押天津卷第18题教师版_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_5.2024三轮冲刺_备战2024年高考数学临考题号押题（天津专用）323409112

押天津卷 18 题 椭圆大题 考点 2年考题 考情分析 近两年高考对于椭圆的考察整体难度中等，利用题干给的信 2023年天津卷第18题 解析几何之 息进行分析，得到需要的方程求解，分析难度整体不大，计 椭圆大题 算量较大。圆锥曲线椭圆大题的难度多来自联立方程之后的 2022年天津卷第19题 计算，往往需要考生有比较扎实的计算功底。 题型一椭圆 18．（15分）（2023•天津）设椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，右焦点为 ，已知 ， ． （Ⅰ）求椭圆方程及其离心率； （Ⅱ）已知点 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线 交 轴于点 ，若△ 的面积是△ 面积的二倍，求直线 的方程． 【分析】（Ⅰ）由题意可得 ，求解 与 的值，再由隐含条件求解 ，则椭圆方程可求； （Ⅱ）由题意可知，直线 的斜率存在且不为0，设直线方程为 ，取 ，得 ，分 别求出△ 的面积与△ 面积，再由已知列式求解 ，则直线方程可求．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知， ，解得 ， ． 则椭圆方程为 ，椭圆的离心率为 ； （Ⅱ）由题意可知，直线 的斜率存在且不为0， 当 时，直线方程为 ，取 ，得 ． 联立 ，得 ． △ ， ，得 ，则 ． ． ． ，即 ，得 ； 同理求得当 时， ． 直线 的方程为 ．19．（15分）（2022•天津）椭圆 的右焦点为 、右顶点为 ，上顶点为 ，且满足 ． （1）求椭圆的离心率 ； （2）直线 与椭圆有唯一公共点 ，与 轴相交于 异于 ．记 为坐标原点，若 ，且 的面积为 ，求椭圆的标准方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）根据 建立 ， 的等式，再转化为 ， 的等式，从而得离心率 的值； （2）先由（1）将椭圆方程转化为 ，再设直线 为 ，联立椭圆方程求出点 的坐标， 再由△ 及 ，且 的面积为 建立方程组，再解方程组即可得解． 【解答】解：（1） ， ， ， ， ， ； （2）由（1）可知椭圆为 ， 即 ，设直线 ，联立 ，消去 可得： ，又直线 与椭圆只有一个公共点， △ ， ， 又 ， ， 又 ， ， 解得 ， ， 又 的面积为 ， ， ， 又 ， ， ， ， 椭圆的标准方程为 ． 1．弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A(x，y)，B(x，y)， 1 1 2 2 则|AB|＝|x－x|＝ 1 2 或|AB|＝|y－y|＝，k为直线斜率且k≠0. 1 2 2.常用结论 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)． (1)通径的长度为. (2)过左焦点的弦AB，A(x ，y)，B(x ，y)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x ＋x)；过右焦点弦CD，C(x ， 1 1 2 2 1 2 3 y)，D(x，y)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x＋x)．(e为椭圆的离心率) 3 4 4 3 4 (3)A，A 为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A，A 的任一点，则 . 1 2 1 2 (4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M 为AB的中点，则k ·k ＝－. OM AB (5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则k ·k ＝－. PA PB (6)点P(x，y)在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1. 0 03.做题技巧 1若直线经过x轴上一点 时可以考虑解设直线方程为 。 2如果直线不明确经过椭圆内一点时，需要考虑计算△。 