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2024年陕西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
【分析】根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵（﹣3）×（﹣ ）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣ ．
故选：A．
【点评】本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数．
2．（3分）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据面动成体，图形绕直线旋转是球．
【解答】解：如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是球．
故选：C．
【点评】此题考查点、线、面、体的问题，解决本题的关键是得到所求的平面图形是得到几何体的主
视图的被纵向分成的一半．
3．（3分）如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为（ ）A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】由平行线的性质推出∠B+∠C＝180°，∠C＝∠D，得到∠B+∠D＝180°，即可求出∠D＝
35°．
【解答】解：∵AB∥DC，
∴∠B+∠C＝180°，
∵BC∥DE，
∴∠C＝∠D，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝145°，
∴∠D＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠B+∠C＝180°，∠C＝∠D．
4．（3分）不等式2（x﹣1）≥6的解集是（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．x≤4 D．x≥4
【分析】去括号，然后移项、合并同类项，把x的系数化为1，即可得到不等式的解集．
【解答】解：去括号得，2x﹣2≥6，
移项得，2x≥6+2，
合并同类项得，2x≥8，
系数化为1得，x≥4．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式：有分母，先去分母、去括号，再移项，把含未知数的项移到
不等式左边，接着合并同类项，然后把未知数的系数化为1即得到不等式组的解集．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的
直角三角形共有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据直角三角形的定义，找出图中的直角三角形即可解决问题．
【解答】解：因为∠BAC＝90°，
所以△ABC是直角三角形．
因为AD是BC边上的高，
所以∠ADB＝∠ADC＝90°，
所以△ABD、△AED、△ACD都是直角三角形，
所以图中的直角三角形共有4个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，能根据所给条件找出图中的所有直角三角形是解题的关
键．
6．（3分）一个正比例函数的图象经过点A（2，m）和点B（n，﹣6）．若点A与点B关于原点对称，
则这个正比例函数的表达式为（ ）
A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝ x D．y＝﹣ x
【分析】由点A，B关于原点对称，可求出m的值，进而可得出点A的坐标，再利用一次函数图象上
点的坐标特征，即可求出正比例函数的表达式．
【解答】解：∵点A（2，m）和点B（n，﹣6）关于原点对称，
∴m＝6，
∴点A的坐标为（2，6）．
设正比例函数的表达式为y＝kx（k≠0），
∵点A（2，6）在正比例函数y＝kx的图象上，
∴6＝2k，
解得：k＝3，
∴正比例函数的表达式为y＝3x．
故选：A．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标以及待定系数法求正比例函数解析式，由点 A，B关于
原点对称，求出点A的坐标是解题的关键．
7．（3分）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，
CE＝2，则DH的长为（ ）A．2 B．3 C． D．
【分析】由正方形CEFG和正方形ABCD，AB＝6，CE＝2，得AD∥GF，得△ADH∽△FGH，得
DH：HG＝AD：GF＝6：2＝3：1，由DG＝6﹣2＝4，即可得DH＝4÷（1+3）×3＝3．
【解答】解：由正方形CEFG和正方形ABCD，AB＝6，CE＝2，
得AD∥GF，
得△ADH∽△FGH，
得DH：HG＝AD：GF＝6：2＝3：1，
由DG＝6﹣2＝4，
得DH＝4÷（1+3）×3＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是相似三角形的性质的
应用．
8．（3分）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 …
y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线x＝1
【分析】根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题．
【解答】解：由题知，
，
解得 ，所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x．
因为a＝﹣1＜0，
所以抛物线的开口向下．
故A选项不符合题意．
因为y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
所以当x＞1时，y随x的增大而减小．
故B选项不符合题意．
令y＝0得，
