文档内容
第5讲 椭 圆
最新考纲 考向预测
椭圆的定义、标准方程、几何性
1.了解圆锥曲线的实际背景， 质通常以小题形式考查，直线
感受圆锥曲线在刻画现实世界 与椭圆的位置关系主要出现在
和解决实际问题中的作用. 命题趋势 解答题中．题型主要以选择题、
2.经历从具体情境中抽象出椭 填空题为主，一般为中档题，椭
圆的过程，掌握椭圆的定义、标 圆方程的求解经常出现在解答
准方程及简单几何性质. 题的第一问.
核心素养 直观想象、逻辑推理、数学运算
1．椭圆的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的
两个定点F ，F M点的 F ， F 为椭圆的焦点
1 2 1 2
|MF |＋|MF |＝2a 轨迹为椭圆 | F F |为椭圆的焦距
1 2 1 2
2a＞|F F |
1 2
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
对称轴： x 轴、 y 轴
对称性
对称中心：(0，0)
性 A (－a，0)，A (a，0) A (0，－a)，A (0，a)
1 2 1 2
顶点
质
B (0，－b)，B (0，b) B (－b，0)，B (b，0)
1 2 1 2
长轴A A 的长为 2 a
1 2
轴
短轴B B 的长为 2 b
1 2
焦距 |F F |＝ 2 c
1 2离心率 e＝，e∈(0，1)
a，b，c的关系 c2＝ a 2 － b 2
3.点与椭圆的位置关系
已知点P(x ，y )，椭圆＋＝1(a>b>0)，则
0 0
(1)点P(x ，y )在椭圆内⇔＋<1；
0 0
(2)点P(x ，y )在椭圆上⇔＋＝1；
0 0
(3)点P(x ，y )在椭圆外⇔＋>1.
0 0
常用结论
椭圆的常用性质
(1)若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
①b≤|OP|≤a；
②a－c≤|PF|≤a＋c.
(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长
l ＝.
min
(3)与椭圆＋＝1(a>b>0)有共焦点的椭圆方程为＋＝1(λ>－b2)．
(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x ，y )与两焦点F ，F 构成的△PF F 叫做焦点
0 0 1 2 1 2
三角形．若r ＝|PF |，r ＝|PF |，∠F PF ＝θ，△PF F 的面积为S，则在椭圆＋＝
1 1 2 2 1 2 1 2
1(a>b>0)中：
①当r ＝r ，即点P为短轴端点时，θ最大；
1 2
②S＝|PF ||PF |sin θ＝c|y |，当|y |＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，
1 2 0 0
最大值为bc；
③△PF F 的周长为2(a＋c)．
1 2
(5)若 M(x ，y )是椭圆＋＝1(a>b>0)的弦 AB(AB 不平行 y 轴)的中点，则有
0 0
k ·k ＝－.
AB OM
常见误区
1．若2a＝|F F |，则动点的轨迹是线段F F ；若2a<|F F |，则动点的轨迹不存
1 2 1 2 1 2
在．
2．关于离心率的取值范围问题，一定不要忘记椭圆离心率的取值范围为(0，
1)．
3．判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程形式中x2和y2的分母大
小．4．讨论直线与椭圆的位置关系时不要忽略直线斜率不存在的情形．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F ，F 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
1 2
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )
(4)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( )
(5)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率为，则C的方程是(
)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选D.右焦点为F(1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c＝1.又离
心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为＋＝1.
3．(多选)已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m的值可能为( )
A．2 B. C．6 D．8
解析：选AD.若焦点在x轴上，则a2＝，b2＝，由e＝＝，得＝，即＝，所以＝，即
＝，解得m＝2；若焦点在y轴上，则a2＝，b2＝，则＝，解得m＝8，所以m＝2或m
＝8.故选AD.
4．(易错题)平面内一点M到两定点F (0，－9)，F (0，9)的距离之和等于18，则
1 2
点M的轨迹是________．
解析：由题意知|MF |＋|MF |＝18，但|F F |＝18，即|MF |＋|MF |＝|F F |，所以
1 2 1 2 1 2 1 2
点M的轨迹是一条线段．
答案：线段F F
1 2
5．(易错题)若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
解析：由已知得解得30)的焦点为F ，
1
F ，上顶点为A，若∠F AF ＝，则m＝( )
2 1 2
A．1 B. C. D．2
【解析】 (1)记椭圆的两个焦点分别为F ，F ，则有|PF |＋|PF |＝2a＝10，所
1 2 1 2
以m＝|PF |·|PF |≤＝25，当且仅当|PF |＝|PF |＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点
1 2 1 2
处时，等号成立．所以点P的坐标为(－4，0)或(4，0)，故选BD.