3直线与椭圆相切时△=0,此外切点的横坐标 1．设椭圆 的离心率等于 ，抛物线 的焦点 是椭圆 的一个顶点， 、 分别是椭圆的左右顶点． （1）求椭圆 的方程； （2）动点 、 为椭圆上异于 、 的两点，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ，求证： 直线 经过定点． 【答案】（1） ； （2）证明过程见详解，定点 ， ． 【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点 的坐标，由椭圆的离心率的值和它的一个顶点，可得 ， 的值， 即求出椭圆的方程； （2）设直线 的方程，与椭圆的方程联立，可得 的坐标，同理可得 的坐标，进而求出直线 的方 程，可证得直线 恒过定点的坐标． 【解答】（1）解： 的焦点 的坐标 ， 由 ， ， ， 因为 ，得 ， 所以椭圆的方程为： ；（2）证明：由（1）可知 ， ， 由题意可知，直线 的斜率存在，且不为0，设直线 的斜率 ， 直线 的方程为 ， 联立 ，整理可得： ， 直线 过点 ，所以 ， 可得 ， 代入 ，得 ， 即 ， 直线 的方程为 ，代入椭圆方程， 同理： ， 若 ，即 ， 直线 的斜率 ， 直线 的方程为 ， 令 ，解得 ， 所以直线 过定点 ， 若 ，此时 ，直线 也过点 ，综上所述：直线 过定点 ． 2．已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点 重合，抛物线的准线被 截得 的线段长为 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）过点 作直线 交 于 ， 两点，试问：在 轴上是否存在一个定点 ，使 为定值？若 存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）存在， ． 【分析】（Ⅰ）根据抛物线的焦点坐标公式、准线方程，结合椭圆中 ， ， 的关系进行求解即可； （Ⅱ）先讨论直线斜率存在的情况，设直线方程，联立之后写出韦达定理，代入数量积公式表示 ， 化简计算之后得分子分母的比值关系，求解出 的横坐标，再将点 代入判断直线斜率不存在的情况是 否成立． 【解答】解：（Ⅰ）抛物线的焦点 ，准线方程为 ， 因为椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点 重合， 所以 ， 因为抛物线的准线被 截得的线段长为 ， 所以点 在椭圆上， 所以 ， 解得 ， ， 所以椭圆 的方程为 ．（Ⅱ）假设存在符合条件的点 ，设 ， ， ， ， 则 ， ， ①当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 ， 由 ，得 ，则 ， 所以 ， 因此 ，若对于任意的 值，上式为定值， 则 ，解得 ，此时， 为定值． ②当直线 的斜率为0时， ， 综合①②知，符合条件的点 存在，其坐标为 ． 3．已知椭圆 过点 ，焦距是短半轴长的 倍． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）点 ， ， 是椭圆 上的三个不同点，线段 交 轴于点 异于坐标原点 ．且总有 的面积与 的面积相等，直线 ， 分别交 轴于点 ， 两点，求 的值． 【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）4． 【分析】（Ⅰ）根据题意列方程即可求解； （Ⅱ）因为 的面积与 的面积相等，所以 ， 两点关于 轴对称，设直线 ，则可得 ，联立 与椭圆方程，由韦达定理可得 ，进一步可得直线 的方程为： ，令 ，则 ，所以 ． 【解答】解（Ⅰ）：设椭圆的半焦距 ，由题意得 ， 解得 ， 椭圆的方程 ； （Ⅱ）因为 的面积与 的面积相等，所以 ， 两点关于 轴对称， 由题意直线 斜率 存在且不为0，并且纵截距不为0， 设直线 ， ， ， ， ，则 ， 联立 ，化简得 ， 则 又直线 的方程为： ，令 ， 则， 所以 ． 4．在平面直角坐标系 中，椭圆 的左焦点为点 ，离心率为 ，过点 且与 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设不过原点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，线段 的中点为 ，直线 与椭圆 交于两点 ， ，证明： ． 