3.10 线段、斜率、面积最值范围
模块一：题型分类.........................................................................2
题型一：两点间距离公式求线段.................................................... 2
题型二：利用弦长公式求距离....................................................... 3
题型三：利用点到直线距离公式求垂线段的长...................................7
题型四：利用函数思想求距离最值................................................11
题型五：利用基本不等式求线段最值.............................................17
题型六：弦长与点到直线距离求三角形面积.................................... 19
题型七：割补法求三角形那个面积................................................21
题型八：对角线互相垂直的四边形面积的计算................................. 23
题型九：利用函数性质求面积最值或范围....................................... 29
题型十：利用均值不等式求面积最值或范围.................................... 40
题型十一：利用斜率求解三点共线问题..........................................48
题型十二：根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质...................49
题型十三：根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质...................52
题型十四：判断或证明与斜率有关的定值与范围问题........................ 54
题型十五：向量代数式的最值范围................................................59
题型十六：参数的最值范围........................................................ 62
3.10 线段、斜率、面积最值范围问题
模块一：题型分类
题型一：两点间距离公式求线段
1.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右准线为:
4
l x
（定义：椭圆C 的右准线
方程为
2
a
x
c
,其中
2
2
c
a
b
）.点P 是右准线上的动点,过点P 作椭圆C 的两条切线,分别与y 轴交于M,N
两点.当P 在x 轴上时,|
| |
|
OP
MN
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求|
|
MN 的最小值.
【分析】（1）根据题意可得P 点的坐标为(4,0) 时,|
| |
| 4
OP
MN
,不妨设点M 在点N 上方,得
,
M N 的坐标,
从而可得切线NP 的方程,联立切线方程与椭圆方程,消y ,则
0
,再结合
2
2
2
2
4,
a
a
b
c
c
,求得
2
2
,
a b ,即
可得出答案；
（2）设
(4, )
P
t ,切线方程为
(
4)
4
y
k x
t
kx
k
t
,联立切线方程与椭圆方程,消y ,则
0
,设切线PM
斜率为
1k ,直线PN 斜率为
2k ,利用韦达定理求得
1
2
k
k
,
1
2
k k ,根据切线方程得
,
M N 的坐标,从而可利用两点
间距离公式求得答案.
【解析】（1）由题意可知,当P 点坐标为(4,0) 时,|
| |
| 4
OP
MN
,
不妨设点M 在点N 上方,则
(0,2),
(0, 2)
M
N
,
所以直线
1
:
2
2
NP y
x
与椭圆C 相切,将直线NP 与椭圆方程联立,
2
2
2
2
1
2,
2
1,
y
x
x
y
a
b
消去y,整理得
2
2
2
2
2
2
2
4
8
16
4
0
b
a
x
a x
a
a b
,
则
4
2
2
2
2
2
Δ
64
4 4
16
4
0
a
b
a
a
a b
,整理得
2
2
4
16
b
a
,
又
2
2
2
2
4,
a
a
b
c
c
,解得
2
4
a
或
2
16
a
（舍去）,所以
2
3
b ,
即椭圆C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
；
（2）设
(4, )
P
t ,切线方程为
(
4)
4
y
k x
t
kx
k
t
,
将切线方程与椭圆联立,
2
2
4
,
1,
4
3
y
kx
k
t
x
y
消去y,整理得
2
2
2
4
3
8 (
4 )
4(
4 )
12
0
k
x
k t
k x
t
k
,
则
2
2
2
2
Δ
64
(
4 )
4 4
3
4(
4 )
12
0
k
t
k
k
t
k
,
整理得
2
2
12
8
3
0
k
tk
t
,
设切线PM斜率为
1k ,直线PN 斜率为
2k ,
则
1
0,
4
M
t
k
,
2
0,
4
N
t
k
,且
1
2
2
3
t
k
k
,
2
1 2
3
12
t
k k
,
所以
2
1
2
1
2
1
2
|
| 4
4
4
MN
k
k
k
k
k k
,
将
1
2
2
3
t
k
k
,
2
1 2
3
12
t
k k
代入上式,整理得
2
4
|
|
9
4
3
MN
t
,
当
0
t
时,上述等号成立,即|
|
MN 的最小值为4.
题型二：利用弦长公式求距离
【基础公式】
1.设斜率为k(k≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|＝1＋k2|x2－x1|.
其中求|x2－x1|通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|x2－x1|＝
2
1
2
1
2
4
x
x
x x
2.设斜率为k(k≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|＝
1＋1
k2|y2－y1|.当消去x 整理
方程为关于y 的一元二次方程常用此结论.其中求|y2－y1|时通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|y2－y1|
＝
2
1
2
1
2
4
y
y
y y
.
【基础练习】
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的左、右顶点分别为
1A 、
2A ,点
6
2,
2
在椭圆C上,过椭圆C的右焦
点F 作与x 轴垂直的直线与椭圆相交于D 、E 两点,且四边形
1
2
ADA E 的面积为6．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线
2
2
y
k x
m
m
与椭圆C相交于M 、N 两点,且与x 轴相交于点P ,若
2
2
PM
PN
的
值与m无关,求斜率k 的值．
【分析】（1）根据题干条件可得出关于a 、b 的方程组,解出这两个量的值,即可得出椭圆C 的标准方程；
（2）联立直线与椭圆的方程,设点
1
1
,
M x y 、
2
2
,
N x
y
,列出韦达定理,可得出
2
2
PM
PN
的表达式并化
简,结合已知条件可求得k 的值.
【解析】（1）由题意知
1
2
2
A A
a
．
将x
c
代入椭圆C的方程得
2
b
y
a
,所以
2
2b
DE
a
,
所以由四边形
1
2
ADA E 的面积为6,得
2
1
2
1
1
2
2
6
2
2
b
A A
DE
a
a
,所以
3
b
．
又点
6
2,
2
在椭圆C 上,所以
2
2
2
3
1
2
a
b
,所以,
2
a
.
所以椭圆C的标准方程为
2
2
1
4
3
x
y
．
（2）解：由
2
2
1
4
3
y
k x
m
x
y
,消去y 得
2
2
2
2
2
3
4
8
4
12
0
k
x
k mx
k m
,
则
4
2
2
2
2
2
2
2
64
4 3
4
4
12
48 4
3
0
k m
k
k m
k
k m
．
设
1
1
,
M x y 、
2
2
,
N x
y
,则
2
1
2
2
8
3
4
k m
x
x
k
,
2
2
1
2
2
4
12
3
4
k m
x x
k
,
易知
,0
P m
,所以
2
2
2
1
2
2
2
1
P
k
x
m
x
N
m
M
P
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
k
x
x
x x
m x
x
m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8
4
12
8
1
2
2
2
3
4
3
4
3
4
k m
k m
k m
k
m
m
k
k
k
2
2
2
2
2
2
1
6
4
3
24 3
4
3
4
k
m
k
k
k
．
由上式可知要使
2
2
PM
PN
的值与m无关,必有
2
4
3
0
k
,解得
3
2
k
．
所以直线
y
k x
m
的斜率k 的值为
3
2
．
2.已知抛物线C：
2
2
0,
4
y
px p
p
,过点
(2,0)
A
且斜率为k 的直线与抛物线C 相交于P,Q 两点.
（1）设点B 在x 轴上,分别记直线PB,QB 的斜率为
1
2
,
k k .若
1
2
0
k
k
,求点B 的坐标；
（2）过抛物线C 的焦点F 作直线PQ 的平行线与抛物线C 相交于M,N 两点,求
|
|
|
| |
|
MN
AP
AQ
的值.
【分析】（1）直线PQ 的方程为
(
2)
y
k x
,其中
0
k
,联立直线与抛物线方程,由韦达定理结合已知条件可求
得点B 的坐标；
（2）直线MN 的方程为
2
p
y
k x
,利用倾斜角定义知
2
sin
1
k
k
,
1
2
,
sin
sin
y
y
AP
AQ
,联立直线
与抛物线方程,利用弦长公式求得MN ,进而得解.
【解析】（1）由题意,直线PQ 的方程为
(
2)
y
k x
,其中
0
k
.
设
2
2
1
2
1
2
( ,0),
,
,
,
2
2
y
y
B m
P
y
Q
y
p
p
,
联立
2
(
2)
2
y
k x
y
px
,消去x 得
2
2
4
0
p
y
y
p
k
.
2
1
2
1
2
2
4
2
16
0,
,
4
p
p
p
y
y
y y
p
k
k
.
1
2
0
k
k
,
1
2
2
2
1
2
0
2
2
y
y
y
y
m
m
p
p
,即
1
2
1
2
1
2
0
2
y y
y
y
m y
y
p
.
4
2
0
2
p
p
m
p
k
,即
2
(
2)
0
p
m
k
.
0
p
,
2
m
,∴点B 的坐标为( 2,0)
.
（2）由题意,直线MN 的方程为
2
p
y
k x
,其中
tanθ
k =
,为倾斜角,
则
2
sin
1
k
k
,
1
2
,
sin
sin
y
y
AP
AQ
2
1
2
2
2
2
4
1
1
4
sin
1
y y
p
AP
AQ
p
k
k
k
设
3
2
2
3
4
4
,
,
,
2
2
y
y
M
y
N
y
p
p
.
联立
2
2
2
p
y
k x
y
px
,消去x 得
2
2
2
0
p
y
y
p
k
.
2
2
2
3
4
3
4
2
4
2
4
0,
,
p
p
p
y
y
y y
p
k
k
.
3
4
3
4
3
4
2
2
2
2
1
1
1
1
1
4
1
2
MN
y
y
y
y
y y
p
k
k
k
2
2
1
1
2
|
|
1
1
|
| |
|
2
1
4
p
MN
k
AP
AQ
p
k
.
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
,短轴长为2 2 ,离心率为
2
2
.过右焦点F 且不与坐标轴垂直的直线l 交
椭圆于A ､B 两点, AB 的中垂线交x 轴于点M ,交直线
2 2
x
于点N .
（1）求C的方程；
（2）求
AB
FM 的大小；
（3）证明：A ､M ､B ､N 四点共圆.
【解析】（1）由已知得
2
2
2
2
2 2
2
2
+
b
c
e
a
a
b
c
,解得
2
2
2
a
b
c
,所以椭圆C 的方程为：
2
2
1
4
2
x
y
.
（2）由（1）得
2 0
F
，,所以设直线l 的方程为
2
y
k x
,与椭圆C 方程联立
2
2
2
1
4
2
y
k x
x
y
,
消元得
2
2
2
2
1+2
4 2
+4
4
0
k
x
k x
k
,设
1
1
2
2
,
,
A x y
B x
y
，
,所以
2
1
2
2
2
1
2
2
4 2
+
1+2
4
4
1+2
k
x
x
k
k
x x
k
,得AB 的中点
2
2
2
2 2
2
,
1+2
1+2
k
k
C
k
k
,
所以AB 的中垂线的方程为：
2
2
2
2
1
2 2
1+2
1+2
k
y
x
k
k
k
k
,
令
0
y
,得
2
2
2
1+2
k
x
k
,则
2
2
2
,
1+2
0
k
k
M
,
所以
2
2
2
2
2
2
2
1+
1+2
1+2
k
k
k
k
FM
,
又
2
2
2
1
2
1
2
2
4 1+
1
+
4
1+2
k
AB
k
x
x
x x
k
,
所以
2
2
2
2
4
1+2
1+
2 2
1+2
1+
2
k
k
k
k
AB
FM
.
（3）令AB 的中垂线的方程为：
2
2
2
2
1
2 2
1+2
1+2
k
y
x
k
k
k
k
中的
2 2
x
,得
2
2
2
2
2
1
2 2
2
2 2+3 2
2 2
1+2
1+2
1+2
k
k
k
k
k
k
y
k
k
,
所以
2
2
2 2+3 2
2 2
1+2
k
k
N
k
，
,又
2
2
2
,
1+2
0
k
k
M
,
所以MN 的中点
2
2
2
2
2 2+5 2
2 2+3 2
,
2 1+2
2
1+2
k
k
k
G
k
k
,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2+3 2
2 2
1+2
1+2
2 2+3
1+
1+2
k
k
k
k
k
k
N
k
k
M
k
,
则点G 到直线l 的距离为
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2+5 2
2 2+3 2
+
2
2 1+2
2
1+2
2
+2
1+
2
1+2
1
k
k
k
d
k
k
k
k
k
k
k
k
k
,
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+2
1+
2
1+
3
+2
+
+
2
1+2
2
1+2
2
1+
1+
2
k
k
k
k
k
GA
d
k
k
k
AB
k
k
,
所以
2
2
1
4
GA
MN
,
故A ､M ､B ､N 四点共圆.
题型三：利用点到直线距离公式求垂线段的长
1.物线T ：
2y
x
在第一象限上一点A ,过A 作抛物线T 的切线交y 轴于点B ,过B 作OA的垂线交抛物线T 于
C, D （D 在第四象限）两点,交OA于点E ．
（1）求证：CD 过定点；
（2）若
1
OB OD
,求AE OE
的最小值．
【分析】（1）设
2,
A t
t ,求得切线AB 的方程,由此求得B 点坐标,进而求得直线CD 的方程,由此判断出CD 所
过定点.
（2）联立直线CD 的方程和抛物线方程,由此求得D 点的纵坐标,由
1
OB OD
求得t 的取值范围.结合点到
直线距离公式求得
,
AE
OE
,进而可化简求得AE OE
的最小值.
【解析】（1）设
2,
,
0
A t t
t
,
2
2
'
'
1
1
,
,
,
|
2
2
x t
y
x y
x y
y
t
x
,
所以切线AB 的方程为
2
1
2
y
t
x
t
t
,
令
0
x
,解得
2
B
t
y
.
2
1
OA
CD
t
k
k
t
t
t
,
所以直线CD 的方程为
1
2
2
t
y
t x
t x
,
所以直线CD 过定点1 ,0
2
.
（2）由（1）得直线CD 的方程为
0
2
t
t x
y
,
由
2
0
2
t
t x
y
y
x
消去x 得
2
0
2
t
ty
y
,
由于D 在第四象限,所以由求根公式得
2
1
1
4
2
1
1
2
2
2
D
t
t
t
y
t
t
.
依题意
1
OB OD
,即
2
2
1
1
2
1
1
2
0,
,
1
2
2
2
2
4
D
D
D
t
t
t
t
t
x
y
y
t
,
解得
2
t
.
原点到直线CD 的距离为
2
2
1
t
OE
t
,
2,
A t
t 到直线CD 的距离为
3
3
2
2
2
2
1
1
t
t
t
t
t
AE
t
t
,
所以AE OE
3
4
2
4
2
2
2
2
2
1
1
1 2
2
2
2
4
1
4
1
1
1
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
,
令
2
1
5
m
t
,则
2
1
t
m
,
2
4
2
2
2
2
1
1
1 2
1
1 2
3
1
4
1
4
4
m
m
t
t
m
m
t
m
m
1
1
2
3
4
m
m
.
对函数
2
'
2
2
1
1
2
1
2
5 ,
2
0
x
f
x
x
x
f
x
x
x
x
,
f
x 在
5,上递增.
所以当
5
m
,即
2
t
时, 1
1
2
3
4
m
m
取得最小值为1
1
9
10
3
4
5
5
.
也即AE OE
的最小值为9
5 .