(2)由题可知，a2＝m2＋1，b2＝m2.
因为∠F AF ＝，所以∠F AO＝30°，所以cos∠F AO＝，即cos 30°＝，解得m
1 2 2 2
＝或m＝－(舍去)．故选C.
【答案】 (1)BD (2)C
椭圆定义的应用技巧
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是明确平面内与两定点有关的轨迹是否
为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F ，F 组成的三角形通常称为
1 2
“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF |·|PF |，通过
1 2
整体代入可求其面积等．
1．设F ，F 为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF 的中点在y
1 2 1
轴上，则的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.如图，设线段PF 的中点为M，因为O是F F 的
1 1 2
中点，所以OM∥PF ，可得PF ⊥x轴，可求得|PF |＝，|PF |＝2a－|PF |＝，＝.故选
2 2 2 1 2
D.
2．已知点F ，F 分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且
1 2
∠F PF ＝60°，则S△F PF ＝________．
1 2 1 2
解析：由|PF |＋|PF |＝4，|PF |2＋|PF |2－2|PF |·|PF |·cos 60°＝|F F |2，得3|PF |
1 2 1 2 1 2 1 2 1
·|PF |＝12，所以|PF |·|PF |＝4，则S△F PF ＝|PF |·|PF |·sin∠F PF ＝×4sin 60°
2 1 2 1 2 1 2 1 2＝.
答案：
椭圆的标准方程
(1)(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F ，F 在y轴上，短轴长
1 2
等于2，离心率为，过焦点F 作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正
1
确的是( )
A．椭圆C的方程为＋x2＝1
B．椭圆C的方程为＋y2＝1
C．|PQ|＝
D．△PF Q的周长为4
2
(2)(一题多解)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为(
)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【解析】 (1)由已知得，2b＝2，b＝1，＝，
又a2＝b2＋c2，解得a2＝3.
所以椭圆方程为x2＋＝1.
如图．
所以|PQ|＝＝＝，△PF Q的周长为4a＝4.
2
故选ACD.
(2)方法一(定义法)：椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2.
由c2＝a2－b2，可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二(待定系数法)：
设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，
将点(，－)的坐标代入，可得＋＝1，
解得k＝5或k＝21(舍去)，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法三(待定系数法)：设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．由题意得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.【答案】 (1)ACD (2)C
(1)用定义法求椭圆的标准方程
先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常
用的关系有：
①b2＝a2－c2；
②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；
③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤
[提醒] 当椭圆焦点位置不明确时，可设为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为
Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)．
1．已知动点M到两个定点A(－2，0)，B(2，0)的距离之和为6，则动点M的轨
迹方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋x2＝1 D.＋＝1
解析：选D.由题意有6>2＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则
2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1.故选D.
2．设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点为(2，0)，离心率为，则此椭圆的方程为
________．
解析：椭圆的右焦点为(2，0)，所以m2－n2＝4，e＝＝，所以m＝2，代入m2－n2
＝4，得n2＝4，所以椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
3．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程
为________．解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．由
解得m＝，n＝.
所以椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
椭圆的几何性质
角度一 求椭圆离心率的值(范围)
(1)(2020·四川资阳二诊)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为
B，且|OA|＝|OB|(O为坐标原点)，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)(2020·东北三校第一次联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(c，0)，上
顶点为A(0，b)，直线x＝上存在一点P满足(FP＋FA)·AP＝0，则椭圆的离心率的
取值范围为( )
A. B.
C. D.
【解析】 (1)依题意可知，a＝b，即b＝a.又c＝＝＝a，所以该椭圆的离心率e
＝＝.故选B.
