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专题04 解三角形
一、单选题
1．（全国甲卷数学（理）（文））在
中内角
所对边分别为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理得
，再利用余弦定理有
，再利用正弦定理得到
的值，最后代入计算即可.
【详解】因为
，则由正弦定理得
.
由余弦定理可得:
，
即:
，根据正弦定理得
，
所以
，
因为
为三角形内角，则
，则
.
故选：C.
二、填空题
2．（新高考上海卷）已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，
,存在点A 满足
，则
(精确到0.1 度)
1
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【答案】
【分析】设
，在
和
中分别利用正弦定理得到
，
，两式相除即可得到答案.
【详解】设
，
在
中，由正弦定理得
，
即
’
即
①
在
中，由正弦定理得
，
即
，即
，②
因为
，
得
，
利用计算器即可得
，
故答案为：
.
三、解答题
2
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3．（新课标全国Ⅰ卷）记
内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知
，
(1)求B；
(2)若
的面积为
，求c．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出
，最后结合已知
得
的值即
可；
（2）首先求出
，然后由正弦定理可将
均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程
求解.
【详解】（1）由余弦定理有
，对比已知
，
可得
，
因为
，所以
，
从而
，
又因为
，即
，
注意到
，
所以
.
（2）由（1）可得
，
，
，从而
，
，
3
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而
，
由正弦定理有
，
从而
，
由三角形面积公式可知，
的面积可表示为
，
由已知
的面积为
，可得
，
所以
.
4．（新课标全国Ⅱ卷）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若
，
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件
进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角
三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出
，然后根据正弦定理算出
即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由
可得
，即
，
4
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由于
，故
，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由
，又
，消去
得到：
，解得
，
又
，故
方法三：利用极值点求解
设
，则
，
显然
时，
，注意到
，
，在开区间
上取到最大值，于是
必定是极值点，
即
，即
，
又
，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设
，由题意，
，
根据向量的数量积公式，
，
则
，此时
，即
同向共线，
根据向量共线条件，
，
又
，故
方法五：利用万能公式求解
设
，根据万能公式，
，
5
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整理可得，
，
解得
，根据二倍角公式，
，
又
，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又
，则
，进而
，得到
，
于是
，
，
由正弦定理可得，
，即
，
解得
，
故
的周长为
5．（新高考北京卷）在△ABC 中，
，A 为钝角，
．
(1)求
；
(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积．
①
；②
；③
．
注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
；
6
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(2)选择①无解；选择②和③△ABC 面积均为
.
【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；
（2）选择①，利用正弦定理得
，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出
，再代
入式子得
，再利用两角和的正弦公式即可求出
，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先
得到
，再利用正弦定理得到
，再利用两角和的正弦公式即可求出
，最后利用三角形
面积公式即可；
【详解】（1）由题意得
，因为
为钝角，
则
，则
，则
，解得
，
因为
为钝角，则
.
（2）选择①
，则
，因为
，则
为锐角，则
，
此时
，不合题意，舍弃；
选择②
，因为
为三角形内角，则
，
则代入
得
，解得
，
,
7
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则
.
选择③
，则有
，解得
，
则由正弦定理得
，即
，解得
，
因为
为三角形内角，则
，
则
，
则
6．（新高考天津卷）在
中，
．
(1)求
；
(2)求
；
(3)求
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）
，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；
（2）法一：求出
，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出
，则得到
；
（3）法一：根据大边对大角确定
为锐角，则得到
，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；
8
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法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.
【详解】（1）设
，
，则根据余弦定理得
，
即
，解得
（负舍）；
则
.
（2）法一：因为
为三角形内角，所以
，
再根据正弦定理得
，即
，解得
，
法二：由余弦定理得
，
因为
，则
（3）法一：因为
，且
，所以
，
由（2）法一知
，
因为
，则
，所以
，
则
，
.
法二：
，
则
，
9
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因为
为三角形内角，所以
，
所以
一、单选题
1．（2024·江西赣州·二模）记
的内角A，B，C 的对边分别为
，
，，若
，
，
则A＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件得
，又余弦定理可得
，结合
，即可求解
【详解】由
有
，即
，
又因为
，上式可化为
，
又余弦定理得
，所以
，
又因为
，所以
.
故选：A
2．（2024·山西太原·三模）已知
中，
是
的中点，且
，则
面积的最大
值（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【分析】利用中线得到
，结合不等式得出
，进而得到面积的最大值.
【详解】因为
所以
，
10
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因为
是中线，所以
，
，
所以
，当且仅当
时，等号成立；
面积为
.
