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专题10 圆锥曲线
1．（新课标全国Ⅱ卷）已知曲线C：
（
），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段
，
为垂足，则线段
的中点M 的轨迹方程为（ ）
A．
（
）
B．
（
）
C．
（
）
D．
（
）
2．（全国甲卷数学（理））已知双曲线
的上、下焦点分别为
，
点
在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．
3．（新高考天津卷）双曲线
的左、右焦点分别为
是双曲线右支上一点，
且直线
的斜率为2．
是面积为8 的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（新课标全国Ⅰ卷）（多选）造型
可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐
标原点O.且C 上的点满足横坐标大于
，到点
的距离与到定直线
的距离之积为4，则
（ ）
1
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A．
B．点
在C 上
C．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D．当点
在C 上时，
5．（新课标全国Ⅱ卷）（多选）抛物线C：
的准线为l，P 为C 上的动点，过P 作
的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l 与
相切
B．当P，A，B 三点共线时，
C．当
时，
D．满足
的点
有且仅有2 个
6．（新课标全国Ⅰ卷）设双曲线
的左右焦点分别为
，过
作平行于
轴的直
线交C 于A，B 两点，若
，则C 的离心率为 ．
7．（新高考北京卷）已知抛物线
，则焦点坐标为 ．
8．（新高考北京卷）已知双曲线
，则过
且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为
．
9．（新高考天津卷）
的圆心与抛物线
的焦点
重合，
为两曲线的交点，
则原点到直线
的距离为 ．
2
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10．（新高考上海卷）已知抛物线
上有一点
到准线的距离为9，那么点
到
轴的距离为 ．
11．（新课标全国Ⅰ卷）已知
和
为椭圆
上两点.
(1)求C 的离心率;
(2)若过P 的直线交C 于另一点B，且
的面积为9，求的方程．
12．（新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线
，点
在
上，
为常数，
．按照
如下方式依次构造点
，过
作斜率为
的直线与
的左支交于点
，令
为
关于
轴
的对称点，记
的坐标为
.
(1)若
，求
；
(2)证明：数列
是公比为
的等比数列；
(3)设
为
的面积，证明：对任意的正整数
，
.
13．（全国甲卷数学（理）（文））设椭圆
的右焦点为
，点
在
上，且
轴．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线与
交于
两点，
为线段
的中点，直线
交直线
于点
，证明：
轴．
14．（新高考北京卷）已知椭圆方程C：
，焦点和短轴端点构成边长为2 的正方形，
过
的直线l 与椭圆交于A，B，
，连接AC 交椭圆于D．
(1)求椭圆方程和离心率；
(2)若直线BD 的斜率为0，求t．
3
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15．（新高考天津卷）已知椭圆
椭圆的离心率
．左顶点为
，下顶点为
是
线段
的中点，其中
．
(1)求椭圆方程．
(2)过点
的动直线与椭圆有两个交点
．在
轴上是否存在点
使得
恒成立．若存在
求出这个
点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
16．（新高考上海卷）已知双曲线
左右顶点分别为
，过点
的直线交双
曲线
于
两点.
