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第 34 讲 高考题中的解答题五 （圆锥曲线）
解析几何中的证明、定点、定值问题
(一) 证明问题
圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广，但无论证明什么，其常用方法有直接法和转化法，对
于转化法，先是对已知条件进行化简，根据化简后的情况，将证明的问题转化为另一问题.
[典例] (2022·山东淄博三模)如图，已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，由椭圆E的四个顶点
围成的四边形的面积为16.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设A为椭圆E的右顶点，过点M(－2a,0)且斜率不为0的直线l 与椭圆E相交
于点B，C(点B在MC之间)，若N为线段BC上的点，且满足＝，证 明：∠ANC＝
2∠AMC.
[关键点拨]
(1)根据题意得到关于a，b，c的方程，进而可求出结果；(2)设直线l
切入点 的方程为x＝my－8(m>0)，与椭圆联立，结合韦达定理证得点N在
直线x＝－2上，从而可得出结论
迁移点 把几何量的关系∠ANC＝2∠AMC转化为数量关系
反思点 无论是条件还是结论，把几何关系数量化是解题的突破口
方法技巧
圆锥曲线中证明问题的求解策略
处理圆锥曲线中的证明问题常采用直接法证明，证明时常借助于等价转化思想，化几何关系为数量关
系(如证明直线垂直可转化为证明两直线的斜率之积为－1或方向向量的数量积为0，证明三点共线可转化
为斜率相等或对应的向量共线)，然后借助函数方程思想、数形结合思想解决．
针对训练
已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(2,0)，一条渐近线方程为x－y＝0.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A，B，过F的直线l交C的右支于M，N两点，连接MB交直线x＝于点
Q，求证：A，Q，N三点共线．(二) 定点问题
定点问题常见类型
1证明直线过定点，其中证明直线过定点x，y，常利用直线的点斜式方程y－y＝kx－x来证明.
0 0 0 0
2圆或其他曲线过定点.
[典例] (2022·四川成都七中三模)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且C经过点P.
1
(1)求C的方程；
(2)设C与y轴正半轴交于点D，直线l：y＝kx＋m与C交于A，B两点(l不经过D点)，且AD⊥BD.证
明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标．
[关键点拨]
(1)利用待定系数法，根据椭圆的定义求出a，再求得b，即可求出椭圆方程．
切入点 (2)由已知得D(0,1)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系，结合
AD⊥BD，求解m值
障碍点 把AD⊥BD转化为代数式求出直线方程中两个参数的关系式
隐藏点 参数m值应满足Δ＞0
方法技巧
直线过定点问题的常见解法
(1)用参数表示出直线的方程，根据直线方程的特征确定定点的位置．
(2)从特殊点入手，先确定定点，再证明该定点符合题目条件．
提醒：求出直线方程是判断直线是否过定点的前提和关键．
针对训练
(2022·山东烟台三模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其左、右焦点分别为F，F，T为椭圆
1 2C上任意一点，△TF F 面积的最大值为1.
1 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知A(0,1)，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线AM，AN与x轴的交点分别为P，
Q，证明：以PQ为直径的圆过定点．
(三) 定值问题
圆锥曲线中定值问题的四种常见类型和解法
1证明代数式为定值；
2证明点到直线的距离为定值；
3证明某线段长度为定值；
4证明某几何图形的面积为定值.
[典例] (2022·河北邯郸二模)已知点P为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上一点，A，B分别为C的左、右顶
点，且△PAB的面积为5.
(1)求C的标准方程；
(2)过点Q(1,0)的直线l与C相交于点G，H(点G在x轴上方)，AG，BH与y轴分别交于点M，N，记
S，S 分别为△AOM，△AON(点O为坐标原点)的面积，证明：为定值．
1 2
[关键点拨]
(1)根据左、右顶点的定义，结合代入法、三角形面积公式进行求解即可；
切入点 (2)设出直线l的方程与椭圆标准方程联立，结合一元二次方程根与系数关
系、三角形面积公式进行求解即可
障碍点 把两个三角形面积的比转化为两点坐标绝对值的比
方法技巧求定值问题常见的方法有两种
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
针对训练
(2022·安徽省芜湖模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F，F 为左右焦点．直线l：y＝kx＋m交
1 2
椭圆C于A，B两点，且|AF|＋|AF|＝2.
1 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)若OA，OB斜率之积为－，求证：△AOB的面积为定值．
解析几何中的证明、定点、定值问题
1．(2022·陕西西安三模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)上的点G(4，t)(t＞0)到其准线的距离为5.不过原
点的动直线交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，点M在准线l上的射影为N.
(1)求抛物线C的方程；
(2)当NA·NB＝1时，求证：直线AB过定点．
2．(2022·广东肇庆模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率是，实轴长是8.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P(0,3)的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满
足|PA|·|DB|＝|PB|·|DA|成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值．3．已知点F(，0)，动点M(x，y)到直线l：x＝2的距离为d，且d＝|MF|，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)过M作圆O：x2＋y2＝的两条切线MP，MQ(其中P，Q为切点)，直线MP，MQ分别交C的另一点
为A，B，从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．
①|PA|·|PM|为定值；
②|MA|＝|MB|.
