文档内容
#’##!#’#$年度河南省高三年级阶段性考试!四"
数学参考答案!理科"
!!(!因为")!#"’###*"#所以$$")!#"%!%##*"!
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*!(!因为-#3’##(##所以45+&) #’#则.为真命题!因为-#’#所以$#"#又*)45+#在&’#"’
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上是减函数#所以45+$’45+"#则/为假命题#只有.($)/%为真命题!
"!6!设等腰三角形$"&的底边为-#当-是最短边时#’)()-3/#由$-3!#)#*#得-)*#所以’)()!’#则
%)槡!#.1.#.#)1槡/!
当-是最长边时#’)()-%/#由$-%!#)#*#得-)!##所以’)()/#
因为’3()-#所以不能构成三角形!
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/!&!设&$"&的内角$#"#&的对边分别是-#’#(#且-#’#(边上的高分别为 # # #则 -( ) ’(
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) (( #令-)!*#则’)!’#()"#所以45+$) #’#所以$为钝角#又’3(’-#所以该
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三角形是钝角三角形!
7!0!当#*!时#+$#%)859!##其值域为$%:#’’#
#
当##!时#+$#%)$$-%#%#%*-的值域应包含$’#3:%#
#
所以$-%##’#且$$-%#%.!%*-%’#解得%#%-# !
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1!&!当速度为#千米)小时时#汽车从甲地到乙地需行驶 小时#设耗油量为+$#%升#依题意得+$#%)
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!/#’’’ #" # 1!’ # 1!’ ##
)’#得#)2’#当#+$’#2’%时#+,$#%#’#+$#%是减函数*当#+$2’#!#’%时#+,$#%’’#+$#%是增函数!所以
当#)2’时#从甲地到乙地耗油最少!
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2!(!如图#设,0$&)!#!+&’# ’#可得"0$"3"0""3"0&")#&45+!3+,-$ %!%3+,-!’
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)$#3槡#%45+!3$#%槡#%+,-!)#槡$+,-$!3" %#其中;<-")$3#槡## "+$ # %# #
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所以$"0$"3"0""3"0&"%
=<>
)#槡$#由!的范围可以取到最大值!
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!’!6!由条件可得1$#%)45+$#"#% %#如图#作出两个函数的图象!
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$#"#&为连续相邻的三个交点#$不妨设"在#轴下方%#2为$&的中点#由对称性可得&$"&是以"为
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$理科% "#$%#!&"
书书书#" #
顶角的等腰三角形#所以"$&")3) ) )#"&2"#
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" 槡$ 槡$
由45+#"#)45+$#"#%
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%#整理得45+#"#)槡$+,-#"##所以;<-#"#)
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#则*$ )*& )
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#所以""2")#"*$")槡$#要使&$"&为锐角三角形#只需
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#所以;<-,&$")
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)槡$#’!#解得#’ !
"$2" $
!!!0!函数+$#%的大致图象如图所示#
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令4)+$#%#则&+$#%’#%#-+$#%3*)’可化为4#%#-43*)’#因为方程&+$#%’#%#-+$#%3*)’有"个
不同的实数解#所以4#%#-43*)’在$%"#%#%#$%##%!%上各有一个实数解或4#%#-43*)’的一个解
为%!#另一个解在$%##%!%内或4#%#-43*)’的一个解为%##另一个解在$%##%!%内!
当4#%#-43*)’在$%"#%#%#$%##%!%上各有一个实数解时#
.1$%#%)13*-#’#
"
设1$4%)4#%#-43*#则-1$%!%)"3#-’’# 解得% #-#%#*
#
/ 1$%"%)#23!’-’’#
"
当4#%#-43*)’的一个解为%!时#-)% #此时方程的另一个解为%*#不在$%##%!%内#不满足题意*
#
当4#%#-43*)’的一个解为%#时#-)%##此时方程有两个相等的根#不满足题意!
"
综上可知#实数-的取值范围为$% #%#%!
