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专题 23 圆锥曲线
【考纲要求】
1、掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程，掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
2、掌握双曲线定义、几何图形和标准方程，知道双曲线简单(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
3、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
一、椭圆及相关问题
【思维导图】
【考点总结】
一、椭圆的定义及标准方程
1．定义
平面内与两个定点F ，F 的距离的和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆
1 2 1 2
的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF |＋|MF |＝2a，|FF|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。
1 2 1 2
(1)若a＞c，则M点的轨迹为椭圆。
(2)若a＝c，则M点的轨迹为线段FF。
1 2
(3)若a＜c，则M点不存在。
2．标准方程
中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为：＋＝1(a>b>0)；
中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：＋＝1(a>b>0)．
二、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
－a≤x≤a －b≤x≤b
范围
－b≤y≤b －a≤y≤a
性质 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A(－a,0)，A(a,0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
顶点
B(0，－b)，B(0，b) B(－b,0)，B(b,0)
1 2 1 2轴 长轴AA 的长为2a；短轴BB 的长为2b
1 2 1 2
焦距 |FF|＝2c
1 2
离心率 e＝∈(0,1)
a，b，c
c2＝a2－b2
的关系
二、双曲线及相关问题
【思维导图】
【考点总结】
一、双曲线的定义及标准方程
1．定义
在平面内到两定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数(小于|FF|且大于零)的点的轨迹(或集合)叫做
1 2 1 2
双曲线．定点F，F 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
1 2
集合P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a，|FF|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}。
1 2 1 2
(1)当a＜c时，M点的轨迹是双曲线。
(2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线。
(3)当a＞c时，M点不存在。
2．标准方程
中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)；
中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
二、双曲线的标准方程和几何性质
－＝1 －＝1
标准方程
(a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称轴：坐标轴 对称轴：坐标轴
对称性
对称中心：原点 对称中心：原点
顶点坐标： 顶点坐标：
顶点
A(－a,0)，A(a,0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
线段AA 叫做双曲线的实轴，它的长|AA|＝2a；
1 2 1 2
线段BB 叫做双曲线的虚轴，它的长|BB|＝2b；
1 2 1 2
性质 实虚轴
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴
长
三、抛物线及相关问题
【思维导图】
【考点总结】
一、抛物线的定义及标准方程
1．定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，
直线l叫做抛物线的准线。
2．标准方程
顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为：y2＝2px(p>0)；
顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为：y2＝－2px(p>0)；
顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为：x2＝2py(p>0)；
顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为：x2＝－2py(p>0)．
二、抛物线的标准方程与几何性质
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
标准
(p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y＝0 x＝0焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径 |PF|＝x＋ |PF|＝－x＋ |PF|＝y＋ |PF|＝－y＋
0 0 0 0
【题型汇编】
题型一：椭圆
题型二：双曲线
题型三：抛物线
【题型讲解】
题型一：椭圆
一、单选题
1．（2022·全国·一模（理））已知椭圆C： 上的动点P到右焦点距离的最小值为 ，
则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆的性质可得椭圆上的点到右焦点距离最小值为 ，即可求出 ，再根据 ，即可得解；
【详解】
解：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为 ，
即 ，又 ，所以 ，
由 ，所以 ；
故选：A
2．（2022·山西大附中三模（文））已知椭圆C： 的右焦点为 ，右顶点为A，
O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，
则C的方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
待定系数法去求椭圆C的方程
【详解】
由椭圆方程可知 ，由四边形OMAN是正方形可知 ，
又点M在椭圆C上，则有 ，解得 ，
又椭圆C的右焦点为 ，则 ，
结合椭圆中 ，解得 ， ，则椭圆C的方程为 .
故选：A
3．（2022·湖南湘潭·三模）椭圆 的左､右焦点分别为F
1
，F
2
，过点F
1
的直线l与E交于A，
B两点，若△ABF 的周长为12，则E的离心率为（ ）
2
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由椭圆的定义，求得 ，再由 ，求得 的值，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】
因为 的周长为 ，根据椭圆的定义可得 ，解得 ，
则 ，所以 ，则椭圆 的离心率为 .
故选：A.4．（2022·宁夏·银川一中二模（文））椭圆 的一个焦点坐标为 ，则实数m的值为
（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由焦点坐标得到 ，求解即可.
【详解】
根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y轴上，所以有 ，解得 ．
故选：C.
5．（2022·陕西西安·二模（文））已知椭圆 的两焦点为 ，以 为边作正三角
形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
椭圆的正三角形另两边的交点分别为 ，易得 ， ，由此建立 的齐次式，
进而可的结果.
