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重难点突破10 圆锥曲线中的向量问题
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题型一：向量的单共线
例1．（2023·上海静安·高三校考阶段练习）已知椭圆 的一个焦点为 ，点
在椭圆 上，点 满足 （其中 为坐标原点），过点 作一直线交椭圆于 、
两点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 面积的最大值；
(3)设点 为点 关于 轴的对称点，判断 与 的位置关系，并说明理由.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线 在第一象限与椭圆C相交于点P，且 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线 与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且 ．若椭圆C上存在点
E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围．
例3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆 的离心率为 ，过椭圆焦点
并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 相交于 ， 两点，与 轴相交于 点，若存在实数 ，使得 ，
求 的取值范围．
变式1．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）已知椭圆 ，连接E的四个顶
点所得四边形的面积为4， 是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设斜率为 的直线 与椭圆E交于A，B两点，D为线段 的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，
使得 ，求三角形 的面积．
变式2．（2023·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考阶段练习）已知椭圆 ： 的左右焦点分别
为 ，过点 的直线 交椭圆 于不同的两点 .
（1）若直线 经过 ，求 的周长；
（2）若以线段 为直径的圆过点 ，求直线 的方程；（3）若 ，求实数 的取值范围．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）椭圆具有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆
反射后，反射光线会交于椭圆的另焦点上.已知焦距为2的椭圆 的左､右焦点分别为
， ，从 发出的一条不与x轴重合的光线，在椭圆上依次经M，N两点反射后，又回到点 ，这个过
程中光线所经过的总路程为8.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线 ，且满足 ，若 ，求实数m的取值范围.
变式4．（2023·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）已知点 ，椭圆
的离心率为 ， 是椭圆 的右焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点．
(1)求 的方程；
(2)设过点 的直线 与 相交于 ， 两点，且 ，求 的面积及直线 的方程．
变式5．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆 ， 是其左、右焦点， 是其左、右顶
点，过 的直线 交椭圆于 两点，且点 在 轴上方， 为坐标原点.(1)若 轴，求线段 的长；
(2)若 的中点为 ，且点 在以 为直径的圆上，求点 的坐标；
(3)若 ，求直线 的方程.
变式6．（2023·山西吕梁·高三统考期末）已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，焦距为 ,离心率
为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 经过点 ，且与椭圆 交于 两点，若 ，求直线 的方程.
变式7．（2023·河南驻马店·高二统考期末）已知圆 ， ，动圆 与圆
， 均外切，记圆心 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)直线 过点 ，且与曲线 交于 两点，满足 ，求直线 的方程．
题型二：向量的双共线
例4．（2023·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知双曲线 过点
，且焦距为 .
(1)求 的方程；
(2)已知过点 的动直线 交 的右支于 两点， 为线段 上的一点，且满足 ，证明：
点 总在某定直线上.例5．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的离心率为2，焦点到一条渐近线的
距离为 ．
(1)求双曲线 的方程．
(2)若过双曲线的左焦点 的直线 交双曲线于 ， 两点，交 轴于 ，设 ．试判断
是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： （ ），椭圆的中心到直线
的距离是短半轴长，长轴长是焦距的 倍.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 ，过点 作斜率不为0的直线 交椭圆 于 ， 两点， ， 两点在直线 上且
， ，设直线 、 的斜率分别为 ， ，试问： 是否为定值？若是，求出该定
值.若不是，请说明理由.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，它的一个顶点恰好是
拋物线 的焦点，离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过椭圆 的右焦点 作直线 交椭圆 于 两点，交 轴于 点，若 ，求
证： .
变式9．（2023·黑龙江·高三校联考期末）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率为 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 ， ，
求 的值.
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左焦点为 ．
(1)设M是C上任意一点，M到直线 的距离为d，证明： 为定值．
(2)过点 且斜率为k的直线与C自左向右交于A，B两点，点Q在线段AB上，且 ，
，O为坐标原点，证明： ．
变式11．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知椭圆C： 的离心率 ，点
， 为椭圆C的左、右焦点且经过点 的最短弦长为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 分别作两条互相垂直的直线 ， ，且 与椭圆交于不同两点A，B， 与直线 交于点P，若
，且点Q满足 ，求 的最小值．变式12．（2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）已知 , 分别是椭圆 的
左右顶点, 为坐标原点, ,点 在椭圆 上.过点 ,且与坐标轴不垂直的直线 交椭圆 于
、 两个不同的点.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)当直线 的倾斜角 为锐角时,设直线 , 分别交 轴于点 、 ,记 , ,求 的
取值范围.
变式13．（2023·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）已知椭圆 过点
离心率 ，左、右焦点分别为 ，P，Q是椭圆C上位于x轴上方的两点．
(1)若 ，求直线 的方程；
(2)延长 分别交椭圆C于点M，N，设 ，求 的最小值．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： （ ）的短轴长为 ，
是椭圆 上一点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 （ 为常数，且 ）的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，与 轴相交于点 ，
已知 ， ，证明： ．
题型三：三点共线问题例7．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的右焦点为 ，一条渐近线方程
为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）记 的左、右顶点分别为 ，过 的直线 交 的右支于 两点，连结 交直线 于点 ，
求证： 三点共线．
例8．（2023·山东滨州·高三校考阶段练习）已知双曲线 的离心率为 ，经过坐标原点O的
直线l与双曲线Q交于A，B两点，点 位于第一象限， 是双曲线Q右支上一点， ，
设
(1)求双曲线Q的标准方程；
(2)求证：C，D，B三点共线；
(3)若 面积为 ，求直线l的方程．
例9．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学
家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长
与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的面积为 ，两焦点与短
轴的一个顶点构成等边三角形.过点 的直线 与椭圆C交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线 交于点F，试证明B，Q，F三点共线.变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆Γ： ，点 分别是椭圆Γ与
轴的交点（点 在点 的上方），过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 两点．
(1)若椭圆 焦点在 轴上，且其离心率是 ，求实数 的值；
(2)若 ，求 的面积；
(3)设直线 与直线 交于点 ，证明： 三点共线．
变式16．（2023·青海西宁·统考一模）已知椭圆C： 的离心率为 ，右焦点
与抛物线 的焦点重合.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左焦点为 ，过点 的直线l与椭圆C交于 两点，A关于x轴对称的点为M，证
明： 三点共线.