【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）证明见解答 【分析】（Ⅰ）根据已知可得关于 ， ， 的方程组，求解即可； （Ⅱ）设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可得 的中 点 的坐标，进而可得直线 的方程，与椭圆方程联立，可得点 ， 的坐标，分别计算 ， ，即可得证．【解答】（Ⅰ）解：依题意， ，解得 ， 所以椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）证明：设直线 的方程为 ，设点 ， ， ， ， 联立 ， 消去 ，整理得 ， △ ，即 ，即 且 ， 由韦达定理得 ， 所以 中点 ， 所以直线 方程为 ，设点 在第二象限， 联立方程组 ，解得 ， ， 所以 ， ，所以 ． 5．已知椭圆 过点 ，且椭圆 的离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）若动点 在直线 上，过 作直线交椭圆 于 ， 两点，且 为线段 中点，再过 作 直线 ．证明：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】 【分析】（Ⅰ）点 在椭圆上，将其代入椭圆方程，又因为 ，解方程组得到 ， ，由此能求出 椭圆方程． （Ⅱ）点 在直线 上，则可得 ，当直线 的斜率存在时设斜率为 ，得到直线 中点， 根据点 的横坐标解得 ，由 可得直线 的斜率及其含参数 的方程，分析得直线是否恒过定点， 注意还要讨论直线 的斜率不存在的情况． 【解答】（Ⅰ）解： 点 在椭圆上， ，解得 ， 椭圆 的离心率为 ， ， ，解得 ， 椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）证明：设 ， ， ①当直线 的斜率存在时， 设直线 的方程为 ， ， ， ， ， 由 ，得： ， ， 为 中点， ，即 ， ． ， ， 直线 的方程为 ， 即 ， 直线 恒过定点 ， ． ②当直线 的斜率不存在时， 直线 的方程为 ， 此时直线 为 轴，也过点 ， ． 综上所述，直线 恒过定点 ， ． 6．已知椭圆 与椭圆 有相同的离心率，椭圆 焦点在 轴上且经过点 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）设 为椭圆 的上顶点，经过原点的直线 交椭圆 于 、 ，直线 、 与椭圆 的另一个 交点分别为点 和 ，若 与 的面积分别为 和 ，求 取值范围． 【分析】（1）由题意，根据椭圆 与椭圆 有相同的离心率，得到椭圆 的离心率，设出 椭圆 的方程，将点 代入方程中，结合 ， ， 之间的关系，进而可得椭圆 的方程；（2）设点 ， 在第一象限和 轴正半轴上，根据椭圆方程得到 ，设出直线 和 的 方程，将其与椭圆方程联立，得到 和 的表达式，进而可得 的表达式，结合 再 进行求解即可． 【解答】解：（1）易知椭圆 的离心率 ， 因为椭圆 与椭圆 有相同的离心率， 所以 ，① 不妨设椭圆 的方程为 ， 因为椭圆 过点 ， 所以 ，② 又 ，③ 联立①②③，解得 ， ， 则椭圆 的标准方程为 ； （2）由（1）知 ， 不妨设点 ， 在第一象限和 轴正半轴上， 可得 ， ， 因为点在椭圆 上， 所以 ，此时 ， 易知直线 、 的斜率存在且不为0， 不妨设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， 此时 ， 不妨设直线 的方程为 ， 联立 ，消去 并整理得 ， 此时 ， 同理得 ， 联立 ，消去 并整理得 ， 此时 ， 同理得 ， 所以 ， 易知 ， 故 的取值范围为 ．7．已知椭圆 的上、下顶点为 、 ，左焦点为 ，定点 ， ． （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）过点 作斜率为 的直线 交椭圆 于另一点 ，直线 与 轴交于点 在 ， 之间）， 直线 与 轴交于点 ，若 ，求 的值． 【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ） 或 ． 