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第三章：圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1椭圆及其标准方程
题型一：利用椭圆的定义求方程
1．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆 上任意一点 都满足关系式 ，则
椭圆 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·江苏省灌南高级中学高二月考）已知椭圆对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，该椭圆的一焦点坐标
为 且过点 ，求该椭圆的长轴长为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·深圳实验学校高二月考）在 中，点 、 点 ，且 是 和 的等差中项，
则点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：椭圆的焦点三角形问题
4．（2021·蒲城县尧山中学高二月考（文））已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，过 的直线l交C于A，B两点，若 的周长为 ，则椭圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·哈密市第十五中学高二期中（理））已知△ABC的顶点B、C在椭圆 ＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一
个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）
A．2 B．6 C．4 D．12
6．（2021·黑龙江鹤岗一中高二月考）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆上一
动点（异于左、右顶点），若△ 的周长为6，且面积的最大值为 ，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
题型三：根据方程表示椭圆求参数问题
7．（2021·全国高二课时练习）已知方程 表示椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·山西晋中·（理））“ ”是“方程 表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2021·威远中学校高二月考（文））“ ”是“ 为椭圆方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型四：椭圆的标准方程的求法
10．（2021·江苏）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过 的直线 交
于 两点，若 的周长为 则，椭圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021·全国高二课前预习）与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且过点(4 ，0)的椭圆的方程是（ ）
A． B． ＋ ＝1
C． D．
12．（2021·福建省厦门集美中学高二期中）已知点 是椭圆 上的一点，椭圆的长
轴长是焦距的 倍，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型五：与椭圆有关的轨迹问题
13．（2021·全国高二课时练习）已知 ， 是圆 上一动点，线段 的垂直平分线交
于点 ，则动点 的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
14．（2021·河北迁安·高二期末）已知圆 ： ，定点 ， 是圆 上的一动点，线段 的
垂直平分线交 于点 ，则 点的轨迹 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2021·广西田东中学高二期末（理））在平面直角坐标系中，已知定点 、 ，直线 与直
线 的斜率之积为 ，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
一、单选题
16．（2020·江苏高二期中）已知椭圆 的右焦点为 是椭圆上一点，点 ，则 的周长最
大值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
17．（2020·江苏高二期中）已知椭圆 ，点 与 的焦点不重合，若 关于 的焦点的对称点分别
为 ，线段 的中点在椭圆 上，则 的值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．2418．（2021·全国高二课时练习）设P是椭圆 上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距
离为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
19．（2021·全国高二课时练习）焦点坐标为 ，（0，4），且长半轴 的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
20．（2021·福建省连城县第一中学高二月考）已知 的顶点 ， 在椭圆 上，顶点 是椭圆的一个
焦点，且椭圆的另外一个焦点在 边上，则 的周长是（ ）
A． B．6 C．4 D．
21．（2021·全国高二专题练习）已知 点的坐标为 ， 是圆 上一动点，线段 的垂直平
分线交 于 ，则动点 的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线
22．（2021·蒲城县尧山中学高二月考）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用
垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周长为72的矩形
ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为
，下列选项中满足题意的方程为（ ）
A． B．
C． D．23．（2021·全国高二单元测试）阿基米德是古希腊著名的数学家､物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除