4．(2022·山东济宁三模)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点F是椭圆E的右焦
点，点Q在椭圆E上，且|QF|的最大值为3，椭圆E的离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若过点A的直线与椭圆E交于另一点P(异于点B)，与直线x＝2交于一点M，∠PFB的角平分线与
直线x＝2交于点N，求证：点N是线段BM的中点．
解析几何中的最值与范围、探索性问题
(一) 最值与范围问题
求解范围、最值问题的常见方法
1利用判别式来构造不等关系.
2利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.
3利用隐含或已知的不等关系建立不等式.
4利用基本不等式.[典例] (2022·福建南平三模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F ，F 分别为椭圆C的左、右焦点，焦距
1 2
为4，过右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点，已知△MNF 的周长为4，点M关于
2 1
x轴的对称点为P，直线PN交x轴于点Q.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求四边形MF NQ面积的最大值．
1
[关键点拨]
(1)由△MNF 的周长求出a，再由焦距求得c，进而求出b，即得椭圆C的方程；(2)设
1
切入点 出直线l的方程联立椭圆方程求得y 1 ＋y 2 ，y 1 y 2 ，表示出直线PN的方程求出Q，由
S ＝|y－y||FQ|表示出面积，结合基本不等式求最大值即可
MF1NQ 1 2 1
分割四边形MF NQ，把其面积转化为两个有公共边的三角形面积的和，进而利用公
1
障碍点
共边与点的纵坐标差的绝对值求解
方法技巧
求四边形面积的最值，首先分割，借助三角形面积转化为函数的最值问题；求解最值应用了两个技巧：
一是换元，运用函数的性质；二是利用已知或隐含的不等关系构造不等式求解．
针对训练
(2022·山东济南一中模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过左焦点和上顶点的直线l与圆
(x－)2＋y2＝3相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线m：y＝kx＋n(k>0，n>0)与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB，AB的
斜率之和为0.求三角形OAB面积的最大值．[典例] (2022·四川遂宁三模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F ，F ，坐标原点为
1 2
O，离心率e＝，过F 且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，|AB|＝3；过F 且斜率为k(k≠0)的直线l与
1 2
C交于P，Q点．
(1)求C的标准方程；
(2)令P，Q的中点为N，若存在点M(m,0)，使得MN⊥PQ，求k的取值范围．
[关键点拨]
(1)用待定系数法求出C的标准方程；
切入点 (2)用设而不求法表示出N，根据MN⊥PQ，得到m＝，列表达式，求出k的取
值范围
障碍点 寻求参数m与k的关系式
反思点 求最值或范围的问题，目标函数中含有两个变量，要利用条件消去其中一个
方法技巧
圆锥曲线中求解含双变量的式子的取值范围的方法：几何条件定代换，目标关系式求范围．
一般分三步完成：第一步，消参，将直线 l的方程与圆锥曲线的方程联立，得两个变量的等量关系
(此时需要检验判别式Δ＞0)；
第二步，将等量关系代入目标关系式；
第三步，利用函数的性质求取值范围．
针对训练
(2022·北京东城三模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2,0)，长轴长为2.过右焦点F 的直
1 2
线l交椭圆C于A，B两点，直线FA，FB分别交直线x＝3于点M，N.
1 1
(1)求椭圆C的方程；
(2)设线段AB中点为T，当点M，N位于x轴异侧时，求T到直线x＝3的距离的取值范围．解决探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.
1当条件和结论不唯一时要分类讨论.
2当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.
3当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.
[典例] (2022·山东潍坊一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，点在C上．
(1)求C的方程；
(2)若过动点P的两条直线l ，l 均与C相切，且l ，l 的斜率之积为－1，点A(－，0)，问是否存在定
1 2 1 2
点B，使得PA·PB＝0？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
[关键点拨]
(1)根据给定条件可得椭圆C两焦点的坐标，利用椭圆定义求出椭圆的长轴长即
可计算作答．
切入点
(2)设出过点P(x，y)的直线方程，与椭圆C的方程联立，由判别式Δ＝0探求出
0 0
x，y 的关系即可推理作答
0 0
隐藏点 若存在定点B，使得PA·PB＝0，则动点P的轨迹为一个圆
针对训练
(2022·天津红桥二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，点A(a,0)，B(0，b)之间的距离为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q，则是否存在常数k，使得OP
＋OQ与AB共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．解析几何中的最值与范围、探索性问题
1．(2022·北京丰台一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且|AB|＝4，离心率
为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上不同于A，B的一点，直线PA，PB与直线x＝4分别交于点M，N.若|MN|≤4，求点
P横坐标的取值范围．
2．已知点P是一个动点，A(－2，0)，B(2，0)，|PA|－|PB|＝4.动点P的轨迹记为Ω.