﹣x2+2x＝0，
解得x ＝0，x ＝2，
1 2
所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）．
又因为抛物线的顶点坐标为（1，1），
所以抛物线经过第一、三、四象限．
故C选项不符合题意．
因为二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1．
故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，能用待定系数法求出二次
函数解析式及熟知二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）分解因式：a2﹣ab＝ a （ a ﹣ b ） ．
【分析】直接把公因式a提出来即可．
【解答】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．
10．（3分）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，﹣2，﹣1，1，2这五个数分别填在五
个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是
0 .（写出一个符合题意的数即可）【分析】根据题意，填写数字即可．
【解答】解：由题意，填写如下：
1+0+（﹣1）＝0，2+0+（﹣2）＝0，满足题意，
故答案为：0．
【点评】本题考查了有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出
结果．
11．（3分）如图，BC是 O的弦，连接OB，OC，∠A是 所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和的度
数是 90 ° ． ⊙
【分析】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系，再结合三角形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵∠A是 所对的圆周角，
∴∠A＝ ．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB．
又∵∠O+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠O+2∠OBC＝180°，
∴ ，
即∠A+∠OBC＝90°．
故答案为：90°．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟知圆周角定理是解题的关键．
12．（3分）已知点A（﹣2，y ）和点B（m，y ）均在反比例函数y＝﹣ 的图象上．若0＜m＜1，则
1 2
y +y ＜ 0．（填“＞”“＝”或“＜”）
1 2
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得 y ＝ ，y ＝﹣ ，再根据0＜m＜1，得y ＜﹣5，即
1 2 2可得出y +y ＜ ﹣5＝﹣ ＜0．
1 2
【解答】解：∵点A（﹣2，y ）和点B（m，y ）均在反比例函数y＝﹣ 的图象上，
1 2
∴y ＝ ，y ＝﹣ ，
1 2
∵0＜m＜1，
∴y ＜﹣5，
2
∴y +y ＜ ﹣5＝﹣ ＜0，
1 2
故答案为：＜．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和不等式的性质，解题的关键在于熟练掌握反比
例函数图象上点的坐标特征与性质．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且
BF＝AE，连接CF．若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为 6 0 ．
【分析】将四边形EBFC的面积转化为S△CBF +S△CBE ，然后进行求解．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BF∥AC，
∴∠ACB＝∠CBF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴BC平分∠ABF，
过点C作CM⊥AB，CN⊥BF，
则：CM＝CN，∵ ， ，且BF＝AE，
∴S△CBF ＝S△ACE ，
∴四边形EBFC的面积＝S△CBF +S△CBE ＝S△ACE +S△CBE ＝S△CBA ，
∵AC＝13，
∴AB＝13，
设AM＝x，则BM＝13﹣x，
由勾股定理，得：CM2＝AC2﹣AM2＝BC2﹣BM2，
∴132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形EBFC的面积为60，
故答案为：60．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）计算： ﹣（﹣7）0+（﹣2）×3．
【分析】先化简二次根式，计算零指数幂和乘法，然后计算加减即可．
【解答】解：原式＝5﹣1﹣6
＝﹣2．
【点评】本题考查了实数的运算和零指数幂，熟练掌握二次根式的性质和零指数幂是解决问题的关键．
15．（5分）先化简，再求值：（x+y）2+x（x﹣2y），其中x＝1，y＝﹣2．
【分析】先利用完全平方公式，单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将 x、y的
值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：原式＝x2+2xy+y2+x2﹣2xy
＝2x2+y2，
当x＝1，y＝﹣2时，
原式＝2×12+（﹣2）2＝6．
【点评】此题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．16．（5分）解方程： + ＝1．
【分析】方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得出2+x（x+1）＝（x+1）（x﹣1），求出方程的解，再进