(1)若离心率
时，求
的值．
(2)若
为等腰三角形时，且点
在第一象限，求点
的坐标．
(3)连接
并延长，交双曲线
于点
，若
，求
的取值范围．
一、单选题
1．（2024·福建泉州·二模）若椭圆
的离心率为
，则该椭圆的焦距为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
2．（2024·河北衡水·三模）已知双曲线
：
，圆
与圆
的公共弦所在的直线是
的一条渐近线，则
的离心率为（ ）
4
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A．
B．2
C．
D．
3．（2024·北京·三模）已知双曲线
的一个焦点坐标是
，则
的值及
的离心率分别
为（ ）
A．
B．
C．1，2
D．
4．（2024·贵州贵阳·三模）过点
的直线与圆
相交于不同的两点M，N，则线
段MN 的中点
的轨迹是（ ）
A．一个半径为10 的圆的一部分
B．一个焦距为10 的椭圆的一部分
C．一条过原点的线段
D．一个半径为5 的圆的一部分
5．（2024·湖南·模拟预测）已知点
，点
，动点M 满足直线AM，BM 的斜率之积为4，则动
点M 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系
中，把到定点
距离之积等于
的点的轨迹称为双纽线.若
，点
为双纽线
上任意一点，则下列结论正确的个数是（ ）
①
关于
轴不对称
②
关于
轴对称
③直线
与
只有一个交点
④
上存在点
，使得
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
7．（2024·福建泉州·二模）双曲线
，左、右顶点分别为A，B，O 为坐标原点，如图，
已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P，Q 两点，与其两条渐近线分别交于R，S 两点，则下列命
5
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题正确的是（ ）
A．存在直线l，使得
B．当且仅当直线l 平行于x 轴时，
C．存在过
的直线l，使得
取到最大值
D．若直线l 的方程为
，则双曲线C 的离心率为
8．（2024·河南·二模）已知双曲线
的左，右焦点分别为
为坐标原点，焦距
为
，点
在双曲线
上，
，且
的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．4
9．（2024·重庆·三模）已知抛物线
的焦点为
，过点
的直线交抛物线于A，B 两点，点
在第
一象限，点
为坐标原点，且
，则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．1
D．-1
10．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）设
为抛物线
的焦点，若点
在
上，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
11．（2024·山东泰安·二模）设抛物线
的焦点为
，过抛物线上点
作准线的垂线，设垂足为
，
6
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若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
12．（2024·江西·模拟预测）已知
，
，
，动点
满足
与
的斜率之积为
，
动点
的轨迹记为
，过点
的直线交
于
，
两点，且
，
的中点为
，则（ ）
A．
的轨迹方程为
B．
的最小值为1
C．若
为坐标原点，则
面积的最大值为
D．若线段
的垂直平分线交
轴于点
，则
点的横坐标是
点的横坐标的
倍
13．（2024·江苏常州·二模）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，
其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线
的左、右焦点分别为
，从
发出的两条光线经过
的右支上的
两点反射后，分别经过点
和
，其中
共线，
则（ ）
A．若直线
的斜率
存在，则
的取值范围为
B．当点
的坐标为
时，光线由
经过点
到达点
所经过的路程为6
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C．当
时，
的面积为12
D．当
时，
14．（2024·重庆·三模）已知双曲线
的左，右焦点分别为
为双曲线
上点，且
的内切圆圆心为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线PF1的斜率为
C．
的周长为
D．
的外接圆半径为
15．（2024·湖北襄阳·二模）抛物线
的焦点为
，
为其上一动点，当
运动到
时，
，直线与抛物线相交于
两点，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：
B．抛物线的准线方程为：
C．当直线过焦点
时，以AF 为直径的圆与
轴相切
D．
16．（2024·浙江杭州·三模）如图，平面直角坐标系上的一条动直线l 和x，y 轴的非负半轴交于A，B 两点，
若
恒成立，则l 始终和曲线C：
相切，关于曲线C 的说法正确的有（ ）
8
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A．曲线C 关于直线
和
都对称
B．曲线C 上的点到
和到直线
的距离相等
C．曲线C 上任意一点到原点距离的取值范围是
D．曲线C 和坐标轴围成的曲边三角形面积小于
17．（2024·河南·三模）已知椭圆
经过点
，且离心率为
．记
在
处的
切线为，平行于OP 的直线
与
交于A，B 两点，则（ ）
A．C 的方程
B．直线OP 与的斜率之积为-1
C．直线OP，l 与坐标轴围成的三角形是等腰三角形
D．直线PA，PB 与坐标轴围成的三角形是等腰三角形
18．（2024·辽宁·模拟预测）已知抛物线