【分析】（Ⅰ）由题意 ， 的值，进而求出 的值，可得椭圆的方程； （Ⅱ）设直线 的方程，与椭圆的方程联立，可得点 的坐标，由题意求出点 的横坐标，求出直线 的斜率，由题意可得 的坐标，由 的比值，可得 的表达式，由题意可得 的值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得 ， ，又因为定点 ， ， 可得 为 的中点，所以 ，可得 ， ， 所以 ， 所以椭圆 的标准方程为： ； （Ⅱ）设直线 的方程为 ， 与椭圆 的方程联立 ，整理可得： ， ，可得 ， 所以 ，直线 与 轴交于点 ，令 ，所以 ， 所以直线 的斜率为 ， 直线 的方程为 ，令 ，可得 ， 由 ， ， 所以 ，即 ， 即 ，解得 或 ， 所以 的值为 或 ． 8．已知椭圆 的右焦点为 ，左、右顶点分别为 ， ，离心率为 ，过点 且与 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若 为直线 上一动点，且直线 ， 分别与椭圆交于 ， 两点（异于 ， 两点）， 证明：直线 恒过一定点． 【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）证明过程见解析． 【分析】（Ⅰ）根据题意列出关于 ， ， 的方程组，求出 ， ， 的值，即可得到椭圆的方程； （Ⅱ）由题意设 ，设直线 的方程为 ， ， ， ， ，联立直线 与椭圆方程，利用韦达定理可得 ， ，由 ， ， 三点共线， ， ， 三点 共线，可得 ，化简得 ， 当 变化时，上式恒成立，列出关于 ， 的方程组，求出 得值即可得到直线 过定点坐标． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得 ， 解得 ， ， ， 椭圆方程为 ； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得 ， ， 由题意设 ，设直线 的方程为 ， ， ， ， ， 联立方程 ，整理可得： ， △ ，即 ， ， ， ， ， 三点共线， ， ， 三点共线， ， ， ， ，，即 ， ，化简得 ， 当 变化时，上式恒成立， ，解得 ， 直线 的方程为 ，即直线 过定点 ． 9．已知椭圆 的离心率为 ，点 到椭圆右焦点距离等于焦距． （1）求椭圆方程； （2）过点 斜率为 的直线 与椭圆交于 ， 两点，且与 轴交于点 ，线段 的垂直平分线与 轴， 轴分别交于点 ，点 为坐标原点，求 的值． 【答案】（1） ； （2） ． 【分析】（1）椭圆的右焦点坐标为 ，由已知及两点间的距离公式可求出 ，由离心率可求出 ，再 由 ， ， 的关系求出 ，从而可得椭圆方程； （2）设 ， 所在直线方程为 ，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，求出点 ， ， ， 的坐标，由三角形面积公式及已知条件即可求出 的值． 【解答】解：（1）椭圆的右焦点的坐标为 ， 因为点 到椭圆右焦点距离等于焦距， 所以 ，解得 ，又离心率 ，所以 ，由 ，可得 ， 所以椭圆 的方程为 ． （2）设 ， 所在直线方程为 ， ， ， ， ， ，消去 整理得 ， 则 ，△ ， ， ， 的中点为 ，则 ， ， 线段 的中垂线方程为 则 ， ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 解得 或 （舍 ， 所以 ． 10．设椭圆 的左顶点为 ，离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若 是椭圆 的左焦点， 、 分别是椭圆 的左、右顶点， 是椭圆 一点（不与顶点重合）， 直线 交 轴于点 ，且 ，△ 的面积是△ 面积的 倍，求直线 的斜率． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ． 【分析】（Ⅰ）由题意，根据题目所给信息以及 ， ， 之间的关系，列出等式再进行求解即可； （Ⅱ）设出直线 的方程，将直线 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及三角形面积公式再进 行求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆 的左顶点为 ，离心率为 ， 所以 ， 解得 ， ， 则椭圆 的方程为 ； （Ⅱ）易得直线 的斜率存在且不为0， 不妨设直线 的方程为 ， 令 ， 解得 ， 联立 ，消去 并整理得 ， 由韦达定理得 ， 又 ， 所以 ， 易知 ，所以 ， ， 此时 ， 因为△ 的面积是△ 面积的 倍， 所以 ， 可得 ， 又 ， 因为 ， 同号， 所以 ， 解得 ． 