【详解】
解：由题意得：设椭圆的正三角形另两边的交点分别为 ，易得 ，
故选：A
6．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知 分别是椭圆 的左、右焦点，点
，点 在椭圆 上， ， 分别是 的中点，且 的周长为 ，则椭圆
的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
因为 ，所以 三点共线，且 ，根据椭圆的定义求得 ，
设 ，根据 ，求得 ，代入椭圆的方程，求得 的值，即可求解.
【详解】
因为 ，所以 三点共线，且 ，
因为 分别为 和 的中点，
所以 ，所以 ，设 ， ， ，
由 ，可得 ，
求得 ， ，所以 ，
因为点 在椭圆 上，所以 ，求得 ， ，
所以椭圆 的方程为 .
故选：B.
二、多选题
7．（2022·江苏江苏·一模）若椭圆 的左，右焦点分别为 ，则下列 的值，能使以
为直径的圆与椭圆 有公共点的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
依题意可得 ，再根据 ，即可取出 的取值范围，即可得解；
【详解】解：以 为直径的圆的方程为 ，因为圆 与椭圆 有公共点，所以 ，即
，所以 ，即 ，满足条件的有A、B、C；
故选：ABC
2．（2022·湖北·黄冈中学二模）已知点 ， ， 是椭圆 上的动点，当 取下列哪
些值时，可以使 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】ABC
【解析】
【分析】
设 ，利用 求得 的最大值和最小值即可得．
【详解】
设 ，且 .
因为 ，
将 点坐标代入椭圆，得 ，所以 代入上式可得
.
所以 ， .对照选项 可以取ABC.
故选：ABC．
三、解答题
1．（2022·北京·北大附中三模）已知椭圆 经过点 .
(1)求椭圆 的方程及其离心率；
(2)若 为椭圆 上第一象限的点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，且有 ，求点的坐标.
【答案】(1) ，离心率为 ；
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得 ，继而求出 ，即可得方程和离心率；
（2）设 ，则 ，又由 可得 ，继而得到 ，联立即可解得 ，
的值.
(1)
依题知： ，所以 .
所以椭圆方程为 ，离心率 .
(2)
如图：
设 ，第一象限有 ， ①；
由 得： ，又 ， ，
因此 ②，
联立①②解得 ，故 .
2．（2022·海南海口·二模）已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
(1)求C的方程；
(2)动直线l与圆 相切，与C交于M，N两点，求O到线段MN的中垂线的最大距离．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意列出方程组 ，再解方程组即可.
（2）当 的斜率不存在时， 到中垂线的距离为0．当 的斜率存在时，设 ， ，
．根据直线与圆相切得到 ，求出中垂线得到 到中垂线的距离为 ，再利用
基本不等式即可得到答案.
(1)由题知： ，解得 .
所以 的方程为 ．
(2)
当 的斜率不存在时，线段MN的中垂线为 轴，此时 到中垂线的距离为0．
当 的斜率存在时，设 ， ， ．
因为 与圆 相切，则 到 的距离为 ，所以 ．
联立方程 ，得 ，
则 ，可得 的中点为 ．
则MN的中垂线方程为 ，即 ．
因此 到中垂线的距离为
（当且仅当 ， 时等号成立）．
综上所述， 到线段MN的中垂线的最大距离为 ．
题型二：双曲线
一、单选题
1．（2022·浙江·三模）双曲线 的实轴长度是（ ）A．1 B．2 C． D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
由双曲线的几何性质即可得出答案.
【详解】
的 ，所以 .
故双曲线 的实轴长度是 .
故选：D.
2．（2022·安徽省舒城中学三模（理））若双曲线 (a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线
所成的锐角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据离心率可求出两条渐近线的倾斜角，从而解出．
【详解】
因为双曲线 的渐近线方程为 ，而 ，所以 ，
故两条渐近线中一条的倾斜角为 ，一条的倾斜角为 ，它们所成的锐角为 ．
故选：A．
3．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】
【分析】
由双曲线方程可判断双曲线的焦点位置并同时求出 ， ，由此可求其渐近线方程.
【详解】
由双曲线 得 ，所以渐近线方程为 ，
故选：B
4．（2022·北京·二模）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则C的离心率为
（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知渐近线确定双曲线参数，进而求其离心率.
【详解】
由题设双曲线渐近线为 ，而其中一条为 ，
所以 ，则 ，故C的离心率为 .
