文档内容
拔高点突破 02 圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学
性质问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................6
题型一：仿射变换问题........................................................................................................................6
题型二：非对称韦达问题..................................................................................................................13
题型三：椭圆的光学性质..................................................................................................................20
题型四：双曲线的光学性质..............................................................................................................26
题型五：抛物线的光学性质..............................................................................................................35
03 过关测试.........................................................................................................................................39一、仿射变换问题
仿射变换有如下性质：
1、同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线；
2、结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上；
3、其它不变关系．
我们以椭圆为例阐述上述性质．
椭圆 ，经过仿射变换 ，则椭圆变为了圆 ，并且变换过程有
如下对应关系：
（1）点 变为 ；
（2）直线斜率 变为 ，对应直线的斜率比不变；
（3）图形面积 变为 ，对应图形面积比不变；
（4）点、线、面位置不变（平⾏直线还是平⾏直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相
切依然是相切等）；
（5）弦长关系满足 ，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变
总结可得下表：
变换前 变换后
方程
横坐标
纵坐标
斜率面积
弦长
不变量 平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比
二、非对称韦达问题
在一元二次方程 中，若 ，设它的两个根分别为 ，则有根与系数关系：
，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理 之类的结构，
但在有些问题时，我们会遇到涉及 的不同系数的代数式的应算，比如求 或
之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立
直线和圆锥曲线方程，消去 或 ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种
形如 或 之类中 的系数不对等的情况，这些式子是非对称结
构，称为“非对称韦达”．
三、光学性质问题
1、椭圆的光学性质
从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点（如图1）．
【引理1】若点 在直线 的同侧，设点是直线 上到 两点距离之和最小的点，当且仅当点
是点 关于直线 的对称点 与点 连线 和直线 的交点．
【引理2】若点 在直线 的两侧，且点 到直线的距离不相等，设点 是直线 上到点 距
离之差最大的点，即 最大，当且仅当点 是点 关于直线 的对称点 与点 连线 的延长线
和直线 的交点．
【引理3】设椭圆方程为 ， 分别是其左、右焦点，若点 在椭圆外，则．
2、双曲线的光学性质
从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦点（如图）．
【引理4】若点 在直线 的同侧，设点是直线 上到 两点距离之和最小的点，当且仅当点
是点 关于直线 的对称点 与点 连线 和直线 的交点．
【引理5】若点 在直线 的两侧，且点 到直线的距离不相等，设点 是直线 上到点 距
离之差最大的点，即 最大，当且仅当点 是点 关于直线 的对称点 与点 连线 的延长线
和直线 的交点．
【引理6】设双曲线方程为 ， 分别是其左、右焦点，若点 在双曲线外
（左、右两支中间部分，如图），则 ．
3、抛物线的光学性质
从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线与抛物线的轴平行（或重合）．
反之，平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点．【结论 1】已知：如图，抛物线 ， 为其焦点， 是过抛物线上一点
的切线， 是直线 上的两点（不同于点 ），直线 平行于 轴．求证： ．
（入射角等于反射角）
【结论2】已知：如图，抛物线 ， 是抛物线的焦点，入射光线从 点发出射到抛
物线上的点 ，求证：反射光线平行于 轴．题型一：仿射变换问题
【典例1-1】如图，作斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，且 在直线 的上方，
则△ 内切圆的圆心所在的定直线方程为 ．
【答案】
【解析】如图，作仿射变换： ，椭圆变为 ，直线 的斜率 变为直线 的斜率 ，
变为
，
由垂径定理 平分 ，其方程为 ，
平分 ，
△ 内切圆的圆心所在的定直线方程为 ．
故答案为：【典例1-2】Р是椭圆 上任意一点，O为坐标原点， ，过点Q的直线交椭圆于A，B
两点，并且 ，则 面积为 ．
【答案】
【解析】作变换 之后椭圆变为圆，方程为 ，
是 的重心，又O是 的外心
′是等边三角形，
∴ ．
故答案为：
【变式1-1】已知椭圆的标准方程为 ．
(1)设动点 满足： ，其中 ， 是椭圆上的点，直线 与 的斜率之积为 ，问：
是否存在两个定点 ，使得 为定值？若存在，求 的坐标；若不存在，说明理由．
(2)设动点 满足： ，其中 ， 是椭圆上的点，直线 与 的斜率之积为 ，问：
是否存在点 ，使得点 到 的距离与到直线 的距离之比为定值？若存在，求 的坐标；若不存
在，说明理由．
【解析】（1）设椭圆上一点为 ，椭圆上的点 ， ，令 ， 椭圆的方程为 ， ，
可得 是以 为圆心，半径为2的圆上的点，记仿射变换下 ， 在圆上对应的点为 ，
，
直线 与 的斜率之积为
．可得 .
， 四边形 为正方形，于是 ，
则点 的轨迹方程为 ，因此点 的轨迹方程为 ，即 . ，
由椭圆的定义可得，存在符合题意的点 ，坐标为 （即椭圆的两个焦点）．
（2） ，由（1）可知，此时四边形 为矩形，于是 ，
点 的轨迹方程为 ，因此点 的轨迹方程为 ，即 .
， ，
直线 为椭圆 的右准线.