故直线 的斜率为 ． 11．已知椭圆 的离心率为 ，其左，右焦点分别为 ， ，点 是坐标平面内 一点，且 ，其中 为坐标原点． （1）求椭圆 的方程； （2）过点 且斜率为 的动直线 交椭圆于 ， 两点，求弦 的垂直平分线在 轴上截距的最 大值． 【分析】（1）根据离心率公式及，两点之间的距离公式和向量的坐标运算，即可求得 和 的值，求得椭 圆方程；（2）设直线 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，当直线的斜率存在时，利用直线的 点斜式方程，求得 的垂直平分线方程，令 ，求得 ，利用基本不等式即可求得弦 的垂直平分 线在 轴上截距的最大值． 【解答】解：（1）由椭圆的离心率 ，则 ，设 ，则 ， 又 ， ， ， 所以 ，从而 ， ， 所以椭圆方程 ； （2）设直线 方程为 ，设 ， ， ， ， 联立方程组 ，消去 ，整理得 ， 显然△ ， ， ， 则 ， 则 的中点坐标为 ， 当直线 的斜率 为0时， 的垂直平分线为 轴，横截距为0， 当 时， 垂直平分线的方程为 ， 令 ，则 ， 当 ， ，当 时， ，那么 ， 当且仅当 时，即 ， 所以，当 时，弦 的垂直平分线在 轴上的纵截距的最大值为 ． 12．已知椭圆 的离心率为 分别为椭圆 的左，右顶点和坐标原点，点 为椭圆 上异于 ， 的一动点， 面积的最大值为 ． （1）求 的方程； （2）过椭圆 的右焦点 的直线 与 交于 ， 两点，记 的面积为 ，过线段 的中点 作 直线 的垂线，垂足为 ，设直线 ， 的斜率分别为 ， ． ①求 的取值范围； ②求证： 为定值． 【答案】（1） ． （2）① ， ． ②定值为 ． 【分析】（1）由题意知 ，解得 ， ，即可得出答案． （2）①设直线 方程为 ， ， ， ， ， ， ，联立直线 与椭圆的方程， 结合韦达定理可得 ， ，则 ，利用换元法，结合基本不等式，即可得出答案． ②由中点坐标公式可得 的坐标， 点的坐标，计算 ，进而可得答案． 【解答】解：（1）由题意知 ， 解得 ， 所以椭圆 的方程为 ． （2）①设直线 方程为 ， ， ， ， ， ， ， 联立 ，得 ， 所以△ ， ， ， ， 所以 ， 令 ， ， 所以 ， 所以 的取值范围 ， ． ②证明： ，所以 ， 所以 ， ， ， 所以 ， 所以 为定值． 13．已知椭圆 ， ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点 为左顶点，椭圆上的点 到左焦点距离的最小值是焦距的 ． （1）求椭圆 的离心率； （2）直线 过椭圆 的右焦点 ，与椭圆 交于 ， 两点（点 在第一象限）．且 面积的最大 值为 ， 求椭圆 的方程； 若直线 ， 分别与直线 交于 ， 两点，求证：以 为直径的圆恒过右焦点 ． 【答案】（1） ； （2） ； 证明见详解． 【分析】（1）由题意可得 ，化简即可求得椭圆离心率；（2） 由（1）表示出点 的坐标，设出椭圆方程和直线 的方程，设 、 的坐标，联立方程组，结 合韦达定理表示出 的面积，由基本不等式求出面积的最大值，再结合题设条件即可求出椭圆方程； 由 写出点 、 的坐标，表示出直线 、 的方程，结合直线 表示出 、 的坐标，求 出向量 ， 的坐标，再求其数量积为0，从而证明 ，即可证明结论． 【解答】解：（1）由题意可得 ， ，椭圆的离心率为 ． （2） 由（1）可知 ， 设椭圆方程为 ， 由题意可知直线 的斜率显然不为0， 设直线 方程为： ， ， ， ， ， 联立 ， 消去 整理得 ， 由题意知△ 恒成立， 则 ， 则 ， 令 ，则 ，， 因为 在 ， 上单调递增， 当 时， 有最大值， ， ， ， 椭圆方程为： ； 证明：由 知 ， ， ， ， 直线 的方程为： ，直线 的方程为： ， ， ， ， ， 由 ，得 ， ， ， ，， 以 为直径的圆恒过右焦点． 14．已知椭圆 的离心率为 ，左，右焦点分别为 ， ，过点 的直线与椭圆 相交于点 ， ，且△ 的周长为8． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）椭圆 的左，右顶点分别为 ， ，上顶点为 ，若过 且斜率为 的直线 与椭圆 在第一象限 相交于点 ，与直线 相交于点 ，与 轴相交于点 ，且满足 ，求直线 的方程． 【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ） ． 