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黄金冲刺大题05 导数（精选30题）
1．（2024·安徽·二模）已知函数 .
(1)求函数 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间和极值.
2．（2024·江苏南京·二模）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)当 时，若 在区间 上的最小值为 ，求a的值．
3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知 ， .
(1)讨论 的单调性.
(2)若 使得 ，求参数 的取值范围.
4．（2024·福建漳州·一模）已知函数 ， 且 ．
(1)证明：曲线 在点 处的切线方程过坐标原点．
(2)讨论函数 的单调性．
5．（2024·山东·二模）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
6．（2024·山东·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；(2)若函数 有两个极值点 ，且 ，求a的取值范围．
7．（2024·湖北·二模）求解下列问题，
(1)若 恒成立，求实数k的最小值；
(2)已知a，b为正实数， ，求函数 的极值．
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数
．
(1)求函数 的极值；
(2)若 恒成立，求 的最大值．
9．（2024·湖北·模拟预测）已知函数 ， ，
(1)若对定义域内任意非零实数 ， ，均有 ，求a；
(2)记 ，证明： ．
10．（2024·湖南·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2) 时；
（ⅰ）若 ，求 的取值范围；
（ⅱ）证明： ．
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线方程；(2)若 ，讨论曲线 与曲线 的交点个数．
12．（2024·广东佛山·二模）已知 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个极值点 ， ，证明： .
13．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若函数 在 上仅有两个零点，求实数 的取值范围.
14．（2024·江苏南通·二模）已知函数 ， ， .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 且 恒成立，求 的最小值.
15．（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)证明： .
16．（2024·福建·模拟预测）已知函数 在 处的切线在 轴上的截距为 ．
(1)求 的值；
(2)若 有且仅有两个零点，求 的取值范围．
17．（2024·浙江杭州·二模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点，（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）证明：函数 有且只有一个零点．
18．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ， 恒成立，求实数a的取值范围．
19．（2024·广东·二模）已知 .
(1)求 的单调区间；
(2)函数 的图象上是否存在两点 （其中 ），使得直线 与函数 的图象
在 处的切线平行？若存在，请求出直线 ；若不存在，请说明理由.
20．（2024·广东深圳·二模）已知函数 ， 是 的导函数，且 ．
(1)若曲线 在 处的切线为 ，求k，b的值；
(2)在（1）的条件下，证明： ．
21．（2024·辽宁·二模）已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线方程为 ，求实数 的值；
(2)若对于任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
22．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)当 时，求 的单调区间和极值；(3)若对任意 ，有 恒成立，求 的取值范围．
23．（2024·安徽合肥·二模）已知曲线 在点 处的切线为 ．
(1)求直线 的方程；
(2)证明：除点 外，曲线 在直线 的下方；
(3)设 ，求证： ．
24．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在正数 ，使 成立，求 的取值范围；
(3)若 ，证明：对任意 ，存在唯一的实数 ，使得 成立.
25．（2024·重庆·模拟预测）已知函数
(1)若过点 的直线与曲线 切于点 ，求 的值；
(2)若 有唯一零点，求 的取值范围．
26．（2024·江苏南通·模拟预测）设函数 ， .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 ，试判断函数 在区间 内的极值点的个数，并说明理由；
(3)求证：对任意的正数 ，都存在实数 ，满足：对任意的 ， .
27．（2024·河北保定·二模）已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；(2)若 ，试讨论 的零点个数.
28．（2024·河北·二模）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线 与坐标轴围成的三角形的周长；
(2)若函数 的图象上任意一点 关于直线 的对称点 都在函数 的图象上，且存在 ，使
成立，求实数 的取值范围．
29．（2024·河北邯郸·二模）已知函数 ．
(1)是否存在实数 ，使得 和 在 上的单调区间相同？若存在，求出 的取值范围；若不存
在，请说明理由．
(2)已知 是 的零点， 是 的零点．
①证明： ，
②证明： ．
30．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)当 时， ，求 的最大值；
(3)若 在区间 存在零点，求 的取值范围.