2.设常数
0
m
且
1
m ,椭圆：
2
2
2
1
x
y
m
,点P 是上的动点．
（1）若点P 的坐标为
2,0 ,求的焦点坐标；
（2）设
3
m,若定点A 的坐标为
2,0 ,求PA 的最大值与最小值；
（3）设
1
2
m
,若上的另一动点Q 满足OP
OQ
（O为坐标原点）,求证：O到直线PQ 的距离是定值．
【解析】（1）∵椭圆：
2
2
2
1
x
y
m
,点P 的坐标为
2,0 ,
∴
2
m
,
3
c
,
∴的焦点坐标为
3,0 ,
3,0
；
（2）设
,
P x y ,又
2,0
A
,
由题知
2
2
1
9
x
y
,即
2
2
1
9
x
y
,
∴
2
2
2
2
2
2
2
8
8
9
1
2
2
1
4
5
9
9
9
4
2
x
x
PA
x
y
x
x
x
,
又3
3
x
≤≤,
∴当
3
x 时,
2
PA 取得最大值为25；当
9
4
x
时,
2
PA 取得最小值为1
2 ；
∴PA 的最大值为5,最小值为
2
2
.
（3）当
1
2
m
时,椭圆：
2
2
4
1
x
y
,
设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
,当直线PQ 斜率存在时设其方程为y
kx
t
,则
由
2
2
4
1
y
kx
t
x
y
,得
2
2
2
4
2
1
0
k
x
ktx
t
,
∴
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
,
,
2
4 4
1
0
4
4
kt
t
x
x
x x
kt
k
t
k
k
,
由OP
OQ
可知
0
OP OQ
,即
1
2
1
2
0
x x
y y
,
∴
1
2
1
2
0
x x
kx
t
kx
t
,即
2
2
1
2
1
2
1
0
k
x x
kt x
x
t
,
∴
2
2
2
2
2
1
2
1
0
4
4
t
kt
k
kt
t
k
k
,可得
2
2
1
5
k
t
,满足
0
,
∴O到直线PQ 的距离为
2
5
5
1
t
d
k
为定值；
当直线PQ 斜率不存在时,OP
OQ
,可得直线方程为
5
5
x
,O到直线PQ 的距离为
5
5 .
综上,O到直线PQ 的距离是定值．
3.双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、
D 两点，且
ABD
△
是直角三角形．
(1)求双曲线C 的方程；
(2) M 、N 是C 右支上的两动点，设直线AM 、AN 的斜率分别为
1k 、
2k ，若
1
2
2
k k ，求点A 到直线MN
的距离d 的取值范围．
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x
；(2)3 3,6
【解析】（1）依题意，
90
BAD
，焦半径
2
c
，
由AF
BF
，得
2
b
a
c
a
，得
2
2
2
2
2
a
a
a
，
解得：
1
a （其中
2
0
a
舍去），
所以
2
2
2
4
1
3
b
c
a
，
故双曲线C 的方程为
2
2
1
3
y
x
；
（2）显然直线MN 不可能与轴平行，故可设直线MN 的方程为x
my
n
，
联立
2
2
3
3
x
my
n
x
y
，消去x 整理得
2
2
2
3
1
6
3
1
0
m
y
mny
n
，
在条件
2
3
1
0
Δ
0
m
下，设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
则
1
2
2
6
3
1
mn
y
y
m
，
2
1
2
2
3
1
3
1
n
y y
m
，
由
1
2
2
k k ，得
1
2
1
2
2
1
1
0
y y
x
x
，
即
1
2
1
2
2
1
1
0
y y
my
n
my
n
，
整理得
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
0
m
y y
m n
y
y
n
，
代入韦达定理得，
2
2
2
2
2
3
1
2
1
12
1
2
1
3
1
0
n
m
m n n
n
m
，
化简可消去所有的含m 的项，解得：
5
n
或
1
n （舍去），
则直线MN 的方程为
5
0
x
my
，得
2
6
1
d
m
，
又
,
M N 都在双曲线的右支上，故有
2
3
1
0
m
，
2
1
0
3
m
，
此时
2
2
1
1
3
m
，
2
6
3 3,6
1
d
m
，
所以点A 到直线MN 的距离d 的取值范围为3 3,6.
题型四：利用函数思想求距离最值
求圆锥曲线上的动点到一定点距离的最值,有时可设出动点坐标,利用距离公式把问题转化为函数求最值.
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的长轴长为4 3 ,点
3,
6 在C上.
（1）求C的方程；
（2）设C的上顶点为A,右顶点为B,直线l 与AB 平行,且与C交于M , N 两点, MD
DN
,点F 为C的右焦点,
求DF 的最小值.
【分析】（1）由长轴长求出a,进而将点
3,
6 代入椭圆方程解出b,进而得到答案；
（2）根据MD
DN
得出D 为MN 的中点,设出直线
:
2
3
0
2 6
l
x
y
m
m
：并代入椭圆方程并化
简,进而利用根与系数的关系解出中点D 的坐标,然后把|
|
DF 表示成m 的函数,进而求出最小值.
【解析】（1）因为C的长轴长为4 3 ,所以2
4 3
a
,即
2 3
a
.
又点
3,
6 在C 上,所以
2
2
3
6
1
a
b
,代入
2 3
a
,解得
2
8
b
,
故C的方程为
2
2
1
12
8
x
y
.
（2）由（1）可知,A,B 的坐标分别为
0,2 2 ,
2 3,0 ,
直线AB 的方程为
2
3
2 6
0
x
y
,
设
:
2
3
0
2 6
l
x
y
m
m
,
联立
2
2
1
12
8
2
3
0
x
y
x
y
m
得
2
2
4
2 2
24
0
x
mx
m
,
由
2
2
2
8
16
24
384
8
0
m
m
m
,得
2
48
m
,
设
1
1
,
M x y ,
2
2
,
N x
y
,
0
0
,
D x
y
,因为MD
DN
,所以D 为MN 的中点,
则
1
2
0
2
2
4
x
x
m
x
,
因为
0
0
2
3
0
x
y
m
,所以
0
3
6
m
y
,
又F 的坐标为(2,0) ,
所以
2
2
2
2
2
0
0
5
|
|
2
2
4
2
4
8
12
24
m
m
m
DF
x
y
m
m
2
5
12 2
8
21
5
5
m
,
因为
2
12 2
48
5
,所以当
12 2
5
m
时, DF 取得最小值,且最小值为2 10
5
.
2.已知斜率为k 的直线l 与抛物线y2=4x 交于A､B 两点,y 轴上的点P 使得△ABP 是等边三角形.
（1）若k>0,证明：点P 在y 轴正半轴上；
（2）当|
|
OP 取到最大值时,求实数k 的值.
【解析】（1）设
0,
P
p , AB 的中点为
,
M a b ,
2
2
1
2
1
2
,
,
,
4
4
y
y
A
y
A
y
,
因为
0
k
,故直线AB 的斜率存在,故
1
2
2
2
1
2
2
4
y
y
k
y
y
b
,故
0
b
,
故直线
:
2
b
PM
y
x
a
b
,故
2
2
b a
p
,
因为AB 的中点为
,
M a b ,故
0
a
,故
0
p
.
所以点P 在y 轴正半轴上.
（2）当AB 与x 轴垂直时,
0
p
；
当AB 与x 轴不垂直时,因为△ABP 是等边三角形,故AB 与y 轴不垂直,故
0,
0
a
b
.
由（1）可得
:
2
b
PM
y
x
a
b
即
2
:
2
2
b a
b
PM
y
x
,
故
2
0,
2
b a
P
,所以
2
2
1
1
4
4
b
b
PM
a
a
,
又
:
2
b
AB x
y
b
a
,
由
2
2
4
b
x
y
b
a
y
x
可得
2
2
2
2
4
0
y
by
b
a
,
所以
2
16
4
0
a
b
即
2
4
b
a
且
2
2
1
2 4
4
b
AB
a
b
,
因为△ABP 是等边三角形,故
3
= 2
PM
AB ,
故
2
2
2
3
1
2 4
1
2
4
4
b
b
a
b
a
,整理得到
2
2
12
3
a
a
b
,此时
2
4
b
a
成立.
由
2
0
b
可得0
12
a
.
因为
2
2
b a
p
,故
2
2
2
2
2
12
2
2
=
4
12
a
a
a
b
a
p
,其中0
12
a
.
设
2
2
12
2
f a
a
a
a
,0
12
a
,
则
2
2
2
12
2
2
+2 12
2
4
2
8
6
f
a
a
a
a
a
a
a
a
a
,
当0
4
22
a
时,
0
f
a
；4
2 22
12
a
时,
0
f
a
；
所以
f a 在
0,4
22
上为增函数,在
4
2 22,12
上为减函数,
故当
4
22
a
时,
f a 的最大值为
4
22
f
,
此时
2
12 4
22
4
22
10
4 22
3
3
b
,
此时直线AB 的斜率
2
k
b
即
84 22
210
21
k
.
3.设实数
0
k
,椭圆D：
2
2
1
6
2
x
y
的右焦点为F,过F 且斜率为k 的直线交D 于P、Q 两点,若线段PQ 的
中为N,点O 是坐标原点,直线ON 交直线
3
x
于点M．
（1）若点P 的横坐标为1,求点Q 的横坐标；
（2）求证：MF
PQ
；
（3）求
PQ
MF 的最大值．
【解析】（1）因为点P 的横坐标为1,由
1
6
2
x
y
,
得P 的坐标为
15
1, 3
或
15
1,
3
．F 的坐标为
2,0 ．
当P 的坐标为
15
1, 3
时,直线PQ：
15
0
3
2
2 1
y
x
,
即
15
2
3
y
x
,
代入椭圆方程,
2
2
15
3
(
2)
6
3
x
x
,即
2
3
10
7
0
x
x
,
得Q 的横坐标为7
3 .
当P 的坐标为
15
1,
3
时,同样得Q 的横坐标为7
3 .
因此,点Q 的横坐标为7
3 ；
（2）联立方程组
2
2
1
6
2
2
x
y
y
k x
,其解为
1
1
,
P x y
,
2
2
,
Q x
y
．
消去y,得
2
2
2
3
2
6
x
k
x
,即
2
2
2
2
3
1
12
12
6
0
k
x
k x
k
．
由
2
1
2
2
12
3
1
k
x
x
k
,
2
1
2
2
12
6
3
1
k
x x
k
所以N 的横坐标为
2
1
2
2
6
2
3
1
x
x
k
k
,
得N 的纵坐标为
2
2
2
6
2
2
3
1
3
1
k
k
k
k
k
,
得N 的坐标为
2
2
2
6
2
,
3
1 3
1
k
k
k
k
．
所以直线ON 的斜率为
1
3k
,方程为
1
3
y
x
k
,
与直线
3
x
交于点
1
3,
M
k
．
故直线FM 的斜率为
1
k
,于是
1
FM
PQ
k
k
,因此MF
PQ
；
（3）
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
PQ
x
x
y
y
MF
k
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
1
x
x
k
x
x
k
x
x
k
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
24
1
12
12
6
4
4
3
1
3
1
3
1
k
k
k
k
k
x
x
x x
k
k
k
k
．
令
2
3
1
u
k
,由
0
k
,得
1
u ,
2
2
2
2
2
3
3
3
8
3
3
1
k
k
PQ
MF
k
2
2
2
1
2
8
8
1
1
8
1
1
9
2
1
2
3
3
3
4
8
u
u
u
u
u
u
又
1
0,1
u
,得
2
1
1
9
9
2
0,
4
8
8
u
．
即
2
0,3
PQ
MF
,所以
PQ
MF 的取值范围为0, 3,最大值为
3 ．
4.已知圆
1F ：
2
2
1
16
x
y
,
2 1,0
F
, M 为圆
1F 上的动点,若线段
2
MF 的垂直平分线交
1
MF 于点P .
（1）求动点P 的轨迹C的方程；
（2）已知
0
0
1,
0
T
y
y
为C 上一点,过T 作斜率互为相反数且不为0 的两条直线TA ,TB 分别交曲线C于
A , B ,求AB 的取值范围.
【解析】（1）由题知
2
MP
F P
故
1
1
2
MF
PF
PF
.
即
1
2
4
PF
PF
即P 在以
1
2
F F 为焦点且长轴为4 的椭圆上
则动点P 的轨迹C 的方程为：
2
2
1
4
3
x
y
；
（2）
2
0
1
1
4
3
y
故
0
3
2
y
即
3
1, 2
P
.
设AB ：y
kx
m
,
1
1
2
2
,
,
A x y
B x
y
，
联立
2
2
3
4
12
y
kx
m
x
y
2
2
2
3
4
8
4
12
0
k
x
kmx
m
（*）,
2
2
2
(8
)
4(4
3)(4
12)
0
km
k
m
,
∴
1
2
2
8
3
4
km
x
x
k
,
2
1
2
2
4
12
3
4
m
x x
k
,
2
2
12
3
9
0
k
m
又
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
3
3
3
3
1
1
2
2
2
2
0
1
1
1
1
TA
TB
m
kx
x
m
kx
x
y
y
k
k
x
x
x
x
则：
1 2
1
2
3
2
3
2
0
2
kx x
m
k
x
x
m
即
2
2
2
3
8
2
4
12
2
3
2
0
3
4
3
4
m
k
km
k
m
m
k
k
2
12
12
24
6
9
0
k
km
k
m
2
4
8
3
4
2
0
k
k
km
m
2
2
3
2
1
0
k
m
k
若2
2
3
0
k
m
,则AB 过T ,不符合题意
故
1
2
k
,∴
2
4
m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
48
144
192
64
16
48
5
1
4
|
|
1
60 15
3
4
4
3 1
2
3
4
m
k m
m
AB
k
m
k
k
,
故
|
|
0,2 15
AB
5.已知抛物线
2
:
2
0
E y
px p
的焦点F 到双曲线
2
2
1
3
x
y
的渐近线的距离是
1
2 .
(1)求抛物线E 的方程；
(2)已知过点F 的直线与E 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与E 的准线l 交于点P ，且线段AB 的中点为
M ，求
PM
AB 的最小值.
【答案】(1)
2
4
y
x
；(2) 1
2
【解析】（1）E 的焦点为
,0
2
p
F
，双曲线
2
2
1
3
x
y
的渐近线方程为
3
3
y
x
，
不妨取
3
3
y
x
，即
3
0
x
y
.
由点到直线的距离公式得
0
1
2
2
1 3
p
d
，得
2
p
，
所以抛物线E 的方程为
2
4
y
x
.
（2）由(1)知
2
:
4
E y
x
，
1,0
F
，: =
1
l x .
当直线斜率为0 时，直线与抛物线只有1 个交点，不合要求，
直线AB 斜率不为0，故设直线AB 的方程为
1
x
my
，
联立
2
4 ,
1,
y
x
x
my
消去x 并整理，得
2
4
4
0
y
my
，
2
16
16
0
m
，
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，则
1
2
4
y
y
m
，
1
2
4
y y ，
2
1
2
1
2
2
4
2
x
x
m y
y
m
，
∴
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
4
4 1
AB
m
y
y
m
y
y
y y
m
.
易得M 点的坐标为
2
1
2
1
2
,
2
1,2
2
2
x
x
y
y
m
m
，
∴AB 的中垂线方程为
2
2
2
1
y
m
m x
m
，
令= 1
x 得
3
2
4
y
m
m
，∴
3
1,2
4
P
m
m
，
从而
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2 1
1
PM
m
m
m
m
m
，
∴
2
1
1
2
2
PM
m
AB
，
∴当且仅当
0
m
时，
PM
AB 取最小值1
2 .