行检验即可．
【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），
得2+x（x+1）＝（x+1）（x﹣1），
解得x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以分式方程的解是x＝﹣3．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
17．（5分）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角△ABC，使得顶点B和
顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）
【分析】以A为圆心画弧交l于M、N，分别以M、N为圆心大于 MN长为半径画弧交于D，作射线
AD，交l于C，以C为圆心AC长为半径画弧交l于B，连接AB，△ABC即为所求作的三角形．
【解答】解：如图△ABC即为所求作的三角形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，关键是掌握过直线外一点作已知直线垂线的方法．
18．（5分）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE＝CF，求证：AF＝DE．
【分析】利用矩形的性质证得△ABF≌△DCE（SAS），从而证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF．
即：BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴AF＝DE．
【点评】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解矩形的对边相等，四
个角都是直角，难度不大．
19．（5分）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球．这些小球除颜
色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次．
（1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是 0. 3 ；
（2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【分析】（1）根据频率等于频数除以总数即可求解．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及这两次摸出的小球都是红球的结果数，再利用概率公式可得
出答案．
【解答】解：（1）由题意得，摸出黄球的频率是3÷10＝0.3．
故答案为：0.3．
（2）列表如下：
红 红 红 白 黄
红 （红， （红， （红， （红， （红，
红） 红） 红） 白） 黄）
红 （红， （红， （红， （红， （红，
红） 红） 红） 白） 黄）
红 （红， （红， （红， （红， （红，
红） 红） 红） 白） 黄）
白 （白， （白， （白， （白， （白，
红） 红） 红） 白） 黄）
黄 （黄， （黄， （黄， （黄， （黄，
红） 红） 红） 白） 黄）共有25种等可能的结果，其中这两次摸出的小球都是红球的结果有9种，
∴这两次摸出的小球都是红球的概率为 ．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20．（5分）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小
峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，
接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间．
【分析】设这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了（3﹣x）h，利用小峰完成的工作量+爸爸完成的工作
量＝总工作量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了（3﹣x）h，
根据题意得： + ＝1，
解得：x＝2．
答：这次小峰打扫了2h．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
21．（6分）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1600m，小明想利用这个观景台测量对面
山顶C点处的海拔高度．他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角∠CAE＝42°，再在
AE上选一点B，在点B处测得C点的仰角 ＝45°，AB＝10m．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高
忽略不计，参考数据：sin42°≈0.67，cos42α°≈0.74，tan42°≈0.90）
【分析】过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，设BD＝x m，则AD＝（x+10）m，然后分别在
Rt△BCD和Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而列出关于x的方程，进行计算
即可解答．
【解答】解：过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，设BD＝x m，
∵AB＝10m，
∴AD＝AB+BD＝（x+10）m，
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
∴CD＝BD•tan45°＝x（m），
在Rt△ACD中，∠A＝42°，
∴CD＝AD•tan42°≈0.9（x+10）m，
