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专题14 新定义型问题
1．（新高考北京卷）生物丰富度指数
是河流水质的一个评价指标，其中
分别表示河流中的
生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有
变化，生物个体总数由
变为
，生物丰富度指数由
提高到
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（新高考上海卷）定义一个集合
，集合中的元素是空间内的点集，任取
，存在不全为0
的实数
，使得
．已知
，则
的充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（新高考上海卷）已知函数
的定义域为R，定义集合
，
在使得
的所有
中，下列成立的是（ ）
A．存在
是偶函数
B．存在
在
处取最大值
C．存在
是严格增函数
D．存在
在
处取到极小值
4．（新高考上海卷）无穷等比数列
满足首项
，记
，若对
1
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任意正整数
集合
是闭区间，则
的取值范围是 ．
5．（新课标全国Ⅰ卷）设m 为正整数，数列
是公差不为0 的等差数列，若从中删去两项
和
后剩余的
项可被平均分为
组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数列
是
可分数列．
(1)写出所有的
，
，使数列
是
可分数列；
(2)当
时，证明：数列
是
可分数列；
(3)从
中一次任取两个数和
，记数列
是
可分数列的概率为
，证
明：
．
6．（新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线
，点
在
上，
为常数，
．按照
如下方式依次构造点
，过
作斜率为
的直线与
的左支交于点
，令
为
关于
轴
的对称点，记
的坐标为
.
(1)若
，求
；
(2)证明：数列
是公比为
的等比数列；
(3)设
为
的面积，证明：对任意的正整数
，
.
7．（新高考北京卷）设集合
．对于给定
有穷数列
，及序列
，
，定义变换
：将数列
的第
项加1，得到数列
；将数列
的第
列加，得到数列
…；重复上述操作，
2
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得到数列
，记为
．
(1)给定数列
和序列
，写出
；
(2)是否存在序列
，使得
为
，若存在，写出一个符
合条件的
；若不存在，请说明理由；
(3)若数列
的各项均为正整数，且
为偶数，证明：“存在序列
，使得
为常数列”的
充要条件为“
”．
8．（新高考上海卷）对于一个函数
和一个点
，令
，若
是
取到最小值的点，则称
是
在
的“最近点”．
(1)对于
，求证：对于点
，存在点
，使得点
是
在
的“最近点”；
(2)对于
，请判断是否存在一个点
，它是
在
的“最近点”，且直线
与
在点
处的切线垂直；
(3)已知
在定义域R 上存在导函数
，且函数
在定义域R 上恒正，设点
，
．若对任意的
，存在点
同时是
在
的“最近
点”，试判断
的单调性．
一、单选题
1．（2024·湖南怀化·二模）给定整数
，有
个实数元素的集合，定义其相伴数集
3
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，如果
，则称集合为一个
元规范数集．（注：
表示数集
中的最小数）．对于集合
，则（ ）
A．
是规范数集，
不是规范数集
B．
是规范数集，
是规范数集
C．
不是规范数集，
是规范数集
D．
不是规范数集，
不是规范数集
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）一般地，任意给定一个角
，它的终边
与单位圆的交点
的坐标，
无论是横坐标
还是纵坐标
，都是唯一确定的，所以点
的横坐标
、纵坐标
都是关于角
的函数.下
面给出这些函数的定义：
①把点
的纵坐标
叫作
的正弦函数，记作
，即
；
②把点
的横坐标
叫作
的余弦函数，记作
，即
；
③把点
的纵坐标
的倒数叫作
的余割函数，记作
，即
；
④把点
的横坐标
的倒数叫作
的正割函数，记作
，即
.