题型五：利用基本不等式求线段最值
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为F ，离心率为
2
2
，过F 的直线交C 于
,
A B 两点，O为坐标
原点，当AB
OF
时，
2
AB
．
(1)求C 的方程；
(2)过F 的另一条直线交C 于
,
D E 两点，设直线AB 的斜率为
1
1
0
k
k
，直线DE 的斜率为
2k ，若
1
2
2
k
k
，
求AB
DE
的最大值．
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
；(2)
2
3
【解析】（1）设焦距为2c ，当AB
OF
时，将x
c
代入椭圆方程可得，
2
2
2
2
1
c
y
a
b
，解得
2
b
y
a
，
所以
2
2
2
b
AB
a
，又
2
2
c
a
，解得
2,
1
a
b
，
所以C 的方程为
2
2
1
2
x
y
；
（2）设直线
1
1
1
1
2
2
1
1
:
1
,
,
,
,
AB x
m y
m
A x y
B x
y
k
，
与椭圆线方程联立
1
2
2
1
2
2
0
x
m y
x
y
可得，
2
2
1
1
2
2
1
0
m
y
m y
，
由韦达定理，
1
1
2
1
2
2
2
1
1
2
1
,
2
2
m
y
y
y y
m
m
，
所以
2
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
4
AB
m
y
y
m
y
y
y y
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
4
1
1
1
4·
2 2 1
2
2
2
m
m
m
m
m
，
同理可得，
2
2
1
2 2 1
2
DE
m
，
2
2
1
2
1
1
2 2
2
2
AB
DE
m
m
，因为
1
2
2
k
k
，所以
2
1
2
m
m
，
故
2
1
2
2
4
2
1
1
1
1
3 2
1
1
2 2
2
4
2
2
5
2
m
AB
DE
m
m
m
m
2
1
2
1
3 2
3 2
2
2
4
5
3
2
5
m
m
，
当且仅当
1
1
k 时，等号成立，所以AB
DE
的最大值为
2
3
．
2.已知椭圆C∶
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（a>b>0）与抛物线y2=4x 共焦点F,且过点
8
(1,
)
3
,设
,
P x y 是椭圆上任意一点,A、
B 为椭圆的左、右顶点,点E 满足
(9
,0)
PE
x
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）判断|
|
|
|
PE
PF 是否为定值,并说明理由；
（3）设Q 是直线x=9 上动点,直线AQ、BQ 分别交椭圆于M、N 两点,求|MF | +| NF |的最小值．
【解析】（1）抛物线y2=4x 的焦点
1,0
F
,
则有
2
2
2
2
2
1
1
64
1
9
c
a
b
a
b
,解得
2
2
9,
8
a
b
,
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
9
8
x
y
+
= ；
（2）解：因为
(9
,0)
PE
x
,所以
9
PE
x
,
因为
,
P x y 是椭圆上任意一点,所以
2
2
1
9
8
x
y
+
= ,
则
2
2
2
2
2
1
1
1
1
8 1
2
9
9
9
9
3
x
PF
x
y
x
x
x
x
,
所以
9
|
|
3
1
|
|
9
3
x
PE
PF
x
,
所以|
|
|
|
PE
PF 是定值3；
（3）解：
,
3,0
3,0
A
B
,可设
9,
Q
t ,
则
9
3
12
AQ
t
t
k
,则直线AQ 的方程为
3
12
t
y
x
,
2
2
1
9
8
3
12
x
y
t
y
x
,消y 得：
2
2
2
2
128
6
9
1152
0
t
x
t x
t
,
则有
2
2
9
1152
3
128
M
t
x
t
,所以
2
2
384
3
128
M
t
x
t
,
同理可得
2
2
3
96
32
N
t
x
t
,
因为
9
x
为椭圆的右准线,
所以由椭圆上得点到焦点得距离与到准线得距离之比为离心率
1
3
e
,
可得
1
1
9
9
3
3
M
N
MF
NF
x
x
6
3
M
N
x
x
2
2
2
2
128
32
6
128
32
t
t
t
t
2
4
2
192
6
160
4096
t
t
t
2
2
192
6
4096
160
t
t
2
2
192
6
4096
2
160
t
t
192
16
6
288
3
,
当且仅当
2
2
4096
t
t
,即
8
t 时,取等号,
所以|MF | +| NF |的最小值为16
3 .
题型六：弦长与点到直线距离求三角形面积
1.若椭圆
2
2
2
2
:
1,(
0)
x
y
E
a
b
a
b
过抛物线
2
4
x
y
的焦点，且与双曲线
2
2
1
x
y
有相同的焦点．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)不过原点O 的直线:l y
x
m
与椭圆E 交于A、B 两点，求ABO
面积的最大值以及此时直线l 的方程．
【答案】(1)
2
2
1
3
x
y
；(2) ABO
面积的最大值为
3
2
，此时直线l 的方程为
2
y
x
【解析】（1）抛物线
2
4
x
y
的焦点为(0,1)，所以
1
b ，
因为双曲线
2
2
1
x
y
的焦点坐标为
2,0 ,
2,0
，
所以
2
2
2
a
b
则
2
3
a ，
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
3
x
y
.
（2）设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，
联立
2
2
1
3
x
y
y
x
m
可得
2
2
4
6
3
3
0
x
mx
m
，
因为直线:l y
x
m
与椭圆E 交于A、B 两点，
所以
2
2
36
16(3
3)
0
m
m
解得
2
4
m
，
由韦达定理可得
2
1
2
1
2
3
3
3
,
2
4
m
m
x
x
x x
，
由弦长公式可得
2
2
2
3
3
3
2
2
4
12
3
2
4
2
m
m
AB
m
，
点O到直线l 的距离为
2
m
d
，
所以
2
1
1
2
2
|
|
|
|
12
3
2
2
2
2
OAB
S
d
AB
m
m
△
2
2
1
3
3(
2)
12
,
4
2
m
当且仅当
2
2
m
即
2
m
时取得等号，
所以ABC
面积的最大值为
3
2
，此时直线l 的方程为
2
y
x
.
2.顺次连接椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的四个顶点,得到的四边形的面积为8 2 ,连接椭圆C 的某两个顶点,
可构成斜率为
2
2
的直线.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知过点
( 4,0)
A
的直线l 与椭圆C 交于E,F 两点,点B 在线段EF 上,若|
|
|
|
|
|
|
|
AE
BE
AF
BF
,求OAB
（O 为
坐标原点）面积的取值范围.
【分析】
（1）根据题设构造关于a,b 的方程组,利用待定系数法求解椭圆的方程；
（2）设出直线方程,联立直线l 与椭圆C 的方程,利用韦达定理得到|
|
EF 的表达式,设|
|
|
|
|
|
|
|
AE
BE
AF
BF
,找出
|
|
AB 与|
|
EF 的关系；再算出点O 到直线l 的距离,得到OAB
面积的表达式,利用根与系数的关系进行求解.
【解析】（1）依题意得
2 ,
2
2
8 2,
b
a
ab
解得
2,
2 2,
b
a
所以椭圆C 的标准方程是
2
2
1
8
4
x
y
.
（2）设直线l 的方程为
4(
0)
x
ty
t
,代入椭圆C 的方程得
2
2
2
8
8
0
t
y
ty
,由
0
得
2
2,| |
2
t
t
.
设
1
1
2
2
,
,
,
E x y
F x
y
,
所以
1
2
2
1
2
2
8
,
2
8
,
2
t
y
y
t
y y
t
,
2
2
2
1
2
1
2
1
2
|
|
(
)
(
)
1
EF
x
x
y
y
t
y
y
,
设|
|
|
|
|
|
|
|
AE
BE
AF
BF
,则
,
AE
AF EB
BF
2
2
1
1
1
AB
AE
EB
EF
EF
EF
.
原点O 到直线l 的距离
2
4
1
d
t
,
故OAB
的面积
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
4
4
1
2
1
1
1
S
t
y
y
y
y
t
.
因为
1
1
2
2
y
y
y
y
,故
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
4
4
4
(0,2 2)
| |
1
y
y y
y
S
y
y
y
y
t
y
y
,
故OAB
面积的取值范围为(0,2 2) .
题型七：割补法求三角形那个面积
【基本思路】
若过定点Q 的直线圆锥曲线交于点A,B,点P 为定点或满足一定条件的动点,要表示△PAB 的面积,可先求出
点A,B 到直线PQ 的距离之和d,则
1
2
PAB
S
PQ d
,特别的,若PQ 与y 轴垂足,
1
2
PAB
A
B
S
PQ y
y
,利用这
种方法求面积,可以避免使用弦长公式,减少运算量.
【基础练习】
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
上的点到左、右焦点
1F 、
2
F 的距离之和为4,且右顶点A 到右焦点
2
F 的
距离为1.
（1）求椭圆C的方程;
（2）直线y
kx
与椭圆C交于不同的两点M , N ,记
MNA
△
的面积为S,当
3
S
时求k 的值.
【分析】（1）根据题意得到2
4
a
,
1
a
c
,再根据
2
2
2
a
b
c
求解即可.
（2）首先设
1
1
,
M x y
,
2
2
,
N x
y
,再根据
1
2
2
1
2
1
1
1
1
2
2
2
AMN
S
OA
y
OA
y
OA
y
y
y
y
求解即可.
【解析】（1）由题意2
4
a
,
2
a
,
因为右顶点A 到右焦点
2
F 的距离为1,即
1
a
c
,所以
1
c ,
则
2
2
3
b
a
c
,
所以椭圆C的标准方程为
2
2
1
4
3
x
y
.
（2）设
1
1
,
M x y ,
2
2
,
N x
y
,且
2
OA
根据椭圆的对称性得
1
2
2
1
2
1
1
1
1
2
2
2
AMN
S
OA
y
OA
y
OA
y
y
y
y
,
联立方程组
2
2
1
4
3
y
kx
x
y
,整理得
2
2
3
(
4)
12
y
k
,解得
2
2
12
4
3
k
y
k
,
因为AMN
的面积为3,可得
2
1
2
2
12
|
| 2
3
4
3
k
y
y
k
,解得
3
2
k
.
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
，经过
0,1 ，且离心率为
2
2
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线:l y
x
m
与椭圆交于A ，B 两点，O为坐标原点.求OAB
面积的最大值.
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
(2)
2
2
【分析】（1）根据椭圆过点
0,1 ，可得
1
b ，再根据离心率公式可得
2
a
，进而可得椭圆方程；
（2）联立直线方程，结合韦达定理可求得
2
2
1
2
1
1
3
9
2
2
3
2
2
S
m x
x
m
，结合二次函数性质可得
最大值.
【详解】（1）由椭圆
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
，经过
0,1 ，
得
2
2
1
0
1
b
，解得
1
b ，
又椭圆离心率为
2
2
2
1
2
1
1
2
c
b
e
a
a
a
，
解得
2
2
a
，
2
a
，
所以椭圆方程为
2
2
1
2
x
y
；
（2）
设点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
联立直线与椭圆方程
2
2
1
2
x
y
y
x
m
，得
2
2
3
4
2
2
0
x
mx
m
，
则
2
2
2
4
4 3
2
2
8
24
0
m
m
m
，即
3
3
m
，
且
1
2
4
3
m
x
x
，
2
1
2
2
2
2
m
x x
，
又直线:l y
x
m
与y 轴的交点
0,
M
m ，
所以
1
2
1
1
2
2
AOM
BOM
S
S
S
OM
x
OM
x
1
2
1
2
1
1
2
2
OM
x
x
m
x
x
2
2
2
1
2
1
2
1
1
3
9
4
2
2
3
2
2
m
x
x
x x
m
，
所以当
2
3
2
m
，即
6
2
m
时，S取最大值为
2
2
.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三
角形的面积等问题．
题型八：对角线互相垂直的四边形面积的计算
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
的离心率为1
2 ,且椭圆E 经过点
3
1, 2
,过右焦点F 作两条互相垂直的弦
AB 和CD ．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）当四边形ACBD的面积取得最小值时,求弦AB 所在直线的方程．
【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c的方程组,求出这三个量的值,即可得出椭圆E 的标准方程；
（2）分两种情况讨论：①当AB 或CD 中有一条直线垂直于x 轴时,求出四边形ACBD的面积；②当AB 的
斜率存在且不为0 时,设直线AB 的方程为
1
0
y
k x
k
,将该直线方程与椭圆的方程联立,列出韦达定
理,求出AB 、CD ,利用四边形的面积
1
2
S
AB
CD
结合基本不等式可求得四边形ACBD面积的最小值,
综合即可得解.
【解析】（1）已知可得
2
2
2
2
2
1
2
1
9
1
4
c
a
a
b
c
a
b
,解得
2
3
1
a
b
c
,所以椭圆E 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
．
（2）当AB 或CD 中有一条直线垂直于x 轴时,不妨设AB
x
轴,
因为焦点F 的坐标为
1,0 ,所以直线AB 的方程为
1
x ,
将
1
x 代入椭圆方程可得
3
2
y
,则
3
AB
,
4
CD
,
四边形ACBD的面积
1
4 3
6
2
S
；
当AB 的斜率存在且不为0时,设其斜率为
0
k k
,
由（1）知
1,0
F
,所以直线AB 的方程为
1
y
k x
,
与椭圆E 的方程
2
2
1
4
3
x
y
联立并消去y 得
2
2
2
2
3
4
8
4
12
0
k
x
k x
k
．
设
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
,
4
2
2
2
64
4 3 4
4
12
144
1
0
k
k
k
k
,
则
2
1
2
2
8
3
4
k
x
x
k
,
2
1
2
2
4
12
3
4
k
x x
k
,
4
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
64
16
48
1
1
4
1
3
4
3
4
k
k
AB
k
x
x
k
x
x
x x
k
k
k
2
2
4
2
2
2
2
12 1
1
64
16
48
3
4
3
4
3
4
k
k
k
k
k
k
k
．
同理可得可得
2
2
2
2
1
12 1
12
1
4
3
4
3
k
k
CD
k
k
,
所以四边形ACBD面积
2
2
2
2
2
2
2
2
2
12
1
72
1
1
1
2
2
4
3 3
4
4
3 3
4
k
k
S
AB
CD
k
k
k
k
2
2
2
2
2
2
72
1
2
288
72
7
49
4
3
3
4
2
k
k
k
,
当且仅当
2
2
4
3
3
4
k
k
时,即当
1
k 时,等号成立,
因为
288
6
49
,故当四边形ACBD的面积取得最小值时,直线AB 的方程为
1
y
x
或
1
y
x
．
2.已知椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)经过点�−2,0 和点�2,0 ，椭圆�的焦距为2.
(1)求椭圆�的方程；
(2)�和�是椭圆�上异于�, �的两点，四边形����是平行四边形，直线��､��分别交�轴于点�和点�, �是
椭圆的右焦点，求四边形����面积的最小值.
【解题思路】（1）题目告诉了椭圆焦距和顶点，即知道了�, �，再由��= ��−��，即可求解；
（2）由对称性可设�(��, ��)，则�( −��, −��)，通过表示直线��, ��的方程，求得�, �的坐标，从而表
示出面积，再根据点Ｐ在椭圆上，得到��与��的关系以及��的范围，即可求解.
【解答过程】（1）由已知�= �, �= �，所以��= ��−��= �，所以椭圆�的方程为
��
�+
��
�= �.
（2）如图所示，
因为四边形����是平行四边形，
所以线段��与线段��的中点重合，所以�､�关于原点对称.
设���, ��，则�−��, −��
��≠± �且��≠�，���=
��
��+�，
所以直线��的方程为�=
��
��+��+ �，
令�= �，得�=
���
��+�，即��,
���
��+�.
又���=
��
��−�，直线��的方程为�=
��
��−��+ �，
令�= �，得�=
���
��−�，即��,
���
��−�.
