3.1 椭圆及其标准方程
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：椭圆的定义................................................................... 2
考点二：椭圆的标准方程............................................................. 2
考点三：椭圆的标准方程推导....................................................... 2
考点四：椭圆方程的求解............................................................. 3
考点五：椭圆的焦点三角形.......................................................... 3
考点六：点与椭圆的位置关系....................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：椭圆定义及其辨析.......................................................... 4
题型二：求椭圆标准方程............................................................. 5
题型三：椭圆标准方程求参数值或范围............................................7
题型四：点与椭圆的位置关系....................................................... 9
题型五：椭圆焦点三角形周长与面积问题.........................................9
题型六：焦点三角形与其他问题综合.............................................10
题型七：椭圆中线段及其和差最值问题..........................................12
题型八：椭圆中轨迹方程问题......................................................14
模块三：综合巩固....................................................................... 16
3.1 椭圆及其标准方程
模块一：基础知识
考点一：椭圆的定义
1.定义：平面内与两个定点的
1F 、
2
F 的距离之和等于常数（大于
1
2
F F ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定
点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫做半焦距．13723366289
2.椭圆定义的集合语言表示：
1
2
1
2
2 2
0
P
M MF
MF
a a
F F
，
3.理解：椭圆轨迹：|MF1|+|MF2|＞|F1F2|：三角形两边之和大于第三边
线段轨迹：|MF1|+|MF2|=|F1F2|：点M 在线段F1F2 之间，表示线段F1F2
|MF1|+|MF2|＞|F1F2|：轨迹不存在
考点二：椭圆的标准方程
椭圆
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
标准方程
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1
0
y
x
a
b
a
b
图形
焦点坐标
)
,0 ,
,
(
) (
0
c
c
-
)
0,
,
,
(
) (0
c
c
焦距
2c
, ,
a b c 的关系
2
2
2
a
b
c
考点三：椭圆的标准方程推导
1.建立适当的直角坐标系
以经过点
1F 、
2
F 的直线为x 轴，线段
1
2
F F 的垂直平分为y 轴建立直角坐标系xOy ，如图
2.用坐标表示线段关系
设点M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c（c＞0）.
焦点
2
1,F
F
的坐标分别是
)
0,
(
),
0,
(
c
c
，
又设M 与
2
1,F
F
的距离的和等于常数2a．
由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|
a
MF
MF
2
2
1
}
因为
2
2
1
|
|
(
)
MF
x
c
y
，
2
2
2
|
|
(
)
MF
x
c
y
所以
2
2
2
2
(
)
(
)
2
x
c
y
x
c
y
a
3.计算推导过程
即
2
2
2
2
(
)
2
(
)
x
c
y
a
x
c
y
两边平方得
2
2
2
2
2
2
2
(
)
4
4
(
)
(
)
x
c
y
a
a
x
c
y
x
c
y
整理得
2
2
2
(
)
a
x
c
y
a
cx
再平方并整理得
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
a
c
x
a y
a a
c
两边同除以
2
2
2
(
)
a a
c
得
2
2
2
2
2
1
x
y
a
a
c
考虑
0
a
c
,应有
2
2
0
a
c
，故设
2
2
2
b
a
c
，就有
2
2
2
2
1
x
y
a
b
．
考点四：椭圆方程的求解
1.用定义法求椭圆的标准方程：根据椭圆的定义，确定
的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
2.用待定系数法求椭圆的标准方程
①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待
定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b 的值，从而确定方程（注意焦点
的位置）.
②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点
在x 轴上和焦点在y 轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般
方程为
=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
考点五：椭圆的焦点三角形
1.焦点三角形的概念
设M 是椭圆上一点，
,
为椭圆的焦点，当点M,
,
不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦
点三角形，如图所示.
2.焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长L=2a+2c.
②在
中，由余弦定理可得
.
③设
，
，则
.
④S△MF1F2＝1
2|MF1||MF2|·sinα，当|y0|＝b，即M 为短轴端点时，S△MF1F2 取最大值为bc.
