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海口市 2023～2024 学年第二学期高一年级期末考试（数学）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
.
1 若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数z= (其中i是虚数单位)，则z的共轭复数 =（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量 ， ，若 与 共线，则 （ ）
A. 3 B. C. D.
4. 已知角 的始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如
图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示， 为圆锥的顶点， ， 分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若
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学科网（北京）股份有限公司圆锥的底面周长为 ，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 若函数 ，（ ， ）图象的相邻两个对称中心之间的距离为 ，且
恒成立，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ，
边上的中线为 ，则 的面积为（ ）
A. B. C. 3 D. 4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. “绿水青山就是金山银山”.海口市始终坚持生态优先，绿色低碳发展，空气质量长期领“鲜”全国.数据显
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学科网（北京）股份有限公司示，2023年海口市空气质量创历史最高水平，位居全国168个重点城市之首.生活中常用空气质量指数
（AQI）描述空气质量，AQI越小，表示空气质量越好.下表为2024年3月18日～3月24日一周内海口市
的
和同为空气质量排行榜前十 “某市”的空气质量指数（AQI），这组数据中，以下表述正确的是（ ）
A. 海口市这一周AQI的平均数为22
B. “某市”这一周AQI的中位数为40
C. 两市这一周AQI指数的方差或标准差可以反映出两市空气质量变化的稳定情况
D. 海口市这一周AQI指数的方差大于“某市”这一周AQI指数的方差
10. 设函数 ， ，下列关于 和 的性质，正确的是（ ）
A. 对任意的 ， ，
B. 对任意的 ， 且 ，
C. 函数 是定义域为 的奇函数
D. 函数 在定义域上 是增函数
11. 如图，棱长为1的正方体 中，点 ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，
点 为棱 上的动点，点 为侧面 内动点， 与侧面 成角为 ，则下列说法中正
确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 动点 所在轨迹长为
B. 平面 平面
C. 平面 截正方体所得的截面图形始终是四边形
D. 点 和点 到平面 的距离相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，第14题第一问2分，第二问3分，共15分.
12. 复数 （ ）在复平面上对应的点在第四象限， ，则 ______.
13. 平面向量 ， 为单位向量，且 ，则 ______.
14. 已知三棱锥 的顶点都在球 的表面上， 平面 ， 与底面 所成的角为 ，
， ， 的面积为 ， 所在的平面与球 的交线长为______，球 的表面
积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为贯彻落实中央和省委相关部署要求，海口市大力开展人才引进工作.现组织公开招聘，共有100名应
聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在 内，将笔试成绩按照 ， ，…， 分
组，得到如图所示频率分布直方图.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求全体应聘者笔试成绩的第75百分位数和平均数（每组数据以区间中点值代表）；
（2）若计划面试60人，请估计参加面试的最低分数线（四舍五入取整数）.
16. 已知函数 （ ），直线 是函数 的图象的一条对称轴.
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（2）若 ，求函数 的值域.
17. 已知函数 ， 的最小值为 .
（1）求 的值；
（2）求 的解集；
（3）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，求 周长的
取值范围.
的
18. 如图，有一块形如四棱锥 木料 ， 平面 ，底面 为菱形， ， 分别
为 和 的中点.
（1）要经过点 ， 和 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（在答题卡的图中作出辅助线即可）
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学科网（北京）股份有限公司指出 与平面 的位置关系，并证明；
（2）若 ， ， ，求二面角 的大小；
（3）试求切割开的两部分木料的体积之比.
19. 函数 称为高斯函数，其中“ ”表示不超过实数 的最大整数，又称“ 的整数部分”.高斯函数
在数论、函数绘图和计算机等领域有广泛的应用，我们记 .
（1）设方程 的两个不同实数解为 与 ，且 ，求 的值；
（2）请确认是否存在函数 ： ，满足对 ，都有：
① ；② 同时成立.
（3）求证：对 ， ， .
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学科网（北京）股份有限公司机密★启用前
海口市 2023～2024 学年第二学期高一年级期末考试（数学）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】AB
【10题答案】
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学科网（北京）股份有限公司【答案】AC
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，第14题第一问2分，第二问3分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】 ①. ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
为
【答案】（1）第 百分位数 ，平均数为
（2）
【16题答案】
【答案】（1）最小正周期为 ，单调递增区间为
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2） 或
（3）
【18题答案】
【答案】（1）作图见解析， 平面 ，证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司（2）
（3） （或 ）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）不存在 （3）证明见解析
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