故选：A
3．（2024·贵州遵义·三模）在
中，角
的对边分别为
，D 为
的中点，已知
，
，且
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用正弦定理化边为角求出角
，在向量化求出边
，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】因为
，
由正弦定理得
，
即
，
又
，所以
，
又
，所以
，
在
中，D 为
的中点，则
，
则
，
即
，解得
（
舍去），
所以
.
11
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故选：D.
4．（2024·宁夏银川·三模）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
，若
有两解，则c 的取值可能为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】由题意可得
，计算即可得.
【详解】由题意可得
，即
.
故选：A.
5．（2024·河北秦皇岛·二模）在
中，内角
的对边分别为
，若
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用正弦定理化边为角，得出
，再利用余弦定理求出角
即可得解.
【详解】因为
，由正弦定理得
，
所以
，
又
，则
，
由余弦定理得
，
又
，所以
，
12
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所以
，所以
.
故选：C.
6．（2024·北京东城·二模）在
中，
，
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】由题意可得：
，结合正弦定理运算求解.
【详解】由题意可得：
，
由正弦定理
可得
.
故选：D.
7．（2024·海南海口·二模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．-2
【答案】B
【分析】利用余弦定理将条件式化简得
，再根据正弦定理和三角变换可得
，求得答案.
【详解】由
，可得
，
由余弦定理可得
，即
，
由正弦定理得
，即
，
化简得
，即得
.
故选：B.
8．（2024·河南·三模）在
中，角
的对边分别为
，若
，
，
13
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，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由正弦定理化简已知式可得
，由余弦定理即可求出
，由正弦定理可求出
的
值.
【详解】由
及正弦定理，得
，可得
，
由余弦定理得
，又
，
所以
．又
，
，由
，
得
．
故选：D．
9．（2024·青海·二模）在
中，角
的对边分别是
，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的面积为
【答案】C
【分析】根据
及余弦定理可判断A；根据
及正弦定理可判
断B；由
的
值及同角三角函数的基本关系可求
，
，根据正弦定理求出，代入
求出
可
判断C；
根据三角形面积公式可判断D.
【详解】由余弦定理可得
，解得
，故A 错误；
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由
及正弦定理，可得
,
化简可得
.
因为
，所以
，所以
，即
.
因为
，所以
，故B 错误；
因为
，所以
且
，代入
，
可得
，解得
，
.
因为
，
，
，
所以由正弦定理可得
，
由
，可得
，
化简可得
，解得
或
（舍），故C 正确；
，故D 错误.
故选：C.
10．（2024·安徽合肥·二模）记
的内角
的对边分别为
，已知
．则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意及正切与正弦与余弦的关系，两角和的正弦公式及余弦公式可得角
的大小，再由余弦定
理及基本不等式可得
的最大值，进而求出该三角形的面积的最大值．
【详解】因为
，可得
，
15
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即
，
整理可得
，
即
，
在三角形中
，
，
即
，
,可得
；
由余弦定理可得
，当且仅当
时取等号，
而
，
所以
，
所以
．
即该三角形的面积的最大值为
．
故选：A．
11．（2024·广东韶关·二模）在
中，
．若
的最长边的长为
．则最短边
的长为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】求出
，
为钝角，故
，确定
，求出
，由正弦定理求出答案.
【详解】因为
，
又
，故
为锐角，
为钝角，故
，
因为
在
上单调递增，
，故
，所以
，
又
，
，解得
，同理可得
，
16
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由正弦定理得
，即
，解得
.
故选：A
12．（2024·湖北黄石·三模）若
的三个内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．6
【答案】B
【分析】根据正弦定理和比例的性质可得
，可得结果.
【详解】在
中，
，所以
，所以
，
由正弦定理以及比例的性质可得：
.
故选：B
二、多选题
13．（2022·广东佛山·一模）在
中，
所对的边为
，设
边上的中点为
，
的面
积为，其中
，
，下列选项正确的是（ ）
A．若
，则
B．的最大值为
C．
D．角
的最小值为
【答案】ABC
【分析】由余弦定理、三角形面积公式结合均值不等式判断ABD 三个选项，利用向量的模的计算公式判
断C 选项.
【详解】选项A，若
，由余弦定理
，得
，所以
，
17
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则三角形面积
，A 正确；
选项B，由基本不等式可得
，即
，
当且仅当
时，等号成立，
由余弦定理可得
，
则
，B 正确；
选项C，因为
边上的中点为
，所以
，
而
，即
，则
，
所以
，故C 正确；
选项D，因为
，即
，
所以由余弦定理得
，
又
，且函数
在
上单调递减，所以
，D 错误.