四边形����面积为
�
���⋅��=
�
���，
��=
���
��+�−
���
��−�=
���
��
�−�①，
因为点�在椭圆上，
所以
��
�
�+
��
�
�= �, −
�≤��≤
�且��≠�，
所以��
�−�=−
�
���
�②，
将②代入①得��=
�
��，
所以当��=±
�时，|��|min = ��.
所以四边形����面积的最小值为��.
3.抛物线
2
2
(
0)
y
px p
被直线
2
3
y
x
截得的弦的中点M 的纵坐标为1．
(1)求p 的值及抛物线的准线方程；
(2)过抛物线的焦点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与拋物线相交于A ，B 两点，直线2l 与抛物线相
交于C ，D 两点，求四边形ACBD的面积S的最小值．
【答案】(1)
2
p
；准线方程为= 1
x ；(2)32
【解析】（1）解法一：设抛物线
2
2
y
px
与直线
2
3
y
x
交于
1
1
,
S x y
，
2
2
,
T x
y
．
2
2
3
2
y
x
y
px
整理得
2
3
0
y
py
p
，所以
1
2
y
y
p
，
因为
1
2
1
2
M
y
y
y
所以
2
p
，
则抛物线方程为
2
4
y
x
，准线方程为= 1
x ；
解法二：设抛物线
2
2
y
px
与直线
2
3
y
x
交于
1
1
,
S x y
，
2
2
,
T x
y
．
因为截得的弦的中点M 的纵坐标为1，故
1
2
x
x
，
1
2
0
y
y
，
则
2
1
1
2
2
2
2
,
2
,
y
px
y
px
，
作差得
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
y
y
y
y
y
y
p
x
x
x
x
，
所以
1
2
2
2
ST
p
k
y
y
，
因为
1
2
2
y
y
，所以
2
p
则抛物线方程为
2
4
y
x
，准线方程为= 1
x
（2）解法一：依题意设直线AB 的方程为
1
x
my
，
0
m
，
3
3
,
A x y
，
4
4
,
B x
y
．
联立方程组
2
1,
4 ,
x
my
y
x
整理得
2
4
4
0
y
my
，
故
3
4
3
4
4
4
y
y
m
y y
所以
3
4
3
4
|
| |
|
|
|
1
1
1 1
1 1
AB
AF
BF
x
x
my
my
2
3
4
4
4
4
m y
y
m
因为AB
CD
，直线CD 的方程为
1
1
x
y
m
，
同理可得
2
4
4
CD
m
所以
2
2
2
2
1
1
4
1
4
4
4
8 2
2
2
S
AB CD
m
m
m
m
2
2
1
8 2
2
32,
m
m
当且仅当
2
2
1
m
m
，即
1
m 时，取等号．
所以四边形ABCD面积S的最小值为32．
解法二：依题意设直线AB 的方程为
(
1)
y
k x
，
0
k
，
3
3
,
A x y
，
4
4
,
B x
y
．
联立方程组
2
(
1),
4 ,
y
k x
y
x
整理得
2
2
2
2
2
4
0
k x
k
x
k
，
故
3
4
2
3
4
4
2
1
x
x
k
x x
．
所以
3
4
2
4
|
| |
|
|
|
1
1
4
AB
AF
BF
x
x
k
因为AB
CD
，同理可得
2
4
4
CD
k
所以
2
2
2
2
1
1
4
1
4
4
4
8 2
2
2
S
AB CD
k
k
k
k
2
2
1
8 2
2
32
k
k
，
当且仅当
2
2
1
k
k
，即
1
k 时，取等号．
所以四边形ABCD面积S的最小值为32．
4.设双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，1
2
2 5
F F
，且E 的渐近线方程为
2
x
y
．
(1)求E 的方程；
(2)过
2
F 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，与E 的右支分别交于A，C 两点和B，D 两点，求四边形ABCD 面
积的最小值．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
(2) 32
9
【分析】（1）根据题意得到
1
2
b
a
，结合
2
2
2
1
2
2
2 5
2 5
F F
a
b
b
，求得,a b的值即可；
（2）设直线
1 :
5
l
y
k x
，
2
1
:
5
l
y
x
k
，求得
2
1
4
4
k
，联立方程组，利用弦长公式，求得
2
2
4 1
4
1
k
AC
k
，
2
2
4
1
4
k
BD
k
，得到
2
2
2
2
1
8
4
1
4
ABCD
k
S
k
k
，令
2
1
t
k
，结合二次函数的性质，
即可求解.
【详解】（1）由题意，得
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
的渐近线方程为
b
y
x
a
，
因为双曲线E 的渐近线方程为
2
x
y
，所以
1
2
b
a
，即
2
a
b
，
又因为
2
2
2
1
2
2
2 5
2 5
F F
a
b
b
，所以
1
b ，则
2
a
，
故E 的方程为
2
2
1
4
x
y
．
（2）根据题意，直线1l ，2l 的斜率都存在且不为0，
设直线
1 :
5
l
y
k x
，
2
1
:
5
l
y
x
k
，其中
0
k
，
因为1l ，2l 均与E 的右支有两个交点，所以
1
2
k
，
1
1
2
k
，所以
2
1
4
4
k
，
将1l 的方程与
2
2
1
4
x
y
联立，可得
2
2
2
2
1
4
8 5
20
4
0
k
x
k x
k
，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
C x
y
，则
2
1
2
2
8 5
1 4
k
x
x
k
，
2
1
2
2
20
4
1 4
k
x x
k
，
所以
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
4
AC
x
x
y
y
k
x
x
k
x
x
x x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4 1
8 5
20
4
4 1
1
4
1
1
4
1
4
4
1
1
4
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
，
用
1
k
替换k ，可得
2
2
4
1
4
k
BD
k
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
4 1
4
1
1
1
1
8
2
2
4
1
4
4
1
4
ABCD
k
k
k
S
AC
BD
k
k
k
k
．
令
2
1
t
k
，所以
2
5
1,
,5
4
k
t
t
，
则
2
2
2
2
1
8
32
8
8
25
25
4
25
25
9
1
1
9
4
25
2
4
ABCD
t
S
t
t
t
t
t
，
当1
1
2
t
，即
1
k 时，等号成立，
故四边形ABCD面积的最小值为32
9 ．
【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、
图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值
（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法
等，要特别注意自变量的取值范围.
题型九：利用函数性质求面积最值或范围
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右顶点为A,上､下顶点分别为B,D,直线AB的斜率为
1
2
,坐标原点O到
直线AB 的距离为2 5
5
.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l // AB ,且交椭圆C 于M,N 两点,当△DMN 的面积最大时,求直线l 的方程.
【分析】（1）由题设可得
2
a
b
且直线AB 为
1
x
y
a
b
,再应用点线距离公式求参数,即可写出椭圆方程.
（2）设直线l 为
1
(
1)
2
y
x
t t
、
1
1
,
M x y
、
2
2
,
N x
y
,并联立椭圆方程整理成含参数t 的一元二次方
程,由
0
求t 的范围,由韦达定理可得
1
2
2
x
x
t
、
2
1 2
2
2
x x
t
,结合点线距离公式、弦长公式及三角形面
积公式可得
DMN
S
2
2
2
(
1)
t
t
,再利用导数求
2
2
( )
2
(
1)
h t
t
t
的最大值并确定对应t 值,即可得直线
l 的方程.
【解析】（1）由题意得：
( ,0)
A a
,
(0, )
B
b ,故直线AB 为
1
x
y
a
b
,即
0
bx
ay
ab
,
由
1
2
AB
b
k
a
,得
2
a
b
,
∴直线AB 为
2
2
0
x
y
b
,则O 到直线AB 的距离
1
| 2 |
2 5
5
5
b
d
,得
1
b ,
∴
2
a
,
故椭圆C 的标准方程为
2
2
1
4
x
y
.
（2）设直线l 为
1
(
1)
2
y
x
t t
,则
(0, 1)
D
到直线l 的距离
|
1|
2|
1|
1
5
1
4
t
t
d
.
将直线l 的方程与椭圆方程联立,整理得
2
2
2
2
2
0
x
tx
t
,
∴
2
2
2
4
4 2
2
4 2
0
t
t
t
,得
2
2
t
且
1
t ,
设
1
1
,
M x y ,
2
2
,
N x
y
,则
1
2
2
x
x
t
,
2
1 2
2
2
x x
t
,
∴
2
2
1
2
1
5
|
|
1
4
4 2
2
4
2
MN
x
x
t
t
2
5
2
t
,
综上,
2
1
1
2|
1|
|
|
5
2
2
2
5
DMN
t
S
MN
d
t
△
2
2
2
(
1)
t
t
.
令
2
2
( )
2
(
1)
h t
t
t
,则
2
2
( )
2 (
1)
2
2(
1)
h t
t t
t
t
2
1
17
1
17
4(
1)
1
4(
1)
2
4
4
t
t
t
t
t
t
,
易知：在
1
17
,
4
上
( )
0
h t
, ( )
h t 单调递增；
在
1
17 , 1
4
上
( )
0
h t
, ( )
h t 单调递减；
在
1
17
1,
4
上,
'
0
h t
, ( )
h t 单调递增；
在
1
17 ,
4
上,
'
0
h t
, ( )
h t 单调递减.
∴( )
h t 在
1
17
4
t
或
1
17
4
t
处取得最大值,
又
1
17
(7
17)(13
3 7)
4
64
h
,
1
17
(7
17)(13
3 7)
4
64
h
,
∴当
1
17
4
t
时, ( )
h t 取得最大值,且1
17
(
2,
2)
4
,
∴当
1
17
4
t
时
DMN
S
取得最大值,此时直线l 的方程为
1
1
17
2
4
y
x
.
2.在平面直角坐标系xOy 中，已知点
1
3,0
F
，
2
3,0
F
，点P 满足
1
2
2 6
PF
PF
.记P 的轨迹为M .
(1)求M 的方程；
(2)直线
3
0
x
y
交M 于A ，B 两点，C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD的对角线CD
AB
，求
四边形ACBD面积的最大值.
【答案】(1)
2
2
1
6
3
x
y
；
(2) 8 6
3
【分析】（1）由椭圆的定义得到轨迹方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，求出
4 6
3
AB
，设直线CD 的方程为y
x
n
，设
3
3
,
C x
y
，
4
4
,
D x
y
，
得到两根之和，两根之积，根据根的判别式和位置关系得到
5 3
3
3
n
，表达出
2
4 9
3
CD
n
，四
边形ACBD的面积
2
8 6
9
9
S
n
，求出最大值.
【详解】（1）因为
1
2
1
2
2 6
2 3
MF
MF
F F
，
由椭圆定义，轨迹C 是以点
1
3,0
F
，
2
3,0
F
为焦点，长轴长为2 6 的椭圆，
设椭圆方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，
则2
2 6
a
，∴
6
a
又∵
3
c
，则
2
2
2
3
b
a
c
，
∴椭圆C 的方程为
2
2
1
6
3
x
y
；
（2）由
2
2
3
0
1
6
3
x
y
x
y
，解得
4 3
3
3
3
x
y
或
0
3
x
y
，
因此
2
2
4 3
3
4 6
3
3
3
3
AB
.
设直线CD 的方程为y
x
n
，设
3
3
,
C x
y
，
4
4
,
D x
y
.
由
2
2
1
6
3
y
x
n
x
y
得
2
2
3
4
2
6
0
x
nx
n
.
2
2
Δ
16
12 2
6
0
n
n
，故3
3
n
.
又AB ，CD 的交点在A ，B 之间，故
5 3
3
3
n
.
因为直线CD 的斜率为1，
所以
2
2
2
4
3
2 2
9
4 9
1 1
2
3
3
C
n
x
x
D
n
.
又四边形ACBD 的面积
2
1
8 6
9
2
9
S
CD
AB
n
，
当
0
n
时，S 取得最大值，最大值为8 6
3
，
所以四边形ACBD 面积的最大值为8 6
3
.
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数
的最值或范围．
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
1
x
y
C
ab
a
b
>
的离心率为
3
2
，短轴长为2，椭圆C 与圆
2
2
2
:
(
0)
M
x
y
r
r
相交于点
, , ,
A B C D .
(1)当四边形ABCD面积最大值时，求圆M 的半径；
(2)直线:l x
ty
m
与（1）中的圆M 相切，并与椭圆C 相交于,
P Q 两点，求
OPQ
△
面积的最大值.
【答案】(1)
10
2
(2)
15
4
【分析】（1）依据离心率和短轴长可求得椭圆C 的方程，解出交点坐标即可写出面积表达式
2
2
8
(
1)(4
)
3
S
r
r
，再由基本不等式即可求得面积最大时的半径取值；
（2）根据直线与圆相切可得
2
2
5
1
2
m
t
，联立直线和椭圆方程利用弦长公式可求得PQ ，即可求得
OPQ
△
面积的表达式，再利用换元以及二次函数性质可求出最大值为
15
4
.
【详解】（1）根据题意可知
3
2
c
e
a
，由短轴长为2 可得2
2
b
，
又
2
2
2
a
b
c
，
解得
2,
1
a
b
椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
，又圆
2
2
2
:
(
0)
M
x
y
r
r
不妨设交点
,
A
A
A x
y
，联立椭圆C 和圆M 的方程可得
2
2
2
2
4
1
3
4
3
A
A
r
x
r
y
，
2
1
4
r
<
<
利用对称性可得四边形ABCD的面积为
2
2
2
2
4(
1)
4
8
4
4
(
1)(4
)
3
3
3
A
A
r
r
S
x y
r
r
又因为
2
2
2
2
2
1
4
9
1
4
2
4
r
r
r
r
，
当且仅当
2
2
1
4
r
r
即
2
5
2
r
时取等号；
所以当S 最大时，圆M 的半径为
10
2
，
（2）由（1）可知圆
2
2
5
:
2
M
x
y
，
设O 到l 的距离为d ，
2
1
m
d
t
又直线l 与圆M 相切，所以
10
2
d
r
，
即可得
2
2
5
1
2
m
t
设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
联立
2
2
1
4
x
ty
m
x
y
，消去x 整理可得
2
2
2
2
4
0
4
mt
t
y
y
m
，
所以
2 2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
Δ
4
4
4
4
0
2
4
4
4
m t
t
m
mt
y
y
t
m
y
y
t
，解得
2
0
1
t
由弦长公式可知：
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
16
16
64
4
1
4
1
4 1
4
4
4
4
m t
m
t
m
t
m
PQ
t
t
t
t
t
t
t
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
5
1
1
1
1
4
2
2
4 1
2
2
2
4
4
1
t
t
t
m
m
S
PQ
d
t
t
t
t
2
2
2
1
1
15
4
t
t
t
令
2
4
t
x
，则4
5
x
所以
2
2
2
3
5
8
15
1
1
15
15
15
1 8
15
x
x
x
x
S
x
x
x
x
令
1
u
x
，则
1 1
,
5 4
u
，
2
1
1
1
15
8
1
15
8 1
16
4
16
u
u
所以
max
1
15
15
4
4
S
，
即
OPQ
△
面积的最大值为
15
4
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用直线与圆相切求出
,
m t 之间的关系式，再由交点个数利用判别式
求出取值范围，写出面积表达式并利用换元法和二次函数性质即可求出面积最大值.
4.设点O 为坐标原点，P 是圆A：
2
2
2
4
x
y
上任意一点，点
2,0
B
，线段BP 的垂直平分线与直线
AP 交于点Q，记点Q 的轨迹为曲线C．
(1)求C 的方程；
(2)设直线l 与曲线C（在y 轴右侧）恰有一个公共点，且l 与直线
3
y
x
分别交于M，N 两点，求BMN
面积S 的最小值．
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x
(2)
3
【分析】（1）根据几何知识得到Q 的轨迹为以A，B 为焦点的双曲线，然后求轨迹方程即可；
（2）设直线l 的方程，联立直线与双曲线的方程，根据恰有一个公共点得到
2
2
3
1
m
n
，联立直线l 与渐
近线方程，利用韦达定理求三角形BMN 面积的最小值即可.