∴x＝0.9（x+10），
解得：x＝90，
∴CD＝90m，
∵小山顶的水平观景台的海拔高度为1600m，
∴山顶C点处的海拔高度约＝1600+90＝1690（m），
∴山顶C点处的海拔高度约为1690m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当
的辅助线是解题的关键．
22．（7分）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从 A市前往
B市．他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80kW•h，行驶了240km后，从B市一
高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y（kW•h）与行驶路程x（km）
之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）已知这辆车的“满电量”为100kW•h，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩
余电量占“满电量”的百分之多少．【分析】（1）设y＝kx+b（0≤x≤240），代入（0，80），（150，50），可得k、b的值，即得y与x
之间的关系式；
（2）令x＝240，可得王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时该车的剩余电量，已知这辆车的
“满电量”为100kW•h，可得该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少．
【解答】解：（1）设y＝kx+b（0≤x≤240），代入（0，80），（150，50），
得， ，
解得：k＝﹣ ，b＝80，
∴y＝﹣ x+80；
（2）令x＝240，则y＝32，
×100%＝32%，
答：该车的剩余电量占“满电量”的32%．
【点评】本题考查了一次函数的应用，设一次函数表达式代入两点求得一次函数表达式是本题的关键．
23．（7分）水资源问题是全球关注的热点，节约用水已成为全民共识．某校课外兴趣小组想了解居民家
庭用水情况，他们从一小区随机抽取了30户家庭，收集了这30户家庭去年7月份的用水量，并对这
30个数据进行整理，绘制了如下统计图表：
组别 用水量x/m3 组内平均数/m3
A 2≤x＜6 5.3
B 6≤x＜10 8.0
C 10≤x＜14 12.5
D 14≤x＜18 15.5
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这30个数据的中位数落在 B 组（填组别）；
（2）求这30户家庭去年7月份的总用水量；
（3）该小区有1000户家庭，若每户家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量节约10%，请估计这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约多少m3？
【分析】（1）根据统计图以及中位数的定义解答即可；
（2）根据题意列式求解即可；
（3）求出这30户家庭去年7月份的平均用水量，再求出1000户家庭去年和今年7月份的总用水量，
即可求解．
【解答】解：（1）根据这30户家庭去年7月份的用水量可得数据，再将其数据从小到大排列，排在
中间的两个数落在B组，
故答案为：B；
（2）这30户家庭去年7月份的总用水量为5.3×10+8.0×12+12.5×6+15.5×2＝255（m3）；
（3）这30户家庭去年7月份的平均用水量为255÷30＝8.5，
∵这1000户家庭去年7月份的总用水量.8.5×1000＝8500（m3），
1000户家庭今年7月份的总用水量为8.5×1000×10%＝850（m3），
答：这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约850m3．
【点评】本题考查的是频数分布直方图，中位数，用样本估计总体等知识，能够从不同的统计图或统
计表中获取有用信息是解题的关键．
24．（8分）如图，直线l与 O相切于点A，AB是 O的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接
BC，BD，分别与 O交于⊙点E，F，连接EF，AF⊙．
（1）求证：∠BA⊙F＝∠CDB；
（2）若 O的半径r＝6，AD＝9，AC＝12，求EF的长．
⊙
【分析】（1）先根据切线的性质得到∠BAC＝∠BAD＝90°，再根据圆周角定理得到∠AFB＝90°，然
后根据等角的余角相等得到∠BAF＝∠CDB；（2）先利用勾股定理计算出BD＝15，BC＝12 ，再证明△BAF∽△BDA，利用相似比求出BF＝
，接着证明△BEF∽△BDC，然后利用相似比求出EF的长．
【解答】（1）证明：∵直线l与 O相切于点A，AB是 O的直径，
∴AB⊥CD， ⊙ ⊙
∴∠BAC＝∠BAD＝90°，
∵AB是 O的直径，
∴∠AFB⊙＝90°，
∵∠BAF+∠ABD＝90°，∠CDB+∠ABD＝90°，
∴∠BAF＝∠CDB；
（2）解：在Rt△ABD中，
∵AB＝2r＝12，AD＝9，
∴BD＝ ＝15，
在Rt△ABC中，
∵AB＝12，AC＝12，
∴BC＝ ＝12 ，
∵∠ABF＝∠DBA，∠AFB＝∠BAD，
∴△BAF∽△BDA，
∴BF：BA＝BA：BD，即BF：12＝12：15，
解得BF＝ ，
∵∠BEF＝∠BAF，∠BAF＝∠CDB，
∴∠BEF＝∠CDB，
∵∠EBF＝∠DBC，
∴△BEF∽△BDC，
∴EF：CD＝BF：BC，即EF：21＝ ：12 ，
解得EF＝ ，
即EF的长为 ．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
25．（8分）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L 与缆索L 均呈抛物线型，桥塔AO与
1 2
桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，
建立平而直角坐标系．
已知：缆索L 所在抛物线与缆索L 所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝
1 2
100m，AO＝BC＝17m，缆索L 的最低点P到FF′的距离PD＝2m．（桥塔的粗细忽略不计）
1
（1）求缆索L 所在抛物线的函数表达式；
1
（2）点E在缆索L 上，EF⊥FF′，且EF＝2.6m，FO＜OD，求FO的长．
2
【分析】（1）依据题意，由A0＝17cm，从而A（0，17），又OC＝100m，缆索L 的最低点P到
1
FF′的距离PD＝2m，可得抛物线的顶点P为（50，2），故可设抛物线为y＝a（x﹣50）2+2．，又将
A代入抛物线可求得a的值，进而可以得解；
（2）依据题意，由缆索L 所在抛物线与缆索L 所在抛物线关于y轴对称，又缆索L 所在抛物线为y
1 2 1
＝ （x﹣50）2+2，从而可得缆索L 所在抛物线为y＝ （x+50）2+2，又令y＝2.6，可得2.6＝
2
（x+50）2+2，求出x＝﹣40或x＝﹣60，进而计算可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵A0＝17cm，
∴A（0，17）．
又OC＝100m，缆索L 的最低点P到FF′的距离PD＝2m，
1
∴抛物线的顶点P为（50，2）．
故可设抛物线为y＝a（x﹣50）2+2．
又将A代入抛物线可得，
∴2500a+2＝17．
∴a＝ ．
∴缆索L 所在抛物线为y＝ （x﹣50）2+2．
1
（2）由题意，∵缆索L 所在抛物线与缆索L 所在抛物线关于y轴对称，
1 2又缆索L 所在抛物线为y＝ （x﹣50）2+2，
1
∴缆索L 所在抛物线为y＝ （x+50）2+2．
2
又令y＝2.6，
∴2.6＝ （x+50）2+2．
∴x＝﹣40或x＝﹣60．
又FO＜OD＝50m，
∴x＝﹣40．
∴FO的长为40m．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
26．（10分）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，AB＝15，∠C＝30°，作△ABC的外接圆 O，则 的长为 2 5 ；
（结果保留 ） ⊙ π
问题解决 π
（2）如图②所示，道路AB的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段AD，
AC和BC为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口．已知点E在AC上，且AE＝EC，∠DAB＝
60°，∠ABC＝120°，AB＝1200m，AD＝BC＝900m，现要在湿地上修建一个新观测点P，使∠DPC＝
60°．再在线段AB上选一个新的步道出入口点F，并修道三条新步道PF，PD，PC，使新步道PF经过
观测点E，并将五边形ABCPD的面积平分．
请问：是否存在满足要求的点P和点F？若存在，求此时PF的长；若不存在，请说明理由．（点A，
B，C，P，D在同一平面内，道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留
根号）
【分析】（1）连接OA、OB，如图1，首先证明△OAB等边三角形，进而得到OA＝OB＝15， 的长为 ＝25 ；
π
（2）首先推导出点P在以O为圆心，CD为弦，圆心角为120°的圆上，得到ME是△CAD的中位线，
四边形AFMD是平行四边形，FM＝900m，作CN⊥PF于点N，解得CN＝CM•sin60°＝300 m，推导
同△PMC∽△DPC，求得PC2＝720000，在Rt△PCN中，求得PN＝300 （m），进而得到PF＝
（300 +1200）m．
【解答】解：（1）连接OA、OB，如图1，
∵∠C＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB等边三角形，
∵AB＝15，
∴OA＝OB＝15，
∴ 的长为 ＝25 ，
π
故答案为：25 ；
（2）存在满足π要求的点P和点F，此时PF的长为（300 +1200）m．理由如下：
∵∠DAB＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC＝900m，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵要在湿地上修建一个新观测点P，使∠DPC＝60°，
∴点P在以O为圆心，CD为弦，圆心角为120°的圆上，如图2，∵AE＝EC，
∴经过点E的直线都平分四边形ABCD的面积，
∵新步道PF经过观测点E，并将五边形ABCPD的面积平分，
∴直线PF必经过CD的中点M，
∴ME是△CAD的中位线，
∴ME∥AD，
∵MF∥AD，DM∥AF，
∴四边形AFMD是平行四边形，
∴FM＝AD＝900m，
作CN⊥PF于点N，如图3，
∵四边形AFMD是平行四边形，∠DAB＝60°，
∴∠PMC＝∠DMF＝∠DAB＝60°，
∵CM＝ CD＝ AB＝600m，
∴MN＝CM•cos60°＝300m，
∴CN＝CM•sin60°＝300 m，
∵∠PMC＝∠DPC＝60°，
∴△PMC∽△DPC，∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴PC2＝720000，
在Rt△PCN中，PN＝ ＝ ＝300 （m），
∴PF＝300 +300+900＝（300 +1200）m，
∴存在满足要求的点P和点F，此时PF的长为（300 +1200）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，三角形中位线定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，
弧长的计算，相似三角形的判定与性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