考点六：点与椭圆的位置关系
1.根据椭圆的定义判断点
0
0
(
,
)
P x
y
与椭圆的位置关系，有如下结论：
1
2
2
MF
MF
a
点P 在椭圆内部；
1
2
2
MF
MF
a
点P 在椭圆上；
1
2
2
MF
MF
a
点P 在椭圆外部．
2.对于点
0
0
(
,
)
P x
y
与椭圆的位置关系，有如下结论：
点
0
0
(
,
)
P x
y
在椭圆外
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
；
点
0
0
(
,
)
P x
y
在椭圆内
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
；
点
0
0
(
,
)
P x
y
在椭圆上
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
；
模块二：题型分类
题型一：椭圆定义及其辨析
1.若点��, �满足方程�2 + �−2 2 +
�2 + �+ 2 2 = 12，则动点M 的轨迹方程为（
）
A．
�2
36 +
�2
32 = 1
B．
�2
36 +
�2
20 = 1
C．
�2
36 +
�2
32 = 1
D．
�2
144 +
�2
16 = 1
2．方程
2
2
2
2
4
4
10
x
y
x
y
的化简结果是（
）
A．
2
2
1
5
3
x
y
B．
2
2
1
3
5
x
y
C．
2
2
1
25
9
x
y
D．
2
2
1
9
25
x
y
3．平面直角坐标系中点
,
M x y 满足
2
2
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
x
y
，则点M 的轨迹为（
）
A．线段
B．圆
C．椭圆
D．不存在
4.已知P 是椭圆
2
2
1
9
4
x
y
上的动点，则P 到椭圆的两个焦点的距离之和为（
）
A．3
B．4
C．2 5
D．6
5.点P 是椭圆
�2
2 + �2 = 1 上一动点，则点P 到两焦点的距离之和为（
）
A．2
B．2
C．2 2
D．4
6.（多选）过已知圆内一个定点作圆C 与已知圆相切，则圆心C 的轨迹可能是（
）
A．圆
B．椭圆
C．线段
D．射线
7．已知
4,0 ,
4,0
B
C
，且ABC
的周长等于20，求顶点A 的轨迹方程
.
8.已知B，C 是两个定点，��= 8，且△���的周长等于18．求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．
9.已知�1, �2分别是椭圆�:
�2
16 +
�2
5 = 1 的左、右焦点，�为�上一点，若|��1| = 3，则|��2| =（
）
A．2
B．3
C．5
D．6
10.已知点P 在椭圆C：
�2
25 +
�2
21 = 1 上，C 的左焦点为F，若线段��的中点在以原点O 为圆心，��为半径
的圆上，则��的值为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
11.（多选）下列是真命题的是（
）
A．已知定点
1
2
1,0 ,
1,0
F
F
，则满足
1
2
2
PF
PF
的点P 的轨迹为椭圆
B．已知定点
1
2
2,0 ,
2,0
F
F
，则满足
1
2
4
PF
PF
的点P 的轨迹为线段
C．到定点
1
2
,
,
,0
3
3
0
F
F
距离相等的点的轨迹为椭圆
D．若点P 到定点
1
2
4,0 ,
4,0
F
F
的距离的和等于点
5,3
M
到定点
1
2
4,0 ,
4,0
F
F
的距离的和，则
点P 的轨迹为椭圆
12.若�为椭圆�：
�2
12 +
�2
16 = 1 上一点，�1，�2为�的两个焦点，且��1
2 −��2
2 = 16，则��1 =（
）
A．21
B．3 2
C．
8 3
3
D．5
13．已知椭圆
2
2
:
1
16
12
x
y
C
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点P 是椭圆C 上的动点，
1
m
PF
，
2
n
PF
，
则4m
n
mn
的最小值为（
）
A．9
8
B．5
4
C．20
3 7
9
D．20
3 7
9
14．设椭圆
2
2
1
25
16
x
y
上一点M 到左焦点
1F 的距离为3，记N 为
1
MF 的中点，O 为坐标原点，则ON
.
15.已知△���的两个顶点坐标分别是�0,6 和�0, −6 ，边AB，AC 所在直线的斜率的乘积是−
4
9，求顶点
A 的轨迹方程.
题型二：求椭圆标准方程
1.若椭圆焦点在�轴上且经过点−4,0 ，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（
）
A．
�2
16 +
�2
8 = 1
B．
�2
16 +
�2
7 = 1
C．
�2
9 +
�2
16 = 1
D．
�2
7 +
�2
16 = 1
2.已知�= 5, �= 2，焦点在�轴上，则椭圆的标准方程为
.