由椭圆的定义可得，存在符合题意的点 ，坐标为 （即椭圆的右焦点）．
x2 y2
【变式1-2】已知椭圆C: + =1(a>b>0)经过点 ，其离心率为 ，设 ， ， 是椭圆 上
a2 b2
的三点，且满足 ，其中 为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明： 的面积是一个常数．
【解析】（1）依题意可得 ，解得 ，
所以椭圆的标准方程为 .（2）令 ，所以 ，
设 ， ， 是圆 上的三点，且 ， ，
所以
，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 的面积是一个常数 ．
法二：设 ， ， ，
可得 ， ， ，由 ，
可得 ，
即有 ， ，
可得
，
即有 ，由 ，
可得 ，
又
，
由 ， ，且 ，
即为 ，即 ，
又 ．
则 的面积是一个常数1．
【变式1-3】对于椭圆 ，令 ， ，那么在坐标系 中，椭圆经伸缩变换得
到了单位圆 ，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系
以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的 ，
由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题．
(1)在原坐标系中斜率为k的直线l，经过 ， 的伸缩变换后斜率变为 ，求k与 满足的关系；
(2)设动点P在椭圆 上，过点P作椭圆 的切线，与椭圆 交于点
Q，R，再过点Q，R分别作椭圆 的切线交于点S，求点S的轨迹方程；
(3)点 ）在椭圆 上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该
最大值．
【解析】（1）设 上两点的坐标为 ， ；
经伸缩变换后变为 ， ，则 ； ；
， ；则 ．
（2）作 ， 的伸缩变换，椭圆 变换得到了单位圆 ；
椭圆 变换得到了以原点为圆心的圆 ；
P，Q，R，S变换得到 ， ， ， ．
O， ， 均在 中垂线上，则O， ， 共线．
， ，则 ，
则 ， ，
则 轨迹方程为： ，
代入 ， ，则S轨迹方程为： ．
（3）作 ， 的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆 ，
点A变换得到了 ，
即为 ，并设B，C变换得到了 ， ．
熟知：在单位圆内接三角形中，面积最大为内接正三角形．
则 ， 分别为 绕O点逆时针和顺时针旋转120°得到．
则 ， 坐标分别为 ， ．
即为 ， ，
即B、C坐标分别为 ， ，单位圆内接正三角形面积为 ，则△ABC面积为 ．
综上，所求B，C坐标分别为 ， 或其交换，△ABC面积最大值为
．
【变式1-4】在平面直角坐标系xOy中，若在曲线 的方程 中，以 （ 为非零的正实
数）代替 得到曲线 的方程 ，则称曲线 关于原点“伸缩”，变换
称为“伸缩变换”， 称为伸缩比.
(1)已知曲线 的方程为 ，伸缩比 ，求 关于原点“伸缩变换”后所得曲线 的方程；
(2)射线 的方程 ，如果椭圆 经“伸缩变换”后得到椭圆 ，若射线 与椭圆
分别交于两点A、B，且 ，求椭圆 的方程；
(3)对抛物线 ，作变换 ，得抛物线 ；对 作变换
，得抛物线 ；如此进行下去，对抛物线 作变换
，得抛物线 ，…若 ， ，求数列 的通项公式 .
【解析】（1）由条件得 ，整理得 ，所以 的方程为 ；
（2）因为 ， 关于原点“伸缩变换”，
对 作变换 ，得 ，
联立 ，解得点 的坐标为 ，
联立 ，解得点 的坐标为 ，
所以 ，所以 或 ，
所以 或 ；因此椭圆 的方程为 或 ；
（3）对 作变换 ，
得抛物线 ，得 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
当 时， ，
得 ， 适用上式，
所以数列 的通项公式 .
题型二：非对称韦达问题
【典例2-1】（2024·湖北宜昌·二模）已知 、 分别是离心率 的椭圆 的左
右顶点，P是椭圆E的上顶点，且 .
（1）求椭圆E的方程；
（2）若动直线 过点 ，且与椭圆E交于A、B两点，点M与点B关于y轴对称，求证：直线 恒
过定点.
【解析】（1）由题意得 ， ， ，
则 ，所以 ，
又 ，所以 ， ，所以椭圆E的方程为 .
（2）当直线 的斜率存在时，设直线 ， ， ，则 ，
由 ，消去y得 .由 ，得 ，所以 ， .
，
直线 的方程为 ，
即
，
因为 ， ，所以 ，
直线 的方程为可化为 ，则直线 恒过定点 .
当直线 的斜率不存在时，直线 也过点 ，综上知直线 恒过定点 .
【典例2-2】已知 、 分别是椭圆 的右顶点和上顶点， 、 在椭圆上，且 ，设直线
、 的斜率分别为 、 ，证明： 为定值．
【解析】证明：由题意得 ， ，则 ，
设直线 的方程为 ，设点 、 ．
由 ，消去 得 ，
，可得 ，且有 ，
由韦达定理可得 ， ，
，
，又由 得 ，代入上式得：
，
所以， 为定值 .
【变式2-1】已知椭圆 ： （ ）的左右焦点分别为 ， ， 分别为左
右顶点，直线 ： 与椭圆 交于 两点，当 时， 是椭圆的上顶点，且 的周长
为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 交于点 ，证明：点 在定直线上．
(3)设直线 的斜率分别为 ，证明： 为定值．
【解析】（1）当 时，直线 ： ，令 ，得 ，即椭圆的上顶点为 ，
则 ，
又 的周长为 ，即 ， ，又 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）由（1）知， ，设 ，依题意，点A，B不在x轴上，
由 消去 并整理得： ， ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 、 的方程得 ，
由 得 代入上式，得
，于是得 ，
所以直线 交点 在定直线 上．（3）由（2）知， ，由 得：
，
所以 为定值．
【变式2-2】（2024·河南新乡·三模）已知 分别是椭圆 的左、
右焦点，P是椭圆C上的一点，当PF FF 时，|PF|＝2|PF|．
1 1 2 2 1
（1）求椭圆C的标准方程：
⊥
（2）过点Q（﹣4，0）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为点M′，证明：直线
NM′过定点．
【解析】（1）由 得 ， ，
由椭圆的定义得 ， ， ，
，所以点P的坐标为 ，
将点P的坐标代入椭圆的方程中有 ，
又 ， ，
解得 或 ，
当 ， ，故舍去；
当 ， ，
所以椭圆的标准方程为： .
（2）由题意可知，直线l的斜率必然存在,故设直线l的方程为 ，设 ，则
，
联立方程组 ，得 ，，
解得 ， ， ，
又 ， ，设直线 的方程为 ，
，
当 时， ，所以直线 过定点 .