变式17．（2023·上海·高三校联考开学考试）已知椭圆 ： 的长轴长为 ，离心率
为 ，斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点A，
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 的方程为： ，椭圆上点 关于直线 的对称点 （与 不重合）在椭圆
上，求 的值；
(3)设 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，若点 ， 和
点 三点共线，求 的值；变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左､右顶点分别为 ，右焦点
为F（1，0），且椭圆C的离心率为 ，M，N为椭圆C上任意两点，点P的坐标为（4，t）（t≠0），且
满足 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：M，F，N三点共线.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，左、
右顶点分别为 ， ， ， .
（1）求椭圆 的方程.
（2）过 的直线与椭圆 交于 ， 两点（均不与 ， 重合），直线 与直线 交于 点，证明：
， ， 三点共线.
变式20．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经
椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，
左､右顶点分别为A，B，一光线从点 射出经椭圆C上P点反射，法线(与椭圆C在P处的切线垂直
的直线)与x轴交于点Q，已知 ， .
（1）求椭圆C的方程.（2）过 的直线与椭圆C交于M，N两点(均不与A，B重合)，直线 与直线 交于G点，证明：A，
N，G三点共线.
变式21．（2023·全国·高三专题练习）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆
内壁反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
，左、右顶点分别为 ， ．从 发出的一条光线，经椭圆上 ， 两点（均不与 ， 重合）各反
射一次后，又回到点 ，这个过程中光线所经过的总路程为 ．
（1）求椭圆 的长轴长；
（2）若椭圆 的焦距为 ，直线 与直线 交于点 ，证明 ， ， 三点共线．
题型四：向量中的数量积问题
例10．（2023·高三课时练习）已知双曲线的中心在原点 ，右焦点为 ， 是双曲线右支上一点，
且 的面积为 .
(1)若点 的坐标为 ，求此双曲线的渐近线方程；
(2)若 ，当 取得最小值时，求此双曲线的方程.
例11．（2023·陕西咸阳·高三校考开学考试）已知椭圆 ： 的左、右焦点为 ， ，点 是椭
圆 的上顶点，经过 的直线 交椭圆 于 ， 两个不同的点.
(1)求点 到直线 的距离；
(2)若直线 的斜率为 ，且 ，求实数 的值.例12．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知 分别是
椭圆 的左焦点和右焦点.
(1)设 是椭圆 上的任意一点，求 取值范围；
(2)设 ，直线 与椭圆 交于 两点，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 的
方程.
变式22．（2023·四川·校联考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，A，B分别为椭
圆的左、右顶点， ， 分别为椭圆的左、右焦点，点M是以AB为直径的圆上除去A，B的任意一点，
直线AM交椭圆C于另一点N．点N关于x轴的对称点为点Q．当点N为椭圆C的短轴端点时，原点O到
直线 的距离为1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求 的最小值．
变式23．（2023·天津和平·统考二模）在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦
点分别为 、 ，椭圆与 轴正半轴的交点为点 ，且 为等腰直角三角形．
(1)求椭圆 的离心率；
(2)已知斜率为 的直线 与椭圆 相切于点 ，点 在第二象限，过椭圆的右焦点 作直线 的垂线，垂足
为点 ，若 ，求椭圆 的方程．变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知圆心为H的圆 和定点 ，B是圆上任意
一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．
(1)求C的方程．
(2)如图所示，过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求 的取值范围
变式25．（2023·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知双曲线 的右焦点为 ，
渐近线方程为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过 的直线 与 交于 两点，过 的左顶点 作 的垂线，垂足为 ，求证：
.
变式26．（2023·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为 ，右焦点为 ，
右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当 时，求直线l的方程.
变式27．（2023·校考模拟预测）已知F是双曲线C： 的右焦点，过F的直线l交双曲线右支于
P，Q两点，PQ中点为M，O为坐标原点，连接OM交直线 于点N．(1)求证： ；
(2)设 ，当 时，求三角形 面积S的最小值．
变式28．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆
过点 ，且椭圆的离心率为 .直线 与椭圆 相交于 两点，线
段 的中垂线交椭圆 于 两点.
(1)求 的标准方程；
(2)求线段 长的最大值；
(3)证明： 为定值，并求此定值.
题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量
例13．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆 ，过椭圆 上第一象限的点 作椭圆
的切线与 轴相交于 点， 是坐标原点，作 于 ，证明： 为定值.例14．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，已知抛物线 ，过点 且斜率为
的直线 交抛物线于 ， 两点，抛物线上的点 ，设直线 ， 的斜率分别为 ，
.
(1)求 的取值范围；
(2)过点 作直线 的垂线，垂足为 .求 的最大值.