#
!#!&!因为+$%#%)@%#3@#%45+$%##%)@#3@%#%45+##)+$#%#所以+$#%为偶函数#故0错误*+,$#%)
@#%@%#3#+,-###当’%## " 时#@#%@%#*’##+,-##*’#所以+,$#%*’#当#* " 时#@#%@%#*@# " %@%# "
# #
’@%@%!’###+,-##*%##所以+,$#%’’#所以+$#%在&’#3:%上单调递增#因为+$#%为偶函数#所以
+$#%在$%:#’%上为减函数#故(错误*因为+$#
!
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#
%#所以+$"# !"%’+$"# #"%#又因为+$#%在&’#
3:%上递增#所以"# !"’"# #"#即## !’##
#
#故&正确*显然#
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%# #’’不一定成立#则@#!%##’!不成立#故
6错误!
!$!/!因为!#"%!###$且#+!")!’#!##"#所以该集合的所有非空真子集的个数为#$%#)/!
!*!必要不充分!).+0#+"#-##3##3!*’#即-’’#且$)*%*-%’#解得-*!#所以/1).#即).是/
的必要不充分条件!
槡$ !
!"!*!设以#轴正半轴为始边#5$为终边对应的角为%$’%%##"%#根据题意#得45+%) #+,-%)% #则
# #
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%) #所以6)#45+$ % %)!#7)#+,-$ % %)%槡$#从而637#)*!
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!/!$ # %!由题意知#当#+$ #3:%时#不等式组 成立!
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对于#-#%8-#’’#整理得#-’ #令8$#%) #则8,$#%) #当#+$ #@’时#8,$#%*’#8$#%
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!高三数学"参考答案!第!!!!#页#共"页$理科% "#$%#!&"! ! !
单调递增#当#+&@#3:%时#8,$#%%’#8$#%单调递减#所以8$#%
=<>
)8$@%)
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#则#-’
@
#解得-’
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#-3$ ! ! !
对于###%$#-3$%#3#’’#整理得 ##3 #由于9$#%)#3 在$ #3:%上的最小值为9$!%)
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#-3$ ! ! !
##所以 ###解得-# !综上可得 #-# !
# # #@ #
!7!解+$!%当-)*时#:)!#"$%#%2"#而2; ))!#"%"###7"#…………………………………………#分
所以$2; )%3:)!#"$%##7"!……………………………………………………………………………*分
$#%因为)$:))#所以:4)!……………………………………………………………………………"分
当-%!’#-3!#即-#%#时#:)5#此时满足:4)#所以-#%#!…………………………………/分
当-%!%#-3!#即-*%#时#:65# ……………………………………………………………………7分
则有#-3!%%"或-%!*7#即-%%$或-*1#…………………………………………………………1分
因此-*1!……………………………………………………………………………………………………2分
所以实数-的取值范围为$%:#%#%$&1#3:%!………………………………………………………!’分
! #
!1!解+$!%因为45+#$)!%#+,-#$)% #所以+,-#$) #…………………………………………………#分
$ $
槡/
因为’#$#"#所以+,-$) !……………………………………………………………………………*分
$
$#%因为槡#+,-")+,-$#所以-)槡#’#………………………………………………………………………"分
又’)$#所以-)$槡#!………………………………………………………………………………………/分
! 槡$
由45+#$)#45+#$%!)% 及’#$#"#得45+$)? ! …………… ……………………………7分
$ $
槡$ 槡$
当45+$) 时#由-#)’#3(#%#’(45+$#得!1)23(#%/(. #化简得(#%#槡$(%2)’#解得()$槡$!
$ $
……………………………………………………………………………………………………………2分
槡$ 槡$
当45+$)% 时#由!1)23(#3/(. #化简得(#3#槡$(%2)’#解得()槡$!……………………!!分
$ $
.-)$槡##.-)$槡##
所以- 或- …………………………………………………………………………………!#分
/()$槡$ /()槡$!