【详解】（1）
2
4
QA
QB
AP
AB
，
则Q 的轨迹为以A，B 为焦点的双曲线，
设方程为
2
2
2
2
1
,
0
x
y
a b
a
b
，则2
2
a
，2
4
c
AB
，
3
b
，
所以Q 的轨迹方程为
2
2
1
3
y
x
．
（2）
设l：x
my
n
，代入曲线C 的方程得
2
2
2
3
1
6
3
3
0
m
y
mny
n
，
由已知得
2
3
1
0
m
且
2
2
2
2
36
4 3
1 3
3
0
m n
m
n
，即
2
2
3
1
m
n
，
将l：x
my
n
，代入
2
2
0
3
y
x
得
2
2
2
3
1
6
3
0
m
y
mny
n
，
设
1
1
,
M x y ，
2
2
,
N x
y
，则
1
2
2
6
3
1
mn
y
y
m
，
2
1
2
2
3
3
1
n
y y
m
，
直线l 与x 轴交点为
,0
n
，
则
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
12
2
4
3
1
2
2
2
3
1
n
n
n
n
S
y
y
y
y
y y
n
m
由
2
2
3
1
m
n
得
2
1
n ，即1
1
n
，
0
n
则当
1
n 时，S 最小值为
3 ．
5.已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
实轴的一个端点是P ，虚轴的一个端点是Q ，直线PQ 与双曲线的一条渐
近线的交点为1 1
,
2 2
.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线
1 (0
1)
y
kx
k
k
与曲线C 有两个不同的交点
,
A
B O
、
是坐标原点，求OAB
的面积最小值.
【答案】(1)
2
2
1
x
y
(2) 2 5
【分析】（1）利用双曲线的性质待定系数法计算即可；
（2）联立方程，根据弦长公式及韦达定理可表示三角形面积，利用换元法求最值即可.
【详解】（1）设点
,0
P a
，点
0,
Q
b ，则直线PQ 的方程为
1
x
y
a
b
，
与渐近线
b
y
x
a
联立，得
1
x
y
a
b
b
y
x
a
，解之得
2
2
a
x
b
y
，
即直线PQ 与双曲线的一条渐近线交点为
,
2 2
a b
，
又直线PQ 与双曲线的一条渐近线的交点为1 1
,
2 2
，
所以
1
2
2
1
2
2
a
b
，即
1
a
b
，因此双曲线方程为
2
2
1
x
y
.
（2）
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，把
1
y
kx
k
代入
2
2
1
x
y
，
得
2
2
2
1
1
2
1
0
k
x
x
k
，
则
4
2
2
1
2
2
2
2
4 1
1
2
Δ
4
4 1
1
0,
1
k
k
k
x
x
k
k
k
，
2
1
2
2
1
1
1
k
x x
k
，
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
2
1
1
4
1
4
1
1
k
AB
k
x
x
k
x
x
x x
k
k
k
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2 1
2 1
1
1
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
，
点O 到直线
1
y
kx
k
的距离
2
1
1
k
d
k
，所以OAB
的面积为
2
4
2
4
2
2
2
2
2
2
4
2
1
1
1
1
1
1
2 1
2
2
2
2
1
1
1
k
k
k
k
k
S
AB d
k
k
k
k
k
k
2
4
2
2
4
1
k
k
k
k
，
令
2
4
t
k
k
，所以
2
2
1
1
1
t
S
t
t
t
，令
1
s
t
，则
2
S
s
s
，
因为0
1
k
，所以
2
0
1
k
，由
2
2
1
1
2
4
t
k
，得
1
0
4
t
，由
1
s
t
，
得
4
s
，由
2
2
1
1
2
4
S
s
s
s
，得
16
4
2 5
S
，
即当
2
1
1
2
4,
,
,
4
2
2
s
t
k
k
时，等号成立，
此时满足Δ
0
，所以OAB
面积的最小值为2 5 .
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
1
1
2
2
,
,
,
x y
x
y
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
1
2
x
x
、
1 2
x x （或
1
2
y
y
、
1
2
y y ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
6.已知动圆过点
1 ,0
2
F
，且与直线
1
0
2
x
相切，设动圆圆心的轨迹为曲线C ；过点F 的直线与曲线C 交
于A ，B 两点，曲线C 在A ，B 两点处的切线交于点E .
(1)证明：EF
AB
；
(2)设AF
FB
，当
1 1
,
3 2
时，求ABE
的面积S 的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 27 2
32
【分析】（1）根据抛物线的定义可得动圆圆心的轨迹为抛物线，设直线方程，根据切线方程可得E 点坐标，
进而可得EF
AB
；
（2）由AF
FB
得
2
2
(1
)
4
m
，根据弦长公式，可得
2
2 1
AB
m
，根据E 点坐标得
2
1
EF
m
，
进而可得
3
2
1
ABE
S
m
，根据单调性可得最小值.
【详解】（1）
由题意得，圆心到点F 的距离和直线
1
0
2
x
的距离相等，
由抛物线的定义知，曲线C 的轨迹为抛物线，
由焦点
1 ,0
2
F
和准线方程
1
0
2
x
，可得方程为
2
2
y
x
，
设l 的方程为
1
2
x
my
，代入
2
2
y
x
，得
2
2
1
0
y
my
，
设
2
1
1
,
2
y
A
y
，
2
2
2
,
2
y
B
y
，则
1
2
2
y
y
m
①，
1
2
1
y y ②
切线AE 方程为：
2
1
1
2
y
y y
x
③，切线BE 方程为：
2
2
2
2
y
y y
x
④，
由③､④得
2
2
1
2
2
1
2
2
y
y
y
x
y
x
，所以
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
y y
y y
y
y
x
y
y
，
③-④，得
2
2
1
2
1
2
1
2
y
y
y
y
y
，即
1
2
2
y
y
y
m
，所以
1 ,
2
E
m
.
当
0
m
时，显然有EF
AB
，
当
0
m
时，
0
1
1
1
1
2
2
EF
AB
m
k
k
m
，所以EF
AB
，
所以EF
AB
.
（2）由题意得：AF
FB
，得
1
2
y
y
=-
，结合①､②得
2
2
1
m
y
，
2
2
1
1
m
，从而
2
2
(1
)
4
m
，
因为
2
2
2
2
1
2
1
1
4
4
2 1
AB
m
y
y
m
m
m
，
2
1
EF
m
，
所以
3
2
1
1
2
ABE
S
AB
EF
m
.
设
2
1
1
2
4
y
m
，
2
2
1
1
1
4
y
m
，
当
1 1
,
3 2
时，
0
y
，所以y 在区间1 1
,
3 2
上为减函数，
所以，当
1
2
时，
2
m 取得最小值1
8 ，从而可得
min
27 2
32
S
.
7.已知曲线Γ 在x 轴上方，它上面的每一点到点
0,2
Q
的距离减去到x 轴的距离的差都是2.若点
, ,
A B C 分
别在该曲线Γ 上，且点A C
､
在y 轴右侧，点B 在y 轴左侧，ABC
的重心G 在y 轴上，直线AB 交y 轴于点
M 且满足3 AM
BM
，直线BC 交y 轴于点N .记
,
,
ABC
AMG CNG
的面积分别为
1
2
3
,
,
S S
S
(1)求曲线Γ 方程；
(2)求
2
3
1
S
S
S
的取值范围.
【答案】(1)
2
8 (
0)
x
y x
(2) 1 13
,
6 60
【分析】（1）根据抛物线的定义，即可求曲线方程；
（2）首先利用几何关系将面积比值，转化为长度比值，再转化为坐标比值，再利用换元法，转化为求函
数的值域.
【详解】（1）曲线上每一点到点
0,2
Q
的距离减去到x 轴的距离的差都是2，即曲线上每一点到点
0,2
Q
的距离与到直线=
2
y
的距离相等，
所以曲线Γ 为抛物线，
2
4
8 (
0)
p
x
y x
；
（2）设点
1
1
2
2
3
3
1
2
3
,
,
,
,
,
,
0,
0,
0
A x y
B x
y
C x
y
x
x
x
，
3
2
,
ABG
CBG
AM
CN
S
S
S
AB
S
BC
G
为ABC
的重心
1
1
3
ABG
CBG
S
S
S
2
1
3
1
1
1
,
3
3
AM
CN
S
S S
S
AB
BC
，
由相似三角形可知
3
1
1
2
3
2
,
AM
CN
x
x
AB
x
x
BC
x
x
且
1
2
3
0
x
x
x
，
可得
2
3
3
1
1
1
2
3
2
1
1
3
3
AM
CN
S
S
x
x
S
AB
BC
x
x
x
x
，
令
2
3
1
2
1
1
1
1
1
1
,
2
3
1
2
3
1
2
S
S
x
u
u
u
x
S
u
u
u
u
1
3
2
3
1
2
u
u
，
因为3 AM
BM
，所以
1
2
3x
x
，故
1
0
3
u
，
2
20
1
2
2
, 2
9
u
u
u
u
，
2
3
1
1 13
,
6 60
S
S
S
.
题型十：利用均值不等式求面积最值或范围
如果能把三角形或四边形的面积转化为某些变量的代数式,若对代数式进行恒等变形后能出现和为定值或
乘积为定值的式子,可考虑利用均值不等式求最值或范围.
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左､右焦点分别为
1
2
,0 ,
,0
F
c
F
c
，离心率为1
2 ，点
3
1, 2
在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点
3,0
D
的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，记
1
ABF
的面积为S ，求S 的最大值.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
(2) 2 3
3
【分析】（1）根据题意，列出关于a ，b ，c 的方程即可求解；
（2）设直线方程（有两种方法，一种设
3
x
my
；另一种设
3
y
k x
），与椭圆方程联立，结合韦达
定理及基本不等式即可求出面积的最大值.
【详解】（1）因为
1
2
c
a
，所以
2
a
c
，则
2
2
3
b
c
，
所以C 的标准方程为
2
2
2
2
1
4
3
x
y
c
c
，
因为点
3
1, 2
在C 上，所以
2
2
1
9
1
1
4
4
3
c
c
，
解得
1
c ，从而
2
a
，
3
b
.
所以C 的标准方程为
2
2
1
4
3
x
y
.
（2）易知点
3,0
D
在C 的外部，则直线l 的斜率存在且不为0，
设:
3
l x
my
，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
联立方程组
2
2
3
1
4
3
x
my
x
y
消去x 得
2
2
3
4
18
15
0
m
y
my
，
由Δ
0
得
15
3
m
，由根与系数的关系知
1
2
1
2
2
2
18
15
,
.
3
4
3
4
m
y
y
y y
m
m
所以
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
18
4 15
1
4
1
3
4
3
4
m
AB
m
y
y
y y
m
m
m
，
化简得
2
2
2
4 3 1
3
5
3
4
m
m
AB
m
.
设点
1
1,0
F
到直线l 的距离为d ，则
2
2
1 3
2
1
1
d
m
m
，
所以
1
ABF
的面积
2
2
2
2
2
2
1
2
4 3 1
3
5
4 3 3
5 .
2
3
4
3
4
1
m
m
m
S
m
m
m
令
2
3
5
(
0)
m
t t
，得
2
2
3
5
m
t
，所以
2
4 3
4 3
9
9
t
S
t
t
t
，
因为
9
2 9
6
t
t
，所以
4 3
2 3
6
3
S
，
当且仅当
3
t
，即
42
3
m
时，等号成立.
因为
42
3
m
满足Δ
0
，所以S 的最大值为2 3
3
.
评分细则：
第二问另解：
（2）设
:
3
l y
k x
，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
联立方程组
2
2
3
1
4
3
y
k x
x
y
，消去y 得
2
2
2
2
4
3
24
36
12
0
k
x
k x
k
.
由Δ
0
得
15
5
k
，由根与系数的关系知
2
2
1
2
1
2
2
2
24
36
12
,
4
3
4
3
k
k
x
x
x x
k
k
.
所以
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
24
36
12
1
4
1
4
4
3
4
3
k
k
AB
k
x
x
x x
k
k
k
，
化简得
2
2
2
4 3 1
3
5
4
3
k
k
AB
k
.
设点
1
1,0
F
到直线:
3
0
l kx
y
k
的距离为d ，则
2
2
3
2
1
1
k
k
k
d
k
k
，
所以
1
ABF
的面积
2
2
2
4
2
2
2
2
1
4 3 1
3 5
4 3 3
5
2
4
3
4
3
1
k
k
k
k
k
S
k
k
k
.
令
2
4
3
(
3)
k
t t
，得
2
3
4
t
k
，
所以
2
2
4 3
5
42
81
42
81
3
5
4
t
t
S
t
t
t
，
因为
2
2
42
81
1
7
4
5
81
27
9
t
t
t
，所以
2
2 3
3
3
3
S
，
当且仅当
27
7
t
，即
42
14
k
时，等号成立.
因为
42
14
k
满足Δ
0
，所以S 的最大值为2 3
3
.
2.已知抛物线
2
:
2
0
T
y
px p
,点F 为其焦点,点M 、N 在抛物线上,且直线MN 过点
,0
2
p
G
,
2
6
FM
FN
.
（1）求抛物线T 的方程；
（2）过焦点F 作互相垂直的两条直线,与抛物线T 分别相交于点A 、B 和C、D ,点P 、Q 分别为AB 、CD
的中点,求
FPQ
△
面积的最小值.
【分析】（1）过点M 、N 分别作抛物线T 的准线l 的垂线,垂足分别为
1
M 、
1
N ,分析出N 为MG 的中点,连
接ON ,分析出N 在线段OF 的垂直平分线上,可求得点N 的横坐标,利用抛物线的定义可求得p 的值,即可得
出抛物线的标准方程；
（2）分析可知直线AB 、CD 的斜率均存在且不为0,设直线AB 的斜率为
0
k k
,联立直线AB 的方程与抛
物线的方程,求出点P 的坐标,同理可求得点Q 的坐标,求出PF 、QF ,利用三角形的面积公式结合基本不等
式可求得结果.
【解析】（1）过点M 、N 分别作抛物线T 的准线l 的垂线,垂足分别为
1
M 、
1
N ,
易知
1
MM
MF
,
1
NN
NF
,
因为
2
FM
FN
,则
1
1
2
MM
NN
,则点N 为MG 的中点,
连接ON ,则ON 为
FGM
△
的中位线,所以,
2
2
FM
ON
NF
,则ON
NF
,
所以,点N 在线段OF 的垂直平分线上,则点N 的横坐标为4
p ,
3
2
4
p
p
FN
,解得
4
p
,所以,抛物线T 的标准方程为
2
8
y
x
.
（2）因为
2,0
F
,若直线AB 、CD 分别与两坐标轴垂直,则直线AB 、CD 中有一条与抛物线只有一个交点,
不合乎题意.
所以,直线AB 、CD 的斜率均存在且不为0 ,
设直线AB 的斜率为
0
k k
,则直线AB 的方程为
2
y
k x
,
联立
2
8
2
y
x
y
k x
,得
2
8
16
0
ky
y
k
,则
2
64
64
0
k
,
设
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
,则
1
2
8
y
y
k
,
设
,
P
P
P x
y
,则
1
2
4
2
P
y
y
y
k
,则
2
4
2
2
P
P
y
x
k
k
,所以
2
4
4
2,
P k
k
,
同理可得
2
4
2, 4
Q
k
k
,
故
2
2
2
4
2
2
2
4
2
2
4
16
16
4
1
QF
k
k
k
k
k
k
,
2
4
2
2
16
16
4 1 k
PF
k
k
k
,因为PF
QF
,
所以
2
2
2
2
2
8 1
1
1
4 1
1
4
1
8
2
2
FPQ
k
k
S
PF
QF
k
k
k
k
k
k
1
8 2
16
k
k
,
当且仅当
1
k
k
,即
1
k 时等号成立,故
FPQ
△
面积的最小值为16.