以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系 中，椭圆
的面积为 ，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆 的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
24．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆 ，点 与 的焦点不重合，若 关于 的两个
焦点的对称点分别为 ， ，线段 的中点 在 上，则点 到 ， 两点的距离之和为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．36
25．（2021·全国高二课时练习）在平面直角坐标系 中，已知 的顶点 和 ，顶点 在椭圆
上，则 （ ）
A． B． C．5 D．
【高分突破】
一：单选题
26．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆 的右焦点为 ， 为椭圆 上一动点，定点 ，则
的最小值为（ ）
A．1 B．－1 C． D．
27．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标
准方程是（ ）
A． B．C． D． 或
28．（2021·全国）已知椭圆 的一个焦点坐标为 ，则 的值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．81
29．（2021·全国高二课时练习）如图，椭圆 的长轴为 ，椭圆 的短轴为 ，且 与 的离
心率相同，直线 与 ， 相交于四点，这四点按纵坐标从大到小依次为 ， ， ， ，若 ，
为坐标原点，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·全国）椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， ， 的面积为 ，且
，则椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
31．（2021·曲靖市沾益区第四中学高二月考（理））设 ， 分别是椭圆 ： 的左、右两个焦点，若
上存在点 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．32．（2021·永昌县第一高级中学（理））已知 的顶点 ， 在椭圆 上，顶点 是椭圆的一个焦点，
且椭圆的另外一个焦点在 边上，则 的周长是（ ）
A． B． C．4 D．6
33．（2021·浙江丽水·高二期中）如图，焦点在 轴上的椭圆： 的左右焦点分别为 ， ，点
是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线 与 轴的正半轴交于点 ，若 的内切圆在边 上的切点为 ，
且 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．
二、多选题
34．（2021·全国高二课时练习）（多选）设定点 ， ，动点 满足 ，则点
的轨迹可能是（ ）
A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线
35．（2021·全国高二专题练习）已知 是椭圆 上一动点， ， 分别是圆 与圆
上一动点，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为 D． 的最大值为
36．（2021·全国高二专题练习）已知F为椭圆 的左焦点，A，B为E的两个顶点.若，则E的方程为（ ）
A． B． C． D．
37．（2021·福建莆田·高二期末）已知 ， 分别是椭圆 的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端
点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A． 的周长为10
B． 面积的最大值为
C．当 时， 的面积为
D．存在点P使得
38．（2020·巴南·重庆市实验中学）已知 是椭圆 上一点，椭圆的左､右焦点分别为 ，且
，则（ ）
A． 的周长为 B．
C．点 到 轴的距离为 D．
39．（2020·湖北武汉·高二期中）已知动圆Р与圆C ： 外切，且与圆C ： 内切，动
1 2
圆圆心Р的轨迹方程为C，则下列说法正确的是（ ）
A．轨迹方程C为 B．轨迹方程C的焦距为3
C．轨迹方程C的长轴为10 D．轨迹方程C的离心率为
三、填空题
40．（2021·全国高二课时练习）已知三角形ABC的周长是8，顶点B，C的坐标分别为 ，（1，0），则顶
点A的轨迹方程为________．41．（2021·全国高二课时练习）若椭圆的两焦点分别为 ， ，点P在椭圆上，且三角形 的面
积的最大值为12，则此椭圆方程是________．
42．（2021·蒲城县尧山中学高二月考（文））3＜m＜9是方程 表示的椭圆的_____条件.（从“充
要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个正确的填写）
43．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆C： ＝1（a＞b＞0）的焦距为4，直线l：y＝2x与椭圆C相交于
点A、B，点P是椭圆C上异于点A、B的动点，直线PA、PB的斜率分别为k、k，且k•k＝ ，则椭圆C的标
1 2 1 2
准方程是__．
44．（2021·河南商丘·高二月考）椭圆 ： （ ）的左右焦点分别为 ， ，过 的
直线 与过 的直线 相交于点 ，点 在椭圆 上， 是等腰三角形，且 ，则
________．
四、解答题
45．（2021·全国高二课时练习）如图， ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点P在椭圆上，三
角形 是面积为 的正三角形，求此椭圆的方程．
46．（2021·全国高二课时练习）如图，已知A，B是两定点，且 ．动点M到点A的距离是4，线段MB的
垂直平分线l交MA于点P，求当M变化时，动点P的轨迹方程．47．（2021·南昌大学附属中学高二月考）设椭圆 的左右焦点分别为 ， 是 上的动
点，直线 经过椭圆的一个焦点， 的周长为 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2） 为椭圆上一点，求 的最小值和最大值（写出严谨的推导过程）.
48．（2021·南昌大学附属中学高二月考）已知 是椭圆 两个焦点，且
.
（1）求此椭圆的方程；
（2）设点 在椭圆上，且 ，求 的面积.