!2!解+$!%因为当#)"时#*)"$#
-
所以 3$.$"%/%#)"$# ………………………………………………………………………………#分
"%$
解得-)!’’!…………………………………………………………………………………………………*分
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$#%由$!%可知套题每日的销售量*) 3$$#%/%## …………………………………………………"分
#%$
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所以每日获得的利润+$#%)& 3$$#%/%#’.$#%$%)!’’3$$#%$%$#%/%#$####/%#………1分
#%$
从而+,$#%)2$#%*%$#%/%$####/%! …………………………………………………………………2分
令+,$#%)’#得#)*!………………………………………………………………………………………!’分
在区间$##*%上#+,$#%’’#+$#%单调递增*在区间$*#/%上#+,$#%#’#+$#%单调递减!………………!!分
当#)*时#该网校每日销售套题所获得的利润最大!……………………………………………………!#分
$ "" " $" #"
#’!解+$!%由图可得$)!# 3) % ) #所以3) )"##)## ……………………………………#分
* / !# * #
" " " " "
因为+$#%)+,-$##3" %的图象过点$ #!%#所以#. 3") 3#<"#<+##又"""# #所以") #则
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"
+$#%)+,-$##3 %#…………………………………………………………………………………………*分
$
!高三数学"参考答案!第!!!!$页#共"页$理科% "#$%#!&"" " <" "
所求对称轴方程为##3 )<"3 #即#) 3 $<+#%!……………………………………………"分
$ # # !#
$#%由$!%可得*)+$#%的图象与直线*)-在&’#7"’$7+!7%上恰有#’#$个交点#且函数*)+$#%的周期
" " 7"
是"#当#+&’#"’时###3 +& # ’!…………………………………………………………………/分
$ $ $
#当-#%!或-’!时#*)+$#%的图象与直线*)-在&’#7"’$7+!7%上无交点!……………………1分
$当-)%!或-)!时#*)+$#%的图象与直线*)-在&’#"’上仅有一个交点#
此时*)+$#%的图象与直线*)-在&’#7"’$7+!7%上恰有#’#$个交点#则7)#’#$!………………2分
槡$ 槡$
%当%!#-# 或 #-#!时#*)+$#%的图象与直线*)-在&’#"’上恰有#个交点#
# #
故*)+$#%的图象与直线*)-在&’#7"’$7+!7%上有偶数个交点#不可能有#’#$个交点!…………!’分
槡$
&当-) 时#*)+$#%的图象与直线*)-在&’#"’上恰有$个交点#由$7%$7%!%)#’#$#解得7)!’!!!
#
要使*)+$#%的图象与直线*)-在&’#7"’$7+!7%上有#’#$个交点#此时7)!’!!!………………!!分
槡$
综上#当-)%!或-)!时#7)#’#$*当-) 时#7)!’!!!……………………………………………!#分
#
#!!解+$!%由题意知859# $#%#3!%3<#%859# $##3!%3<#)’#
#%#3! !
即%#<#)859#
##3!
)%##所以<)
#
#
!
故+$#%)859# $##3!%%
#
#!………………………………………………………………………………$分
$
$#%由$!%知#1$#%)+$#%3##)859# $##3!%3
#
##易知1$#%在"上单调递增#
所以不等式1$*#%-(##3!%’1$%!"%恒成立#等价于*#%-(##3!’%!"#
*#3!/
即-# 恒成立!…………………………………………………………………………………………"分
##
*#3!/ !/
又 )##3 *1#当且仅当#)#时#等号成立#
## ##
所以-#1#即实数-的取值范围是$%:#1%!………………………………………………………………7分
$$%因为存在# !+&’##’#对任意的# #+&!#*’#都有1$#
!
%%8$#
#
%#
所以1$#%在&’##’上的最小值不大于8$#%在&!#*’上的最小值!
