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黄金冲刺大题06 圆锥曲线
（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）
1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是 ，点 在椭圆上，且 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线 与椭圆交于 两点，且 ，求实数 的值．
2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系 中，设椭圆 的离心率为
， ， 分别是椭圆的左、右焦点，过 作两条互相垂直的直线 ， ，直线 与 交于 ， 两点，
直线 与 交于 ， 两点，且 的周长是 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)当 时，求 的面积.
3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 轴、 轴，且过
两点．
(1)求 的方程．
(2) 是 上两个动点， 为 的上顶点，是否存在以 为顶点， 为底边的等腰直角三角形？若存在，
求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．
4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆 ，右顶点为 ，上､下顶点分别为
是 的中点，且 .
(1)求椭圆 的方程；(2)设过点 的直线 交椭圆 于点 ，点 ，直线 分别交直线 于点 ，求
证：线段 的中点为定点.
5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形 的顶点 分别在x轴和y轴上
滑动，且 ，记动点P的轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 的动直线l与曲线 交于不同的两点 时，在线段 上取点Q，满足
．试探究点Q是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．
6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为 ，过 的直
线 与 交于 两点，且当 的斜率为1时， ．
(1)求 的方程；
(2)设 与 的准线交于点 ，直线 与 交于点 （异于原点），线段 的中点为 ，若 ，求
面积的取值范围．
7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线 ，点 在抛物线 上，且 在 轴上方， 和 在
轴下方（ 在 左侧）， 关于 轴对称，直线 交 轴于点 ，延长线段 交 轴于点 ，连接
.
(1)证明： 为定值（ 为坐标原点）；
(2)若点 的横坐标为 ，且 ，求 的内切圆的方程.
8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点 ， ， 和动点 满足 是 ， 的等差中项．
(1)求 点的轨迹方程；
(2)设 点的轨迹为曲线 按向量 平移后得到曲线 ，曲线 上不同的两点M，N的连线交
轴于点 ，如果 （ 为坐标原点）为锐角，求实数 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，如果 时，曲线 在点 和 处的切线的交点为 ，求证： 在一条定直线上．
9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线 的渐近线为 ，左顶点为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)直线 交 轴于点 ，过 点的直线交双曲线 于 ， ，直线 ， 分别交 于 ， ，若 ，
， ， 均在圆 上，
①求 的横坐标；
②求圆 面积的取值范围.
10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线 与双曲线 （ ， ）有公
共的焦点F，且 ．过F的直线1与抛物线C交于A，B两点，与E的两条近线交于P，Q两点(均位
于y轴右侧).
(1)求E的渐近线方程；
(2)若实数 满足 ，求 的取值范围．
11．（2024·重庆·三模）已知 ，曲线 上任意一点到点 的距离是到直线 的距离的两倍.
(1)求曲线 的方程；
(2)已知曲线 的左顶点为 ，直线 过点 且与曲线 在第一、四象限分别交于 ， 两点，直线 、
分别与直线 交于 ， 两点， 为 的中点.
（i）证明： ；（ii）记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，则 是否为定值？若是，求出这个定值；
若不是，请说明理由.
12．（2024·河北·二模）已知椭圆 的离心率 ．
(1)若椭圆 过点 ，求椭圆 的标准方程．
(2)若直线 ， 均过点 且互相垂直，直线 交椭圆 于 两点，直线 交椭圆
于 两点， 分别为弦 和 的中点，直线 与 轴交于点 ，设 .
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）记 ，求数列 的前 项和 ．
13．（2024·辽宁沈阳·二模）以坐标原点为圆心的两个同心圆半径分别为 和 ， 为大圆上一动点，
大圆半径 与小圆相交于点 轴于 于 点的轨迹为 ．
(1)求 点轨迹 的方程；
(2)点 ，若点 在 上，且直线 的斜率乘积为 ，线段 的中点 ，当直线 与
轴的截距为负数时，求 的余弦值．
14．（2024·广东佛山·二模）两条动直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原
点的A，B两点，当 的垂心恰是C的焦点时， .(1)求p；
(2)若 ，弦 中点为P，点 关于直线 的对称点N在抛物线C上，求 的面积.
