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重难点突破 03 圆锥曲线中的面积问题
1．已知 是抛物线 的焦点， 是 上在第一象限的一点，点 在 轴
上， 轴， ， ．
（1）求 的方程；
（2）过 作斜率为 的直线与 交于 ， 两点， 的面积为 为坐标原点），
求直线 的方程．
2．已知 ， 是椭圆 的两个焦点， ， 为 上
一点．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 为 上一点，且 ，求△ 的面积．3．已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 横坐标为3，且点 到焦
点 的距离为5．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 作直线交抛物线于点 ， ，求 面积的最小值（其中 为坐标原
点）．
4．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 轴，且经过点 ．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程、焦点坐标；
（Ⅱ）经过焦点 且斜率是1的直线 ，与抛物线交于 、 两点，求 以及 的
面积．5．已知椭圆 ，左、右焦点分别为 ， ，过点 作倾斜角为 的直线 交
椭圆于 ， 两点．
（1）求 的长和 的周长；
（2）求 的面积．
6．已知双曲线 的一条渐近线为 ，且双曲线 的虚轴长为
．
（1）求双曲线 的方程；
（2）记 为坐标原点，过点 的直线 与双曲线 相交于不同的两点 、 ，若
的面积为 ，求直线 的方程．7．已知双曲线 的离心率为 ，设 的右焦点为 ，右顶点为
，虚轴下端点为 ，且 ．
（1）求 的方程；
（2）过坐标原点的直线 与 交于 ， 两点，与直线 交于点 ，且点 ， 都在
第一象限，若 的面积是 面积的2倍，求 的斜率．
8．已知过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，且当 的斜率为
1时， 恰为 中点．
（1）求 的值；
（2）当 经过抛物线 的焦点时，求 的面积．9．已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆 经过点 ， ，
是椭圆的左、右焦点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 为椭圆上一点， ，则三角形 的面积．
10．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，双曲线 的右顶
点 ，且 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）动直线 与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ， ，
设 为坐标原点，求证： 的面积为定值11．已知椭圆 的左焦点为 ，左、右顶点及上顶点分别记为
、 、 ，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 交于 、 两点，求 面积的最大值，以及取得
最大值时直线 的方程．
12．已知椭圆 经过点 ， ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 交椭圆 于 ， 两点， 是坐标原点，求 的面积 ．13．已知 为坐标原点， 是椭圆 的左焦点，点 是椭圆的
上顶点，以点 为圆心且过 的圆恰好与直线 相切．
（1）求椭圆 的方程；
（2）斜率为1的直线 交椭圆 于 ， 两点，求 面积的最大值．
14．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，设点 ，在△
中， ，周长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过左焦点 作倾斜角为 的直线 交椭圆 于 、 两点，求 的面积．15．已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，其中一个焦点到
上的点的最小距离为 ．
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）已知直线 与双曲线 交于 ， 两点，过 ， 作直线 的垂线分别交
于另一点 ， ，求四边形 的面积．