49．（2021·黑龙江鹤岗一中高二月考）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，
且椭圆C上的点M满足 ， ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点 是椭圆 的上顶点，点 在椭圆C上，若直线 ， 的斜率分别为 ，满足 ，求
面积的最大值．50．（2021·全国高二课时练习）如图所示，已知椭圆 的两焦点分别为 ， ， 为椭圆上一点，且
．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若点 在第二象限， ，求 的面积．【答案详解】
1．B
【详解】
由题设可知椭圆 的焦点在 轴上，其坐标分别为 ， ， ，故 ， ， ，所以椭圆 的
标准方程为 ．
故选：B
2．C
【详解】
由椭圆的一焦点坐标为 ，可得所求椭圆焦点在 轴上，
设所求椭圆方程为： ，
则椭圆的另一焦点为 ，又椭圆过点
由椭圆的定义可得：
故选：C
3．B
解： 点 、点 ， ，
是 和 的等差中项，
则 ，
点 的轨迹是以 ， 为焦点，半长轴长是4的椭圆（去掉长轴上的顶点）．
则 ， ， ．
点 的轨迹方程是：
故选：B．
4．B
【详解】由题知： ，
所以椭圆 的标准方程为： .
故选：B
5．C
【详解】
由椭圆 ＋y2＝1知，该椭圆的长半轴 ，
A是椭圆的一个焦点，设另一焦点为 ，而点 在BC边上，点B，C又在椭圆上，
由椭圆定义得 ，
所以 的周长
故选：C
6．A
【详解】
由椭圆的定义可得 ，
∴ ①，
当点 为上顶点或下顶点时，△ 的面积取得最大值为 ，
∴ ②．又 ③，
由①②③，得 ， ， ，
∴椭圆的标准方程为 ．
故选：A
7．B
【详解】
由于方程 表示椭圆，所以 .
故选：B
8．B
充分性：当 ，方程 表示圆，充分性不成立；
必要性：若方程 表示椭圆，则 ，必有 ，必要性成立.
因此，“ ”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B.
9．B
解：因为 为椭圆方程，
所以 解得 且 ，
所以 不能推出 且 ，而 且 能推出 ，
所以“ ”是“ 为椭圆方程”的必要不充分条件.
故选：B.
10．A
解：由题意可得 ，解得 ， ，
所以 ，
所以椭圆 的方程为 ，
故选：A
11．D
由 ＋ ＝1可知，
所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝5，故A，C不正确；
再将点(4 ，0)分别代入B，D检验可知，只有D选项符合题意．12．D
【详解】
由题意 ，解得 ，所以椭圆方程为 ．
故选：D．
13．A
解：由题意，可知圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为6．
∵线段 的垂直平分线交 于点 ，∴ ，∴ ，
∴点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，∴ ， ， ，∴其轨迹方程为 ．
故选：A．
14．B
【详解】
由题可得圆心 ，半径为6，
是垂直平分线上的点， ，
，
点的轨迹是以 为焦点的椭圆，且 ， ，
，故 点的轨迹方程为 .
故选：B.15．B
解：设动点P的坐标为 ，则由条件得 ．即 ．
所以动点P的轨迹C的方程为 ．
故选：B．
16．C
【详解】
如图所示设椭圆的左焦点为 ，则
，
则 ，
，
的周长 ，当且仅当三点M， ，A共线时取等号．
的周长最大值等于18．
故选：C．
17．B
解：如图设 的中点为 ，椭圆 的左右焦点分别为 ,连接 , ,
是 的中点, 是 的中点, 是 ，
,
同理: ,
在椭圆 上,
+ =6
+ =12.
故选：B.
18．C
【详解】
设该椭圆左焦点为 ，右焦点为 ，由题可知 ，所以 ，而 ，所以 ．
故选：C．
19．B
【详解】
因为 ，所以 ，而焦点在 轴上，所以椭圆方程为 ．
故选：B．
20．D
【详解】
由椭圆 ，得： ，由题意可得 的周长为:
.
故选：D.
21．B
【详解】
由题意，圆 ，可得圆心坐标为 ，半径为 ，
因为线段 的垂直平分线交 于 ，可得 ，
所以 ，
根据椭圆的定义，可得点 的轨迹为以 、 为焦点的椭圆.
