
2
58．(2015 北京理)已知椭圆C ： x
2
2 1a b 0 的离心率
为
，点 P 0，1 和点 Am ，n m ≠ 0
都
a
b
2
在椭圆C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M ．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程，并求点 M 的坐标(用 m ， n 表示)；
(Ⅱ)设O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N ．问： y 轴上是否存在点Q ，使得
OQM ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
59．(2015 湖北理)一种作图工具如图 1 所示．O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过
N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 DN ON 1 ， MN 3 ．当栓子 D 在滑槽
AB 内作往复运动时，带．动．N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为 C．
以O 为原点， AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系．
(Ⅰ)求曲线 C 的方程；
(Ⅱ)设动直线l 与两定直线l1 : x 2 y 0 和l2 : x 2 y 0 分别交于 P, Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只
有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
y
2
2
2
PA
PB
y
1
a
b
60．(2015 四川理)如图，椭圆 E ： x
a
2
y
2
+
b
2
1(a b 0) 的离心率是
2
，过点 P(0,1) 的动直线 l 与椭圆
相交于 A, B 两点，当直线l 平行与 x 轴时，直线l 被椭圆 E 截得的线段长为2
．
(1) 求椭圆 E 的方程；
(2) 在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点Q ，使
得
恒成立？若存在，求出点Q
的坐标；若不存在，请说明理由．
61．(2015 浙江理)已知椭圆
(Ⅰ)求实数 m 的取值范围；
x
2
2
2
1 上两个不同的点 A, B 关于直线 y mx 对称．
2
(Ⅱ)求AOB 面积的最大值( O 为坐标原点)．
x
2
y
2
62．(2014 湖南文理)如图 5， O 为坐标原点，双曲线C1 : 2
2
1
1
1(a1 0,b1 0) 和椭圆
2
2
QA
QB
a
b
x2
y2
2 3
C2 :
2
2
2
2
1(a2 b2 0) 均过点 P(
3
,1) ，且以C1 的两个顶点和C2 的两个焦点为顶点的四边形
是面积为 2 的正方形．
(Ｉ)求C1,C2 的方程；
(Ⅱ)是否存在直线l ，使得l 与C1 交于 A, B 两点，与C2 只有一个公共点，且| OA OB || AB |？证明
你的结论．
63．(2013 安徽文理)已知椭圆C : x
a
2
y
2
1(a b 0) 的焦距为4，且过点 P( 2，3) ．
b
2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程；
(Ⅱ)设Q(x0 , y0 )(x0 y0 0) 为椭圆C 上一点，过点Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E ．取点 A(0, 2 2) ，
连接 AE ，过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D ．点G 是点 D 关于 y 轴的对称点，作直线
QG ，
问这样作出的直线QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由．
64．(2013 湖北文理)如图，已知椭圆C1 与C2 的中心在坐标原点O ，长轴均为 MN 且在 x 轴上，短轴长分别
2
2
3
y
为2m ，2n (m n) ，过原点且不与 x 轴重合的直线l 与C1 ，C2 的四个交点按纵坐标从大到小依次为
A，
B，C，D．记 m ，△ BDM 和△ ABN 的面积分别为 S 和 S ．
n
1
2
(Ⅰ)当直线l 与 y 轴重合时，若 S1 S2 ，求的值；
(Ⅱ)当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1 S2 ？并说明理由．
65．(2012 广东文理)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C ： x
a
2
y
2
1(a b 0) 的离心率e
，
b
2
且椭圆C 上的点到Q(0, 2) 的距离的最大值为 3．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)在椭圆C 上，是否存在点 M (m, n) 使得直线l ：mx ny 1 与圆O ： x
2 y
2
1
相交于不同的两
点 A, B ，且OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及相对应的OAB 的面积；若不
存在，请说明理由．
66．(2011 山东文理)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C
:
x
2
2
3
1 ．如图所示，斜率为 k (k＞0) 且不
过原点的直线l 交椭圆C 于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 E ，射线 OE 交椭圆C 于点G ，交直线
x 3 于点 D(3, m) ．
2
(Ⅰ)求 m
2 k
2 的最小值；
(Ⅱ) 若 OG
2 OD ∙ OE ，
(i)求证：直线l 过定点；
(ii)试问点 B ，G 能否关于 x 轴对称？若能，求出此时ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由．