的焦点为F，过F 的直线l 与C 交于A，B 两点，点P
在C 的准线上，那么（ ）
A．若PA 与C 相切，则PB 也与C 相切
B．
C．若点P 在x 轴上，则
为定值
D．若点P 在x 轴上，且满足
，则直线l 的斜率绝对值为
19．（2024·广东汕头·二模）用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，
可以得到不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为
时，若截面与轴所成的角
为
，则截口曲线的离心率
.例如，当
时，
，由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥
中，
、
分别为
、
的中点，
、
为底面的两条直径，且
、
，
.现用平
面
（不过圆锥顶点）截该圆锥，则（ ）
9
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A．若
，则截口曲线为圆
B．若
与
所成的角为
，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分
C．若
，则截口曲线为抛物线的一部分
D．若截口曲线是离心率为
的双曲线的一部分，则
三、填空题
20．（2024·北京·三模）已知双曲线
．则
的离心率是 ；若
的一条渐近线与圆
交于
，
两点，则
．
21．（2024·河北衡水·三模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，焦距为6，点
，直线
与
交于A，B 两点，且
为AB 中点，则
的周长为 ．
22．（2024·山东聊城·三模）已知双曲线
的一个焦点为
为坐标原点，点
在
双曲线上运动，以
为直径的圆过点
，且
恒成立，则
的离心率的取值范围为
．
23．（2024·湖南衡阳·三模）如图所示，已知双曲线
的右焦点F，过点F 作直线l
交双曲线C 于
两点，过点F 作直线l 的垂线交双曲线C 于点G，
，且三点
共线
10
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（其中O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为 ．
24．（2024·北京·三模）已知抛物线
的焦点为
，则
的坐标为 ；过点
的直线交抛物
线
于
两点，若
，则
的面积为 ．
25．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆
的离心率为
，过
的左焦点且斜率为1 的
直线与
交于
两点.若
，则
的焦距为 .
26．（2024·河北保定·三模）若双曲线C：
的左、右焦点为
，
，P 是其右支上的动点.若存
在P，使得
，
，
依次成等比数列，则t 的取值范围为 .
四、解答题
27．（2024·北京·三模）已知椭圆
的离心率为
．
(1)求椭圆
的方程和短轴长；
(2)设直线
与椭圆
相切于第一象限内的点
，不过原点
且平行于的直线
与椭圆
交于不
同的两点A，B，点
关于原点
的对称点为
．记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，求
的值．
28．（2024·江西·模拟预测）已知双曲线
的离心率为2，顶点到渐近线的距离为
11
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．
(1)求
的方程；
(2)若直线
交
于
两点，
为坐标原点，且
的面积为
，求
的值．
29．（2024·山东·模拟预测）已知抛物线
：
经过点
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)设直线
与
的交点为
，
，直线
与
倾斜角互补.
（i）求
的值；
（ii）若
，求
面积的最大值.
30．（2024·山东济宁·三模）已知椭圆
的左焦点为
，上顶点为
，离心率
，
直线FB 过点
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
的直线与椭圆
相交于M，N 两点（M、N 都不在坐标轴上），若
，求直线的
方程.
31．（2024·重庆·三模）已知
为圆
上一个动点，MN 垂直
轴，垂足为N，O 为坐标原点，
的重心为
.
(1)求点
的轨迹方程;
(2)记（1）中的轨迹为曲线
，直线与曲线
相交于A、B 两点，点
，若点
恰好是
的垂心，求直线的方程.
32．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知抛物线
，焦点为
，点
为曲线
的准线与对称轴的交点，
过
的直线与抛物线
交于
两点.
(1)证明：当
时，
与抛物线相切；
(2)当
时，求
.
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33．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线
：
（
）的焦点为
，
为抛物线上一点，
，若
的最小值为2．
(1)求抛物线
的方程；
(2)直线过点
且交抛物线
于
，
两点，求
的最小值．
34．（2024·湖南长沙·二模）已知椭圆
中心在原点，左焦点为
，其四个顶点的连线围成的四边形
面积为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过椭圆
的左焦点
作斜率存在的两直线
、
分别交椭圆于
、
、
、
，且
，线段
、
的中点分别为
、
.求四边形
面积的最小值.
35．（2024·福建厦门·三模）平面直角坐标系
中，动点
在圆
上，动点
（异于原点）在
轴上，且
，记
的中点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)过点的动直线与交于A，B 两点.问：是否存在定点，使得为定值，其中分别为直线NA，NB 的斜率.若
存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.
13