3．焦点在y 轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为2 3 的椭圆方程为（
）
A．
2
2
1
4
x
y
B．
2
2
1
2
x
y
C．
2
2
1
2
y
x
D．
2
2
1
4
y
x
4.焦点在x 轴上，中心为坐标原点，经过点
3
1, 2
,
0,
3
.则椭圆的标准方程为（
）
A．
2
2
1
4
3
x
y
B．
2
2
2
3
x
y
1
C．
2
2
1
4
3
x
y
D．
2
2
4
x
y
1
5.过点
6, 6 且与椭圆
2
2
1
9
4
x
y
有相同焦距的椭圆的标准方程为（
）
A．
2
2
1
8
9
x
y
B．
2
2
1
15
10
x
y
C．
2
2
1
10
15
x
y
D．
2
2
1
15
10
x
y
或
2
2
1
10
15
x
y
6．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点分别是
1
2
( 3,0),
(3,0)
F
F
，椭圆上的点P 与两焦点的距离之和等于8；
(2)两个焦点分别是
1
2
(0, 4),
(0,4)
F
F
，并且椭圆经过点( 3,
5)
．
7．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是
0, 2
，
0,2 ，并且椭圆经过点
3 5
,
2 2
；
(2)经过两点
2,
2
，
14
1,
2
．
8.已知椭圆
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)的左、右焦点分别为�1, �2，点�在椭圆上，且满足∠�1��2 = 90°,��2
延长线交椭圆于另一点�，��2 = 2 �2�= 2，则椭圆的方程为（
）
A．
�2
9 + �2 = 1
B．
�2
5 + �2 = 1
C．
�2
9 +
�2
4 = 1
D．
�2
18 +
�2
2 = 1
9.已知椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)的左、右焦点分别为�1，�2，P 为椭圆C 上一点，��1 的最小值为1，
且△��1�2的周长为34，则椭圆C 的标准方程为（
）
A．
�2
81 +
�2
64 = 1
B．
�2
64 +
�2
17 = 1
C．
�2
81 +
�2
17 = 1
D．
�2
81 +
�2
36 = 1
10.已知�1, �2分别是椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)的左、右焦点，�在�上，�在�轴上，2�2�Ԧ
ሬሬሬሬሬ= 3��2Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ，以
��为直径的圆过�1，且△��1�2的面积为
20
3 ，则椭圆�的标准方程为（
）
A．
�2
25 +
�2
10 = 1
B．
�2
25 +
�2
20 = 1
C．
�2
20 +
�2
5 = 1
D．
�2
15 +
�2
10 = 1
11．求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)经过点
3 , 4
5
P
和点
4 ,3
5
Q
；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为
3 .
题型三：椭圆标准方程求参数值或范围
1.已知椭圆
2
2
1
4
x
y
m
的一个焦点坐标为
1,0 ，则实数m 的值为（
）
A．3
B．5
C．6
D．9
2.已知椭圆
2
2
1
7
x
y
k
的一个焦点坐标为
0,2 ，则k 的值为（
）
A．3
B．5
C．11
D．83
3.已知�∈3,6,7 , �∈2,4,5 ,则方程
�2
�2 +
�2
�2 = 1 可表示焦点在�轴上的不同椭圆的个数为（
）
A．9
B．8
C．7
D．6
4．19 世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著
名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭
圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的蒙日圆方程为
2
2
2
2
x
y
a
b
.若圆
2
2
3
9
x
y
b
与椭圆
2
2
1
3
x
y
的蒙日
圆有且仅有一个公共点，则b 的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．2 5
5．已知椭圆C 的方程为
2
2
2
1
8
x
y
m
(
0
m
)，如果直线
2
2
y
x
与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好
是椭圆的右焦点F ，则m 的值为（
）
A．2
B．2
2
C．4
D．8
6.若方程
2
2
1
4
x
y
m
m
表示椭圆，则实数m 的取值范围为（
）
A．
0
m
B．
4
m
C．0
4
m
D．0
4
m
且
2
m
7.已知方程
2
2
1
5
3
x
y
k
k
表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（
）
A．(
)
5,3
B．( 5, 1)
C．( 1,3)
D．(3,
)
8.若方程
2
2
1
2
x
y
m
表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是
．
9.若曲线�: �−4 �2 +
�2
6−�= 1 表示椭圆，则实数k 的取值范围是（
）
A．4,6
B．4,5
C．5,6
D．4,5 ∪5,6
10.若方程�+ 1 �2 + 1 −��2 = 1 −�2表示焦点在�轴上的椭圆，则（
）
A．−1 < �< 1
B．0 < �< 1
C．−1 < �< 0
D．−1 < �< 0 或0 < �< 1
11.“2 < |�| <
6”是“方程
�2
�2−4 +
�2
6−�2 = 1 表示的曲线为椭圆”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．已知m、n 均为实数，方程
2
2
2
2
1
3
x
y
m
n
m
n
表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n 的取值范围
是
.