下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．函数
的定义域为
D．
3．（2024·河北邯郸·二模）对任意两个非零的平面向量
和
，定义：
，
．若
4
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平面向量
满足
，且
和
都在集合
中，则
（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．1 或
4．（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量
、
满足：
，
，
.定义该平面上的向量集合
.给出如下两个结论：
①对任意
，存在该平面的向量
，满足
②对任意
，存在该平面向量
，满足
则下面判断正确的为（ ）
A．①正确，②错误
B．①错误，②正确
C．①正确，②正确
D．①错误，
②错误
5．（2024·甘肃兰州·一模）球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度
（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为
，若甲地位于北纬
东经
，乙地
位于北纬
西经
，则甲、乙两地的球面距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
6．（2024·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系xOy 中，角θ 以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始
边，其终边经过点
，
，定义
，
，则（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．
是周期函数
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数
和实数
，
，则下列说法正确的是（ ）
5
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A．定义在
上的函数
恒有
，则当
时，函数的图象有对称轴
B．定义在
上的函数
恒有
，则当
时，函数具有周期性
C．若
，
，
，则
，
恒成立
D．若
，
，
，且
的4 个不同的零点分别为
，且
，则
8．（2024·浙江绍兴·模拟预测）对于任意的两点
，
，定义
间的折线距离
，反折线距离
，
表示坐标原点. 下列说法正确的是（ ）
A．
.
B．若
，则
.
C．若
斜率为
，
.
D．若存在四个点
使得
，且
，则的取值范围
.
三、填空题
9．（2024·湖南长沙·三模）已知函数
，任取
，定义集合
，点
满足
. 设
分别表示集合
中元素的最大值和最小值，记
，试解答 以下问题:
（1）若函数
，则
;
6
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（2）若函数
，则
的最小正周期为 .
10．（2024·四川成都·模拟预测）定义在封闭的平面区域D 内任意两点的距离的最大值称为平面区域D 的
“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C 在半径为1 的圆上，角的对边分别为a，b，c，
．分别以
各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和
构成平面区域D，则平面区域D 的
“直径”的取值范围是 ．
11．（2024·广东佛山·二模）近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建
设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O 绕圆心做逆时针匀速圆周
运动，角速度大小为
，圆上两点A，B 始终满足
，随着圆O 的旋转，A，B 两点的位置
关系呈现周期性变化.现定义：A，B 两点的竖直距离为A，B 两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运
动开始时刻，即
秒时，点A 位于圆心正下方：则
秒时，A，B 两点的竖直距离第一次为0；
A，B 两点的竖直距离关于时间t 的函数解析式为
.
12．（2024·山东枣庄·模拟预测）设
为平面上两点，定义
、已
知点P 为抛物线
上一动点，点
的最小值为2，则
；若斜率为
的直线l 过点Q，点M 是直线l 上一动点，则
的最小值为 ．
7
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13．（2024·福建厦门·模拟预测）在n 维空间中（
，
），以单位长度为边长的“立方体”的顶点
坐标可表示为n 维坐标
，其中
.则5 维“立方体”的顶点个数是 ；
定义：在n 维空间中两点
与
的曼哈顿距离为
.在5 维
“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X 为所取两点间的曼哈顿距离，则
.
四、解答题
14．（2024·福建泉州·二模）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，如果约定满二进一，
就是二进制：满十进一，就是十进制：满十六进一，就是十六进制．k 进制的基数就是k．我们日常生活中
最熟悉、最常用的就是十进制．例如，数3721 也可以表示为：
一般地，
如果k 是大于1 的整数，那么以k 为基数的k 进制数可以表示为
．其
中
．为了简便，也会把它写成一串数字连写在一起的形式：
，如果不加下标就默认是十进制．
(1)令集合
，将B 中的元素按从大到小的顺序排列，
则第100 个数为多少？
(2)若
，记
为整数n 的二进制表达式中0 的个数，如
，求
的值．
（用数字作答）
(3)十进制中的数999 在其他进制中是否也可以表示成一个各位数字之和为27 的三位数？如果能，请求出
所有的k 进制数；如果不能，请说明理由．
15．（2024·湖南长沙·二模）集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合
和
，定义和集
，用符号
表示和集
内的元素个数.