【变式2-3】已知椭圆 过点 ，且 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点 的直线l交椭圆C于点 ,直线 分别交直线 于点 ．求 的值．
【解析】(Ⅰ)设椭圆方程为： ，由题意可得：
，解得： ，
故椭圆方程为： .
(Ⅱ)[方法一]：
设 ， ，直线 的方程为： ，
与椭圆方程 联立可得： ，即： ，
则： .
直线MA的方程为： ，
令 可得： ，
同理可得： .
很明显 ，且 ，注意到，
，
而
，
故 .
从而 .
[方法二]【最优解】：几何含义法
①当直线l与x轴重合，不妨设 ，由平面几何知识得
，所以 ．
②当直线l不与x轴重合时，设直线 ，由题意，直线l不过 和点 ，所以 ．
设 ，联立 得 ．由题意知 ，所以 ．且
．
由题意知直线 的斜率存在． ．
当 时，．
同理， ．所以 ．
因为 ，所以 ．
【整体点评】方法一直接设直线 的方程为： ，联立方程消去y，利用韦达定理化简求解；
方法二先对斜率为零的情况进行特例研究，在斜率不为零的情况下设直线方程为 ，联立方程消
去x，直接利用韦达定理求得P,Q的纵坐标，运算更为简洁，应为最优解法.
【变式2-4】（2024·湖北·一模）如图， 为坐标原点，椭圆 （ ）的焦距等于其长半
轴长， 为椭圆 的上、下顶点，且
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线 交椭圆 于异于 的 两点，直线 交于点 ．求证：点 的纵坐标
为定值3．
【解析】（1）由题意可知： , ，又 ，
有 ，故椭圆 的方程为： ．
（2）由题意知直线 的斜率存在，设其方程为 ，用 的横坐标表示 的纵坐标，再联立 的方
程和椭圆的方程，消去 得 ，利用韦达定理化简 的纵坐标后可得所求的定值.
设 （ ），
联立直线方程和椭圆方程得 ，消去 得 ，
, ，且有 ，又 ， ，
由 得 ，
故 ，整理得到
，故
．
故点 的纵坐标为3．
题型三：椭圆的光学性质
【典例3-1】欧几里德生活的时期，人们就发现椭圆有如下的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线，经
椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点.现有椭圆 ，长轴长为 ，从 的左焦
点 发出的一条光线，经 内壁上一点 反射后恰好与 轴垂直，且 .
(1)求 的方程;
(2)设点 ，若斜率不为0的直线 与 交于点 均异于点 ，且 在以MN为直径的圆上，
求 到 距离的最大值.
【解析】（1）不妨设 是 的右焦点,
则 轴,又 ,
,
不妨设点 ,则 ,
又 ,
的方程为 .
（2）设 ,直线 的方程为 ,
由 ，整理得 ,
则
故 ,
点在以MN为直径的圆上,
，
，
,
,
即 ,
整理得: ,
,
或 ,
当 时,直线 ,过定点 ,
易知点 在椭圆内,
当 时,直线 ,过定点 ,
此时定点为 点， 两点中的一个与 点重合,所以舍去,直线 方程: , 且直线 恒过定点
点 到 的距离最大值为 .
【典例3-2】阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如椭圆的
光学性质：（如图1）从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上．
在对该性质证明的过程中（如图2），他还特别用到了“角平分线性质定理”： ，从而得到
，而性质得证
根据上述材料回答以下问题
x2 y2
(1)如图3，已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左右焦点分别为 ，一束光线从F (−1,0)射出，经椭圆
a2 b2 1
上 点反射： 处法线（与椭圆 在 处切线垂直的直线）与 轴交于 点，已知 ，
求椭圆 方程（直接写出结果）
(2)已知椭圆 ，长轴长为 ，焦距为 ，若一条光线从左焦点射出，经过椭圆上点若干次反射，第一次
回到左焦点所经过的路程为 ，求椭圆的离心率
(3)对于抛物线 ，猜想并证明其光线性质．
【解析】（1）从椭圆的定义知 ， ，则 ，
又 ， ，所以 ，
由光学性质可知 是 的角平分线，所以 ，即 ，所以得 ，从而
故椭圆 的方程为 .
（2）由题意知光线经过的路程为 ，所以 .
（3）抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，
设焦点 ，动点 ，设过点 的切线方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
由直线 为抛物线y2=2px(p>0)的切线，
故 且 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ,所以 ，
过点的切线斜率为
则入射光线的斜率为 ，设反射光线的斜率为
则
则命题得证.
【变式3-1】（2024·高三·安徽池州·期末）已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射
向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点．若从椭圆 的左焦点 发出的光
线，经过两次反射之后回到点 ，光线经过的路程为8，椭圆C的离心率为 ．(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，若椭圆C的右顶点为A，上顶点为B，动直线l交椭圆C于P、Q两点，且始终满足 ，
作 交 于点M，求 的最大值．
【解析】（1）由椭圆的性质可知，左焦点 发出的光线，经过两次反射之后回到点 ，
可得光线经过的路程为 ，解得 ，
又由椭圆的离心率为 ，可得 ，所以 ，
故 ，故椭圆C的标准方程为 ．
（2）椭圆 ，可得 ，则 ， ，
设 ，直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 且 ，
因为 ，可得 ，
所以
，
化简为 ，
而 到直线 的距离为 ，
即有M的轨迹方程为 ；
法1、设 ，则
，
表示点 与点 的距离的平方，减去 的差；
由点 与 的即离为 ，可得M与点 的距离的最大值为 ，则 的最大值为 .