题型四：点与椭圆的位置关系
1.点
1,1 与椭圆
2
2
1
25
9
x
y
的位置关系为（
）
A．点在椭圆上
B．点在椭圆内
C．点在椭圆外
D．不确定
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的焦点为
1
2
,
F F ，点P 满足
1
2
2
PF
PF
a
，则（
）
A．点P 在椭圆C 外
B．点P 在椭圆C 内
C．点P 在椭圆C 上
D．点P 与椭圆C 的位置关系不能确定
3.（多选）点
,1
A a
在椭圆
2
2
1
4
2
x
y
的内部，则a 的值可以是（
）
A．
2
B．1
C．1
D．
2
4.（多选）已知直线:
4
l mx
ny
与圆
2
2
:
4
O x
y
相切，椭圆
2
2
:
1
9
5
x
y
C
，则（
）
A．点
( , )
P m n 在圆O 内
B．点
( , )
P m n 在圆O 上
C．点
( , )
P m n 在椭圆C 内
D．点
( , )
P m n 在椭圆C 上
题型五：椭圆焦点三角形周长与面积问题
1.．椭圆
2
2
1
5
9
x
y
的两个焦点分别为
1F ，
2
F ，点M 在椭圆上运动，则
1
2
MF F
△
的周长为（
）
A．6
B．2 5
C．8
D．10
2.经过椭圆
2
2
:
1
36
16
x
y
C
的左焦点
1F 的直线交椭圆C 于
,
A B 两点，
2
F 是椭圆C 的右焦点，则
2
ABF
△
的周
长为（
）
A．24
B．12
C．36
D．48
3.过椭圆
�2
25 +
�2
16 = 1 的右焦点�2作直线�交椭圆于�、�两点，�1为左焦点，则△��1�的周长为（
）
A．20
B．
500 23
29
C．10
D．
250 23
29
4.已知椭圆�:
�2
4 +
�2
3 = 1 的上顶点为�，两个焦点为�1，�2，过�1且垂直于��2的直线与�交于�，�两点，
则△���的周长是（
）
A．6
B．4 3
C．4 5
D．8
5.已知椭圆�:
�2
25 +
�2
16 = 1 的左、右焦点分别为�1, �2，�是椭圆上一点，且满足��2 = �1�2 ，则△��1�2
的面积等于
，△��1�2的周长等于
．
6.已知点�是椭圆
�2
25 +
�2
9 = 1 上一点，椭圆的左、右焦点分别为�1、�2，且cos∠�1��2 =
1
3，则△��1�2的
面积为（
）【注：可以用前面的焦点三角形面积公式转化求解】
A．6
B．12
C．
9 2
2
D．2 2
7.已知椭圆的方程为
�2
4 +
�2
3 = 1，若点P 在椭圆上，F1，F2 为椭圆的两个焦点，且∠��1�2 = 120°，求△��1�2
的面积．
8.已知点�在椭圆
�2
49 +
�2
24 = 1 上，�1，�2是椭圆的焦点，且��1 ⊥��2，求
(1) ��1 ⋅��2
(2)△��1�2的面积
9.设
1
2
,
F F 是椭圆
2
2
4
1
49
6
x
y
的两个焦点，P 是椭圆上的点，且
1
2
:
4:3
PF
PF
，则
1
2
PF F
△
的面积为（
）
A．8
B．6
C．4
D．2
10．已知P 是椭圆
2
2
1
25
9
x
y
上的点，
1F 、
2
F 分别是椭圆的左、右焦点，若
1
2
1
2
PF PF
PF
PF
1
2 ，则
1
2
F PF
△
的
面积为
．
11.已知点P 是椭圆
�2
45 +
�2
20 =1 上一点，�1，�2是椭圆的两个焦点，若��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ⋅��2Ԧ
ሬሬሬሬሬ＝0，则△P�1�2的面积
为
．
题型六：焦点三角形与其他问题综合
1.设
1
2
,
F F 为椭圆
2
2
:
1
4
x
C
y
的两个焦点，点P 在C 上，若
1
2
0
PF PF
，则
1
2
PF
PF
（
）
A．1
B．2
C．4
D．5
2．已知椭圆C：
2
2
1
25
9
x
y
的左､右焦点分别为F1，F2，点M 在椭圆C 上，当△MF1F2 的面积最大时，
△MF1F2 内切圆半径为（
）
A．3
B．2
C．5
3
D．4
3
3．已知椭圆
2
2
1
16
4
x
y
的左，右两焦点为
1F 和
2
F ，P 为椭圆上一点，且
2 3
PO
，则
1
2
PF
PF
（
）
A．8
B．12
C．16
D．64
4.已知椭圆
2
2
1
12
3
x
y
的两个焦点
1F ，
2
F ，点P 在椭圆上，且
1
2
60
F PF
，则
2
2
1
2
PF
PF
．
5．已知点P 在椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
上，
1
2
,
F F 是椭圆的左､右焦点，若
1
2
2
PF PF
，且
1
2