【分析】（Ⅰ）由已知可求 ， ，进而可求椭圆方程； （Ⅱ）设直线 的方程为 ，求得点 ， 的坐标，利用已知可求得 ，进而可求直线方程． 【解答】解：（Ⅰ）由题设得 ，所以 ，又离心率为 ，解得 ， ， 所以椭圆 的标准方程为 ； （Ⅱ）因为 ，所以设直线 的方程为 ，且 ， 联立 ，整理可得： ， 则 ，故 ，则 ，所以 ， 又直线 的方程 ，联立 ，整理可得： ， 所以 ，则 ，且满足 ， 所以直线 的方程为 ，即 ． 15．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 ，直线 的倾斜角为 ， 原点 到直线 的距离是 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）已知直线 与椭圆 相切，切点 在第二象限，过点 作直线 的垂线，交椭圆 于 ， 两点 （点 在第二象限），直线 交 轴于点 ，若 ，求直线 的方程． 【答案】（1） ． （2） ． 【分析】（1）设出直线 的方程，由原点 到直线 的距离是 ，列方程解出 ，进而求出椭圆 的标准方程； （2）设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，令△ ，解出 和切点 的 坐标；由已知，直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，可得 ， 的坐标；由于 与 的面积相等，且 ，可得 ，结合 列方程，求出 ， ，得到直线 的 方程． 【解答】解：（1）因为点 ，且直线 的倾斜角为 ，所以直线 的方程为 ，所以 ， ，即 ， 又原点 到直线 的距离是 ， 所以 ，所以 ， 所以椭圆 的方程为 ． （2）由题意知，直线 的斜率存在且不为0， 设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ． 联立 ，消去 ，化简得 ． 因为直线 与椭圆 相切，所以△ ，即 ， 化简得 ，且切点为 ， ． 联立 ，消去 ，得 ，解得 ， 所以 ， ， ， ， 因为 为 的中点，所以 与 的面积相等， 又 ，所以 ， 所以 ，即 ， 所以 ，即 ， 又 ，所以 ，解得 ．因为 ， ，所以 ， ， 故直线 的方程为 ． 16．已知椭圆 的离心率 ，且点 ， 在椭圆 上． （1）求椭圆 的方程； （2）若椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 ， 是椭圆 上的动点，直线 与 轴交于 点 ，点 是 轴上一点， ， 与椭圆 交于点 ，若 的面积为 ，求直线 的 方程． 【分析】（1）由离心率及过的点的坐标和 ， ， 之间的关系求出椭圆的标准方程； （2）由（1）得 ， 的坐标，设直线 的方程，与椭圆联立得 的坐标，由题意得 点的坐标，再 由题意得 的坐标，所以表示出面积，再由没觉得值得到直线 的方程． 【解答】解：（1）由题意得 ， ， ，解得： ， ， 所以椭圆的方程： ； （2）由（1）得左焦点 ， ， ，设直线 ，由题意得 ， ， ， 直线 的方程： ，令 ，则 ，所以点 ，所以 ， 所以直线 ，联立与椭圆的方程整理得： ， ，所以点 ， ；联立直线 与椭圆的方程整理得： ，解得： ， ， ，所以点 ， ， 所以点 ， 关于原点对称，即直线 过原点， ，由题意得： ，解得： ， 由点 ， 得， ，所以直线 为： ， 即直线 ． 17．已知椭圆 的离心率为 ，左，右顶点分别为 ， ，点 ， 为椭圆上异 于 ， 的两点， 面积的最大值为2． （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ． 求证：直线 经过定点． 设 和 的面积分别为 ， ，求 的最大值． 【答案】（1） ； （2） 证明见解析； ． 【分析】（1）根据题意可得出关于 、 、 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆 的方程； （2） 分析可知直线 不与 轴垂直，设直线 的方程为 ，可知 ，设点 ， ， ， ．将直线 的方程的方程与椭圆 的方程联立，列出韦达定理，利用 求出 的值，即 可得出直线 所过定点的坐标；写出 关于 的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得 的最大值． 