3.已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的长轴长为4 ，离心率为
3
2
.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点
(0,2)
P
的直线l 与椭圆C 相交于
,
A B 两点，O 为原点，求OAB
面积的最大值.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
；
(2)1
【分析】（1）根据长轴长和离心率求出
2,
3
a
c
，从而得到
2
b ，求出椭圆方程；
（2）法1 和法2，由题意得到直线AB 的斜率存在，设出直线方程，联立椭圆方程，由根的判别式得到斜
率的取值范围，并得到两根之和，两根之积，表达出
2
2
4 4
3
1
4
OAB
k
S
k
，换元后，利用基本不等式求出最
值，得到答案.
【详解】（1）由题意得
3
2
4,
2
c
a
a
，解得
2,
3
a
c
，
故
2
2
2
1
b
a
c
，
故椭圆方程为
2
2
1
4
x
y
；
（2）法1，由题意，当直线AB 的斜率不存在时，此时,
,
A O B 三点共线，不合要求，舍去，
当直线AB 的斜率存在时，
设直线AB 的方程为：
2
y
kx
，
联立
2
2
2
1
4
y
kx
x
y
消去y 得，
2
2
1
4
16
12
0
k
x
kx
，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
2
2
2
4 12(1
4
0
)
64
4
6
8
1 k
k
k
，解得
2
3
4
k
，
1
2
1
2
2
2
16
12
,
1
4
1
4
k
x
x
x x
k
k
，
2
1
2
1
2
1
2
4
x
x
x
x
x x
2
2
2
16
4 12
1 4
1 4
k
k
k
2
2
4 4
3
1 4
k
k
，
所以
2
1
2
1
AB
k
x
x
2
2
2
4 1
4
3
1 4
k
k
k
，
点O 到直线l 的距离
2
2
1
d
k
，
所以
2
2
1
4 4
3
2
1 4
OAB
k
S
AB d
k
，
设
2
4
3
0
k
t
，则
2
2
4
3
k
t
，
2
1
4
4
4
4
4
4
2
OAB
t
S
t
t
t
t
t
，
当且仅当4
t
t ，即
2
4
t
时等号成立，即
2
7
4
k
，
解得
7
2
k
时取等号，满足
2
3
4
k
，
所以OAB
的面积最大为1.
法2，由题意，当直线AB 的斜率不存在时，此时,
,
A O B 三点共线，不合要求，舍去，
当直线AB 的斜率存在时，
设直线AB 的方程为：
2
y
kx
，
联立
2
2
2
1
4
y
kx
x
y
消去y 得，
2
2
1
4
16
12
0
k
x
kx
，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
2
2
2
4 12(1
4
0
)
64
4
6
8
1 k
k
k
，解得
2
3
4
k
，
1
2
1
2
2
2
16
12
,
1
4
1
4
k
x
x
x x
k
k
，
2
1
2
1
2
1
2
4
x
x
x
x
x x
2
2
2
16
4 12
1 4
1 4
k
k
k
2
2
4 4
3
1 4
k
k
，
2
1
2
2
1
1
4 4
3
2
2
2
1 4
OAB
k
S
OP x
x
k
2
2
4 4
3
1 4
k
k
，
设
2
4
3
0
k
t
，则
2
2
4
3
k
t
，
2
1
4
4
4
4
4
4
2
OAB
t
S
t
t
t
t
t
，
当且仅当4
t
t ，即
2
4
t
时等号成立，即
2
7
4
k
，
解得
7
2
k
时取等号，满足
2
3
4
k
，
所以OAB
的面积最大为1.
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数
的最值或范围．
4.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
焦距为6，离心率为3
4 .
(1)求曲线C 的方程；
(2)过点
2
F 作直线l 交曲线C 于M 、N 两个不同的点，记OMN
的面积为S，求S的最大值.
【答案】(1)
2
2
1
16
7
x
y
(2) 2 7
【分析】（1）由已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，求出这三个量的值，即可得出椭圆C 的方程；
（2）分析可知，直线直线l 与x 轴不重合，设直线l 的方程为
3
x
my
，设点
1
1
,
M x y
、
2
2
,
N x
y
，将
该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用基本不等式可求出S的最大值.
【详解】（1）解：由题意可得
2
2
2
6
3
4
c
c
a
b
a
c
，解得
4
7
3
a
b
c
，
所以，椭圆C 的方程为
2
2
1
16
7
x
y
.
（2）解：当直线l 与x 轴重合时，O、M 、N 三点重合，不符合题意，
易知点
2 3,0
F
，设直线l 的方程为
3
x
my
，设点
1
1
,
M x y
、
2
2
,
N x
y
，
联立
2
2
3
7
16
112
x
my
x
y
可得
2
2
7
16
42
49
0
m
y
my
，
则
2
2
2
2
42
4 49 7
16
196 16
1
0
m
m
m
，
由韦达定理可得
1
2
2
42
7
16
m
y
y
m
，
1
2
2
49
7
16
y y
m
，
所以，
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1 3
4
2
2
S
OF
y
y
y
y
y y
2
2
2
2
2
2
2
3
42
4 49
84
1
84
9
2
7
16
7
16
7
1
9
7
1
1
m
m
m
m
m
m
m
2
2
84
84
2 7
9
6 7
2 7
1
1
m
m
，
当且仅当
2
2
9
7
1
1
m
m
时，即当
14
7
m
时，等号成立，
故S的最大值为2 7 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
题型十一：利用斜率求解三点共线问题
利用斜率判断或证明点
, ,
A B C 共线,通常是利用
AB
A
k
k
Ｃ.
1.已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
W
的左､右顶点分别为A,B,右焦点为F,直线1 :
4
l
x
.
（1）若椭圆W 的左顶点A 关于直线
4
0
x
my
的对称点在直线1l 上,求m 的值；
（2）过F 的直线2l 与椭圆W 相交于不同的两点C,D（不与点A,B 重合）,直线CB 与直线1l 相交于点M,求
证：A,D,M 三点共线.
【分析】(1)设点A 关于直线对称的点为
1(4
)
A
n
，
,根据题意可得
1
AA 的中点(1
)
2
n
，在直线上且
1
3
AA
l
,列出
方程组,解方程组即可；
(2)对直线斜率是否存在分类讨论,当直线CD 斜率k 不存在时,求出点A、M、C、D 坐标,
利用
DM
AD
k
k
可证得A、D、M 三点共线；当直线CD 斜率存在时,设直线
2l ：
(
1)(
0)
y
k x
k
,
1
1
2
2
C x
y
D x
y
，
，
，
,与椭圆方程联立方程组,消y 得到关于x 的一元二次方程,将
AM
AD
k
k
、
表示为含有k 的算式,得出
AM
AD
k
k
即可.
【解析】（1）由题意知,
直线3
4
0
l
x
my
：
的斜率存在,且斜率为
3
1
k
m
,
设点A 关于直线3l 对称的点为
1A ,则
1(4
)
A
n
，
,
1
3
AA
l
所以线段
1
AA 的中点(1
)
2
n
，在直线3l 上,又
1
6
AA
n
k
,
1
3
1
AA
k k
,
有
1
1
6
1
4
0
2
n
m
n
m
,解得
1
6
m
n
或
1
6
m
n
,
所以
1
m ；
（2）已知
( 2 0)
(2 0)
(1 0)
A
B
F
，，
，，
，,
当直线2l 的斜率不存在时, 2l ：x=1,此时
3
3
(1
)
(1
)
2
2
C
D
，
，
，,
有
3
0
3
2
2
1
2
CB
k
,所以直线
3 (
2)
2
CB
l
y
x
：
,当
4
x
时,
3
y ,所以
3
(4 )
M
，,
所以
3
3
3
0
1
1
2
2
4
1
2
1
2
2
DM
AD
k
k
，
,所以
DM
AD
k
k
,
即A、D、M 三点共线；
当直线2l 的斜率存在时,设直线2l ：
(
1)(
0)
y
k x
k
,
则
2
2
1
4
3
(
1)
x
y
y
k x
,得
2
2
2
2
(4
3)
8
4
12
0
k
x
k x
k
,
2
2
2
2
2
( 8
)
4(4
3)(4
12)
144
144
0
k
k
k
k
,
设
1
1
2
2
C x
y
D x
y
，
，
，
,则
2
2
1
2
1
2
2
2
8
4
12
4
3
4
3
k
k
x
x
x x
k
k
，
,
直线BC 的方程为
1
1
(
2)
2
y
y
x
x
,令
4
x
,得
1
1
2
(4
)
2
y
M
x
，
,
所以直线AD、AM 的斜率分别为
2
1
2
1
2
3(
2)
AD
AM
y
y
k
k
x
x
，
,
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
3
(
2)
(
2)
=
2
3(
2)
3(
2)(
2)
AD
AM
y
y
y
x
y x
k
k
x
x
x
x
,
上式的分子
2
1
1
2
3
(
2)
(
2)
y
x
y x
2
1
1
2
3 (
1)(
2)
(
1)(
2)
k x
x
k x
x
1
2
1
2
2
5 (
)
8
kx x
k x
x
k
2
2
2
2
4
12
8
2
5
8
0
4
3
4
3
k
k
k
k
k
k
k
,
所以
0
AD
AM
k
k
,即A、D、M 三点共线.
综上,A、D、M 三点共线.
题型十二：根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质
【基础知识】
1.设点
,
P m n 是椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上一定点,点A,B 是椭圆C 上不同于P 的两点,若
PA
PB
k
k
, 则
0
时直线AB 斜率为定值
2
2
0
bm
n
an
, 若
0
, 则直线AB 过定点
2
2
2
2
,
n
b m
m
n
a
,
2. 设点
,
P m n 是双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
一定点,点A,B 是双曲线C 上不同于P 的两点,若
PA
PB
k
k
, 则
0
时直线AB 斜率为定值
2
2
0
bm
n
an
, 若
0
, 则直线AB 过定点
2
2
2
2
,
n
b m
m
n
a
；
3. 设点
,
P m n
是抛物线C：
2
2
0
y
px p
一定点,点A,B 是抛物线C 上不同于P 的两点,若
PA
PB
k
k
, 则
0
时直线AB 斜率为定值
0
p n
n
, 若
0
, 则直线AB 过定点
2
2
,
n
p
m
n
；
4.若点P 在直线y
t
上,证明直线
,
PA PB 关于y
t
对称,或证明直线y
t
平分
APB
,可证明
0
PA
PB
k
k
.
【基础练习】
1.已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ,点
0, 1
M
是椭圆的一个顶点,
1
2
F MF
△
是等腰直
角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点M 分别作直线
,
MA MB 交椭圆于
,
A B 两点,设两直线的斜率分别为
1
2
,
k k ,且
1
2
4
k
k
,求证：直线
AB 过定点
1 ,1
2
.
【分析】（1）根据题意列方程组求得,a b ,即可得到椭圆的标准方程；
（2）设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
,分直线AB 斜率存在与不存在两种情况证明.
当直线AB 的斜率存在时,设AB ：y
kx
m
,联立椭圆方程消元后利用韦达定理及判别式求得
2
2
2
1
2
1
2
2
2
4
2
2
2
1
,
,
2
1
2
1
km
m
k
m
x
x
x
x
k
k
,由
1
2
4
k
k
求得
1
2
k
m
,代入直线方程可证得直线过定点
1 ,1
2
,再考虑直线AB 的斜率不存在时情况,易证得结果.
【解析】（1）由题意可得
2
2
2
1
b
c
b
a
b
c
,解得
2,
1,
a
b
所以椭圆的方程为
2
2
1
2
x
y
.
（2）设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
.
①当直线AB 斜率存在时,设直线AB 方程为y
kx
m
,
联立
2
2
1
2
y
kx
m
x
y
得
2
2
2
2
1
4
2
2
0
k
x
kmx
m
.
由
2
2
2
2
2
2
Δ
16
4 2
1 2
2
8 2
1
0
k m
k
m
k
m
,得
2
2
2
1
k
m
.
所以
2
1
2
1
2
2
2
4
2
2
,
2
1
2
1
km
m
x
x
x
x
k
k
．
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
y
y
kx
m
kx
m
k
k
x
x
x
x
1
2
1
2
2
1
4
x
x
k
m
x x
,
即
2
2
4
1
km
k
m
,所以
2
1
km
k
m
,即
2
1
2
2
km
k
m
km
k
m
,
所以
1
2
k
m
,所以
1
1
1
2
2
k
y
kx
m
kx
k x
,所以直线AB 过定点
1 ,1
2
.
②当直线AB 斜率不存在时,
1
1
1
1
,
,
,
A x y
B x
y
,则
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
4
y
y
k
k
x
x
x
,所以
1
1
2
x
,则直线AB
也过定点
1 ,1
2
.
综合①②,可得直线AB 过定点
1 ,1
2
.
2.已知抛物线
2
:
2
(
0)
E y
px p
的焦点为F ,其中P 为E 的准线上一点,O是坐标原点,且
9
4
OF OP
.
（1）求抛物线E 的方程；
（2）过
1,0
Q
的动直线与E 交于
,
C D 两点,问：在x 轴上是否存在定点
,0
0
M t
t
,使得x 轴平分
?
CMD
若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.
【分析】
（1）抛物线
2
:
2
(
0)
E y
px p
的焦点为
(
,0)
2
p
F
,设
(
2
p
P
,
)
P
y
,可得
,
OF OP
,再由
9
4
OF OP
求解p ,
则抛物线E 的方程可求；
（2）假设在x 轴上存在定点
(
M t , 0)(
0)
t
,使得x 轴平分
CMD
,设动直线的方程为
1
x
my
,联立直线方程
与抛物线方程,利用根与系数的关系及斜率公式求得求得
1
2
1
2
2
1
0
my y
t
y
y
,把根与系数的关系代
入,即可求得t 值得结论．
【解析】（1）抛物线
2
:
2
(
0)
E y
px p
的焦点为
,0
2
p
F
设
,
2
P
p
P
y
,则
,0 ,
,
2
2
P
p
p
OF
OP
y
因为
9
4
OF OP
,
所以
2
9
4
4
p
,得
3
p
.
所以抛物线E 的方程为
2
6
y
x
;
（2）假设在x 轴上存在定点
,0
0
M t
t
,使得x 轴平分
CMD
.
设动直线的方程为
1
x
my
,点
1
1
2
2
,
,
,
C x y
D x
y
,
联立
2
1
6
x
my
y
x
,可得
2
6
6
0.
y
my
2
Δ
36
24
0
m
恒成立,
1
2
1
2
6 ,
6
y
y
m y y
设直线
,
MC MD 的斜率分别为
1
2
,
k k ,则
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
y
x
t
y
x
t
y
y
k
k
x
t
x
t
x
t
x
t
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
y
my
t
y
my
t
my y
t
y
y
x
t
x
t
x
t
x
t
由定点
,0
0
M t
t
,使得x 轴平分
CMD
,则
1
2
0
k
k
,
所以
1
2
1
2
2
1
0
my y
t
y
y
.把根与系数的关系代入可得
0
m
mt
,
得
1
t .
故存在
1
t 满足题意.