故选：ABC.
14．（2024·广东广州·二模）在梯形
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】在
中由正弦定理求解
判断A；利用两角和差公式求解
判断B；利用向量数量
积计算
判断C；利用数量积计算
判断D．
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【详解】在
中，
，
则
，
由正弦定理知
，
即
，故A 正确；
，
，
，故B 正确；
，故C 错误；
，
19
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故
，即
，故D 正确．
故选：ABD
15．（2024·浙江·三模）已知
的内角
的对边分别为
，且
，下列
结论正确的是（ ）
A．
B．若
，则
有两解
C．当
时，
为直角三角形
D．若
为锐角三角形，则
的取值范围是
【答案】ACD
【分析】通过正弦定理、诱导公式、二倍角公式及辅助角公式即可判断A；通过余弦定理即可判断B；通
过余弦定理及
可得
或
，即可判断C；通过求
的取值范围
，并将
即可判断D.
【详解】对于A，因为
，
所以由
及正弦定理得，
，
由诱导公式得，
，
因为
，故
，所以
，
化解得
，即
，
所以
或
，即
（舍）或
，故A 正确；
对于B，由余弦定理得
，即
，得
，
20
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由
，所以
(负值舍)，即
有一解，故B 错误；
对于C，因为
，两边平方得
，
由余弦定理得
，
由两式消
得，
，解得
或
，
由
解得
，
由
解得
;
故
为直角三角形，故C 正确；
对于D，因为
为锐角三角形，且
，
所以
，
即
，
所以
，所以
，故D 正确.
故选：ACD.
16．（2024·贵州黔南·二模）已知锐角
的三个内角
，
，
的对边分别是
，
，，且
的
面积为
.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的取值范围为
C．若
，则
的外接圆的半径为2
21
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D．若
，则
的面积的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对A：借助面积公式与余弦定理计算即可得；对B：借助锐角三角形定义与三角形内角和计算即
可得；对C：借助正弦定理计算即可得；对D：借助正弦定理，结合面积公式将面积用单一变量
表示出
来，结合
的范围即可得解.
【详解】对A：由题意可得
，由余弦定理可得
，
即有
，即
，
由
，故
，即
，故A 正确；
对B：则
，
，解得
，故B 正确；
对C：由正弦定理可得
，即
，故C 错误；
对D：若
，则
，
由正弦定理可得
，即
，
即
，
由
，则
，故
，故D 正确.
22
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故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：D 选项关键点在于借助正弦定理，结合面积公式将面积用单一变量
表示出来，结
合
的范围即可得解.
17．（2024·新疆·二模）如图，在锐角
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，且
，D 是
外一点且B、D 在直线AC 异侧，
，
，则下列说法
正确的是（ ）
A．
是等边三角形
B．若
，则A，B，C，D 四点共圆
C．四边形ABCD 面积的最小值为
D．四边形ABCD 面积的最大值为
【答案】ABD
【分析】由正弦定理的边角互化即可得到
，从而判断A，由余弦定理即可得到
，从而判断
B，由三角形的面积公式代入计算，即可判断CD.
【详解】
，
根据正弦定理得
，
即
，
，显然
，则
，根据题意，有
，
又
，可得
，
，
为等边三角形，故A 正确；
，
，在
中，
，
23
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当
时，
，
，即
，
A，B，C，D 共圆，B 正确．
又
，
四边形ABCD 面积，
，
，
，则
，
所以四边形ABCD 的面积没有最小值，C 错误．
当
，即
时，四边形ABCD 面积取最大值
，故D 正确．
故选：ABD．
18．（2024·河北·三模）已知
内角A、B、C 的对边分别是a、b、c，
，则（ ）
A．
B．
的最小值为3
C．若
为锐角三角形，则
D．若
，
，则
【答案】BCD
【分析】由
，得
，由正弦定理得和余弦定理化简得
，即可判断A；
将
代入
化简成
，由基本不等式可得它的最小值，即可判断B；由正弦定理边化
角可得
，再由
的范围可得
的范围，即可判断C；由正弦定理求出
，再由余弦定
理可得，即可判断D.
【详解】由
，得
，
24
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由正弦定理得
，由余弦定理得
，
则
，当
时，
，即
，
当
时，
，又
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，故选项A 错误；
由
，则
，当且仅当
时，故选项B 正确；
在
中，
，由正弦定理，
，
若
为锐角三角形，又
，则
，故
，
所以
，所以
，则
，
所以
，故选项C 正确；
在
中，由正弦定理
，又
，
，
，
得
，则
由余弦定理，
， 得
，
整理得
，解得
，或
，
当
时，有
，又
，所以
，
因为
，则
不成立，故选项D 正确.