故选：B.
22．C
【详解】
由题意椭圆方程是方程为 ，排除BD，
矩形 的四边与椭圆相切，则矩形的周长为 ， ．
在椭圆 中， ， , 不满足题意，
在椭圆 中 ， , 满足题意．
故选：C．
23．A
【详解】由题意得 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程是 .
故选：A
24．C
设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，如图所示．
因为线段 的中点为 ，点 为 的中点，
所以 ，同理可得 ．
因为点 在椭圆 上，所以有 ，
所以 ，
即点 到 ， 两点的距离之和为12，
故选：C
25．A
【详解】
由题意，知 ， ，
所以 ．
故选：A
26．A
【详解】
设椭圆的左焦点为 ，则 ，可得 ，所以 ，
如图所示，当且仅当 ， ， 三点共线（点 在线段 上）时，
此时 取得最小值，
又由椭圆 ，可得 且 ，所以 ，所以 的最小值为1．
故选：A．
27．D
【详解】
由题意，椭圆的焦距是6，可得 ，即 ，
又由椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，可得 ，即 ，
则 ，
当焦点可以在 轴上时，椭圆的方程为 ；
当椭圆的焦点在 轴上时，椭圆的方程为 .
故选：D．
28．A
【详解】
由椭圆 的一个焦点坐标为 ，则半焦距c=2，
于是得 ，解得 ，
所以 的值为1.
故选：A29．D
【详解】
在椭圆 中 ， ，所以 ，得 ，则椭圆 的标准方程为 ．
由题意知 ，将 与 和 的方程分别联立，得 ， ，
又 ， ，所以 和 的斜率相同，
所以 ，解得 ．
故选：D.
30．D
【详解】
由题意可得 ，且 ， ，
解得 ， ， ，所以椭圆的方程为 ，
故选：D．
31．D
解：由 ， 分别是椭圆 ： 的左、右两个焦点，
则 ，
当点 位于短轴端点时， 取最大值，要使 上存在点 满足 ，
则 的最大值大于或等于 ，即点 位于短轴端点时， 大于或等于 ，
则 ，解得 ．
故选：D.
32．B
【详解】
椭圆 ，则 ，由题意可得 的周长为 .
故选：B
33．D
解：如图， 的内切圆在边 上的切点为 ，设内切圆与 、 分别切于点 、 ，
根据切线长定理可得 ， ，
，
，
，
，
则 ，
即 ， ，
故选：D．
34．BC
【详解】
由题意知，定点 ， ，可得 ，
因为 ，可得 ，当且仅当 ，即 时等号成立．
当 时，可得的 ，此时点 的轨迹是线段 ；
当 时，可得 ，此时点 的轨迹是椭圆．
故选：BC．
35．AD
解：圆 与圆 的圆心分别为： ； ，
则 、 是椭圆 的两个焦点坐标，两个圆的半径为 ，
所以 的最大值为 ；
的最小值 .
故选：AD.
36．ACD
【详解】
∵
∴仅有4种情况符合条件，即A为右顶点时，B为左顶点或上、下顶点；A为上顶点时，B为左顶点；
∴①当A为右顶点时，B为左顶点，此时 ，
解得 ，椭圆方程为 ，故D正确；
②当A为右顶点时，B为上或下顶点，此时 ，解得 ，椭圆方
程为 ，故A正确；
③A为上顶点时，B为左顶点时，此时 ，解得 ，椭圆方程为
，故C正确；故选：ACD
37．AB
由椭圆 的方程可得
的周长为 ，故A正确
当点 位于短轴端点时， 的面积最大，最大值为 ，故B正确
当 时，由余弦定理可得
所以 ，所以 ，可得
所以 的面积为 ，故C错误
设 ，则
由 可得 ，从而可得解得 ，不成立，故D错误
故选：AB
38．BCD
【详解】
A．因为 ，
所以 ，故错误；
B．因为 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，故正确；
C．设点 到 轴的距离为 ，
所以 ，所以 ，故正确；D．因为 ，故正确；
故选：BCD.