【解答】解：（1）当点 为椭圆 短轴顶点时， 的面积取最大值， 且最大值为 ， 由题意可得 ，解得 ， 所以椭圆 的标准方程为 ． （2） 证明：设点 ， 、 ， ， 若直线 的斜率为零，则点 、 关于 轴对称，则 ，不合乎题意； 设直线 的方程为 ，由于直线 不过椭圆 的左、右焦点，则 ， 联立 ，消去 可得 ， △ ，可得 ， 由韦达定理可得 ， 则 ， 所以， ， 解得 ， 即直线 的方程为 ，故直线 过定点 ． 由韦达定理可得 ，所以， ， ，则 ， 因为函数 在 上单调递增，故 ， 所以， ，当且仅当 时，等号成立， 因此， 的最大值为 ． 18．已知椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 ， 为坐标原点，椭圆内一点 满足 ， ． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）椭圆上一点 在第一象限，且满足 ， 与椭圆交于点 ，直线 交 的延长线于 点 ．若 的面积为 ，求椭圆的标准方程． 【答案】（Ⅰ） ． （Ⅱ） ． 【分析】（Ⅰ）由 ，得 为 的中点，进而可得 点坐标，则 ，进而 可得 ，又 ，推出 ，进而可得答案． （Ⅱ）根据题意可得 ，写出直线 的方程为 ，联立椭圆的方程，解得， ，解得 点的坐标，由对称性可得 点的坐标，写出 直线的方程，进而解得直线 |PQ| 与 交点的坐标，写出直线 的方程为 ，计算点 到直线 的距离为 ， ，即可得 出答案． a   M( 【解答】解：（Ⅰ）因为OM MA，所以M 为OA的中点，所以 2， 0) ， a2 b2  |BM | 4 6   因为 |AB| a2 b2 4 ，解得a2 5b2 ， 因为a2 b2 c2 ，所以c2 4b2 ， c 2b 2 5 e   a 5b 5 所以离心率 ．  3 AMP k tanAMP （Ⅱ）因为 6 ，所以 MP 3 ， 3 a y (x ) 所以直线MP的方程为 3 2 ，  3 a y (x ) 3 2  x2 y2   1 a2 1 a 7a  a2 x  x  联立 5 ，32x2 20ax7a2 0，解得 1 4 ， 2 8 ， 7a 3a 7a 3a x  y  P( ) 因为P在第一象限，所以 P 8 ， P 8 ，则 8 ， 8 ， 7a 3a Q(  ) 因为P， Q 关于原点对称，所以 8 ， 8 ， 3a 0 8 3 k   AQ 7a 15 a 因为 A(a,0) ，所以 8 ， 3 y (xa) 所以直线 AQ 的方程为 15 ， 3 a y (x )  3 2   3 3a 3a y (xa) x y  联立 15 ，解得 8 ， 24 ， 3a 8 3 k   PQ 7a 7 所以 8 ， 3 y x 直线 PQ 的方程为 7 ，即 3x7y0 ， 3 3a 7 3 |  a| 8 24 3 d   a 所以点D到直线 PQ 的距离为 349 3 13 ， 7a 3a 13a 1 3a2 5 3 |PQ|2 ( )2 ( )2  S  PQd   因为 8 8 2 ，所以 PDQ 2 12 12 ，解得a2 5， x2  y2 1 所以椭圆的方程为 5 ． y2 x2 C:  1(ab0) 19．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 a2 b2 的上，下焦点分别为 F 2， F 1，椭圆上的任意 F 一点到下焦点 1的最大距离为3，最小距离为1． （1）求椭圆C的方程； （2）设过点 A(0,2) 的直线 l与椭圆 C相交于点 B，垂直于 l的直线与 l交于点 P，与 x轴交于点   Q,BF 2 QF 2 0 ，且POAPAO，求直线l的方程． y2 x2  1 【答案】（1） 4 3 ． 2 6 2 6 y x2 y x2 （2） 3 或 3 ． ac3  ac1 【分析】（1）根据题意可得  a2 b2 c2 ，解得a，c，b，进而可得答案．（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为 ykx2 ，k 0， B(x 1， y 1 ) ，联立椭圆的方程，解 得 x 1， y 1，进而可得B点的坐标，由POAPAO，则P为OA的垂直平分线与l的交点，进而可得P   点坐标，由于 l PQ l ，可得直线 PQ 的方程，进而可得 Q 点坐标，由 BF 1 QF 1 0 ，解得k，即可得出答案． 