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专题13 立体几何与空间向量
1．（新课标全国Ⅰ卷）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为
，则圆锥的体
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（新课标全国Ⅱ卷）已知正三棱台
的体积为
，
，
，则
与平面ABC
所成角的正切值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
3．（全国甲卷数学（文））设
是两个平面，
是两条直线，且
.下列四个命题：
①若
，则
或
②若
，则
③若
，且
，则
④若
与
和
所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③
B．②④
C．①②③
D．①③④
4．（新高考北京卷）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为4 的正方形，
，
，该棱锥的高为（ ）.
1
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A．1
B．2
C．
D．
5．（新高考天津卷）若
为两条不同的直线，
为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
与
相交
6．（新高考天津卷）一个五面体
．已知
，且两两之间距离为1．并已知
．则该五面体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（新高考上海卷）定义一个集合
，集合中的元素是空间内的点集，任取
，存在不全为0
的实数
，使得
．已知
，则
的充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（全国甲卷数学（理））已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为
和
，母线长分别为
和
，则两个圆台的体积之比
．
9．（新高考北京卷）已知三个圆柱的体积为公比为10 的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm，第二、
三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为 ．
10．（新课标全国Ⅰ卷）如图，四棱锥
中，
底面ABCD，
，
．
2
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(1)若
，证明：
平面
；
(2)若
，且二面角
的正弦值为
，求
．
11．（新课标全国Ⅱ卷）如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
，
，
，点E，F 满足
，
，将
沿EF 对折至
，使得
．
(1)证明：
；
(2)求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值．
12．（全国甲卷数学（文））如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形
ADEF 均为等腰梯形，
，
，
，
为
的
中点.
3
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(1)证明：
平面
；
(2)求点
到
的距离.
13．（全国甲卷数学（理））如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形
ADEF 均为等腰梯形，
，
，
，
为
的
中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
14．（新高考北京卷）已知四棱锥P-ABCD，
，
，
，
，E 是
上
一点，
．
(1)若F 是PE 中点，证明：
平面
．
(2)若
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
15．（新高考天津卷）已知四棱柱
中，底面
为梯形，
，
平面
，
，其中
．
是
的中点，
是
的中点．
4
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(1)求证
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
16．（新高考上海卷）如图为正四棱锥
为底面
的中心．
(1)若
，求
绕
旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若
为
的中点，求直线
与平面
所成角的大小．
一、单选题
1．（2024·内蒙古·三模）设
，
是两个不同的平面，
，是两条不同的直线，且
则“
”
是“
且
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充分必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5
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2．（2024·河南·模拟预测）设
，
为两个不同的平面，
，
为两条相交的直线，已知
，
，
则“
，
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
3．（2024·河北石家庄·三模）设
是三个不同的平面，
是两条不同的直线，则下列命题为真命题
的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
4．（2024·辽宁·二模）设
，
是两个平面，
，
，是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，则
5．（2024·陕西榆林·三模）已知正三棱锥
的侧棱与底面边长的比值为
，若三棱锥
外接
球的表面积为
，则三棱锥
的高为（ ）
A．1
B．
C．
D．
6．（2024·河南·三模）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为
的扇形，则该圆锥的侧
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·山东泰安·三模）已知圆台
的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3 倍，轴截
6
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面周长为16，则该圆台的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·天津·二模）在如图所示的几何体中，底面
是边长为4 的正方形，
，
，
，
均与底面
垂直，且
，点E、F 分别为线段
、
的中点，记该几何
体的体积为
，平面