(2)取AP的中点Q，则FQ＝(FP＋FA)，所以(FP＋FA)·AP＝2FQ·AP＝0.所以
FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，即|FA|＝|FP|，且|FA|＝＝a.因为点P在直线x
＝上，所以|FP|≥－c，即a≥－c，所以≥－1，所以e2＋e－1≥0，解得e≥或e≤.又
01)上两点A，B满足AP＝2PB，则当m＝
________时，点B横坐标的绝对值最大．
【解析】 设A(x ，y )，B(x ，y )，由AP＝2PB，得即x ＝－2x ，y ＝3－2y ，
1 1 2 2 1 2 1 2因为点A，B在椭圆上，所以得y ＝m＋，所以x＝m－(3－2y )2＝－m2＋m－
2 2
＝－(m－5)2＋4≤4，
所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.
【答案】 5
求解最值、取值范围问题的技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考
时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－
b≤y≤b，0b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴
长为8，则椭圆的左顶点为( )
A．(－3，0) B．(－4，0)
C．(－10，0) D．(－5，0)
解析：选D.因为圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，
所以圆心坐标为(3，0)，所以c＝3.又b＝4，
所以a＝＝5.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为(－5，0)．
2．(多选)(2020·山东4月全真模拟)已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是
圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则( )
A．C的焦距为 B．C的离心率为
C．圆D在C的内部 D．|PQ|的最小值为
解析：选BC.依题意可得c＝＝，
则C的焦距为2，e＝＝.设P(x，y)(－≤x≤)，由题意知D(－1，0)，则|PD|2＝(x
＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－＝＋≥>，所以圆D在C的内部，且|PQ|的最小值为－＝.
故选BC.
3．(2020·福建龙岩质量检查)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点
为A，右顶点为B，若△AFB是直角三角形，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.如图所示，F(－c，0)，A(0，b)，B(a，0)．因为△ABF是直角三角形，所以AF⊥AB，所以AF·AB＝0，又因为AF＝(－c，－b)，AB＝(a，－b)，所以－ac＋
b2＝0，又因为b2＝a2－c2，所以a2－ac－c2＝0，又因为e＝，所以e2＋e－1＝0，所
以e＝，又因为0b>0)的左、右焦点，B
1 2
为C的短轴的一个端点，直线BF 与C的另一个交点为A，若△BAF 为等腰三角
1 2
形，则＝( )
A. B.C. D．3
解析：选A.如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF |＋|
1
BF |＝2a，|AF |＋|AF |＝2a，由题意知|AB|＝|AF |，所以|BF |＝|BF |＝a，|AF |＝，|
2 1 2 2 1 2 1
AF |＝.所以＝.故选A.
2
5．(多选)(2020·海南模拟)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为________．
解析：由题意可得b＝c，则b2＝a2－c2＝c2，a＝c，
故椭圆的离心率e＝＝.
答案：
7．已知两圆C ：(x－4)2＋y2＝169，C ：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C 内部且
1 2 1
和圆C 相切，和圆C 相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
1 2
解析：设圆M的半径为r，则|MC |＋|MC |＝(13－r)＋(3＋r)＝16，|C C |＝8，
1 2 1 2
所以M的轨迹是以C ，C 为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，故所求的轨迹方程为
1 2
＋＝1.
答案：＋＝1
8．(2020·昆明市三诊一模)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，O为坐标
原点，B，C两点在M上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝45°，则椭圆M的离心率为________．
解析：由题意，知A(－a，0)．因为四边形OABC为平行四边形，所以OA∥BC，
且|OA|＝|BC|＝a，又∠OAB＝45°，所以C，代入椭圆方程，得＋＝1，所以＝，所以
e＝＝＝.
答案：
9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F ，F 的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．
1 2
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为短轴的一个端点，求△F PF 的面积．
1 2
解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意得因此a＝5，b＝4，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)易知|y |＝4，又c＝3，
P
所以S△F PF ＝|y |×2c＝×4×6＝12.
1 2 P
10．如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F ，F 分别为椭圆的左、右焦点，A为
1 2
椭圆的上顶点，直线AF 交椭圆于另一点B.
2
(1)若∠F AB＝90°，求椭圆的离心率；
1
(2)若椭圆的焦距为2，且AF2＝2F2B，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F AB＝90°，则△AOF 为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF |，即b
1 2 2
＝c.所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F (1，0)，设B(x，y)，由AF2＝2F2B，解得x＝，y＝－.代入＋
2
＝1，得＋＝1.即＋＝1，解得a2＝3，所以b2＝2，所以椭圆方程为＋＝1.