PF F
△
的面
积为
3 ，则a 的最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（多选）已知椭圆
2
2
:
1
4
x
M
y
，若P 在椭圆M 上，
1
2
,
F F 是椭圆M 的左、右焦点，则下列说法正确的
有（
）
A．若
1
2
|
| |
|
PF
PF
，则
1
2
30
PF F
B．
1
2
FPF
△
面积的最大值为2
C．
1
2
|
|
|
|
PF
PF
的最大值为2 3
D．
1
2
|
| |
|
F
P
P
F
的最大值为4
7．（多选）
1F ，
2
F 为椭圆C 的两个焦点，椭圆C 上存在点P ，使得
1
2
120
F PF
，则椭圆C 的方程可以是
（
）
A．
2
2
1
4
x
y
B．
2
2
1
5
2
x
y
C．
2
2
1
7
2
x
y
D．
2
2
1
14
3
x
y
8.椭圆�:
�2
4 +
�2
3 = 1(�> �> 0)的两焦点分别为�1，�2 ，�是椭圆�上一点，当△�1��2的面积取得最大值
时，∠�1��2 =（
）
A．
�
6
B．
�
2
C．
�
3
D．
2�
3
9.椭圆
�2
12 +
�2
3 = 1 的焦点为�1, �2，点P 在此椭圆上，如果线段��1的中点在y 轴上，那么
��1
��2 的值为（
）
A．
1
7
B．4
C．7
D．
7
2
10.已知�1, �2分别是椭圆�:
�2
9 +
�2
4 = 1 的左、右焦点，�是椭圆�在第一象限内的一点，若��1 ⊥��2，则
tan∠��1�2 =
．
11.设椭圆
�2
2 + �2 = 1 的左右焦点为�1，�2，点P 在该椭圆上，则使得△��1�2为等腰三角形的点P 的个数
为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
12.椭圆�:
�2
100 +
�2
75 = 1 的焦点为�1、�2，若点�在�上且满足��1 −��2 = 8，则△�1��2中最大角为（
）
A．60∘
B．90∘
C．120∘
D．150∘
13.在椭圆
�2
4 +
�2
2 = 1 上有一点P，�1､�2是椭圆的左､右焦点，△�1��2为直角三角形，这样的点P 有（
）
A．2 个
B．4 个
C．6 个
D．8 个
题型七：椭圆中线段及其和差最值问题
1.已知椭圆的标准方程为
�2
100 +
�2
64 = 1，则椭圆上的点P 到椭圆中心O 的距离��的取值范围为（
）
A．6,10
B．6,8
C．8,10
D．16,20
2.已知椭圆的两焦点为�1 −4,0 , �2 4,0 ，点�在椭圆上．若△��1�2的面积最大为12，则椭圆的标准方程
为
．
3.已知椭圆�:
�2
25 +
�2
9 = 1 的左焦点为�, �为�上任意一点，则��的最大值为（
）
A．5
B．9
C．10
D．18
4.已知P 点是椭圆
�2
4 +
�2
2 = 1 上的动点，A 点坐标为
1
2 , 0 ，则|��|的最小值为（
）
A．
7
4
B．
7
2
C．
3
2
D．
5
2
5．已知F 是椭圆
2
2
1
9
5
x
y
的左焦点，P 是椭圆上一动点，若
1,1
A
，则PA
PF
的最小值为（
）
A．6
3
B．6
5
C．6
2
D．6
6
6．设实数,x y 满足
2
2
2
2
2
2
1,
2
1
2
1
5
4
x
y
x
y
y
x
y
x
的最小值为（
）
A．2 5
2
B．1
5
C．
2
D．前三个答案都不对
7．已知定点
2, 3
A
，点
2
F 为椭圆
2
2
1
25
16
x
y
的右焦点，点M 在椭圆上移动，求
2
AM
MF
的最大值和
最小值为（）
A．12，2 7
B．10
5
，10
5
C．12，8
D．9，2 7
8．已知椭圆方程
2
2
1,
4
3
x
y
F
是其左焦点，点
1,1
A
是椭圆内一点，点P 是椭圆上任意一点，若PA
PF
的最大值为
max
D
，最小值为
min
D
，那么
max
min
D
D
（
）
A．4 3
B．4
C．8
D．8 3
9．（多选）已知点F 为椭圆C：
2
2
1
4
3
x
y
的左焦点，点P 为C 上的任意一点，点A 的坐标为
1,3 ，则下
列正确的是（
）
A．PA
PF
的最小值为13
B．PA
PF
的最大值为7
C．PF
PA
的最小值为13
D．PF
PA
的最大值为1
10.已知椭圆C ：
2
2
1
4
3
x
y
，的右焦点为F，P 为椭圆C 上任意一点，点A 的坐标为
2 4
,
5 5
，则PA
PF
的最大值为（
）
A．21
5
B．5
C．28
5
D．33
5
11.已知F1，F2 分别是椭圆
2
2
1
4
3
x
y
的左、右焦点，M 是椭圆上的动点，点A(1，1)，则
1
MA
MF
的最大
值是
.