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故选：BCD.
三、填空题
19．（2024·湖南长沙·三模）在
，已知
，
.则
.
【答案】
【分析】先由
可得角
，由
可得
，结合角
的
关系，解方程即可得答案.
【详解】设
，
，
，
由
得
，所以
.
又
，因此
，
.
由
，得
；
于是
，
所以
，
∴
，即
.
∵
，∴
，∴
，
∴
或
，∴
或
.
又∵
，∴
，
，
，则
.
26
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故答案为：
20．（2024·四川雅安·三模）已知四边形
中，
，设
与
的
面积分别为
，则
的最大值为 .
【答案】14
【分析】根据余弦定理可得
，继而根据面积公式可得表达式，结合二次函数的性质即可
求解最值.
【详解】
四边形
中，
，
，
则
，
．
在
中，利用余弦定理：
，
所以：
．
在
中，利用余弦定理：
，
所以：
．
所以：
．
则
当
时，
最大值，最大值为14，
故答案为：14．
21．（2024·江西·二模）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，
若
的面积等于
，则
的周长的最小值为 ．
27
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【答案】
【分析】首先由正弦定理、辅助角公式得
，由三角形面积公式得
，结合余弦定理以及基本不
等式即可求解.
【详解】由正弦定理结合
，可得
，
因为
，所以
，即
，
注意到
，所以只能
，解得
，
若
的面积等于
，
则
，解得
，
在三角形
中，运用余弦定理有
，
三角形的周长
，等号成立当且仅当
，
综上所述，当且仅当三角形
是以顶角
的等腰三角形时，
的周长取到最小值，且最小值为
.
故答案为：
.
22．（2024·河南·三模）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
，
，若
为
中点，则
．
【答案】
【分析】根据余弦定理可得
，即可利用向量的模长求解
.
【详解】由余弦定理，
，将
，
代入解得
，
28
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因为
，所以
，所以
．
故答案为：
23．（2024·四川成都·三模）
的内角
的对边分别为
，若
且
，则
的值为
【答案】
/
【分析】根据题意，利用正弦定理，求得
，再由余弦定理，即可求解.
【详解】因为
，由正弦定理得
，
又因为
，可得
，所以
，
由余弦定理得
.
故答案为：
.
24．（2024·江苏·二模）设钝角
三个内角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，若
，
，
，则
.
【答案】
【分析】利用余弦定理表示出
，再利用同角三角函数的平方关系，得到
，建立方程，
求出b 的值，然后利用钝角三角形，排除一个答案.
【详解】由余弦定理得，
，
而由
，得
，
因为
是钝角三角形，且
，故A 为锐角，所以
，
所以
，解得
或
，
29
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当
时，即
，
，由大边对大角得：最大角为C，
，故C 为锐角，不符合题意；
当
时，即
，
，由大边对大角得：最大角为B，
，故B 是钝角，符合题意，
故答案为：
四、解答题
25．（2024·北京·三模）在
中，
(1)求证
为等腰三角形;
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一，求b 的值.
条件①：
条件②：
的面积为
条件③：
边上的高为3.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据余弦定理及已知可得
，所以
，可得结果；
（2）若选择条件①，可得
，可得
，与已知矛盾；若选择条件②，根据平方
关系及面积公式可得结果；若选择条件③，根据平方关系及正弦定理可得结果.
【详解】（1）在
中,
，设
，
根据余弦定理
，得
，
30
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整理，得
，
因为
, 解得
, 所以
，
所以
为等腰三角形.
（2）若选择条件①：若
，由（1）可知
，及
，
所以
，
所以
不存在.
若选择条件②: 在
中, 由
,
由（1）
，
所以
，
解得
, 即
.
若选择条件③: 在
中, 由
边上的高为3, 得
，
由
，解得
.
26．（2024·湖南衡阳·三模）在
中，角A，B，C 的对边分别为a、b、c，且
．
(1)求A；
31
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(2)如图所示，D 为平面上一点，与
构成一个四边形ABDC，且
，若
，求AD 的最
大值．
【答案】(1)
.
(2)4
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，代入计算，即可得到结果；
（2）方法一：根据题意，分别在
与
中由正弦定理化简，即可得到
，从而得到结
果；方法二：由余弦定理可得
，再由正弦定理
代入计算，即可得到结果；
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得，
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，因为
，所以
.
