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专题30 圆锥曲线中的定值问题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质．比如，双曲线有如
下性质：A，B分别为双曲线 的左、右顶点，从C上一点P（异于A，B）向实轴引
垂线，垂足为Q，则 为常数．若C的离心率为2，则该常数为（ ）
A． B． C． D．3
2．已知椭圆 ，A，B分别是椭圆C的左、右顶点， ，直线m经过点B且垂直于x轴，P
是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交m于点M，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知F为抛物线C： 的焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线C于
A、B两点，则直线OA、OB的斜率之和为（ ）
A．－2 B．－2P C．－4 D．－4P
4．过抛物线 的焦点 作直线 交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P.
已知 是一个定值，则该定值为（ ）
A．2 B． C． D．
5．已知点 ， 在椭圆 上， 为坐标原点，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，若，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．双曲线 和椭圆 的右焦点分别为 ， ， ，
分别为 上第一象限内不同于 的点，若 ， ，则四条直线
的斜率之和为（ ）
A．1 B．0 C． D．不确定值
7．双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ，离心率为 ，焦距为 .设 是双曲线 上
任意一点，且 在第一象限，直线 与 的倾斜角分别为 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．与 位置有关
8．已知P为椭圆 上任意一点，点M，N分别在直线 与 上，且
， ，若 为定值，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知抛物线 与圆 交于 、 两点，且 ，直线 过 的焦点 ，
且与 交于 、 两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．存在某条直线 ，使得
D．若点 ，则 周长的最小值为
10．已知 ， 是椭圆 ： 的左右顶点，过点 且斜率不为零的直线与 交于 ， 两点，
， ， ， 分别表示直线 ， ， ， 的斜率，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．直线 与 的交点的轨迹方程是
11．在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的离心率为 ，且双曲线 的左焦
点在直线 上， 、 分别是双曲线 的左、右顶点，点 是双曲线 的右支上位于第一象限
的动点，记 、 的斜率分别为 、 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的渐近线方程为 B．双曲线 的方程为
C． 为定值 D．存在点 ，使得
12．点 分别为椭圆 的左、右焦点且 ．点P为椭圆上任意一点，
的面积的最大值是1，点M的坐标为 ，过点 且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两
点，则下列结论成立的是（ ）
A．椭圆的离心率
B． 的值与k相关C． 的值为常数
D． 的值为常数-1
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知抛物线 的焦点为 ，准线 交 轴于点 ，过点 的直线交该抛物线于 两点，则直线
与直线 的斜率之和为 ．
14．已知椭圆 的左顶点为A，O为坐标原点，直线 与椭圆C交于M，N
两点，射线 与椭圆C交于点P，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 ．
15．已知点M、N分别是椭圆 上两动点，且直线 的斜率的乘积为 ，若椭圆上任一
点P满足 ，则 的值为 .
16．已知A，B是双曲线 上的两个动点，动点P满足 ，O为坐标原点，直线OA
与直线OB斜率之积为2，若平面内存在两定点 、 ，使得 为定值，则该定值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知双曲线 ，渐近线方程为 ，点 在 上；
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的两条直线 ， 分别与双曲线 交于 ， 两点（不与 点重合），且两条直线的斜率 ，
满足 ，直线 与直线 ， 轴分别交于 ， 两点，求证： 的面积为定值.18．已知双曲线 ： 实轴 长为4（ 在 的左侧），双曲线 上第一象限内的一点 到两渐
近线的距离之积为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设过 的直线与双曲线交于 ， 两点，记直线 ， 的斜率为 ， ，请从下列的结论中选
择一个正确的结论，并予以证明.
① 为定值；
② 为定值；
③ 为定值
19．已知椭圆 的左、右焦点为 ，离心率为 .点 是椭圆 上不同于顶点的任意一点，射线 分别与椭圆 交于点 ， 的周长为8.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 ， ， 的面积分别为 .求证： 为定值.
20．如图3所示，点 ， 分别为椭圆 的左焦点和右顶点，点 为抛物线
的焦点，且 （ 为坐标原点）.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，连接 ， 并延长交抛物线的准线于点 ， ，求证：
为定值.21．已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 的焦点为 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)若直线l与 交于M，N两点，与 交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且
，证明： 为定值．
22．设点F为抛物线C： 的焦点，过点F且斜率为 的直线与C交于A，B两点
（O为坐标原点）
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点 作两条斜率分别为 ， 的直线 ， ，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知
，问：是否存在实数 ，使得 为定值?若存在，求 的值，若不存在，请说明
理由.