【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距为c，长半轴为a， ac3  ac1 由已知可得  a2 b2 c2 ，解得a2，c1，b 3， y2 x2  1 所以椭圆C的方程为 4 3 ． （2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为 ykx2 ，k 0， B(x 1， y 1 ) ， ykx2  联立3y2 4x2 12 ，得 (3k2 4)x2 12kx0 ， 12k 12k 6k2 8 x  y  2 所以 1 3k2 4 ， 1 3k2 4 3k2 4 ， 12k 6k2 8 B( ) 所以 3k2 4， 3k2 4 ， 因为POAPAO，则P为OA的垂直平分线与l的交点， y1 1  x 联立ykx2 ，解得 k ， 1 P( 所以 k ， 1) ， l l 因为 PQ ， 1 1 y1 (x ) 所以直线 PQ 的方程为 k k ， 1 Q(k 所以直线 PQ 与x轴的交点 k ， 0) ， F (0,1) 又因为 2 ， 12k 9k2 4  1 BF ( ) QF ( k 所以 1 3k2 4，3k2 4 ， 2 k ， 1) ，   BF QF 0 因为 1 1 ， 12k 1 9k2 4 ( )( k) 0 所以 3k2 4 k 3k2 4 ， 8 k2  解得 3， 2 6 k  所以 3 ， 2 6 2 6 y x2 y x2 所以直线l的方程为 3 或 3 ． x2 y2 2  1(ab0) 20．已知椭圆a2 b2 右焦点为F ，已知椭圆短轴长为4，离心率为 2 ． （1）求椭圆的方程； （2）若直线 l:ykxt(t 0) 与椭圆相交于M 、N两点，线段MN 垂直平分线与直线l及x轴和 y 轴相交 于点D、E、G，直线GF 与直线x4相交于点H ，记三角形EFG与三角形GDH 的面积分别为 S 1， S 2， S 1 S 求 2 的值． x2 y2  1 【答案】（1） 8 4 ； 1 （2）4 ． c 2 e  【分析】（1）由椭圆短轴长为4，可得b2，结合 a 2 和a2 b2 c2 ，可求出a2 2 ，c2，即 可求出椭圆的方程； （2）由（1）可得右焦点 F(2,0) ，再由线段MN 的垂直平分线与x， y 轴都相交，得k 0，联立方程组得 4kt x x  (12k2)x2 4ktx2t2 80 ， 设 出 M(x 1， y 1 ) ， N(x 2， y 2 ) ， 由 韦 达 定 理 得 1 2 12k2 ，2t 2kt t y  y  D( , ) 1 2 12k2 ，由中点坐标公式可得 12k2 12k2 ，再由两直线互相垂直可得直线DG的方程，即 kt t t E( ,0) G(0, ) H(4, ) 可求得 12k2 ， 12k2 ，同理可得 12k2 ，由对称性可知 |DE||EG| ， |GF||FH | ，结 合三角形的面积公式即可求出结果． c 2 e  【解答】解：（1）由题意可得2b4，即b2，又 a 2 ，且a2 b2 c2 ， 解得：a2 2 ，c2， x2 y2  1 椭圆的方程为 8 4 ． x2 y2  1 （2）由（1）知椭圆的方程为 8 4 ，右焦点 F(2,0) ， 由直线 l:ykxt(t 0) ，且线段MN 的垂直平分线与x， y 轴都相交，k 0， ykxt  x2 y2 联立   8  4 1 ，消去 y 并化简得： (12k2)x2 4ktx2t2 80 ， 8(8k2 t2 4)0 此时需满足△ ， M(x y ) N(x y ) 设 1， 1 ， 2， 2 ， 4kt 2t x x  y  y k(x x )2t  则 1 2 12k2 ， 1 2 1 2 12k2 ， 2kt t D( , )  12k2 12k2 ， t 1 2kt y  (x ) 线段MN 的垂直平分线的方程为 12k2 k 12k2 ， kt kt x  E( ,0) 令 y0 ，解得 E 12k2 ，则有 12k2 ， t t y  G(0, ) 令x0，解得 G 12k2 ，则有 12k2 ， D，G关于E点对称， |DE||EG| ，t 0 12k2 t(x2) y0 (x2) y 直线GF 的方程为 20 ，即 24k2 ， t t y  H(4, ) 令x4，解得 H 12k2 ，则有 12k2 ， G，H 关于F 对称， |GF||FH | ， 1 GEGFsinEGF S 2 1 1   S 1 4 2 GDGHsinDGH  2 ．