故选：A
5．（2022·北京房山·二模）双曲线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据双曲线焦点坐标公式求解即可
【详解】
双曲线 的焦点在 轴上，坐标为 ，即
故选：C6．（2022·山东烟台·三模）过双曲线 ： （ ， ）的焦点且斜率不为0的直线交 于
A， 两点， 为 中点，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先设出直线AB的方程，并与双曲线 的方程联立，利用设而不求的方法及条件 得到关于
的关系，进而求得双曲线 的离心率
【详解】
不妨设过双曲线 的焦点且斜率不为0的直线为 ，令
由 ，整理得
则 ，
则 ，由 ，可得
则有 ，即 ，则双曲线 的离心率
故选：D
二、多选题
1．（2022·河北唐山·三模）已知 为双曲线 的两个焦点， 为双曲线 上任意一点，则
（ ）
A． B．双曲线 的渐近线方程为
C．双曲线 的离心率为 D．【答案】CD
【解析】
【分析】
对于A，用定义即可判断，对于B，根据焦点位置即可判断，对于C，直接计算即可，对于D，因为 为
的中点，所以 ，设 可求出 的取值范围，即可判断
【详解】
双曲线 ： 焦点在 轴上， ， ，
对于A选项， ，而 点在哪支上并不确定，故A错误
对于B选项，焦点在 轴上的双曲线渐近线方程为 ，故B错误
对于C选项， ，故C正确
对于D选项，
设 ，则 （ 时取等号）
因为 为 的中点，所以 ，故D正确
故选：CD
三、解答题
1．（2022·河北秦皇岛·二模）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，虚轴长为
，离心率为 ，过 的直线 与双曲线 的右支交于 ， 两点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知 ，若 的外心 的横坐标为0，求直线 的方程.
【答案】(1)(2) 或
【解析】
【分析】
（1）根据虚轴长为 ，离心率为 ，由 求解；
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，根据 外接圆的圆心 的横坐标为0，得到
判断.当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，与双曲线方程联立，根据直线 与双
曲线 的右支交于 ， 两点，求得k的范围，设线段 的中点为M，利用弦长公式和
求解.
(1)
由题知
因为 ，所以 ，
故双曲线 的方程为 .
(2)
由（1）知 .
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，则 ， .
因为 为等腰三角形，且 外接圆的圆心 的横坐标为0，
所以 .因为 ， ，所以 ，故此时不合题意.
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立方程组 得 ，
由
解得 ，即 或 .
设 ， ，则 ， ，
因为 ，
所以线段 的中点为 ，
且 .
设 ，因为 在线段 的垂直平分线上，所以 ，
得 ，即 ，故 .
因为 ，且 ，所以 ，
化简得 ，
得 或 （舍去），
所以直线 的方程为 ，
即直线 的方程为 或 .
2．（2022·宁夏·银川一中二模（理））已知双曲线 的离心率等于 ，且点
在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的左顶点为 ，右焦点为 ，P为双曲线右支上任意一点，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)-4
【解析】
【分析】
（1）直接由离心率和点代入双曲线求得 即可；
（2）先表示出 ，再通过点P横坐标的范围求出最小值.
(1)
依题 又 ，
所以 ， ，故双曲线的方程为 .
(2)
由已知得 ， ，设 ，于是 ， ，
因此 ，
由于 ，所以当 时， 取得最小值，为 .
题型三：抛物线
一、单选题
1．（2022·湖北十堰·三模）下列四个抛物线中，开口朝左的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接由抛物线的标准方程判断开口方向即可.
【详解】
抛物线 的开口朝右，抛物线 的开口朝下，抛物线 的开口朝左，抛物线 的
开口朝上.
故选：C.
2．（2022·广东惠州·一模）若抛物线 （ ）上一点P（2， ）到其焦点的距离为4，则抛物
线的标准方程为（ ）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的定义可解答.
【详解】
抛物线 上一点 到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，∴ ，解得 ，∴抛
物线的标准方程为 .故选：D.
3．（2022·陕西渭南·二模（理））抛物线 的焦点为F，点P是C上一点，若 ，则点P到
y轴的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
设出 ，由抛物线定义得到方程，求出 ，从而得到答案.
【详解】
设 ，由抛物线定义知： ，
所以 ，
即点P到y轴的距离为4
故选：C
4．（2022·江西九江·二模）已知点M为抛物线 上的动点，过点M向圆 引切
线，切点分别为P，Q，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
由四边形的面积可知 ，即可求解.
【详解】
如图，圆心 为抛物线的焦点 ，四边形 的面积 ，
∴ ，
∴当 最小时，即点M到准线的距离最小值为2，
∴ ，
故选: .
5．（2022·安徽马鞍山·一模（理））已知抛物线 过点 ，则其准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物准线方程定义即可求解．
【详解】
抛物线 过点 ，则所以
由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于 轴负半轴，
准线方程为 .
故选：D
6．（2022·重庆·一模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，直线 与 轴交于点
，且 ，则点 到准线 的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
过点 作 轴的垂线，垂足为 ，进而根据 得 ，再结合抛物线定义即可得答案.