法2、令 ，设 ，
所以
（其中 ），
当且仅当 时，取“等号”．
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆
上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点．若从椭圆 的左焦点 发出的光线，
经过两次反射之后回到点 ，光线经过的路程为8，T的离心率为 ．
(1)求椭圆T的标准方程；
(2)设 ，且 ，过点D的直线l与椭圆T交于不同的两点M，N， 是T的右焦点，且
与 互补，求 面积的最大值．
【解析】（1）由椭圆的性质可知，左焦点 发出的光线，
经过两次反射之后回到点 ，光线经过的路程为 ，解得 ．
又椭圆的离心率为 ，得 ，
所以 ，
故 ，
故椭圆T的标准方程为 ；
（2）由题意得 ，设 ， ．
因为 与 互补，
所以 ，即 ，
化简整理，可得 ，
设直线MN的方程为 ，
得 ．联立直线MN与椭圆的方程得 ，
整理得 ，
，可得 ，
则 ， ，
所以 ，
解得 ，
故直线MN的方程为 ．
点 到直线MN的距离 ，
，
，
所以 ，
由 ， 可得， ，即 ．
记 ，则 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立．
故 面积的最大值为 ．题型四：双曲线的光学性质
【典例4-1】双曲线在物理学中有很多应用，比如波的干涉图样为双曲线、反射式天文望远镜利用了其光
学性质等等．
(1)已知A、B是在直线l两侧且到直线l的距离不相等的两点，P为直线l上一点．试探究当点P的位置满
足什么条件时， 取最大值；
(2)若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对称．
证明：由双曲线的一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线的另
一个焦点．
【解析】（1）不妨设A点到直线l的距离比B点到直线l的距离大，作点A关于直线l的对称点 ．
当 、B、P三点共线，即l为 的平分线时，有 ；
当 、B、P三点不共线，即l不是 的平分线时，取这样的点 ，
则 、B、 能构成一个三角形，故 （两边之差小于第三边），
因此，当且仅当P的位置使得l为 的平分线时， 取最大值．
（2）不妨设双曲线的焦点在 轴上，实半轴长为 ，虚半轴长为b，左右焦点分别为 ， ，
入射光线 从 出射，入射点 ，反射光线 ，
双曲线在 点处的切线 ， 在 点处的垂线 ，
由光的反射定律， ， 关于 对称，故 ， 关于 对称，
要证：反射光线 过点 ，
只要证： 是 的角平分线，
定义双曲线焦点所在区域为双曲线的内部，渐近线所在区域为双曲线的外部，由双曲线的定义， ，双曲线上任意一点满足方程为 ，
若 ， 满足不等式 ，即 与焦点同在双曲线内部；
若 ， 满足不等式 ，即 在双曲线外部.
故对于双曲线内部的任意一点 ，有 ，
对于双曲线外部的任意一点 ，有 ，
又 是双曲线在 点处的切线，故在 上有且仅有一点 使得 ，
上其他点 均有 ，
故 是 上唯一使得 取最大值的点，
又 ， 到直线 距离不相等，根据(1)中结论，可知 是 的角平分线，
故反射光线 过点 ，命题得证.
【典例4-2】（2024·辽宁丹东·一模）我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的
光学性质，且这些光学性质都与它们的焦点有关．如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，
经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点（如图所示，其中 是反射镜面也是过点 处的切
线）．已知双曲线 （ ， ）的左右焦点分别为 ， ，从 处出发的光线照射到双
曲线右支上的点P处（点P在第一象限），经双曲线反射后过点 ．
(1)请根据双曲线的光学性质，解决下列问题：
当 ， ，且直线 的倾斜角为 时，求反射光线 所在的直线方程；
(2)从 处出发的光线照射到双曲线右支上的点 处，且 三点共线，经双曲线反射后过点 ，
， ，延长 ， 分别交两条渐近线于 ，点 是 的中点，求证： 为
定值．
(3)在（2）的条件下，延长 交y轴于点 ，当四边形 的面积为8时，求 的方程．【解析】（1）因为 ， ，所以 ， ，
故双曲线方程为 ，直线 的方程为 ，
由 ，解得 ，即 ，
所以 ，
所以反射光线 所在的直线方程为 ，即 ；
（2）因为 为直角三角形， ，
可令 ，则 ，
由双曲线的定义可得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
在直角 中， ，
所以直线 的方程为 ，
由 ，
得 ，所以 ，所以 ，
所以两条渐近线得方程为 ，
联立 ，得 ，
设 ，
则 ，
故 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 为定值；
（3）由双曲线得光学性质可得，直线 平分 ，
所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，故 ，
而 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，故点 的坐标为 ，
设四边形 的面积为 ，
则 ，
所以 ，故 ，
所以求 的方程为 ．【变式4-1】（2024·安徽安庆·一模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过
双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线 的左、右
焦点分别为 、 ，从 发出的光线经过图2中的 、 两点反射后，分别经过点 和 ，且
， .
(1)求双曲线 的方程；
(2)设 、 为双曲线 实轴的左、右顶点，若过 的直线 与双曲线 交于 、 两点，试探究直
线 与直线 的交点 是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．
【解析】（1）如图所示：
延长 与 交于 ，因为 ， ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
所以， ，
由双曲线的定义可得 ，则 ，
，则 ，
又因为 ，即 ，解得 ，
所以， ， ，
由勾股定理可得 ，则 ，
故 ，
因此，双曲线 的方程为 .
（2）若直线 与 轴重合，则直线 与双曲线 的交点为双曲线 的两个顶点，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
由题意可得 ，解得 ，
由韦达定理可得 ， ，
易知点 、 ，则 ， ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 、 的方程并消去 可得 ，可得
，解得 ，
因此，直线 与直线 的交点 在定直线 上.
【变式4-2】郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹如盛开的梅花绽放在中原大
地，是现代建筑与艺术的完美结合.双曲抛物面又称马鞍面，其在笛卡尔坐标系中的方程与在平面直角坐标
系中的双曲线方程类似.双曲线在物理学中具有很多应用，比如波的干涉图样为双曲线､反射式天文望远镜
利用了其光学性质等等.
（1）已知 ， 是在直线 两侧且到直线 距离不相等的两点， 为直线 上一点.试探究当点 的位置满足
什么条件时， 取最大值；
（2）若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线
对称.证明：由双曲线一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线的
另一个焦点.
【解析】（1）不妨设 点到直线 的距离比 点到直线 的距离大，作点 关于直线 的对称点 .