12.已知P 是椭圆
2
2
1
16
12
x
y
上一动点，Q 是圆
2
2
(
2)
1
x
y
上一动点，点
(5,4)
M
，则|
|
|
|
PQ
PM
的最
大值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
13.已知椭圆
2
2
:
1
9
5
x
y
C
的左焦点为F ，P 为C 上的动点，点
(1,2 2)
A
，则|
|
|
|
PF
PA
的最大值为（）
A．6
2
B．2 2
C．3
D．3
2
14．已知椭圆
2
2
:
1
3
2
x
y
C
的左、右焦点分别为
1
2
,
,
F F M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：
2
2
(
5)
(
3)
1
x
y
上任意一点，则
1
MN
MF
的最小值为
.
15．已知椭圆C：
2
2
1
4
3
x
y
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E：
2
2
3
2
1
x
y
上任意一点，则
1
MN
MF
的最小值为
.
16.已知动点�在直线�: �= �+ 5 上，以点�−3,0 和�3,0 为焦点的椭圆经过点�，当椭圆的长轴长最小时，
点�的坐标为（
）
A．−3,2
B．−
16
5 ,
9
5
C．−
17
5 ,
8
5
D．−4,1
17.已知椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)的离心率为
6
3 ，下顶点为�，点�为�上的任意一点，则��的最大值
是（
）
A．
3 2
2 �
B．2�
C．3�
D．2�
18.已知直线�: �= ��与椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 交于�, �两点，�是椭圆上异于�, �的一点．若椭圆�
的离心率的取值范围是
3
3 ,
2
2 ，则直线��，��斜率之积的取值范围是（
）
A．−
2
2 , −
1
2
B．−
1
2 , −
1
4
C．−
3
2 , −
2
2
D．−
2
3 , −
1
2
19．（多选）椭圆�:
�2
4 + �2 = 1 的左、右焦点分别为�1、�2，�为坐标原点，以下说法正确的是（
）
A．椭圆�的离心率为
1
2
B．过点�1的直线与椭圆�交于�、�两点，则△���2的周长为8
C．椭圆�上存在点�，使得△��1�2的面积为2
D．�为椭圆
�2
4 + �2 = 1 上一点，�为圆�2 + �2 = 1 上一点，则��的最大值为3
题型八：椭圆中轨迹方程问题
1．如图，一动圆与圆
2
2
1 :
3
1
O
x
y
外切，与圆
2
2
2 :
3
81
O
x
y
内切，求动圆圆心的轨迹方程．
2．已知点P 为圆
2
2
9
x
y
上任一点，D 为点P 在x 轴上的射影，且动点M 满足
2
PM
MD
，当点P 在
圆上运动时，点M 的轨迹是什么？为什么？
3.已知动圆M 和圆
1
C ：
2
2
1
36
x
y
内切，并和圆
2
C ：
2
2
1
4
x
y
外切，则动圆圆心M 的轨迹是
（
）
A．直线
B．圆
C．焦点在x 轴上的椭圆
D．焦点在y 轴上的椭圆
4.已知圆
2
2
:
1
8
C
x
y
，定点为
(
)
1,0
A
，M 为圆C 上一动点，点P 是线段AM 的中点，点N 在CM 上，
点N 不在x 轴上，且满足NP
AM
，则点N 的轨迹方程为
.
5．已知
( 2,0)
M
，P 是圆
2
2
:
4
32
0
N x
x
y
上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，则动点
Q 的轨迹方程为
.