(1)求Ω的方程；
(2)设T为直线x＝1上一点，过T的直线l与Ω交于C，D两点，试问是否存在点T，使得TC·TD＝
OT2？若存在，求T的坐标；若不存在，请说明理由．
3．(2022·辽宁抚顺市第二中学三模)设双曲线C：－y2＝1，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的
右支交于A，B两点．
(1)求直线l倾斜角θ的取值范围；
(2)直线AO(O为坐标原点)与双曲线C的另一个交点为D，求△ABD面积的最小值，并求此时l的方程．4．(2022·江苏南京模拟)已知圆F：(x－2)2＋y2＝1，动圆P与圆F内切，且与定直线x＝－3相切，设
动点P的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)若直线l过点F，且与E交于A，B两点，与y轴交于M点，满足MA＝λAF，MF＝μFB (λ＞0，μ＞
0)，试探究λ与μ的关系．
大题专攻——“解析几何”大题的规范解题路径
一、题型通法点拨：圆锥曲线问题重在“设”——设点、设线
解析几何部分知识点多，运算量大， 能力要求高
综合性强，在高考试题中大都是在压轴 题的位置出
现，是考生“未考先怕”的题型之一， 不是怕解题
无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算. 因此，在遵
循“设—列—解”程序化运算的基础上， 应突出解析
几何“设”的重要性，以克服平时重思 路方法、轻
运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这 一瓶颈.
[解题示范]
(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满
足MT＝TH.证明：直线HN过定点．解题“瓶颈”突破：合理设参，化解计算繁而杂难题
平面解析几何中的许多问题，若解题方法不对就会使解题过程繁杂而冗长，从而影响到解题的速度和
解题的准确性，通过引入参数，设而不求是解决此类问题的有效方法．
一旦合理引入参数，用参数来刻画运动变化状态，减少变量，再利用平面几何知识就会化难为易，化
繁为简，收到意想不到的解题效果．设参方式一般有以下几种类型：
“单参”解题
[例1] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为原点，直线AB(不垂直于x轴)过点F且与抛物线
交于A，B两点，直线OA，OB斜率之积为－p.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若M为线段AB中点，射线OM交抛物线于D点．求证：>2.
[反思领悟]
单参问题经常需要在“k参”与“m参”中选择．一般而言，选“k参”还是选“m参”可以依照：
“一看已知点的坐标，二看所求问题目标”来决定．如本例中，因为已知AB过点F，而F点在x轴上，其
纵坐标为零，所以设直线AB时选“m参”解题更为轻巧．
二 “双参”解题
[例2] 已知离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P，与坐标轴不平行的直线l与椭圆C交于A，B两
点，其中M为A关于y轴的对称点，N(0，)，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)分别记△PAO，△PBO的面积为S，S，当M，N，B三点共线时，求S·S 的最大值．
1 2 1 2[反思领悟]
对于圆锥曲线中的双参数问题，在求参数的取值范围时，许多情况下要先根据问题特征，求出其中一
个参数的范围，然后寻找两参数的等量关系，借助这个等量关系求另一个参数的范围．
“点参”解题
[例3] 如图，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A，B，M是抛物线 上三点(M 在
第一象限)，直线AB交x轴于点N(N在F的右边)，四边形FMNA是平行 四边形，记
△MFN，△FAB的面积分别为S，S.
1 2
(1)若|MF|＝1，求点M的坐标(用含有p的代数式表示)；
(2)若＝，求直线OM的斜率(O为坐标原点)．
[反思领悟]
“点参”解题是解析几何大题的一种重要方法，尤其在以抛物线为背景的解析几何大题中运用较多．
这是因为抛物线方程本身就是一个“x”与“y”的等量关系式，“x”与“y”的转换方便，且有降幂升幂的功
能．当然，椭圆背景的大题，也不乏适合“点参”解题的题目．
“解析几何”大题规范增分练
1．已知椭圆C∶＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F(－2,0)，F(2,0)．过点F 的直线l与椭圆C交于
1 2 1
A，B两点，过点F 作AB的垂线交椭圆C于M，N两点，△MNF 的周长为4.
1 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)求的取值范围．
2．(2022·湖南永州三模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，点P在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且直线PM，PN的倾斜角互补，求△OMN面积
的最大值．
3.已知点F(－1,0)是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，且椭圆C 经过点.过点
1
F 作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，过点M作直线 l：x＝－4的
1
垂线，垂足为E.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：直线EN过定点，并求定点的坐标．
4．(2022·河北秦皇岛二模)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F ，F ，虚轴长为
1 2
2，离心率为，过F 的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．
2
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知P(－2，0)，若△ABP的外心Q的横坐标为0，求直线l的方程．
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线E：y2＝2px(p＞ 0) 的 焦 点 为
F，过点F的直线交E于A，B两点，设E的准线与x轴的交点为K， 当 S ＝
△ KAF
2S 时，S ＝.
△KBF △KBF(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若点N(3,0)，过点N的直线l与E交于P，Q两点，是否存在x轴上的定点M，使得|MP||NQ|＝|MQ||
NP|恒成立？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