当 ， ， 三点共线，即 为 的平分线时，
有 ，
当 ， ， 三点不共线，即 不是 的平分线时，取这样的点 ，则 ， ， 能构成一个三角形，
故 (两边之差小于第三边)，
因此，当且仅当 的位置使得 为 的平分线时， 取最大值.（2）不妨设双曲线的焦点在 轴上，实半轴长为 ，虚半轴长为b，左右焦点分别为 ， ，入射光线
从 出射，入射点 ，反射光线 ，双曲线在 点处的切线 ， 在 点处的垂线 ，
由光的反射定律， ， 关于 对称，故 ， 关于 对称，
要证：反射光线 过点 ，
只要证： 是 的角平分线，
定义双曲线焦点所在区域为双曲线的内部，渐近线所在区域为双曲线的外部，
由双曲线的定义， ，双曲线上任意一点满足方程为 ，
若 ， 满足不等式 ，即 与焦点同在双曲线内部；
若 ， 满足不等式 ，即 在双曲线外部.
故：对于双曲线内部的任意一点 ，有 ，
对于双曲线外部的任意一点 ，有 ，
又 是双曲线在 点处的切线，故在 上有且仅有一点 使得 ，
上其他点 均有 ，
故 是 上唯一使得 取最大值的点，
又 ， 到直线 距离不相等，根据(1)中结论，可知 是 的角平分线，
故反射光线 过点 ，命题得证.题型五：抛物线的光学性质
【典例5-1】抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向
射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知点 为抛物线
的焦点， 为坐标原点， 点在抛物线上，且其纵坐标为 ，满足 .
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)已知平行于 轴的光线 从点 射入，经过抛物线上的点 反射后，再经过抛物线上另一点
，最后沿 方向射出，若射线 平分 ，求实数 的值.
【解析】（1）由题意可知，抛物线 的焦点为 ，将 代入抛物线方程可得 ，
即点 ，
由 可得 ，解得 ，
故抛物线 的标准方程为 .
（2）由题意可知，直线 的方程为 ，由 可得 ，即点 ，
则 ，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，即点 ，设直线 的倾斜角为 ，则 ，
由题意可知， ，且 为锐角， ，可得 ，所以， ，
因为 ，可得 ，解得 .
【典例5-2】抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方
向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后反射光线或其反向延长线必过抛物线的焦
点．已知抛物线 ，O为坐标原点．一束平行于x轴的光线 从点 射入，经过C上
的点 反射后，再经C上另一点 反射后，沿直线 射出，经过点 ．
(1)求证： ；
(2)若PB平分 ，求点B到直线QP的距离．
【解析】（1）证明：抛物线 ，则其准线方程为 ，
由题意得 平行于x轴，且 过点 ，所以 ，
把 代入抛物线的方程 ，解得 ，则 ，
(1 )
由题知，直线AB经过焦点 ,0 ，
2
则直线AB的方程为 ，即 ，联立 得 ，故 ．
（2）由光学性质可知AP平行于x轴，BQ平行于x轴，
则 ，有 ，
若PB平分 ，则 ，所以 ，所以 ．
由 ，
则 ，
可得 ，解得 ．
所以 ，直线QP的斜率为 ，
故直线QP的方程为 ，即 ，
故点B到QP的距离为 ．
【变式5-1】抛物线具有如下光学性质：由其焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的
方向射出.如图，已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点.一条平行于 轴的光线从上方
射向抛物线 ，经抛物线上 ， 两点反射后，又沿平行于 轴的方向射出，且两平行光线间的最小距
离为 .（1）求抛物线 的方程；
（2）过 向抛物线的准线作垂线，垂足为 ，证明： ， ， 三点共线.
【解析】（1）设 ， ，由方程 ，可得 ，
设直线 的方程为： ，
联立方程组 ，整理得 ，
所以 ， ，
则两平行光线间的距离 ，当且仅当 时等号成立
所以 ，即 ，故抛物线方程为 .
（2）由（1）知抛物线方程为 ，可得准线为 ，
则 ， ，可得 ， ，
所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 ， ， 三点共线.
【变式5-2】（2024·高三·青海西宁·开学考试）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线
经该抛物线反射后与对称轴平行．已知抛物线C： ，如图，点F为C的焦点，过F的光线
经拋物线反射后分别过点 ， ．
(1)求C的方程；(2)设点 ，若过点 的直线与C交于R，T两点，求 面积的最小值．
【解析】（1）依题意，点 的纵坐标 ，点 的纵坐标 ，焦点 ，
显然直线 不垂直于 轴，设直线 的方程为 ，
由 消去 得： ，
则 ，即 ，而 ，解得 ，
所以C的方程是 .
（2）显然直线 不垂直于 轴，设直线 的方程为 ， ，
由 消去 得： ， ，
则 ， ，
由 ， ，得 ，且 轴，
因此 的面积 ，当且仅当 时取等号，
所以求 面积的最小值为4.
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，
其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线E： 的左、右焦点分别为 ， ，从 发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且 ，
，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接 ，根据题意， 三点共线， 三点共线.
而 ，且由 知 ，
故 .
所以 ，
故可设 ， ， .
由于
，
故 .
从而 ， ，故 ， .
而 ，结合余弦定理得 .故 ，解得 ，所以 .
故选：C.
2．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，
平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 的焦点为 ，一条
平行于 轴的光线从点 射出，经过拋物线上的点 反射后，再经抛物线上的另一点 射出，则
的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】抛物线 的焦点为 ，准线为 ，由点 在抛物线上，则 ，
直线 方程为： ，即 ，
由 ，消去 得 ，解得 或 ，由 ，得 ，
于是 ， ，
而 ，
所以 的周长为 .
故选：D
3．（2024·高三·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要
著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，
此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦
点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C： （
， ）的左、右焦点分别为 ， ，其离心率 ，从 发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ， ，由题意知 ， ， ，
所以 ， ， ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以 .
故选：B.