将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024·河北·三模）已知三棱锥
，
平面
，
，
，若三棱锥外
接球的表面积为
，则此三棱锥的体积为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．（2024·云南曲靖·二模）在三棱锥
中，
两两垂直，
，则直线
与平面
所成角的正切值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·四川南充·三模）如图，在直三棱柱
中，
，E、F、G、H
7
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分别为
的中点，则下列说法中错误的是（ ）
A．E、F、G、H 四点共面
B．
三线共点
C．设
，则平面
截该三棱柱所得截面的周长为
D．
与平面
所成角为
12．（2024·辽宁·二模）长方体
中，四边形
为正方形，直线
与直线
所成角
的正切值为2，则直线
与平面
所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2024·北京门头沟·一模）如图， 正方体
中， 点
为线段
上的动点， 则
下列结论正确的个数是（ ）
（1）三棱锥
的体积为定值；
（2）直线
与平面
所成的角的大小不变；
（3）直线
与
所成的角的大小不变，
8
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（4）
．
A．1
B．2
C．3
D．4
二、多选题
14．（2024·河南新乡·三模）已知
为空间中三条不同的直线，
为空间中三个不同的平面，
则下列说法中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
与
为异面直线
C．若
，且
，则
D．若
，则
15．（2024·安徽·三模）已知四棱锥
的底面是边长为3 的正方形，
平面
为等腰
三角形，
为棱
上靠近
的三等分点，点
在棱
上运动，则（ ）
A．
平面
B．直线
与平面
所成角的正弦值为
C．
D．点
到平面
的距离为
16．（2024·河北保定·二模）如图1，在等腰梯形
中，
，
，
，
，
，将四边形
沿
进行折叠，使
到达
位置，且平面
平面
，
连接
，
，如图2，则（ ）
A．
B．平面
平面
C．多面体
为三棱台
D．直线
与平面
所成的角为
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17．（2024·江苏·二模）设m，n 是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，下列命题中正确的有
（ ）
A．若
，
，
，则
B．
，
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
18．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在正方体
中，
分别为棱
的中点，点
是面
的中心，则下列结论正确的是（ ）
A．
四点共面
B．平面
被正方体截得的截面是等腰梯形
C．
平面
D．平面
平面
19．（2024·湖南·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD，且四边形ABCD 为正方形，
，点E，M，N 分别为AD，PD，BC 的中点，记过点M，N，E 的平面为
，四棱锥P-ABCD 的体
积为V，则（ ）
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A．AM⊥平面PCD
B．BM⊥PD
C．平面
截四棱锥P-ABCD 两部分中较大部分几何体的体积为
D．平面PBC⊥平面PCD
三、填空题
20．（2024·上海·三模）已知空间向量
，
，
共面，则实数
21．（2024·陕西·三模）如图，四边形
是圆柱的轴截面，
是底面圆周上异于
的一点，则下面
结论中正确的序号是 ．（填序号）
①
；②
；③
平面
；④平面
平面
．
22．（2024·福建福州·一模）已知三棱锥
中，
为等边三角形，
，
，
，
，则三棱锥的外接球的半径为 ．
23．（2024·四川遂宁·三模）若长方体
的底面是边长为2 的正方形，高为4，E 是
的
中点，现给出以下四个命题：
①
11
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②平面
平面
③三棱锥
的体积为
④三棱锥
的外接球的表面积为
则正确命题的序号是 ．
四、解答题
24．（2024·河南·三模）如图，在直三棱柱
中，
是棱BC 上一点（点D 与点
不重合），且
，过
作平面
的垂线．
(1)证明：
；
(2)若
，当三棱锥
的体积最大时，求AC 与平面
所成角的正弦值．
25．（2024·江苏·模拟预测）如图，在四棱台
中，
，
，
．
(1)记平面
与平面
的交线为，证明：
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值．
26．（2024·安徽·三模）如图，已知四棱锥
中，点在平面
内的投影为点
，
12
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，
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)若平面
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值.
27．（2024·湖南长沙·三模）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，底面
为直
角梯形，
，
，
，
是
的中点，点
，
分别在线段
与
上，且
，
.
(1)若平面
平面
，求
、
的值；
(2)若
平面
，求
的最小值.
28．（2024·河北衡水·三模）如图，在三棱柱
中，四边形
是矩形，
，
．
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(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
所成角的余弦值．
29．（2024·山东济南·三模）如图，在三棱台
中，平面
平面
，
，
，
．
(1)求三棱台
的高；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
．
30．（2024·山东日照·二模）在三棱锥
中，
，
平面
，点
在平面
内，且
满足平面
平面
，
．
(1)求证：
；
(2)当二面角
的余弦值为
时，求三棱锥
的体积．
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31．（2024·辽宁大连·二模）已知一圆形纸片的圆心为
，直径
，圆周上有
两点.如图：
，
，点
是
上的动点.沿
将纸片折为直二面角，并连接
，
，
，
.
(1)当
平面
时，求
的长；
(2)若
，求
与平面
所成角的正弦值.
32．（2024·四川·三模）正方体
的棱长为2，
分别是
的中点.
(1)求证：
面
；
(2)求点到平面的距离.
15