6．已知点P 是圆
2
2
:
4
O x
y
上的动点，作PH
y
轴于点H，则线段PH 的中点M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
4
x
y
B．
2
2
1
16
x
y
C．
2
2
1
16
y
x
D．
2
2
1
4
y
x
7．在平面直角坐标系xOy 中，圆
2
2
:(
1)
16
A
x
y
，点
( 1,0)
B
，过B 的直线l 与圆A 交于点C，D，过
B 作直线BE 平行AC 交AD 于点E.求点E 的轨迹的方程.
8．（1）已知点M 到定点
2,0
F
的距离与到定直线:
5
l x
的距离之比为
10
5
，求点M 的轨迹方程；
（2）已知点A 是圆
2
2
9
x
y
上的动点，过点A 作AB
x
轴，垂足为B ，点P 在线段AB 上，且
1
3
PB
AB
，
求点P 的轨迹方程，并说明点P 的轨迹是什么图形.
9．椭圆
2
2
1
9
x
y
上有动点P，点
1F ，
2
F 分别是椭圆的左、右焦点，求
1
2
PF F
△
的重心M 的轨迹方程.
模块三：综合巩固
1.设P 是椭圆
2
2
1
4
16
x
y
上的点，若
1
2
,
F F 是椭圆的两个焦点，则
1
2
PF
PF
等于（
）
A．4
B．5
C．8
D．10
2．已知椭圆C ：
2
2
1
0
5
x
y
m
m
的一个焦点的坐标为
2,0 ，则m （
）
A．1
B．2
C．5
D．9
3.已知椭圆C：
2
2
1
3
x
y
k
的一个焦点为
0, 1
，则k 的值为（
）
A．2
B．4
C．8
D．10
4.过点
3
1, 2
且与椭圆
2
2
1
2
x
y
有相同焦点的椭圆方程为（
）
A．
2
2
1
5
4
x
y
B．
2
2
1
4
3
x
y
C．
2
2
1
4
5
x
y
D．
2
2
1
3
4
x
y
5．“
0
mn
，
0
m
n
”是“方程
2
2
1
x
y
m
n
表示的曲线为椭圆”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6.若方程
2
2
1
2
1
5
3
x
y
m
m
表示椭圆，则实数m 的取值范围为（
）
A．1 6
6 5
,
,
2 5
5 3
B．5 ,
3
C．1 5
,
2 3
D．6 ,
5
7.若点
3,2 在椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
上，则下列说法正确的是（
）
A．点
3, 2
不在椭圆上
B．点
3, 2
不在椭圆上
C．点
3,2
在椭圆上
D．无法判断上述点与椭圆的关系
8.设
1
2
,
F F 分别是椭圆
2
2
1
9
4
x
y
的左，右焦点，过
1F 的直线l 交椭圆于
,
A B 两点，则
2
2
AF
BF
的最大值
为(
)
A．29
3
B．28
3
C．8
3
D．6
9．已知A ，B 两点之间的距离为2km，甲、乙两人沿着同一条线路跑步，这条线路上任意一点到A ，B 两
点的距离之和为8km.当甲到A ，B 两点的距离相等时，甲、乙两人之间距离的最大值为（
）
A．2 15km
B．4 15km
C．5km
D．10km
10．（多选）若方程
2
2
1
3
1
x
y
t
t
所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（
）
A．曲线C 可能是圆
B．若1
3
t
，则C 为椭圆
C．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则2
3
t
D．若C 为椭圆，且焦点在y 轴上，则2
3
t
11.（多选）若椭圆
2
2
2
2
1(
0)
2
x
y
m
m
m
的某两个顶点间的距离为4，则m 的可能取值有（
）
A．5
B．7
C．
2
D．2
12.（多选）已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
的左､右焦点分别为
1
2
F F
、，P 为椭圆C 上不同于左右顶点的任意一点，
则下列说法正确的是（
）
A．
1
2
PF F
的周长为8
B．存在点P ，使得
1
2.5
PF
C．
1
2
PF PF
的取值范围为
2,3
D．
1
2
|
||
|
PF
PF 的取值范围为
3,4
13.“lg
0
m
”是“方程
2
2
1
1
m
x
y
m
表示椭圆”的（
）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
14．（多选）
1F ，
2
F 是椭圆
2
2
1
25
9
x
y
的两个焦点，A 是椭圆上一点，
1
2
AF F
△
是直角三角形，则
1
2
AF F
△
的
面积为（
）
A．9
B．36
5
C．4 6
D．5 7
15．（多选）已知椭圆
2
2
:
1
16
9
x
y
C
的左、右焦点分别是
1
2
,
F
F ，左、右顶点分别是
1
2
,
A
A ，点 P 是椭圆 C
上异于
1
2
,
A
A 的任意一点，则下列说法正确的是（
）
A．
1
2
4
PF
PF
B．若
1
2
F PF
△
的面积为2 7 ，则点 P 的横坐标为
4
5
3
C．存在点 P 满足
1
2
90
FPF
D．直线
1
PA 与直线
2
PA 的斜率之积为
9
16
16．已知椭圆
2
2
1
5
x
y
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，点M 在椭圆C 上，且
1
2
120
F MF
，（O为原点），
则|
|
OM
．
17．若点O 和点F 分别为椭圆
2
2
1
4
3
x
y
的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则OP
· FP
的取值范
围为
.