4．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个
焦点（如图）.已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，过点 的直线与 交于点 ，
，过点 作 的切线 ，点 关于 的对称点为 ，若 ， ，则 （ ）
注： 表示面积.
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】如图，由椭圆的光学性质可得 三点共线.设 ，
则 .
故 ，解得 .
又 ，所以 ，所以 .故选：C.
5．（多选题）（2024·江苏常州·二模）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜
面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线 的左、右焦点分
别为 ，从 发出的两条光线经过 的右支上的 两点反射后，分别经过点 和 ，其中
共线，则（ ）
A．若直线 的斜率 存在，则 的取值范围为
B．当点 的坐标为 时，光线由 经过点 到达点 所经过的路程为6
C．当 时， 的面积为12
D．当 时，
【答案】ABD
【解析】如图所示，过点 分别作 的两条渐近线的平行线 ，则 的斜率分别为 和 ，
对于A中，由图可知，当点 均在 的右支时， 或 ，所以A正确；
对于B中，光线由 经过点 到达点 所经过的路程为
，所以B正确；
对于C中，由 ，得 ，即 ，所以 ，
设 ，则 ，因为 ，所以 ，整理得 ，
解得 或 （舍去），所以 ， ，
所以 的面积 ，所以C错误；
对于D项，在直角 中， ，
所以 ，所以D正确．
故选：ABD．
6．过椭圆 的右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，则 面积最大值为 .
【答案】
【解析】作变换 之后椭圆变为圆，方程为 ， ，
由于 ，因此 时面积最大，
此时 ，
那么 ，
故答案为：
7．已知椭圆 左顶点为 ， 为椭圆 上两动点，直线 交 于 ，直线 交 于 ，
直线 的斜率分别为 且 ， （ 是非零实数），求
.
【答案】1
【解析】解法1：可得点 ，设 ，则 ，由 可得 ，即有 ，
， ，两边同乘以 ，可得 ，
解得 ，将 代入椭圆方程可得 ，由 可得
，可得 ；
故答案为： ．
解法2：作变换 之后椭圆变为圆，方程为 ，
，
设 ，则 ，
，
∴ ，
，
.
∴
故答案为： ．
8．椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点
上．已知椭圆C： ， 为其左、右焦点． 是 上的动点，点 ，若
的最大值为6，动直线 为此椭圆 的切线，右焦点 关于直线 的对称点
，则椭圆 的离心率为 ； 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】根据椭圆定义得： ，所以 ，
因为 的最大值为6，因为 ，所以 ，即 ，解得 ，
所以离心率为 ，右焦点
关于直线的对称点 ，设切点为 ，由椭圆的光学性质可得： 三点共线，
所以 ，即点 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
圆心 到直线 的距离为 ，
则圆上的点到直线 的距离最小值为 ，最大值为 ，
所以点P(x ,y )到直线 的距离为 ，
1 1
所以 表示点P(x ,y )到直线 的距离的 倍，
1 1
则 ，即 .
故答案为：
9．如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其
中法线 表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为
F (−c,0)， ，由 发出的光经椭圆两次反射后回到 经过的路程为8c．利用椭圆的光学性
1
质解决以下问题：
椭圆C的离心率为 ；点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为l， 在l上的射影
H在圆 上，则椭圆C的方程为 ．
【答案】 /
【解析】设椭圆C的长轴长为 ，
因为由 发出的光经椭圆两次反射后回到 经过的路程为8c，
所以 ，得 ，
所以椭圆C的离心率为 ，
如图，延长 交于点 ，
在 中， ，由反射角等于入射角，可得 ，
所以 ，且 为 的中点，在 中， ，
因为 在l上的射影H在圆 上，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以椭圆的方程为 .
故答案为： ，
10．如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该
点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为 ，其左、右焦点
分别是 ， ，直线l与椭圆C相切于点 ，过点P且与直线 垂直的直线 与椭圆长轴交于点M，
则 ．
【答案】 /
【解析】因为直线 与椭圆C相切于点 ，所以 ，解得 ，
由椭圆C的方程为 ，所以 , ,
由椭圆的定义可知： ，由椭圆的光学性质得到直线 平分 ，可得 .
故答案为： .
11．圆锥曲线因其特殊的形状而存在着特殊的光学性质.我们知道，抛物线的光学性质是平行于抛物线对称
轴的光线经抛物线反射后汇聚于其焦点；双曲线的光学性质是从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反
射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.卡式望远镜就是应用这些性质设计的.下图
为卡式望远镜的中心截面示意图，其主要由两块反射镜组成，主镜是中央开孔的凹抛物面镜 ，副镜是双
曲线左支的旋转面型凸双曲面镜 ，主镜对应抛物线的顶点与副镜对应双曲线的中心重合，当平行光线投
射到主镜上时，经过主镜反射，将汇聚到主镜的焦点 处，但光线尚未汇聚时，又受到以 为焦点的凸双
曲面镜的反射，穿过主镜中心的开孔后汇聚于另一个焦点 处.以 的中点为原点， 为 轴，建立平
面直角坐标系.若 米，凹抛物面镜的口径 为 米，凸双曲面镜的口径 为1米，要使
副镜的反射光线全部通过凹抛物面镜 的中央孔洞，则孔洞直径最小为 米.
【答案】
【解析】因为曲线C的焦点坐标为 ，
所以 ，则抛物线C的方程为 ，
因为 ，
所以 ，则 ，解得 ,
，
设 ，又 ，所以 ，
易知 ，则
则 ， 解得 ，根据题意，从点 反射，与 轴的交点 ，此时孔洞半径最小，即 .
易知 ，则 ,
即 ，解得 ,直径为 .
所以要使副镜的反射光线全部通过凹抛物面镜 的中央孔洞，则孔洞直径最小为 .
故答案为： .
12．点 是椭圆 的左右顶点，若过定点 且斜率不为0的直线与椭圆 交于M，N两点，
求证：直线AM与直线 的交点在一条定直线上.