$
因为1$#%)859# $##3!%3
#
#在&’##’上单调递增#
所以当#+&’##’时#1$#%
=,-
)1$’%)!!……………………………………………………………………1分
8$#%)##%#6#3"图象的对称轴方程为#)6##+&!#*’#
"
当6%!时#8$#%在&!#*’上单调递增#8$#%
=,-
)8$!%)/%#6*!#解得6%
#
#
所以6%!*……………………………………………………………………………………………………2分
当!#6#*时#8$#%在&!#6%上单调递减#在&6#*’上单调递增#
8$#%
=,-
)8$6%)"%6#*!#解得!#6%#*………………………………………………………………!’分
"
当6**时#8$#%在&!#*’上单调递减#8$#%
=,-
)8$*%)#!%16*!#解得6%
#
#
所以6+5!…………………………………………………………………………………………………!!分
综上#实数6的取值范围是$%:##’!……………………………………………………………………!#分
##!$!%解+当6)7)!时#+$#%)$#3!%8-$#3!%%$##3#%#
! %##%!
则+,$#%)=$#%)8-$#3!%%###=,$#%) %#) $#’%!%#………………………………!分
#3! #3!
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令=,$#%’’#得%!###% #令=,$#%#’#得#’% #所以=$#%在$%!#% %上为增函数#在$% #
# # # #
3:%上为减函数#……………………………………………………………………………………………#分
2 2 ! !
+,$% %) %8-!’##%8-!’#’#+,$% %)!%8-#’’#+,$’%)’#所以+,$#%在$%!#% %上有一个
!’ " # #
!
零点#设为#
’
#在$%
#
#3:%上的零点为’!………………………………………………………………$分
令+,$#%’’#得# ’###’#令+,$#%#’#得%!####
’
或#’’#所以+$#%在$%!##
’
%#$’#3:%上为减函
数#在$#
’
#’%上为增函数#故+$#%的极大值为+$’%)’!…………………………………………………*分
$#%证明+不等式+$#%%’在区间&’#3:%上恒成立#即不等式8-$#36%%7#%’在区间&’#3:%上恒成
立#设8$#%)8-$#36%%7#$#*’%#要使#36’’有意义# ……………………………………………"分
则6’’#+$’%)8-6%’#所以’#6%!#7’’#
! !%67%7#
8,$#%) %7) $#*’%!……………………………………………………………………/分
#36 #36
!
当!%67%’时#8,$#%%’#则8$#%在&’#3:%上为减函数#8$#%%8$’%)8-6%’#所以’#6%!#7* #
6
则@7%6*@6 ! %6#令4) ! *!# " $4%)@4% ! 在&!#3:%上为增函数# " $4%*" $!%)@%!#所以@7%6*@6 !
6 4
%6*@%!’!#故命题成立!…………………………………………………………………………………7分
! ! !
当!%67’’时#令8,$#%’’#得’### %6#令8,$#%#’#得#’ %6#所以8$#%在$’# %6%上为增
7 7 7
! !
函数#在$ %6#3:%上为减函数#则8$#%的最大值为8$ %6%)67%!%8-7#因为8$#%%’#所以6%
7 7
8-73! !
#且6# !……………………………………………………………………………………………1分
7 7
! !
#当7*!时#8-73!*!#则’#6# #所以@7%6*@7% *@%!’!#故命题成立* ………………2分
7 7
8-73! 8-73!
$当’#7#!时#8-73!#!#则6% #所以@7%6*@7% #
7 7
8-73!
要证@7%6*!#即证@7% *!#需证7@7%7%8-7%!*’!
7
设1$#%)#@#%#%8-#%!$’###!%#即需证1$#%*’!………………………………………………!’分
1,$#%)$#3!%$@#% ! %#令4$#%)@#% ! #易知4$#%在$’#!%上单调递增#因为4$!%)@%!’’#4$ ! %)@ !
@
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%@#’#故4$#%在$
@
#!%上有唯一零点#
’
$@#’)
#
%#所以1$#%在$’##
’
%上单调递减#在$#
’
#!%上单调递
’
增#所以1$#%*1$#
’
%)#
’
@#’%$8-#
’
3#
’
%%!)’#故命题成立!………………………………………!!分
综上#命题@7%6*!成立!…………………………………………………………………………………!#分
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$理科% "#$%#!&"