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(1)已知集合
，
，
，若
，求
的值；
(2)记集合
，
，
，
为
中所有元素之和，
，求
证：
；
(3)若
与
都是由
个整数构成的集合，且
，证明：若按一定顺序排列，
集合
与
中的元素是两个公差相等的等差数列.
16．（2024·辽宁葫芦岛·二模）设数阵
，其中
.设
，其中
，
且
.定义变换
为“对于数阵的每一列，
若其中有t 或
，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有
，则这一列中每个数都乘以
”（
），
表示“将
经过
变换得到
，再将
经过
变换得到
，…，
以此类推，最后将
经过
变换得到
.记数阵
中四个数的和为
.
(1)若
，
，写出
经过
变换后得到的数阵
，并求
的值；
(2)若
，
，求
的所有可能取值的和；
(3)对任意确定的一个数阵
，证明：
的所有可能取值的和不大于
.
17．（2024·浙江·三模）莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用
作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1 的正整数
都可以被唯一表示为有限
个质数的乘积形式：
（
为
的质因数个数，
为质数，
，
），例如：
9
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，对应
，
，
，
，
，
，
.现对任意
，定义莫比乌
斯函数
.
(1)求
，
；
(2)已知
，记
（
为
的质因数个数，
为质数，
，
）的所有因数从小
到大依次为
，
，…，
.
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）求
的值（用
（
）表示）.
18．（2024·山东济南·三模）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设
，
，记
，
，并规定
．记
，并规定
．定义
(1)若
，求
和
；
(2)求
；
(3)证明：
．
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19．（2024·湖北黄冈·二模）第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会
展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品
外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线
上的曲线
段
，其弧长为
，当动点从
沿曲线段
运动到
点时，
点的切线
也随着转动到
点的切线
，
记这两条切线之间的夹角为
（它等于
的倾斜角与
的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，
曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义
为曲线段
的平均曲率；显然当
越接近
，即
越小，
就越能精确刻画曲线
在点
处的弯曲程度，因此定义
（若极限存在）为曲线
在点
处的曲率.（其中
，
分别表示
在点
处的一阶､二阶导数）
(1)已知抛物线
的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点
处的曲率是多少？
(2)若函数
，不等式
对于
恒成立，求
的取值范围；
(3)若动点
的切线沿曲线
运动至点
处的切线，点
的切线与
轴的交点为
.若
，
，
是数列
的前
项和，证明
.
20．（2024·重庆·模拟预测）对于数列
，定义
，满足
11
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，记
，称
为由数列
生成的“
函
数”．
(1)试写出“
函数”
，并求
的值；
(2)若“
函数”
，求n 的最大值；
(3)记函数
，其导函数为
，证明：“
函数”
．
21．（2024·福建厦门·三模）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，
在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，…，
.其中
，
，…，
.已知
在
处的
阶帕德近似为
.
(1)求实数a，b 的值；
(2)设
，证明：
；
(3)已知
是方程
的三个不等实根，求实数
的取值范围，并证明：
.
22．（2024·河北·二模）已知
为实数，用
表示不超过
的最大整数，例如
，对
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于函数
，若存在
，使得
，则称函数
是“
函数”.
(1)判断函数
是否是“
函数”；
(2)设函数
是定义在
上的周期函数，其最小正周期是
，若
不是“
函数”，求
的最小值；
(3)若函数
是“
函数”，求
的取值范围.
23．（2024·河北秦皇岛·二模）定义：如果函数
和
的图象上分别存在点M 和N 关于x 轴
对称，则称函数
和
具有
关系.
(1)判断函数
和
是否具有C 关系；
(2)若函数
和
不具有C 关系，求a 的取值范围；
(3)若函数
和
在区间
上具有C 关系，求m 的取值范围.