【解析】由题意得，A(−2,0)， ，
设 ，直线方程为 ，
联立 ，化简得(3+4k2)x2−8k2x+4k2−12=0，
易知 ，由韦达定理得 ， ，
y
直线 的方程为y= 1 (x+2)，直线 的方程为 ，
x +2
1
联立 ，即 ，解得 ，
则，
故直线AM与直线BN的交点在定直线 上.
13．如图，椭圆 有两顶点 ， ，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆 交于C，D两点，并与x
轴交于点P，且直线l的斜率大于1，直线AC与直线BD交于点Q.
(1)求椭圆 的方程；
(2)求证： 为定值.
【解析】（1）依题意得 .
因为 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）因为过其焦点 的直线l与椭圆 交于C，D两点，
并与x轴交于点P，且直线l的斜率大于1，且直线AC与直线BD交一于点Q，
所以可设直线l的方程为 ，所以点P的坐标为 ，
设点C，D，Q的坐标依次为 ， ，
其中 ， ，联立得 ，
所以 ，
显然 ，由根与系数的关系可得 ，
因为直线 的斜率为 ，所以直线AC的方程为 .因为直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 .
因为直线 与直线 交于点Q，
所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
同理 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
14．如图，已知 是长轴为 的椭圆上的三点，点 是长轴的右顶点， 过椭圆中心 ，且
， ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过 关于 轴对称的点 作椭圆的切线 ，则 与 有什么位置关系？证明你的结论．
【解析】（1）设椭圆方程为 ，
由 过椭圆中心 ，且 ， ，得三角形 是等腰直角三角形，且
，所以 ,代入椭圆方程得到 ，所以椭圆方程为 ；
故答案为： ；
（2）证明：将椭圆通过拉伸变换为圆： 令 ，
又 关 于 轴 对 称 的 点 拉 伸 后 变 为 ，
， ，及 ，所以 ．
15．如图，已知椭圆 ： ，直线 ： 与圆 ： 相切且与椭圆
交于A，B两点．
(1)若线段AB中点的横坐标为 ，求m的值；
(2)过原点O作 的平行线 交椭圆于C，D两点，设 ，求 的最小值．
【解析】（1）设AB中点坐标为 ，代入圆方程可得 ；
根据拉伸定理可知 ，将 代入可知 ，故 ；
（2）如图：
，令 ，
拉伸后可知， 最小时，AB与CD距离最大，
令拉伸后的 参数方程为 ，
当 上的点P离原点距离最大时，
即 ，
当 时， ，
此时过P作 的切线 ， ， ．
16．（2024·安徽合肥·一模）已知曲线C： ，从曲线C上的任意点 作压缩变换
得到点 ．
(1)求点 所在的曲线E的方程；
(2)设过点 的直线 交曲线E于A，B两点，试判断以AB为直径的圆与直线 的位置关系，并
写出分析过程．
【解析】（1）由 得 ，
代入 得 ，曲线E的方程为 ．
（2）由题知，当直线l的斜率存在时，设l： ，
由 消去y整理得， ．
设 ， ，则 ，
以AB为直径的圆的圆心横坐标为 ．
又
，
以AB为直径的圆的半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，
，
即 ， 以AB为直径的圆与直线 相离．
当直线l的斜率不存在时，易知以AB为直径的圆的半径为 ，
圆的方程是 ，该圆与直线 相离．
综上可知，以AB为直径的圆与直线 相离．
17．设 为坐标原点，椭圆 ： 经过升缩变换 后变为曲线 ， 是曲线 上的点.
（1）求曲线 的方程.
（2）设点 在直线 上，且 .证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 .
【解析】（1）由 可得代入 得 即
因此曲线 的方程为 .
（2）由题意知 .设 ， ，则 ， ， ，
， ，
由 得 ，又由（1）知 ，故 .
所以 ，即 .又过点 存在唯一直线垂直于 ，所以过点 且垂直于 的直线 过 的
左焦点 .
18．生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过
另一个焦点现椭圆C的焦点在x轴上，中心在坐标原点，从左焦点 射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦
点 ，这束光线的总长度为4，且椭圆的离心率为 ，左顶点和上顶点分别为A、B．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆上，求线段 的长度 的最大值及取最大值时点P的坐标；
(3)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l， 的斜率分别为 ，若 ，证
明：直线l过定点，并求出定点的坐标．
【解析】（1）由题意可知 ，
则 ，
所以 ，所以
（2）由（1）得椭圆C的方程为 ，则 ，设 ，
则 ，
因为点P在椭圆上，
所以 ，
则 ，
则 ，
所以当 时， ，此时 ，
所以 ；
（3）证明： ，
设直线l的方程为 ，
联立 ，消y得 ，
则 ，
则
因为 ，
则 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
化简得 ，
解得 或 ，
时 过点A，舍去
所以 ，
所以直线l得方程为 ，
所以直线l过定点 ．
19．如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的
另一个焦点.已知椭圆 ： 的左､右焦点分别为 ， ，左､右顶点分别为 ， ，一
光线从点F (−1,0)射出经椭圆 上 点反射，法线（与椭圆 在 处的切线垂直的直线）与 轴交于点 ，
1已知 ， .求椭圆 的方程.
【解析】由椭圆的定义知 ，则 .
由光学性质可知 是 的角平分线，所以 .
因为 ，所以 ，得 ，
从而 ，
故椭圆 的方程为 .
20．历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年——325年），大约100年后，阿波罗尼
斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的
一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线 表示与椭圆的
切线垂直且过相应切点的直线.
已知图乙中，椭圆 的中心在坐标原点，焦点为 ，由 发出的光线经椭圆两次
反射后回到 经过的路程为 .
(1)点 是椭圆 上除顶点外的任意一点，椭圆 在点 处的切线为 在 上的射影 满足 ，
利用椭圆的光学性质求椭圆 的方程；
(2)在: （1）的条件下，设椭圆 上顶点为 ，点 为 轴上不同于椭圆顶点的点，且 ，
直线 分别与椭圆 交于点 （ 异于点 ）， ，垂足为 ，求 的最小值.