综上所述,在x 轴上存在定点
1,0
M
,使得x 轴平分
CMD
.
题型十三：根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质
【基础知识】
若点A,B 是椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上关于原点对称的两点,点P 是椭圆C 上与A,B 不重合的点,则
2
2
PA
PB
b
k
k
a
；若点A,B 是双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
上关于原点对称的两点,点P 是双曲线C 上
与A,B 不重合的点,则
2
2
PA
PB
b
k
k
a
.
善于利用点差法及圆锥曲线中点弦二级公式推导求解13723366289
【基础练习】
1.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
的左、右顶点和右焦点分别为A 、B 和F ,直线
:l x
my
t
与椭圆C交于不同的两点M 、N ,记直线AM 、BM , BN 的斜率分别为
1k 、
2k 、
3k .
（1）求证：
1
2
k k 为定值；
（2）若
1
3
3
k
k
,求FMN
的周长.
【分析】（1）设点
0
0
,
M x
y
,可得出
2
2
0
0
4
4
3
x
y
,利用斜率公式可计算得出
1
2
k k 为定值；
（2）分析可得
2
3
1
4
k k
,设点
1
1
,
M x y 、
2
2
,
N x
y
,将直线l 的方程与椭圆方程联立,列出韦达定理,利用斜
率公式、韦达定理结合
2
3
1
4
k k
可求得
1
t ,可得知直线l 过椭圆的右焦点,进而可求得FMN
的周长.
【解析】（1）证明：设
0
0
,
M x
y
,易知
2,0
A
、
2,0
B
,其中
2
2
0
0
1
4
3
x
y
,则
2
2
0
0
4
4
3
x
y
,
2
2
0
0
0
0
1
2
2
2
0
0
0
0
3
4
2
2
4
4
4
4
3
y
y
y
y
k k
x
x
x
y
为定值.
（2）解：
1
3
3
k
k
,即
3
2
3
2
3
1
4
3
4
k
k k
k
,
设
1
1
,
M x y 、
2
2
,
N x
y
,而
2,0
B
,
联立
2
2
2
2
2
2
2
3
4
12
3
4
6
3
12
0
3
4
12
x
my
t
my
t
y
m
y
mty
t
x
y
,
则
2 2
2
2
2
2
36
4
3
4
3
12
48 3
4
0
m t
m
t
m
t
,
且
1
2
2
2
1
2
2
6
3
4
3
12
3
4
mt
y
y
m
t
y y
m
,
1
2
2
3
1
2
1
2
2
4
y
y
k k
x
x
,
1
2
1
2
2
2
4
0
my
t
my
t
y y
.
所以,
2
2
1
2
1
2
4
2
2
0
m
y y
m t
y
y
t
2
2
2
2
2
3
12
6
4
2
2
0
3
4
3
4
t
mt
m
m t
t
m
m
,
2
t
,
2
2
2
2
3
2
6
4
2
0
3
4
3
4
t
m t
m
t
m
m
,
所以,
2
2
2
2
2
3
6
12
24
6
3
6
4
8
0
m t
m
t
m t
m t
m
t
,16
16
0
1
t
t
,
故直线MN 恒过椭圆C的左焦点
1,0
,所以, FMN
的周长为4
8
a
.
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ,椭圆的离心率为
2
2
,椭圆上的一点P 满足
2
PF
x
轴,且
2
1
PF ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点A 为椭圆的左顶点,若点
,
B C 为椭圆上异于点A 的动点,设直线
,
AB AC 的斜率分别为
AB
AC
k
k
,且
1
AB
AC
k
k
,过原点O作直线BC 的垂线,垂足为点D ,问：是否存在定点E ,使得线段DE 的长为定
值？若存在,求出定点E 的坐标及线段DE 的长；若不存在,请说明理由．
【分析】（1）由
2
1
PF ,得到
2
b
a
,再由离心率为
2
2
,得到
2
a
c
,结合
2
2
2
a
c
b
,求得,a b 的值,即可求
得椭圆的方程；
（2）设直线BC 的方程为y
mx
n
,联立方程组,得到
1
2
1
2
,
x
x
x x
,结合
1
AB
AC
k
k
,列出方程得到
(6
)(2
)
0
m
n
m
n
,求得
6
n
m
,得出直线BC 的方程
(
6)
y
m x
,再结合OD
BC
^
,得到点D 在以OF 为直径的
圆上,即可求解.
【解析】（1）由椭圆上的一点P 满足
2
PF
x
轴,且
2
1
PF ,可得
2
1
b
a ,即
2
b
a
,
又由椭圆的离心率为
2
2
,可得
2
2
c
a
,即
2
a
c
,
因为
2
2
2
a
c
b
,联立方程组,可得
2,
2
a
b
,
所以椭圆的标准方程为
2
2
1
4
2
x
y
.
（2）由椭圆
2
2
:
1
4
2
x
y
,可得
( 2,0)
A
,
设直线BC 的方程为
(
2 )
y
mx
n n
m
,则
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
B x mx
n C x mx
n
,
联立方程组
2
2
1
4
2
y
mx
n
x
y
,整理得
2
2
2
(2
1)
4
2
4
0
m
x
mnx
n
,
则
2
2
2
1
2
1
2
2
2
4
2
4
8(4
2)
0,
,
2
1
2
1
mn
n
m
n
x
x
x x
m
m
,
由
1
AB
AC
k
k
,可得
1
2
1
2
(
)(
)
1
(
2)(
2)
mx
n mx
n
x
x
,
即
2
2
1
2
1
2
(
1)
(
2)(
)
4
0
m
x x
mn
x
x
n
,
可得
2
2
2
2
(
1)(2
4)
(
2)( 4
)
(
4)(2
1)
0
m
n
mn
mn
n
m
,
整理得
2
2
12
8
0
m
mn
n
,所以(6
)(2
)
0
m
n
m
n
,所以
6
n
m
或
2
n
m
（舍去）,
所以直线BC 的方程为
6
y
mx
m
,即
(
6)
y
m x
,
当
6
x 时,
0
y
,可得直线BC 过定点
6,0
F
,
因为OD
BC
^
,所以点D 在以OF 为直径的圆上,
所以当点E 为线段OF 的中点时,线段DE 的长为定值,此时线段DE 的长为3,点
3,0
E
.
题型十四：判断或证明与斜率有关的定值与范围问题
【基础知识】
1.判断或证明与斜率有关的定值问题,通常是把与斜率有关的式子用某些量来表示,然后通过化简或赋值得
到定值.
2.求斜率有关的范围问题,通常是把与斜率有关的式子用其他量来表示,转化为求函数值域问题,或由已知条
件整理出关于斜率的不等式,通过解不等式求范围.
【基础练习】
1.已知双曲线
2
2
2
2
:
1( ,
0)
x
y
C
a b
a
b
的渐近线方程为
3
2
0
x
y
，且虚轴长为2 3 .
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线:
1
l y
kx
与双曲线C 相交于不同的两点
,
A B ，且满足
1
OA OB
，求k 的取值范围.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
；；(2)
3
1
2
k
或
3
1
2
k
.
【解析】（1）由题意知：
3
2
2
2 3
b
a
b
，解得
2
3
a
b
，
双曲线C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
.
（2）联立直线与双曲线：
2
2
1
4
3
1
x
y
y
kx
，消y 得：
2
2
3
4
8
16
0
k
x
kx
.
2
2
2
3
4
0
Δ
( 8 )
64 3
4
0
k
k
k
，可得1
1
k
且
3
2
k
，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
1
2
1
2
2
2
8
16
,
3
4
3
4
k
x
x
x x
k
k
，
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
OA OB
x x
y y
x x
kx
kx
k
x x
k x
x
2
2
2
2
16 1
8
2
0
3
4
3
4
k
k
k
k
，则
2
2
10 16
0
3
4
k
k
，整理得
2
3
4
0
k
，
∴
3
2
k
或
3
2
k
，
综上，k 的取值范围为
3
1
2
k
或
3
1
2
k
.
2.已知椭圆方程
:
E
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
b
a
短轴长为2，离心率为2 2
3
．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点
,
M N ，如果线段MN 的中点在直线
1
2
x
上，求直线l 的斜率的取
值范围．
【答案】(1)
2
2
1
9
y
x
；(2)
3
k
或
3
k
.
【解析】（1）由椭圆E 的短轴长为2，得
1
b
，
由离心率
2 2
3
e
，得
2
2
2
1
2 2
1
3
a
b
a
a
，解得
3
a
，
所以椭圆E 的标准方程为：
2
2
1
9
y
x
.
（2）由直线
1
2
x
与x 轴垂直，且直线l 与直线
1
2
x
相交，得直线l 不垂直于x 轴，
设直线l 的方程为y
kx
m
，
由
2
2
9
9
y
kx
m
x
y
，得
2
2
2
(
9)
2
9
0
k
x
kmx
m
，
则
2
2
2
2
4
4(
9)(
9)
0
k m
k
m
，即
2
2
9
0
m
k
，
设
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x y
N x
y
，则
1
2
2
2
9
km
x
x
k
，
由线段MN 中点在直线
1
2
x
上，得
1
2
1
2
2
x
x
，即
2
1
9
2
km
k
，
由
2
2
2
9
0
1
9
2
m
k
km
k
，得
2
2
2
9
(
)
(
9)
0
2
k
k
k
，即
2
2
9
1
0
4
k
k
，解得
3
k
或
3
k
，
所以直线l 的斜率的取值范围为
3
k
或
3
k
.
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1( > >0)
x
y
C
a b
a
b
的左右焦点分别为
1( 10)
F ，,
2(10)
F
，.过
2
F 与x 轴垂直的直线与椭圆C交于
点D ,点D 在x 轴上方,且
1
3 2
2
DF
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点
2
F 的直线l 与椭圆C交于A , B 两点,是否存在一定点M 使得
MA
MB
k
k
为定值,若存在,求出点M 的
坐标,若不存在,请说明理由.
【分析】（1）根据条件结合椭圆定义求出a ,再由, ,
a b c 关系求出b ,即可求解；
（2）分直线斜率存在与不存在讨论,斜率存在时,设直线方程,联立椭圆,可得根与系数的关系,计算
MA
MB
k
k
并化简可得结论,斜率不存在时验证即可.
【解析】（1）由己知得
1 |
3 2
1,|
2
c
DF
,所以
2
2
|
2
|
DF
,
所以
2
3 2
2
2 2
2
2
2
a
a
,
1.
b
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
2
x
y
.
（2）如果存在点M,由于椭圆的对称性可知点M 一定在x 轴上,
设其坐标为(
0x ,0),
因为椭圆右焦点F(1,0),直线斜率存在时设l 的方程为
(
1)
y
k x
,
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
,
则
1
2
2,
2
x
x
,将
(
1)
y
k x
代入
2
2
1
2
x
y
得：
2
2
2
2
(2
1)
4
2
2
0
k
x
k x
k
,
所以
2
2
1
2
1
2
2
2
4
2
2
,
2
1
2
1
k
k
x
x
x x
k
k
,
又
1
2
1
0
2
0
MA
MB
y
y
k
k
x
x
x
x
由
1
1
2
2
,
y
k
k
x
y
k
x
k
得：
1
2
1
2
0
0
1
0
2
0
2
(
)(
1)
2
.
(
)(
)
MA
MB
kx x
k x
x
x
x k
k
k
x
x
x
x
则
0
1
2
1
2
0
0
2
2(
2)
2
(
)(
1)
2
2
1
x
k
kx x
k x
x
x
x k
k
当
0
2
x
时,
0
MA
MB
k
k
,
当直线斜率不存在时,存在一定点
(2,0)
M
使得
MA
MB
k
k
为定值0.
综上:存在定点
(2,0)
M
使得
MA
MB
k
k
为定值0.
4.已知圆
2
2
(
1)
16
x
y
的圆心为A ,点P 是圆A 上的动点,点B 是抛物线
2
4
y
x
的焦点,点G 在线段AP 上,
且满足GP
GB
.
（1）求点G 的轨迹E 的方程；
（2）不过原点的直线l 与（1）中轨迹E 交于
,
M N 两点,若线段MN 的中点Q 在抛物线
2
4
y
x
上,求直线l 的
斜率k 的取值范围.
【分析】（1）依题意
4
2
GA
GB
AP
AB
,根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆,再由几何关系得到
相应的参数值即可得到椭圆方程；（2）设出直线方程并且和椭圆联立,根据韦达定理得到中点坐标
2
2
4
3
,
4
3 4
3
kt
t
Q
k
k
,将点Q 坐标代入抛物线方程得到
2
16
4
3
9
k
k
t
,将此式代入
2
4k
2
3
0
t
得到
2
4
2
3
9
0
4
32
k
k
,解不等式即可.
【解析】（1）
易知
1,0
A
，点B 是抛物线
2
4
y
x
的焦点,
1,0
B
,
依题意
4
2
GA
GB
AP
AB
,
所以点G 轨迹是一个椭圆,其焦点分别为
,
A B ,长轴长为4,
设该椭圆的方程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
,
则2
4,2
2,
2,
1
a
c
a
c
,
2
2
2
3
b
a
c
,
故点G 的轨迹E 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
.
（2）易知直线1 的斜率存在,
设直线1：
1
1
2
2
0
0
0 ,
,
,
,
,
,
y
kx
t t
M x y
N x
y
Q x
y
,
由
2
2
3
4
12
y
kx
t
x
y
得：
2
2
2
4
3
8
4
12
0
k
x
ktx
t
,
2
2
2
Δ
(8 )
4 3
4
4
12
0
kt
k
t
,
即
2
4k
2
3
0
t
①又
1
2
2
8
4
3
kt
x
x
k
,
2
1
2
2
4
12
4
3
t
x x
k
故
2
2
4
3
,
4
3 4
3
kt
t
Q
k
k
,将
2
2
4
3
,
4
3 4
3
kt
t
Q
k
k
,代
2
4
y
x
,
得：
2
16
4
3
,
0
9
k
k
t
k
②
,
将②代入①,得：
2
2
2
2
4
2
2
16
4
3
81,4 16
3 16
81
0
k
k
k
k
,
即
2
4
2
3
9
0
4
32
k
k
,
即
2
2
3
27
0
32
32
k
k
,即
2
3
0
32
k
,
6
6
8
8
k
且
0
k
,
即k 的取值范围为
6
:
0
8
k
或
6
0
8
k
.
5.已知抛物线
2
2
0
x
py p
焦点为F，点
4,
A
m 在抛物线上，
5
AF .
(1)求抛物线方程；
(2)过焦点F 直线l 与抛物线交于MN 两点，若MN 最小值为4，且
MAN
是钝角，求直线斜率范围.
【答案】(1)
2
4
x
y
或
2
16
x
y
；(2)
7
3
,
,
4
4
【解析】（1）由题意可得：
2
16
5
2
pm
p
m
，解得
4
2
m
p
或
1
8
m
p
，
故抛物线方程为
2
4
x
y
或
2
16
x
y
.
