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专题 10 圆锥曲线
1．（新课标全国Ⅱ卷）已知曲线C： （ ），从C上任意一点P向x轴作垂线段 ，
为垂足，则线段 的中点M的轨迹方程为（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
2．（全国甲卷数学（理））已知双曲线 的上、下焦点分别为 ，
点 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
3．（新高考天津卷）双曲线 的左、右焦点分别为 是双曲线右支上一点，
且直线 的斜率为2． 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（新课标全国Ⅰ卷）（多选）造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐
标原点O.且C上的点满足横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线 的距离之积为4，则
（ ）A． B．点 在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点 在C上时，
5．（新课标全国Ⅱ卷）（多选）抛物线C： 的准线为l，P为C上的动点，过P作
的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与 相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有2个
6．（新课标全国Ⅰ卷）设双曲线 的左右焦点分别为 ，过 作平行于 轴的直
线交C于A，B两点，若 ，则C的离心率为 ．
7．（新高考北京卷）已知抛物线 ，则焦点坐标为 ．
8．（新高考北京卷）已知双曲线 ，则过 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为
．
9．（新高考天津卷） 的圆心与抛物线 的焦点 重合， 为两曲线的交点，
则原点到直线 的距离为 ．10．（新高考上海卷）已知抛物线 上有一点 到准线的距离为9，那么点 到 轴的距离为 ．
11．（新课标全国Ⅰ卷）已知 和 为椭圆 上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线 交C于另一点B，且 的面积为9，求 的方程．
12．（新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线 ，点 在 上， 为常数， ．按照
如下方式依次构造点 ，过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令 为 关于 轴
的对称点，记 的坐标为 .
(1)若 ，求 ；
(2)证明：数列 是公比为 的等比数列；
(3)设 为 的面积，证明：对任意的正整数 ， .
13．（全国甲卷数学（理）（文））设椭圆 的右焦点为 ，点 在 上，且
轴．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线与 交于 两点， 为线段 的中点，直线 交直线 于点 ，证明：
轴．
14．（新高考北京卷）已知椭圆方程C： ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，
过 的直线l与椭圆交于A，B， ，连接AC交椭圆于D．
(1)求椭圆方程和离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t．15．（新高考天津卷）已知椭圆 椭圆的离心率 ．左顶点为 ，下顶点为 是
线段 的中点，其中 ．
(1)求椭圆方程．
(2)过点 的动直线与椭圆有两个交点 ．在 轴上是否存在点 使得 恒成立．若存在
求出这个 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
16．（新高考上海卷）已知双曲线 左右顶点分别为 ，过点 的直线 交双
曲线 于 两点.
(1)若离心率 时，求 的值．
(2)若 为等腰三角形时，且点 在第一象限，求点 的坐标．
(3)连接 并延长，交双曲线 于点 ，若 ，求 的取值范围．
一、单选题
1．（2024·福建泉州·二模）若椭圆 的离心率为 ，则该椭圆的焦距为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．（2024·河北衡水·三模）已知双曲线 ： ，圆 与圆
的公共弦所在的直线是 的一条渐近线，则 的离心率为（ ）A． B．2 C． D．
3．（2024·北京·三模）已知双曲线 的一个焦点坐标是 ，则 的值及 的离心率分别
为（ ）
A． B． C．1，2 D．
4．（2024·贵州贵阳·三模）过点 的直线 与圆 相交于不同的两点M，N，则线
段MN的中点 的轨迹是（ ）
A．一个半径为10的圆的一部分 B．一个焦距为10的椭圆的一部分
C．一条过原点的线段 D．一个半径为5的圆的一部分
5．（2024·湖南·模拟预测）已知点 ，点 ，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动
点M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系 中，把到定点 距离之积等于
的点的轨迹称为双纽线.若 ，点 为双纽线 上任意一点，则下列结论正确的个数是（ ）
① 关于 轴不对称
② 关于 轴对称
③直线 与 只有一个交点
④ 上存在点 ，使得
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024·福建泉州·二模）双曲线 ，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，如图，
已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P，Q两点，与其两条渐近线分别交于R，S两点，则下列命题正确的是（ ）
A．存在直线l，使得
B．当且仅当直线l平行于x轴时，
C．存在过 的直线l，使得 取到最大值
D．若直线l的方程为 ，则双曲线C的离心率为
8．（2024·河南·二模）已知双曲线 的左，右焦点分别为 为坐标原点，焦距
为 ，点 在双曲线 上， ，且 的面积为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．4
9．（2024·重庆·三模）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线于A，B两点，点 在第
一象限，点 为坐标原点，且 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．-1
10．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）设 为抛物线 的焦点，若点 在 上，则 （ ）
A．3 B． C． D．
11．（2024·山东泰安·二模）设抛物线 的焦点为 ，过抛物线上点 作准线的垂线，设垂足为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．（2024·江西·模拟预测）已知 ， ， ，动点 满足 与 的斜率之积为 ，
动点 的轨迹记为 ，过点 的直线交 于 ， 两点，且 ， 的中点为 ，则（ ）
A． 的轨迹方程为
B． 的最小值为1
C．若 为坐标原点，则 面积的最大值为
D．若线段 的垂直平分线交 轴于点 ，则 点的横坐标是 点的横坐标的 倍
13．（2024·江苏常州·二模）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，