【解析】（1）
由题知 ，
延长 ，交于点 ，
在 中， ，
则 且 为 中点，
在 中， ，则 ，
，即椭圆方程为 .
（2）
由对称性可知直线 的斜率不为0，所以可设直线 ，
联立直线 与 ，
则 ，①
，②
所以 ，令 ，得点 横坐标 ，
同理可得点 横坐标 ，
故 ，将 代入上式整理得： ，
将②代入得 ，
若 ，则直线 ，恒过 不合题意；
若 ，则 ，恒过 ，
因为直线 恒过 ，且与 始终有两个交点，
又 ，垂足为 ，
所以点 轨迹是以 为直径的半圆（不含点 ，在直线 下方部分），
圆心 ，半径为1，所以 ，当且仅当点 在线段 上时，
所以 的最小值为 .
21．已知点 为椭圆 ： （ ）内一点，过点 的直线 与 交于 两点．当直线
经过 的右焦点 时，点 恰好为线段 的中点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)椭圆的光学性质是指：从椭圆的一个焦点出发的一束光线经椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点．设从
椭圆 的左焦点 出发的一束光线经过点 ，被直线 反射，反射后的光线经过椭圆二次反射后恰好经过
点 ，由此形成的三角形称之为“光线三角形”．求此时直线 的方程，并计算“光线三角形”的周长．
【解析】（1）设点 ， 的坐标为 ．
将其代入椭圆方程可得 ， ；
两式相减可得 ，
整理可得 ．
其中 为直线 的斜率，
可利用点 及点 计算可得 ．
其中 ，代入上式可得 ，即可得 ，
根据椭圆三个参数间的关系： ，可得 ．
综上可得椭圆 的方程为 ．（2）设直线 的方程为 ，设点 关于直线 的对称点为 ，从椭圆 的左焦点 发射一束光
线经过直线 进行反射后的反射光线必经过点 ．
设过点 且与直线 垂直的直线为 ： ．
直线 与直线 的交点为 ，从而可得点 的坐标为 ，
为了保证经过椭圆反射后再回到点 ，根据椭圆的光学性质可知上述反射光线会经过椭圆的右焦点
，
综上可知点 ， ， 三点共线．
即可知 ，即有 ，经计算可得 ．
符合条件的直线方程为 ．
当直线 为 时，根据条件易知 ， ．
根据椭圆的定义经过点 的反射光线及经过椭圆的后的反射光线的和为 ．
此时光线闭合三角形的周长为 ．
当直线 为 时，根据条件易知 ， ．
根据椭圆的定义经过点 的反射光线及经过椭圆的后的反射光线的和为 ．
此时“光线三角形”的周长为 ．
22．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个
焦点.如果没有阻挡，此过程可以不断重复进行下去.(1)椭圆 ， 分别为其左、右焦点.试问，从 发射的光线，经椭圆反射后第一次回到
时，光线经过的路程 的最大值和最小值分别为多少？（写出结论即可，无须说明）
(2)如图，椭圆 的左、右焦点分别为 ，从 发射的光线，经椭圆上两点
处分别反射后，光线回到 ，已知 ， ，求椭圆 的离心率 的值.
【解析】（1）因为椭圆 ，
当从 发射的光线，射到左顶点，经椭圆壁反弹后再回到 时，小球经过的路程是
，
当从 发射的光线，射到右顶点，经椭圆壁反弹后再回到 时，小球经过的路程是
，
当从 发射的光线，射到椭圆一点 ，经椭圆壁反弹后再过椭圆上一点 ，反弹后回到 时，小球经过
的路程是 ，
所以光线经过的路程 的最大值和最小值分别 和 ；
（2）设 ，则 ，又 ，
在 中， ，所以 ，
根据椭圆定义 的周长为 ，所以 解得 ，
所以 ，
在 中， ，
所以 即 .
23．历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个
焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线 表示与椭圆C的切
线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为 ，由 发
出的光经椭圆两次反射后回到 经过的路程为 ．利用椭圆的光学性质解决以下问题：
（1）求椭圆C的离心率；
（2）点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为 在l上的射影H在圆 上，
求椭圆C的方程．
【解析】（1）设椭圆C的长轴长为 ，
由题意知： 发出的光经椭圆两次反射后回到 经过的路程为 ，
∴ ．
（2）法一：如图：
延长 ，交于点 ，
在 中， ，则 且H为 中点，
在 中， ，则 ，
，即椭圆方程为 ．法二：设 ， 在l上的射影分别为 ，连接 ，如图：
设 ，则 ，
在 中，可得 ，同理： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴椭圆方程为 ．
24．圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个焦点处出发的光
线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经
反射后的光线平行于抛物线的轴.某市进行科技展览，其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质，此展
品的一个截面由一条抛物线 和一个“开了孔”的椭圆 构成（小孔在椭圆的左上方）.如图，椭圆与抛
物线均关于 轴对称，且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点， ， 为椭圆 的焦点，同时 也为抛物
线 的焦点，其中椭圆的短轴长为 ，在 处放置一个光源，其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回
到 经过的路程为8.由 照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔，再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住.
（1）求抛物线 的方程；
（2）若由 发出的一条光线经由椭圆 上的点 反射后穿过小孔，再经抛物线上的点 反射后刚好与椭圆相切，求此时的线段 的长；
（3）在（2）的条件下，求线段 的长.
【解析】（1）设椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ，
由题可知： ， ， ，
则 ，
故抛物线 的焦点 ，抛物线 的方程为 .
（2）因为光线经过抛物线的焦点，所以光线经过抛物线反射后平行与 轴，所以 纵坐标为 ，故设
，代入抛物线 的方程得 ，即 ，
又 ，故 .
（3）由（2）知 ，即 ，
又 ，得 ，
又 ，故 .
设 ， ，
又 ，在 中，由余弦定理知
.
故线段 的长为 .