[B级 综合练]
11．(综合型)设椭圆：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第
二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭
圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解析：选B.如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为△ABC的中位线，
于是△OFM∽△AFB，且＝＝，即＝，解得e＝＝.故选B.12．(多选)(2020·山东潍坊期末)已知P是椭圆E：＋＝1上一点，F ，F 为其左、
1 2
右焦点，且△F PF 的面积为3，则下列说法正确的是( )
1 2
A．P点的纵坐标为3
B．∠F PF >
1 2
C．△F PF 的周长为4(＋1)
1 2
D．△F PF 的内切圆半径为(－1)
1 2
解析：选CD.由已知条件得a＝2，b＝2，c＝2.不妨设P(m，n)，m>0，n>0，则
S△F PF ＝×2c×n＝3，解得n＝，所以A错误．由n＝，得＋＝1，解得m＝(负值
1 2
已舍去)，所以P.所以|PF |2＝＋＝＋2，|PF |2＝＋＝－2，所以|PF |2＋|PF |2－(2c)2
1 2 1 2
＝×2－16＝>0，所以cos∠F PF ＝>0，所以∠F PF <，所以B错误．由椭圆的定
1 2 1 2
义，得△F PF 的周长为2a＋2c＝4＋4＝4(＋1)，所以C正确．设△F PF 的内切
1 2 1 2
圆半径为r，则S△F PF ＝r·(4＋4)＝3，所以r＝(－1)，所以D正确．故选CD.
1 2
13．(2020·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C
1 2
的焦点重合，C 的中心与C 的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B
1 2 1
两点，交C 于C，D两点，且|CD|＝|AB|.
2
(1)求C 的离心率；
1
(2)若C 的四个顶点到C 的准线距离之和为12，求C 与C 的标准方程．
1 2 1 2
解：(1)由已知可设C 的方程为y2＝4cx，其中c＝.
2
不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标
分别为2c，－2c，
故|AB|＝，|CD|＝4c.
由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－2.解得＝－2(舍去)，＝.所以C 的离心率为.
1
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C ：＋＝1.所以C 的四个顶点坐标分别为(2c，0)，
1 1
(－2c，0)，(0，c)，(0，－c)，C 的准线为x＝－c.
2
由已知得3c＋c＋c＋c＝12，即c＝2.
所以C 的标准方程为＋＝1，C 的标准方程为y2＝8x.
1 2
14．已知F ，F 是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐
1 2
标原点．(1)若△POF 为等边三角形，求C的离心率；
2
(2)如果存在点P，使得PF ⊥PF ，且△F PF 的面积等于16，求b的值和a的
1 2 1 2
取值范围．
解：(1)连接PF .由△POF 为等边三角形可知在△F PF 中，∠F PF ＝90°，|
1 2 1 2 1 2
PF |＝c，|PF |＝c，于是2a＝|PF |＋|PF |＝(＋1)c，故C的离心率e＝＝－1.
2 1 1 2
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当
|y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝，又由①知y2＝，故b＝4.
由②③得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，
从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．
[C级 创新练]
15．椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该
圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：＋＝1(a＞0)的离心率为，则椭圆C的蒙日圆方
程为( )
A．x2＋y2＝9 B．x2＋y2＝7
C．x2＋y2＝5 D．x2＋y2＝4
解析：选B.因为椭圆的离心率为，所以＝，解得a＝3.因为椭圆上两条互相垂
直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，所以找两个特殊点，分别为(，0)，
(0，)，所以对应的两条切线分别是x＝，y＝，这两条直线的交点为(，)，因为两条切
线的交点在蒙日圆上，所以()2＋()2＝r2＝7，所以椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝
7.故选B.
16．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 F为一个焦点的椭
圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地
面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千
米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则( )A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n D．b＝
解析：选ABD.由题意可知a－c－R＝m，a＋c－R＝n，可得a－c＝m＋R，所
以A正确；a＋c＝R＋n，所以B正确；可得a＝＋R，c＝.2a＝m＋n＋2R，所以C错
误；则b2＝a2－c2＝－
＝(m＋R)(n＋R)．则b＝.
所以D正确．故选ABD.
