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专题01 集合、逻辑用语与复数
1．（新课标全国Ⅰ卷）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化简集合
，由交集的概念即可得解.
【详解】因为
，且注意到
，
从而
.
故选：A.
2．（新课标全国Ⅰ卷）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为
，所以
.
故选：C.
3．（新课标全国Ⅱ卷）已知
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
【答案】C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若
，则
.
故选：C.
1
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4．（新课标全国Ⅱ卷）已知命题p：
，
；命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取
、
，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于
而言，取
，则有
，故
是假命题，
是真命题，
对于
而言，取
，则有
，故
是真命题，
是假命题，
综上，
和
都是真命题.
故选：B.
5．（全国甲卷数学（文））集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据集合
的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.
【详解】依题意得，对于集合
中的元素
，满足
，
则
可能的取值为
，即
，
于是
.
故选：A
6．（全国甲卷数学（文））设
，则
（ ）
A．
B．1
C．-1
D．2
【答案】D
【分析】先根据共轭复数的定义写出
，然后根据复数的乘法计算.
【详解】依题意得，
，故
.
故选：D
7．（全国甲卷数学（理））设
，则
（ ）
2
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A．
B．
C．10
D．
【答案】A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由
，则
.
故选：A
8．（全国甲卷数学（理））集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由集合
的定义求出
，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为
，所以
，
则
，
故选：D
9．（新高考北京卷）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得
，
故选：A.
10．（新高考北京卷）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.
【详解】由题意得
，
3
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故选：C.
11．（新高考天津卷）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.
【详解】因为集合
，
，
所以
，
故选：B
12．（新高考天津卷）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，
和
都当且仅当
，所以二者互为充要条件.
故选：C.
13．（新高考天津卷）已知是虚数单位，复数
．
【答案】
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【详解】
.
故答案为：
.
14．（新高考上海卷）设全集
，集合
，则
．
【答案】
4
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【分析】根据补集的定义可求
.
【详解】由题设有
，
故答案为：
15．（新高考上海卷）已知虚数，其实部为1，且
，则实数
为 ．
【答案】2
【分析】设
，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.
【详解】设
，
且
.
则
，
，
，解得
，
故答案为：2.
一、单选题
1．（2024·河北衡水·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求得
，可求
.
【详解】
，
又
，故
，
5
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故选：B．
2．（2024·北京·三模）已知集合
，若
，则
可能是（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】解对数不等式化简集合A，进而求出
的取值集合即得.
【详解】由
，得
，则
，
或
，
由
，得
，显然选项ABC 不满足，D 满足.
故选：D
3．（2024·河北承德·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对数型函数的定义域和二次函数值域即可得到
，再根据交集含义计算即可.
【详解】集合
中
，所以
或
，集合
中
，
所以
，
故选：A.
4．（2024·重庆·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】解一元二次不等式求解集合A，根据指数函数单调性求解值域得集合B，然后利用交集运算求解
即可.
【详解】
，
6
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则
，
所以
.
故选：D
5．（2024·湖南长沙·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由对数函数单调性解不等式，化简
，根据交集运算求解即可.
【详解】因为
，
所以
.
故选：D.
6．（2024·福建福州·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
【答案】B
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合
，再按照集合的并集运算即可.
【详解】
，则
，且
，解得
，
则集合
，
则
故选：B.
7．（2024·重庆·三模）已知集合
，集合
，若
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
7
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【答案】B
【分析】利用子集的概念求解.
【详解】集合
，集合
，
若
，又
，所以
，解得
故选：B
8．（2024·辽宁·三模）若全集
，
，
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出集合
中函数的值域，得到集合
，判断两个集合的包含关系.
【详解】全集
，
，则
，
，所以
.
故选：D
9．（2024·河南·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解不等式后根据交集运算求解.
【详解】由
所以
故选：B.
10．（2024·山东聊城·三模）“
，且
”是“
，且
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.
8
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【详解】若
，且
，根据不等式的加法和乘法法则可得
，且
，即必要性成立；
当
，满足
，且
，但是
，故充分性不成立，
所以“
，且
”是“
，且
”的必要不充分条件.
故选：B
11．（2024·江苏南通·三模）已知为复数，则“
”是“
”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
【答案】A
【分析】正向可得
，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得
或
，则必要性不成立.
【详解】若
，则
，则
，故充分性成立；
若
，设
，则
，
，
则
，
或
与
不一定相等，则必要性不成立，
则“
”是“
”的充分非必要条件，
故选：A
12．（2024·辽宁大连·二模）设
，则“
”是“复数
为纯虚数”的（ ）
A．充分必要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由复数为纯虚数求得
的值，再根据充分必要条件关系判断.
【详解】因为复数为纯虚数，所以
，解得
，
所以
是复数为纯虚数的充要条件.
故选：A.
13．（2024·山东德州·三模）已知复数满足：
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知可得
，计算即可.
9
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【详解】由
，可得
，
所以
，
故选：B.
