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专题28 圆锥曲线中的范围和最值问题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．给定抛物线 ，F是其焦点，直线 ，它与E相交于A，B两点，如果 且
，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线 ， 分别为双曲线的左右焦点， 为双曲线 上一点，且位于第一
象限，若三角形 为锐角三角形，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆 的焦距为 ，离心率为 ，过 上一点 分别作与 和
平行的直线，交直线 于 两点，则线段 长度的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．已知 分别是椭圆 的左、右焦点，椭圆C过 和 两点，点P在
线段 上，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．5．已知 、 是双曲线 上关于原点对称的两点， 是 上异于 、 的动点，
设直线 、 的斜率分别为 、 ．若直线 与曲线 没有公共点，当双曲线 的离心率取得最
大值时，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．过椭圆 上的焦点 作两条相互垂直的直线 ， 交椭圆于 两点， 交椭圆于
两点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ､ 分别为椭圆 ： 的左､右顶点， 为椭圆 上一动点， ， 与直线 交于
， 两点， 与 的外接圆的周长分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，过 的直线 与过 的直线 交于点 ，
线段 的中点为 ，线段 的垂直平分线 与 的交点 （第一象限）在椭圆上，若 为坐标原点，
则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴相交于点 ，经过点 且斜率为 的直线 与抛物线
相交于点 ， 两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C． 的取值范围是
D． 时，以 为直径的圆经过点
10．已知抛物线C： ，过焦点F的直线交抛物线C于 ， 两点，MN的中点为P，
直线OM，ON分别与直线l： 相交于A、B两点.则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的最小值为8
C．P到直线l距离的最小值为6 D． 与 的面积之比不为定值
11．已知F是抛物线 的焦点，过点F作两条互相垂直的直线 ， ， 与C相交于A，B两点，
与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为D，E中点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A．点M到直线l的距离为定值 B．以 为直径的圆与y轴相切C． 的最小值为32 D．当 取得最小值时， 轴
12．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，过点 垂直于x轴的直线交椭圆C于
A，B两点， ，若点P是椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为
B． 的面积的最大值为
C． 的取值范围为
D．C上有且只有4个点P，使得 是直角三角形
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知抛物线C： 的焦点F到其准线的距离为2，圆M； ，过F的直线l
与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则 的最小值为 ．
14．设 ， 同时为椭圆 与双曲线 的左、右焦点，设
椭圆 与双曲线 在第一象限内交于点M，椭圆 与双曲线 的离心率分别为 ， ，O为坐标原点，
若 ，则 的取值范围是 ．
15．椭圆 与双曲线 有公共焦点 ，设椭圆 与双曲
线 在第一象限内交于点 ，椭圆 与双曲线 的离心率分别为 为坐标原点， ，则
的取值范围是 .16．曲线 是由抛物线 与 组成的封闭图形，点
，当 对曲线 上所有 点恒成立，则实数 的取值范围是__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆 的左焦点为F，O为坐标原点．
(1)求过点F、O，并且与抛物线 的准线相切的圆的方程；
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与 轴交于点G，求点G
的横坐标的取值范围．
18．已知椭圆 与坐标轴的交点所围成的四边形的面积为 上任意一点到其中一
个焦点的距离的最小值为1.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 交 于 两点， 为坐标原点，以 ， 为邻边作平行四边形
在椭圆 上，求 的取值范围.
19．已知 ， 为椭圆C： 的左右焦点，P为椭圆C上一点．若 为直角三角形，且
．(1)求 的值；
(2)若直线l： 与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点 ，求实数
m的取值范围．
20．若椭圆 和椭圆 满足 ，则称这两个椭圆相似， 称为其
相似比．
(1)求经过点 ，且与椭圆 相似的椭圆方程．
(2)设过原点的一条射线 分别与（1）中的两个椭圆交于 、 两点（其中点 在线段 上），求
的最大值和最小值．
21．已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，过点 且与 轴垂直的直线交椭圆 于
， 两点， 的面积为 ，椭圆 的离心率为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；(2)已知 为坐标原点，直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于 ， 两个不同的点，若存在实数
，使得 ，求 的取值范围．
22．已知A，B是椭圆 的左、右顶点， 是E的左、右焦点， 是椭圆
上一点，且 的内心的纵坐标为 .
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若P是椭圆E上异于A，B的一动点，过A，B分别作 ， 相交于点Q.则当点P在椭圆
E上移动时，求 的取值范围.