（2）方法一：设
，则：
在
中，
，①，在
中，
，②
：
，所以
，所以
，所以AD 的最大值是4
解法二：在
中，由余弦定理得，
=
，
因为
，
所以四边形
存在一个外接圆
，所以圆
的直径为
因为
，即
，当AD 为圆O 直径时取等号，故
的最大值为4.
27．（2024·天津·二模）在
中，角
所对的边分别为
，且
.
(1)求角
的大小；
32
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(2)若
，
①求
的值：
②求
的值.
【答案】(1)
(2)①
；②
【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得
，由此即可得解；
（2）①结合余弦定理可得
，结合
即可求解；②由正弦定理以及平方关系依次求得
，将
转换为
，结合两角和的正弦公式即可得解.
【详解】（1）因为
，利用正弦定理可得：
，
即
.
因为
，所以
，即
，
又
，可得
.
（2）①由余弦定理及已知可得：
即
，又因为
，所以
，
联立
或
（舍），
33
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②由正弦定理可知：
，
因为
，则
，故
为锐角，
，
.
28．（2024·湖南长沙·三模）记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
是边
上的一点，且
平分
，求
的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得
，边化角，可得
，利用
三角恒等变换可求
；
（2）由已知可得
，利用
，可得
，可求解.
【详解】（1）由题意得
，所以
.
由正弦定理，得
，即
.
又
，所以
，又
，所以
.
因为
，所以
.
（2）由
，得
，解得
.
由
，
得
，
即
，
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所以
.
29．（2024·湖北武汉·二模）在
中，角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)已知
，求
的最大值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据正弦定理进行边换角，再通过三角恒等变换得
，则得到
的大小；
（2）利用正弦定理得到
，再根据
关系减少变量，最后利用三角恒等变换和三
角函数的性质即可得到最大值.
【详解】（1）∵
，
由正弦定理得
，
，即
，
所以
，
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
；
（2）由正弦定理，得
，
∴
，
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又∵
，
为锐角，∴
的最大值为
，
∴
的最大值为
.
30．（2024·福建漳州·三模）记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)若
成等差数列，求
的面积；
(2)若
，求
.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据等差数列的性质得到
，再利用余弦定理求得
的值，进而利用三角形的面积
公式求解；
（2）根据已知条件代入，并用三角恒等变换化简求得A，再利用正弦定理求解.
【详解】（1）因为
成等差数列，所以
，
又
，所以
①，
在
中，由余弦定理可得：
，
又
，所以
②，
由①②得
，
所以
的面积
.
（2）因为
，所以
，
又因为
且
，所以
，
所以
，
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所以
，所以
，
所以
，
又因为
，所以
，所以
，所以
，
所以
.
31．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知
的内角
的对边分别为
的面积为
．
(1)求
；
(2)若
，且
的周长为5，设
为边BC 中点，求AD.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；
（2）根据三角形的周长，结合余弦定理求出
，再向量化即可得解.
【详解】（1）依题意，
，
所以
，
由正弦定理可得，
，
由余弦定理，
，解得
，
因为
，所以
；
（2）依题意，
，
因为
，解得
，
因为
，
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所以
，
所以
．
32．（2024·河北保定·二模）在
中，角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
为
边的中点，求
的长.
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式求解；
（2）根据余弦定理求出边，再根据向量运算求
.
【详解】（1）因为
，
根据正弦定理，得
，
化简得
，因为
，所以
，
因为
，所以
.
（2）在
中，由余弦定理得
，
所以
，解得
．
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因为
为
的中线，所以
，
所以
，
因为
，所以
，解得
.
33．（2024·江苏南通·三模）在
中，角
的对边分别为
．
(1)求
；
(2)若
的面积为
边上的高为1，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得
，则得到
的大小；
（2）利用三角形面积公式得
，再结合余弦定理得
的值，则得到其周长.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理，得
，
即
，即
.
因为在
中，
，
所以
.
又因为
，所以
.
（2）因为
的面积为
，
所以
，得
.
39
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由
，即
，
所以
.由余弦定理，得
，即
，
化简得
，所以
，即
，
所以
的周长为
.
34．（2024·江西鹰潭·二模）
的内角
的对边分别为
，
，，满足
.
(1)求证：
；
(2)求
的最小值.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据题意，化简得到
，即可得证；
（2）由（1）知
且
，利用正弦定理得到
，结合基本不等
式，即可求解.
【详解】（1）证明：由
，可得
且
，
所以
，
因为
为三角形的内角，可得
，即
，得证.
（2）解：由（1）知
，且
，
所以
40
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所以
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
41