15．（2024·广东深圳·二模）设抛物线C： （ ），直线l： 交C于A，B两点．过
原点O作l的垂线，交直线 于点M．对任意 ，直线AM，AB，BM的斜率成等差数列．
(1)求C的方程；
(2)若直线 ，且 与C相切于点N，证明： 的面积不小于 ．
16．（2024·湖南·一模）已知双曲线 的渐近线方程为 ， 的半焦距为 ，
且 ．
(1)求 的标准方程．
(2)若 为 上的一点，且 为圆 外一点，过 作圆 的两条切线 （斜率都存在），
与 交于另一点 与 交于另一点 ，证明：
（ⅰ） 的斜率之积为定值；
（ⅱ）存在定点 ，使得 关于点 对称．
17．（2024·湖南岳阳·三模）已知动圆 过定点 且与直线 相切，记圆心 的轨迹为曲线 ．
(1)已知 、 两点的坐标分别为 、 ，直线 、 的斜率分别为 、 ，证明： ；
(2)若点 、 是轨迹 上的两个动点且 ，设线段 的中点为 ，圆 与动点
的轨迹 交于不同于 的三点 、 、 ，求证： 的重心的横坐标为定值．
18．（2024·湖北·二模）已知双曲线 的方程为 ，其中是双曲线上一点，直线 与双曲线 的另一个交点为 ，直线 与双曲线
的另一个交点为 ，双曲线 在点 处的两条切线记为 与 交于点 ，线段 的中点为 ，设
直线 的斜率分别为 ．
(1)证明： ；
(2)求 的值．
19．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆 和 的离心率相同，设 的右
顶点为 ， 的左顶点为 ， ，
(1)证明： ；
(2)设直线 与 的另一个交点为P，直线 与 的另一个交点为Q，连 ，求 的最大值．
参考公式：
20．（2024·山东·二模）已知椭圆 的离心率为 ，设 的右焦点为 ，左顶点为 ，
过 的直线与 于 两点，当直线 垂直于 轴时， 的面积为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)连接 和 分别交圆 于 两点．
（ⅰ）当直线 斜率存在时，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 ；
（ⅱ）设 的面积为 的面积为 ，求 的最大值．21．（2024·山东潍坊·二模）已知双曲线 ： 的实轴长为 ，右焦点 到一条渐
近线的距离为1．
(1)求 的方程；
(2)过 上一点 作 的切线 ， 与 的两条渐近线分别交于R，S两点， 为点 关于坐标原点的
对称点，过 作 的切线 ， 与 的两条渐近线分别交于M，N两点，求四边形 的面积．
(3)过 上一点Q向 的两条渐近线作垂线，垂足分别为 ， ，是否存在点Q，满足 ，
若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
22．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线 交于 两
点，设抛物线 在点 处的切线分别为 和 ，已知 与 轴交于点 与 轴交于点 ，设 与 的交
点为 .
(1)证明：点 在定直线上；
(2)若 面积为 ，求点 的坐标；
(3)若 四点共圆，求点 的坐标.
23．（2024·福建漳州·一模）已知过点 的直线 与圆 ： 相交于 ， 两点，
的中点为 ，过 的中点 且平行于 的直线交 于点 ，记点 的轨迹为 ．
(1)求轨迹 的方程．
(2)若 为轨迹 上的两个动点且均不在 轴上，点 满足 （ ， ），其中 为
坐标原点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①点 在轨迹 上；②直线 与 的斜率之积为 ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．24．（2024·福建福州·模拟预测）点 是椭圆 ： （ ）上（左、右端点除外）的一个
动点， ， 分别是 的左、右焦点.
(1)设点 到直线 ： 的距离为 ，证明 为定值，并求出这个定值；
(2) 的重心与内心（内切圆的圆心）分别为 ， ，已知直线 垂直于 轴.
（ⅰ）求椭圆 的离心率；
（ⅱ）若椭圆 的长轴长为6，求 被直线 分成两个部分的图形面积之比的取值范围.
25．（2024·福建三明·三模）已知平面直角坐标系 中，有真命题：函数 的图象
是双曲线，其渐近线分别为直线 和y轴．例如双曲线 的渐近线分别为x轴和y轴，可将其图象
绕原点 顺时针旋转 得到双曲线 的图象．
(1)求双曲线 的离心率；
(2)已知曲线 ，过 上一点 作切线分别交两条渐近线于 两点，试探究 面积是否为
定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；
(3)已知函数 的图象为Γ，直线 ，过 的直线与Γ在第一象限交于
两点，过 作 的垂线，垂足分别为 ，直线 交于点 ，求 面积的最小值．
26．（2024·浙江绍兴·二模）已知抛物线 ： 的焦点到准线的距离为2，过点 作直
线交 于M，N两点，点 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， .
(1)求 的方程；(2)求 的值；
(3)设直线 交C于另一点Q，求点B到直线 距离的最大值.
27．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线 : 的焦点 ，直线 过 且交C于两点 ，已
知当 时， 中点纵坐标的值为 .
(1)求 的标准方程.
(2)令 ，P为C上的一点，直线 ， 分别交C于另两点A，B.证明： .
(3)过 分别作 的切线 ， 与 相交于 ，同时与 相交于 ，求四边形 面积取值范围.
28．（2024·河北保定·二模）平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所
在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知 的垂心为D，外心为
E，D和E关于原点O对称， .
(1)若 ，点B在第二象限，直线 轴，求点B的坐标；
(2)若A，D，E三点共线，椭圆T： 与 内切，证明：D，E为椭圆T的两个焦点.
29．（2024·浙江杭州·模拟预测）设双曲线 ，直线 与 交于 两点.
(1)求 的取值范围；
(2)已知 上存在异于 的 两点，使得 .
（i）当 时，求 到点 的距离（用含 的代数式表示）；
（ii）当 时，记原点到直线 的距离为 ，若直线 经过点 ，求 的取值范围.30．（2024·湖北·一模）已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为椭圆的左顶点和上
顶点， 为左焦点，且 的面积为 ．
(1)求椭圆 的标准方程：
(2)设椭圆 的右顶点为 、 是椭圆 上不与顶点重合的动点．
（i）若点 ，点 在椭圆 上且位于 轴下方，直线 交 轴于点 ，设 和 的面积分
别为 ， 若 ，求点 的坐标：
（ii）若直线 与直线 交于点 ，直线 交 轴于点 ，求证： 为定值，并求出此定值
（其中 、 分别为直线 和直线 的斜率）．