（2）抛物线
2
2
0
x
py p
的焦点
0,2
p
F
，
设
1
1
2
2
:
,
,
,
,
2
p
l y
kx
M x y
N x
y
，
联立方程
2
2
2
p
y
kx
x
py
，消去x 得
2
2
2
0
x
pkx
p
，
则
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
4
4
4
1
0,
2
,
p k
p
p
k
x
x
pk x x
p
，
可得
2
2
2
2
2
1
4
4
2
1
2
4
MN
k
p k
p
p
k
p
，解得
2
p
，
此时
2
p
，则
1
1
2
2
2
1
2
1
2
4 ,
4
:
1,
,
,
,4 ,
0,1 ,
4
,
,
4
x
y
A
F
x
x
k x x
l y
kx
M x y
N x
y
，
若直线:
2
l y
kx
过点
4,4
A
，则4
4
1
k
，解得
3
4
k
，
若
MAN
是钝角，则
0
AM AN
，且A
M
N
、
、
三点不共线，
∵
1
1
2
2
4,
4 ,
4,
4
AM
x
y
AN
x
y
uuur
uuur
，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
4
4
4
4
4
4
3
3
AM AN
x
x
y
y
x
x
kx
kx
uuur uuur
2
2
1
2
1
2
1
3
4
25
4 1
4
3
4
25
k
x x
k
x
x
k
k
k
2
16
16
21
0
k
k
，
解得
3
4
k
或
7
4
k
，
注意到
3
4
k
，故直线斜率范围为
7
3
,
,
4
4
.
题型十五：向量代数式的最值范围
1.已知F 是抛物线E：
2
2
0
x
py p
的焦点，
0,4
M x
是抛物线E 上一点，
0,7
N
与点F 不重合，点F
关于点M 的对称点为P，且
0
NF NP
．
(1)求抛物线E 的标准方程；
(2)若过点
0,2 的直线与抛物线E 交于A，B 两点，求
FA FB 的最大值．
【答案】(1)
2
4
x
y
；(2) 7
【解析】（1）∵
0
NF NP
，点N 与点F 不重合，∴NF
NP
，∴
7
P
N
y
y
．
∵点F 关于点M 的对称点为P，
∴2
M
P
F
y
y
y
，（中点坐标公式）．
∴2 4
7
2
p
，得
2
p
，
∴抛物线E 的标准方程为
2
4
x
y
．
（2）由（1）知
0,1
F
，
易知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为
2
y
kx
，代入
2
4
x
y
，整理得，2
4
8
0
x
kx
，
2
2
Δ
4
4
8
16
32
0
k
k
，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
1
2
1
2
4 ,
8
x
x
k x x
．
∵
1
1
2
2
,
1 ,
,
1
FA
x y
FB
x
y
，
∴
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
FA FB
x x
y
y
x x
kx
kx
k
x x
k x
x
2
2
2
8
1
4
1
4
7
k
k
k
，
当
0
k
时，
FA FB 取得最大值，为7
．
2.已知圆M：
2
2
1
8
x
y
，点
0, 1
N
，P 是圆M 一动点，若线段PN 的垂直平分线与PM 交于点Q．
(1)求点Q 的轨迹方程C；
(2)若点A 是曲线C 上的动点，求OA AN
的最大值（其中O 为坐标原点）．
【答案】(1)
2
2
1
2
y
x
；(2)
1
2
【解析】（1）圆
2
2
:
(
1)
8
M x
y
的圆心
(0,1)
M
，半径为
2 2
r
，
由题意可知|
| |
|
QN
QP
，又点P 是圆上的点，则|
| 2 2
PM
，
且|
| |
|
|
|
PM
PQ
QM
，则|
|
|
| 2 2
2
QN
QM
，
由椭圆的定义可知，点Q 的轨迹是以
,
M N 为焦点的椭圆，其中
2
a
，
1
c ，
1
b ，
则点Q 的轨迹方程
2
2
:
1
2
y
C
x
；
（2）设
,
A x y ，则
,
,
, 1
OA
x y
AN
x
y
，
进而
2
2
2
1
OA AN
x
y
y
x
y
y
①
又
2
2
1
2
y
x
，所以
2
2
1
1
2
x
y
，将其代入①得
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
OA AN
y
y
y
，
由椭圆的有界性可知
2
2
y
，所以当
1
y
时，取最大值
1
2
3.已知双曲线C 的方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
，实轴长和离心率均为2.
(1)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；
(2)过
0,2
E
且倾斜角为45的直线l 与双曲线C 交于
,
M N 两点，求OM ON
的值（O为坐标原点）.
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x
，
3
y
x
；(2)1.
【解析】（1）由离心率
2
c
e
a
，又
2
2
2
c
a
b
，则
2
2
3
b
a
，
又长轴长2
2
a
，所以
2
1
a ，所以
2
3
b
，
故双曲线的标准方程为
2
2
1
3
y
x
；其渐近线方程为
3
y
x
.
（2）直线l 的倾斜角为45，故其斜率为1，又l 过点
0,2
E
，
l
的方程为
2
y
x
；
设
1
1
2
2
,
,
,
,
M x y
N x
y
由
2
2
2
1
3
y
x
y
x
，得
2
2
4
7
0
x
x
，
1
2
1
2
7
2,
2
x
x
x x
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4
1
OM ON
x x
y y
x x
x
x
x x
x
x
题型十六：参数的最值范围
1.已知过点
4,0
A
的动直线l 与抛物线
2
2
(
0)
G
x
py p
：
相交于
,
B C 两点.当直线l 的斜率是1
2 时，
4
A
A
C
B
.
(1)求抛物线G 的方程；
(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b，求b 的取值范围.
【答案】(1)
2
4
x
y
；(2)
2,
b
（
）.
【解析】（1）设
1
1
,
B x y
，
2
2
,
C x
y
，
由题意知直线l 的方程为
2
4
x
y
由
2
4
,
2
2
x
py x
y
得
2
2
8
8
0
y
y
p
（
）
，
∴
1
2
1
2
8
4,
2
p
y y
y
y
，
又∵
4
A
A
C
B
，
2
2
1
1
4,
4
4,
x
y
x
y
＋
，∴
2
1
4
y
y
，
结合已求内容及
0
p
，解得
1
2
1,
4,
2
y
y
p
，
则抛物线G 的方程为
2
4
x
y
.
（2）由题意设
4
0
l
y
k x
k
：
，BC 的中点坐标为
0
0
,
x
y
，
由
2
4
(
4)
,
x
y y
k x
得
2
4
16
0
x
kx
k
，
0
2
2
C
A
x
x
x
k
，
2
0
0
4
2
4
y
k x
k
k
.
∴线段BC 的中垂线方程为
2
1
2
4
2
y
k
k
x
k
k
，
∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为
2
2
2
4
2
2
1
b
k
k
k
.
对于方程
2
2
2
4
2
2
1
b
k
k
k
，
由
2
16
64
0
k
k
得
0
k
或
4
k .
此时易知
2,
b
.
2.已知A ，B 分别是椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的左右顶点.椭圆长轴长为6，离心率为2
3 .O为坐标原点，
过点
0, 3
P
，且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M 、N 两个不同的点.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)当直线l 的斜率为正时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点,
S T ，记PS
PO
，PT
PO
，求
的
取值范围.
【答案】(1)
2
2
1
9
5
x
y
；(2) 4 ,2
3
【解析】（1）由题可知
2
2
2
2
6
2
3
a
c
a
a
b
c
解得
3
5
2
a
b
c
，
所以椭圆C 的标准方程为
2
2
1
9
5
x
y
.
（2）设直线:
3,
0
l y
kx
k
，
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x y
N x
y
，
由
2
2
3
1
9
5
y
kx
x
y
得
2
2
(5
9
)
54
36
0,
k
x
kx
2
2
(54 )
4 36 (5
9
)
0
k
k
解得
2
3
k
或
2
3
k
（舍），
且
1
2
1
2
2
2
54
36
,
,
9
5
9
5
k
x
x
x x
k
k
AM 的直线方程为
1
1
(
3)
3
y
y
x
x
，AN 的直线方程为
2
2
(
3)
3
y
y
x
x
，
令
0
x
解得
1
1
3
3
y
y
x
，所以
1
1
(0,
)
3
3
y
x
S
，同理
2
2
(0,
)
3
3
y
x
T
，
所以
1
2
1
2
3
3
(0,
3),
(0,
3),
(0,3)
3
3
y
y
PS
PT
PO
x
x
,
由
,
PS
PO PT
PO
，可得
1
2
1
2
3
3
3
3 ,
3
3 ,
3
3
y
y
x
x
所以
1
2
1
2
2,
3
3
y
y
x
x
即
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
2
3(
1)(
) 18
2
2
3
3
3(
)
9
kx
kx
kx x
k
x
x
x
x
x x
x
x
2
2
2
2
2
36
54
2
3(
1)(
) 18
10
1
9
5
9
5
2
2
36
54
9
2
1
3(
)
9
9
5
9
5
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
2
10
(
1)
10
1
2
2
9
(
1)
9
1
k
k
k
，
因为
2
3
k
，所以
3
5
1
k
，所以
1
0
1
5
3
k
，
所以
10
1
4
2
,2
9
1
3
k
.
的取值范围为4 ,2
3
.
3.已知
0
0
,
M
x
y
是双曲线
2
2
2
:
1
x
C
y
a
上的一点，
1
2
,
F F 分别是C 的左、右焦点，若
1
2
2 3
MF
MF
．
(1)求双曲线C 的离心率；
(2)当
1
2
0
MF MF
时，求
0y 的取值范围．
【答案】(1) 2 3
3
；(2)
0
1
1
2
2
y
【解析】（1）由
1
2
2 3
MF
MF
可得2
2 3
a
，所以
3
a
，
故
2
2
2
c
a
b
，离心率为
2
2 3
3
3
c
a
（2）
1
2
( 2,0),
2,0
F
F
，
0
0
,
M x
y
，
所以
2
2
2
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
,
2
,
2
2
4
MF MF
x
y
x
y
x
x
y
x
y
，
由于
2
2
0
0
1
3
x
y
，所以
2
2
2
2
2
0
0
1
0
0
0
2
4
3
1
4
1
0
M
x
M
y
y
y
y
F
F
，
解得
0
1
1
2
2
y
，
4.双曲线
2
2
1
5
x
y
焦点是椭圆C：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设动点
,
M N 在椭圆C 上，且
4 3
3
MN
，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.
【答案】(1)
2
2
1
6
x
y
；(2)
15
3
【解析】（1）双曲线
2
2
1
5
x
y
的焦点坐标为
6,0
，离心率为
30
5
.
因为双曲线
2
2
1
5
x
y
的焦点是椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的顶点，
且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以
6
a
，且
2
2
30
6
a
b
a
，解得
1
b .
故椭圆C 的方程为
2
2
1
6
x
y
.
（2）
因为
4 3
2
3
MN
，所以直线MN 的斜率存在.
因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y
kx
m
.
代入椭圆方程
2
2
1
6
x
y
得
2
2
2
1
6
12
6
1
0
k
x
kmx
m
.
因为
2
2
2
Δ
12
24 1 6
1
km
k
m
2
2
24 1
6
0
k
m
，
所以
2
2
1 6
m
k
.设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
根据根与系数的关系得
1
2
2
12
1 6
km
x
x
k
，
2
1
2
2
6
1
1 6
m
x x
k
.
2
1
2
1
MN
k
x
x
2
2
1
2
1
2
1
4
k
x
x
x x
2
2
2
2
2
24
1
12
1
1 6
1 6
m
km
k
k
k
.
因为
4 3
3
MN
，即
2
2
2
2
2
24
1
12
1
1
6
1
6
m
km
k
k
k
4 3
3
.
整理得
4
2
2
2
18
39
7
9 1
k
k
m
k
.令
2
1
1
k
t
，则
2
1
k
t
.
所以
2
2
18
75
50
9
t
t
m
t
1
50
75
18
9
t
t
75
2 30
5
9
3
.
等号成立的条件是
5
3
t
，此时
2
2
3
k
，
2
5
3
m
满足
2
2
1 6
m
k
，符合题意.
故m 的最大值为
15
3
5.已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
上的一点
2,
M
a 到抛物线的焦点F 的距离是3 .
(1)求抛物线C 的方程；
(2)已知过点F 的直线与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与C 的准线l 交于点D ，且线段AB 的中点为
N ，设DN
AB
，求实数的取值范围.
【答案】(1)
2
4
y
x
；(2)
1
2
【解析】（1）根据抛物线的定义有
2
3,
2
2
p
MF
p
，所以抛物线C 的方程为
2
4
y
x
.
（2）
1,0
F
，抛物线的准线为= 1
x ，依题意可知直线AB 与x 轴不重合，
设直线AB 的方程为
1
x
my
，
由
2
1
4
x
my
y
x
消去x 并化简得
2
4
4
0
y
my
，
2
16
16
0
m
，设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
则
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4 ,
4,
2
4
2
y
y
m y y
x
x
m y
y
m
，
2
1
2
1
2
1
16
y y
x x
，
所以
2
2
1,2
N
m
m
，由于DN 垂直平分AB ，
所以直线DN 的方程为
2
3
2
2
1 ,
2
3
0
y
m
m x
m
mx
y
m
m
，
令= 1
x 得
3
3
2
3
0,
2
4
m
y
m
m
y
m
m
，则
3
1,2
4
D
m
m
，
DN
AB
，
2
2
2
2
3
2
2
2
1
2
2
2
2
2
m
m
m
DN
x
x
p
AB
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
4
1
4
4
16
1
m
m
m
m
m
m
m
m
2
2
1
1
1
1
1
4
4
4
4
m
m
，所以
1
2
.
6.已知点
,
A F 分别为双曲线
2
2
2
:
(
0)
C x
y
a
a
的左顶点和右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线第
一象限部分交于点B ，
ABF
△
的面积为
2
2
1
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线
1
1
2
y
kx
k
与双曲线的左、右两支分别交于M ，N 两点，与双曲线的两条渐近线分别交
于P ，Q 两点，记
MON
△
，
APQ
△
的面积分别为
1S ，
2
S （O为坐标原点）．若
1
2
S
S
，求实数的取值
范围．
【答案】(1)
2
2
1
4
4
x
y
；(2) 1,
3
【解析】（1）由题意可知
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
a
，所以
,0
A
a
，
,0
F c
，由已知
2
2
2
c
a
b
a
，可得
,
B c a ，
则
2
1
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2
F
B
AB
S
AF
y
c
a
a
a
，解得
2
a
，
所以双曲线C 的方程为
2
2
1
4
4
x
y
.
（2）设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
联立
2
2
1
1
4
4
y
kx
x
y
，整理可得
2
2
1
2
5
0
k
x
kx
所以
2
2
2
1
2
2
1
0
Δ
4
20 1
0
5
0
1
k
k
k
x x
k
，解得1
1
k
，由
1
2
2
2
1
k
x
x
k
，
1
2
2
5
1
x x
k
可得，
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
5
2 1
5
4
1
1
4
1
1
1
k
k
k
MN
k
x
x
k
k
k
k
，
原点到直线
1
y
kx
的距离
1
2
1
1
d
k
，
所以
2
2
2
1
2
2
2
1
1 2 1
5
4
1
5
4
2
2
1
1
1
MON
k
k
k
S
MN d
k
k
k
设
3
3
,
P x
y
，
4
4
,
Q x
y
，易知渐近线方程为y
x
，
不妨设
3
3
,
P x
y
在渐近线y
x
上，
由
1
y
kx
y
x
得
3
1
1
x
k
，同理，
4
1
1
x
k
所以
2
2
2
3
4
2
1
1
2 1
1
1
1
1
1
k
PQ
k
x
x
k
k
k
k
，
2,0
A
到直线
1
y
kx
的距离
2
2
2
1
1
k
d
k
，
所以
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
2 1
2
2
1
1
1
APQ
k
k
k
S
PQ d
k
k
k
所以
2
2
2
5
4
5
4
2
1
(2
1)
MON
APQ
S
k
k
S
k
k
，
2
1
1,0
0,3
t
k
，则
2
2
2
2
4
1
1
4
2
1
t
t
t
t
t
令
1
1
, 1
,
3
u
t
，则
2
1
4
2
1
3
u
u
故的取值范围是1 ,
3