18．已知点P 是圆C ：
2
2
(
2)
64
x
y
上动点，
( 2,0)
A
.若线段PA 的中垂线交CP 于点N ，则点N 的轨
迹方程为
.
19．已知椭圆C：
2
2
1
16
7
x
y
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点P 是椭圆C 上的一点，则
1
2
2
PF
PF
的
最大值为
.
20.椭圆
2
2
1
100
36
x
y
上一点P 与它的一个焦点的距离等于6，那么点P 与另一个焦点的距离等于
.
21.已知点P 在焦点为
1F 、
2
F 的椭圆
2
2
1
4
x
y
上，若
1
2
90
F PF
，则
1
2
PF
PF
的值为
．
22.已知
1
2,0
F
，
2 2,0
F
，动点P 满足
1
2
6
PF
PF
，若
1,1
A
，则
1
PA
PF
的范围为
．
23．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)
1
b ，
15
c
，焦点在y 轴上；
(2)焦距为4，且经过点
5,0 ；
(3)经过点
3,0
P
，
0,2
Q
的椭圆标准方程.
24．已知
1
2
,
F F 是椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的两个焦点，
1
2
2
F F
，
2 5
(2,
)
5
M
为C 上一点.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若P 为C 上一点，且
1
2
PF
PF
，求
1
2
F PF
△
的面积.
25.已知椭圆C 的焦点坐标为
1
1,0
F
和
2 1,0
F
，且椭圆经过点
3
1, 2
G
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)点P 为椭圆上的动点，且
1
2
60
F PF
，求
1
2
PF F
△
的面积.
26.（1）动点
( , )
M x y 与定点
(4,0)
F
的距离和M 到定直线
25
:
4
l x
的距离的比是常数4
5 ，求动点M 的轨迹．
（2）如图，在圆
2
2
9
x
y
上任取一点P ，过点P 向x 轴作垂线段PD ，D 为垂足，求线段PD 的中点M
的轨迹方程．
27．在平面直角坐标系中，点
,
A B 的坐标分别为
4,0
，
4,0 ，点
,
M x y 为坐标系内一点，若直线AM
与直线BM 的斜率的乘积为
9
16
．
(1)求点M 的轨迹方程；
(2)说明点M 的轨迹是何种几何图形．
28.已知椭圆�：
�2
25 +
�2
16 = 1 内有一点�2,3 ，�1，�2分别为椭圆的左、右焦点，�为椭圆�上的一点，求：
(1) ��−��1 的最大值与最小值；
(2) ��+ ��1 的最大值与最小值．
29.（1）已知�1，�2是椭圆
�2
100 +
�2
64 = 1 的两个焦点，�是椭圆上一点，求|��1| ⋅|��2|的最大值；
（2）已知�(1,1)，�1是椭圆5�2 + 9�2 = 45 的左焦点，点�是椭圆上的动点，求|��| + |��1|的最大值和
最小值．
30．一种作图工具如图1 所示．O是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与
ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且
1
DN
ON
，
3
MN ．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运
动时，带动N 绕O转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB 所
在的直线为x 轴建立如图2 所示的平面直角坐标系．求曲线C 的轨迹方程；
31．如图．已知圆
2
2
:(
2)
81
M
x
y
，圆
2
2
:(
2)
1
N
x
y
．动圆S 与这两个圆均内切．
(1)求圆心S的轨迹C 的方程；
(2)若
2,3
P
、
2, 3
Q
是曲线C 上的两点，A B
、是曲线C 上位于直线PQ 两侧的动点．若直线AB 的斜率为
1
2 ，求四边形APBQ 面积的最大值．