其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线 的左、右焦点分别为
，从 发出的两条光线经过 的右支上的 两点反射后，分别经过点 和 ，其中 共线，
则（ ）
A．若直线 的斜率 存在，则 的取值范围为
B．当点 的坐标为 时，光线由 经过点 到达点 所经过的路程为6C．当 时， 的面积为12
D．当 时，
14．（2024·重庆·三模）已知双曲线 的左，右焦点分别为 为双曲线 上点，且
的内切圆圆心为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．直线PF 的斜率为
1
C． 的周长为 D． 的外接圆半径为
15．（2024·湖北襄阳·二模）抛物线 的焦点为 ， 为其上一动点，当 运动到 时，
，直线 与抛物线相交于 两点，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：
B．抛物线的准线方程为：
C．当直线 过焦点 时，以AF为直径的圆与 轴相切
D．
16．（2024·浙江杭州·三模）如图，平面直角坐标系上的一条动直线l和x，y轴的非负半轴交于A，B两点，
若 恒成立，则l始终和曲线C： 相切，关于曲线C的说法正确的有（ ）A．曲线C关于直线 和 都对称
B．曲线C上的点到 和到直线 的距离相等
C．曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是
D．曲线C和坐标轴围成的曲边三角形面积小于
17．（2024·河南·三模）已知椭圆 经过点 ，且离心率为 ．记 在 处的
切线为 ，平行于OP的直线 与 交于A，B两点，则（ ）
A．C的方程
B．直线OP与 的斜率之积为-1
C．直线OP，l与坐标轴围成的三角形是等腰三角形
D．直线PA，PB与坐标轴围成的三角形是等腰三角形
18．（2024·辽宁·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点P
在C的准线上，那么（ ）
A．若PA与C相切，则PB也与C相切
B．
C．若点P在x轴上，则 为定值
D．若点P在x轴上，且满足 ，则直线l的斜率绝对值为
19．（2024·广东汕头·二模）用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，
可以得到不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为 时，若截面与轴所成的角
为 ，则截口曲线的离心率 .例如，当 时， ，由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥
中， 、 分别为 、 的中点， 、 为底面的两条直径，且 、 ， .现用平
面 （不过圆锥顶点）截该圆锥，则（ ）A．若 ，则截口曲线为圆
B．若 与 所成的角为 ，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分
C．若 ，则截口曲线为抛物线的一部分
D．若截口曲线是离心率为 的双曲线的一部分，则
三、填空题
20．（2024·北京·三模）已知双曲线 ．则 的离心率是 ；若 的一条渐近线与圆
交于 ， 两点，则 ．
21．（2024·河北衡水·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，焦距为6，点
，直线 与 交于A，B两点，且 为AB中点，则 的周长为 ．
22．（2024·山东聊城·三模）已知双曲线 的一个焦点为 为坐标原点，点 在
双曲线上运动，以 为直径的圆过点 ，且 恒成立，则 的离心率的取值范围为
．
23．（2024·湖南衡阳·三模）如图所示，已知双曲线 的右焦点F，过点F作直线l
交双曲线C于 两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G， ，且三点 共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 ．
24．（2024·北京·三模）已知抛物线 的焦点为 ，则 的坐标为 ；过点 的直线交抛物
线 于 两点，若 ，则 的面积为 ．
25．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆 的离心率为 ，过 的左焦点且斜率为1的
直线与 交于 两点.若 ，则 的焦距为 .
26．（2024·河北保定·三模）若双曲线C： 的左、右焦点为 ， ，P是其右支上的动点.若存
在P，使得 ， ， 依次成等比数列，则t的取值范围为 .
四、解答题
27．（2024·北京·三模）已知椭圆 的离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程和短轴长；
(2)设直线 与椭圆 相切于第一象限内的点 ，不过原点 且平行于 的直线 与椭圆 交于不
同的两点A，B，点 关于原点 的对称点为 ．记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 的值．
28．（2024·江西·模拟预测）已知双曲线 的离心率为2，顶点到渐近线的距离为．
(1)求 的方程；
(2)若直线 交 于 两点， 为坐标原点，且 的面积为 ，求 的值．
29．（2024·山东·模拟预测）已知抛物线 ： 经过点 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)设直线 与 的交点为 ， ，直线 与 倾斜角互补.
（i）求 的值；
（ii）若 ，求 面积的最大值.
30．（2024·山东济宁·三模）已知椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ，离心率 ，
直线FB过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 的直线 与椭圆 相交于M，N两点（M、N都不在坐标轴上），若 ，求直线 的
方程.
31．（2024·重庆·三模）已知 为圆 上一个动点，MN垂直 轴，垂足为N，O为坐标原点，
的重心为 .
(1)求点 的轨迹方程;
(2)记（1）中的轨迹为曲线 ，直线 与曲线 相交于A、B两点，点 ，若点 恰好是
的垂心，求直线 的方程.
32．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知抛物线 ，焦点为 ，点 为曲线 的准线与对称轴的交点，
过 的直线 与抛物线 交于 两点.
(1)证明：当 时， 与抛物线相切；
(2)当 时，求 .33．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ， 为抛物线上一点，
，若 的最小值为2．
(1)求抛物线 的方程；
(2)直线 过点 且交抛物线 于 ， 两点，求 的最小值．
34．（2024·湖南长沙·二模）已知椭圆 中心在原点，左焦点为 ，其四个顶点的连线围成的四边形
面积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过椭圆 的左焦点 作斜率存在的两直线 、 分别交椭圆于 、 、 、 ，且 ，线段
、 的中点分别为 、 .求四边形 面积的最小值.
35．（2024·福建厦门·三模）平面直角坐标系 中，动点 在圆 上，动点 （异于原点）在
轴上，且 ，记 的中点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)过点 的动直线 与 交于A，B两点.问：是否存在定点 ，使得 为定值，其中 分别为直线
NA，NB的斜率.若存在，求出 的坐标，若不存在，说明理由.