【详解】
解：如图，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，由题知 ，即
因为 ，所以
所以 ，所以点 到准线 的距离为 .
故选：B7．（2022·天津南开·二模）设抛物线 的焦点到双曲线 的一条渐近线的距离
为 ，到双曲线左顶点的距离为 ，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先得到抛物线 的焦点坐标，然后根据题意，利用点到直线的距离和两点间的距离求解.
【详解】
解：抛物线 的焦点为 ，
设双曲线 的一条渐近线方程为 ，
由题意得 ，解得 ，
双曲线左顶点为 ，
由题意得 ，即 ，
解得 ，
所以该双曲线的离心率是 ，
故选：C
8．（2022·陕西西安·三模（理））已知抛物线 上一点 ， 为其焦点，直线 交抛
物线的准线于点 .且线段 的中点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【分析】
设点 ，利用中点坐标公式求出 的值，可得出抛物线的方程，再将点 的坐标代入抛物线的方
程，可求得 的值.
【详解】
抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
设点 ，由题意可得 ，解得 ，
所以抛物线的方程为 ，所以， ，解得 .
故选：D.
二、多选题
1．（2022·湖南常德·一模）已知抛物线 的焦点 到准线 的距离为2，则（ ）
A．焦点 的坐标为
B．过点 恰有2条直线与抛物线 有且只有一个公共点
C．直线 与抛物线 相交所得弦长为8
D．抛物线 与圆 交于 两点，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先求出抛物线方程，对选项逐一判断即可.
【详解】
由题可知抛物线方程为
对于A，焦点 的坐标为 ，故A正确对于B，过点 有抛物线的2条切线，还有 ，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误
对于C， ，弦长为 ，故C
正确
对于D， ，解得 （ 舍去），交点为 ，有 ，故D正确
故选：ACD
2．（2022·湖南·雅礼中学二模）在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上，抛物
线的焦点为 ，延长 与抛物线相交于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为 B．
C． 的面积为 D．
【答案】AD
【解析】
根据条件求出 ，再联立直线与抛物线求出 ，进而求出结论．
【详解】
解： 点 在抛物线 上，
，
，焦点为 ，准线为 ， 对，
因为 ，
故 ，
故直线 为： ，
联立 或 ，， ，
， ，
， 错，
， 对，
的面积为 ．故 错，
故选： ．
三、解答题
1．（2022·江西萍乡·三模（理））已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点与圆 的
圆心重合， 为 上一动点，点 .若 的最小值为 .
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)过焦点的直线 与抛物线 和圆 从左向右依次交于 四点，且满足 ，求
直线 的方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】（1）由圆的方程可确定焦点坐标，设抛物线为 ；过 作抛物线准线的垂线，由抛物线定
义知 的最小值即为 到准线的距离，由此构造方程求得 即可；
（2）结合抛物线焦半径公式可化简 为 ，设直线 ，与抛
物线方程联立可得韦达定理的形式，并推导得到 ，代入整理可构造方程求得 ，由此可得直线
方程.
(1)
由圆的方程知： ，则抛物线 方程可设为： ，
， 在抛物线开口内部，
过 作抛物线准线的垂线，垂足为 ，由抛物线定义知： ，
（当且仅当 三点共线时取等号），
，解得： ，
抛物线 的标准方程为： .
(2)为圆 直径， ，又 ， ， ，
；
由题意知：直线 斜率存在，可设 ， ， ，
由 得： ，则 ，
， ， ， ；
， ，
，
解得： ， 直线 的方程为 .
【点睛】
思路点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解题基本思路是能够利用抛物线定义，将已知中的距
离平方和转化为直线与抛物线交点坐标之间的关系，从而利用韦达定理构造方程求得变量.
2．（2022·河北秦皇岛·三模）已知抛物线 上的点 与焦点 的距离为9，点 到 轴
的距离为 ．
(1)求抛物线 的方程．(2)经过点 的直线与抛物线 交于 两点， 为直线 上任意一点，证明：直线 的斜率
成等差数列．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由条件结合抛物线的定义列方程求 即可；(2)联立方程组，利用设而不求的方法证明 即
可.
(1)
设点 ，由题意可知 ，
所以 ，解得 ．
因为 ，所以 ．
所以抛物线 的方程为 ．
(2)
设直线 的方程为 ，
联立方程组 消去 得 ，
所以 ．
设 ，则，
又因为 ，
所以 ，即直线 的斜率成等差数列．
【点睛】
解决直线与抛物线的综合问题的一般方法为设而不求法，要证明直线 的斜率成等差数列只需证
明 即可.