24．（2024·山东泰安·模拟预测）定义：设
和
均为定义在
上的函数，它们的导函数分
别为
和
，若不等式
对任意实数
恒成立，则称
和
为“相伴函数”.
(1)给出两组函数，①
和
；②
和
，分别判断这两组函数是否为
“相伴函数”；
(2)若
是定义在
上的可导函数，
是偶函数，
是奇函数，
，问是否存在
使得
和
为“相伴函数”？若存在
写出
的一个值，若不存在说明理由；
(3)
，写出“
和
为相伴函数”的充要条件，证明你的结
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论.
25．（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列
是斐波那契数列，其数值为：
.这一
数列以如下递推的方法定义：
.数列
对于确定的正整数
，若存在
正整数
使得
成立，则称数列
为“
阶可分拆数列”.
(1)已知数列
满足
.判断是否对
，总存在确定的正整数
，使得数列
为“
阶可分拆数列”，并说明理由.
(2)设数列
的前
项和为
，
（i）若数列
为“ 阶可分拆数列”，求出符合条件的实数
的值；
（ii）在（i）问的前提下，若数列
满足
，
，其前
项和为
.证明：当
且
时，
成立.
26．（2024·山东·模拟预测）设
，
.如果存在
使得
，那么就说
可被
整除（或
整
除
），记做
且称
是
的倍数，
是
的约数（也可称为除数、因数）．
不能被
整除就记做
．
由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若
，
，则
；②
，
互质，若
，
，
则
；③若
，则
，其中
.
(1)若数列
满足，
，其前
项和为
，证明：
；
(2)若
为奇数，求证：
能被
整除；
(3)对于整数
与
，
，求证：
可整除
.
27．（2024·浙江温州·三模）现有
张形状相同的卡片，上而分别写有数字
，将这
张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数
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字后放回，现在甲同学随机抽取4 次.
(1)若
，求抽到的4 个数字互不相同的概率；
(2)统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义
为随机变量
的
阶矩，其中1 阶矩就
是
的期望
，利用
阶矩进行估计的方法称为矩估计.
（ⅰ）记每次抽到的数字为随机变量
，计算随机变量
的1 阶矩
和2 阶矩
；（参考公式：
）
（ⅱ）知甲同学抽到的卡片上的4 个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（ⅰ）中的结果来
计算
的估计值
.（
的计算结果通过四舍五入取整数）
28．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
为上顶点，
离心率 为
，直线
与圆
相切.
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)椭圆方程
，平面上有一点
. 定义直线方程
是椭圆
在
点
处的极线.
① 若
在椭圆
上，证明: 椭圆
在点
处的极线就是过点
的切线;
② 若过点
分别作椭圆
的两条切线和一条割线，切点为
，割线交椭圆
于
两点，
过点
分别作椭圆
的两条切线，且相交于点
. 证明:
三点共线.
29．（2024·江西·二模）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标
表示，其中
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，而在
维空间中
，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为
维坐标
，其中
．现有如下定义：在
维空间中两点间的曼哈顿距
离为两点
与
坐标差的绝对值之和，即为
．回答下列问题：
(1)求出
维“立方体”的顶点数；
(2)在
维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量
为所取两点间的曼哈顿距离．
①求
的分布列与期望；
②求
的方差．
30．（2024·湖北·模拟预测）龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择
A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10 天销售优惠券
情况．
日期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量
千张
1.9
1.98
2.2
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.7
0.4
经计算可得：
.
(1)因为优惠券购买火爆，App 平台在第10 天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，
已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10 天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数
表示；
(2)若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为
，选择B 套餐的概率为
，并且A 套餐可以用一张优惠券，
B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为
，求
；
(3)记（2）中所得概率
的值构成数列
.
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①求
的最值；
②数列收敛的定义：已知数列
，若对于任意给定的正数
，总存在正整数
，使得当
时，
，（
是一个确定的实数），则称数列
收敛于
.根据数列收敛的定义证明数列
收敛．
参考公式： .
17