39．ACD
【详解】
圆C ： 的圆心 ，半径 ，圆C ： 的圆心 ，半径 ，
1 2
设点 ，动圆的半径为 ，则由题意得 ，
所以 ，即动点P到两个定点 的距离之和为10.
又因为 ，所以点P在以两定点 为焦点，10为长轴长的椭圆上.
所以设此椭圆的轨迹方程为C为 ，这里 ， ，则 ，
因此，动圆圆心P所在的曲线方程为： .所以轨迹方程为C的焦距为6，轨迹方程为C的长轴长为10，轨
迹方程为C的离心率为 ，
故选：ACD.
40．
设 ， ，
所以 ，即点 是以顶点 为焦点的椭圆， ， ，
则 ，
所以椭圆方程 ，因为三点 不能共线，所以 ，
则顶点A的轨迹方程为 .
故答案为：
41． ##
【详解】依题意 ，椭圆焦点在 轴上，
三角形 的面积的最大值为 ，
所以 ，
所以椭圆方程为 .
故答案为：
42．必要不充分
解：若方程 表示椭圆，则 ，解得3＜m＜9，且m≠6；
所以方程 表示椭圆的充要条件是3＜m＜9，且m≠6，
所以3＜m＜9是方程 表示椭圆的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分.
43． ＝1
【分析】
设P（x，y），A（x，y），B（﹣x，﹣y），代入作差法表示出k•k＝ ，与 联立，即可求出椭圆
0 0 1 1 1 1 1 2
的标准方程.
【详解】
设P（x，y），A（x，y），B（﹣x，﹣y），则 ， ，
0 0 1 1 1 1
两式作差得 ．
因为直线PA，PB的斜率都存在，所以 ≠0．所以 ＝﹣ ＝﹣ ＝﹣k•k＝ ，则 ，
1 2
又因为焦距为4，则 ，联立两式可得
所以该椭圆的方程为： ＝1
故答案为： ＝1
44．
因 是等腰三角形，且 ，则 ， ，
由椭圆定义知 ，即 ，
所以 .
故答案为：
45． .
【详解】
解：设椭圆的焦距为2c，因为三角形 是面积为 的正三角形，
所以 ，解得 ，可得 ，
将 代入 ，得 ，
又 ，解得 ，
所以椭圆的方程为 .
46．【详解】
设 ，因为线段MB的垂直平分线l交MA于点P，所以 ，
即有 ，所以点P的轨迹是以 为焦点，焦距为 ，长轴长为 的椭圆，若
以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴，则 ， ， ，故动点P的轨迹方程为
．
47．
（1）因为椭圆 ，
所以此椭圆的焦点在 轴上，
因为直线 经过椭圆的一个焦点，
所以令 ，则 ，即半焦距 ，所以 ，
因为 的周长为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）由已知得 ，设 ，则 ， .
所以 ，
代入 ，得 ，
对称轴为 ，又由于 ，所以当 时， ，此时 ，
当 时， ，此时 ，
所以 的最小值为 ，最大值为 .
48．
（1）因为 是椭圆 两个焦点，
所以 ，①
又因为 ，②
所以由①②可得 ，
所以此椭圆的方程为 .
（2）设 ，
由椭圆定义可知 ，③
在 中，由余弦定理得 ，即 ，④
由③④式可得， ，
所以 .
即 的面积为 .
49．（1） ；（2） ．
（1）依题意得： ， ．
由椭圆定义知 ，
又 ，则 ，在 中， ，由余弦定理得：
即 ，解得
又
故所求椭圆方程为
（2）设 ，直线
联立方程组 ，得 ，
，得 ，
， ，
，
由题意知 ，由 ， ，代入化简得
，
故直线 过定点 ，
由 ，解得 ，
，
令 ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 面积的最大
值为 ．50．（1） ；（2） ．
（1）设椭圆 的标准方程为 ，焦距为 ，
则由已知得 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）在 中， ．
由余弦定理，得 ，
即 ，所以 ，
所以 ．