14．（2024·重庆·三模）已知
（为虚数单位），则复数
的共轭复数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先利用复数相等求出
，再由共轭复数概念即可求解.
【详解】因为
，
所以
，故
，
所以复数
的共轭复数为
，
故选：A.
15．（2024·河南郑州·三模）复数
（
且
），若
为纯虚数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出
，根据
为纯虚数即可求解.
【详解】
，
因为
为纯虚数，所以
，
所以
.
故选：A.
16．（2024·四川遂宁·三模）若复数
（其中
，i 为虚数单位）为纯虚数，则复数
在复平面
内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
10
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【分析】利用复数的除法求出，结合已知求出
值即可得解.
【详解】依题意，
，
由为纯虚数，得
，解得
，复数
，
所以复数
在复平面内对应的点
位于第二象限．
故选：B
17．（2024·云南·二模）已知为虚数单位，复数z 满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】A
【分析】由模长公式结合题设条件得条件等式
，结合模长公式将所求转换为求二次函数最值即可.
【详解】设
，而
，所以
，即
，
所以
，等号成立当且仅当
，
综上所述，
的最小值为
.
故选：A.
二、多选题
18．（2024·河北衡水·三模）复数
，其中
，设在复平面内的对应点为
，
则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．当
时，
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C．对任意
，点
均在第一象限
D．存在
，使得点
在第二象限
【答案】AC
【分析】当
时，代入计算可判断A、B；由
判断的实部和虚部范围可判断C、D.
【详解】当
时，
，故
，故
选项正确；
，B 选项错误；
当
时，
，
，
故对任意
，点
均在第一象限，故C 选项正确；
不存在
，使得点
在第二象限，D 选项错误．
故选：AC．
19．（2024·山东济宁·三模）已知复数
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．“
”是“
”的必要不充分条件
D．“
”是“
”的充分不必要条件
【答案】AC
【分析】根据复数加法、乘法、乘方运算，结合复数的几何意义计算，依次判断选项即可.
【详解】A：设
，则
，
所以
，
，则
，故A 正确；
B：设
，则
，
所以
，
，则
，故B 错误；
12
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C：由选项A 知，
，
，
又
，所以
，不一定有
，即推不出
；
由
，得
，则
，则
，即
，
所以“
”是“
”的必要不充分条件，故C 正确；
D：设
，则
，
若
，则
，即
，推不出
；
若
，则
，
又
，
同理可得
，所以
，
；
所以“
”是“
”的必要不充分条件，故D 错误.
故选：AC
20．（2024·河南·二模）已知复数
，
是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的实部为
B．复数
在复平面中对应的点在第四象限
C．
D．
【答案】ABD
【分析】先化简得到
，然后用实部和共轭实数的定义判断A 和B 选项；由于虚数不能比较大小，
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故C 错误；直接计算即知D 正确.
【详解】我们有
，故的实部为
，A 正确；
由
知
，所以
在复平面中对应的点是
，在第四象限，B 正确；
都不是实数，它们不能比较大小，C 错误；
，D 正确.
故选：ABD.
21．（2024·贵州黔南·二模）已知非空集合
，
，
均为
的真子集，且
.则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】根据真子集关系，结合集合间的运算逐项分析求解.
【详解】因为
，
对于选项A：可知
，故A 错误；
对于选项B：因为
，所以
为
的真子集，故B 错误；
对于选项C：可知
为
的真子集，故C 正确；
对于选项D：因为
为
的真子集，且
，
所以
，故D 正确；
故选：CD.
三、填空题
22．（2024·湖南衡阳·三模）已知集合
，集合
，若
，则
．
【答案】0 或1
【分析】先求出集合
，再由
可求出
的值.
14
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【详解】由
，得
，解得
，
因为
，所以
，
所以
，
因为
，且
，
所以
或
，
故答案为：0 或1
23．（2024·上海·三模）已知集合
，
，则
【答案】
【分析】把集合中的元素代入不等式
检验可求得
.
【详解】当
时，
，所以
，
当
时，
，所以
，
当
时，
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
24．（2024·天津·三模）己知全集
，集合
，集合
，则
，
．
【答案】
【分析】根据题意，分别求得
和
，结合集合运算法则，即可
求解.
【详解】由全集
，
集合
，集合
，
15
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可得
，则
，
.
故答案为：
；
.
25．（2024·安徽马鞍山·三模）已知复数满足
，若在复平面内对应的点不在第一象限，
则
．
【答案】
【分析】设
，结合复数的运算以及共轭复数求
，并结合复数的几何意义取舍.
【详解】设
，则
，
因为
，则
，
解得
或
，
又因为在复平面内对应的点不在第一象限，可知
，可知
，
所以
.
故答案为：
.
26．（2024·广东汕头·二模）写出一个满足
，且
的复数，
.
【答案】
（答案不唯一）
【分析】根据题意，设
，结合复数的运算可得
或
，即可得到结果.
【详解】设
，
，因为
，
所以
，
，
由
，解得
或
，
则
（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
16
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