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黄金冲刺大题04 概率统计（精选30题）
1．（2024·浙江绍兴·二模）盒中有标记数字1，2的小球各2个.
(1)若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；
(2)若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为 （如1122，则 ），求
的分布列及数学期望 .
2．（2024·江苏扬州·模拟预测）甲､乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，
负方得0分；若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜､平局､负的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立.
(1)若比赛共进行了三局，求甲共得3分的概率；
(2)规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分，则停止比赛，求比赛局数 的分布列与数学期望.
3．（2024·江苏南通·二模）某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育
老师担任教练.
(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？
(2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每
位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为 .传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传
球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？
4．（2024·重庆·模拟预测）中国在第75届联合国大会上承诺，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双
碳目标”)．新能源电动汽车作为战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．赛力斯汽车有限
公司为了调查客户对旗下AITO问界M7的满意程度，对所有的意向客户发起了满意度问卷调查，将打分
在80分以上的客户称为“问界粉”．现将参与调查的客户打分(满分100分)进行了统计，得到如下的频率
分布直方图：
(1)估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数)；(2)按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取10名客户前往重庆赛力斯两江智慧工厂参观，在10
名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2万元的购车抵用券．记获赠购车券的“问界粉”人数为 ，
求 的分布列和数学期望 ．
5．（2024·福建三明·三模）某校开设劳动教育课程，为了有效推动课程实施，学校开展劳动课程知识问答
竞赛，现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库，其中家政类占 ，园艺类占 ，民族工艺类占 .根
据以往答题经验，选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为 ，选手乙答对这三类
题目的概率均为
(1)求随机任选1题，甲答对的概率；
(2)现进行甲、乙双人对抗赛，规则如下：两位选手进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，比赛时两位选
手同时回答这道题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得 分，若两人都答对或都答错，
则两人均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选手答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影
响，求甲获得奖品的概率.
6．（2024·江苏南京·二模）某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：
超市 A B C D E
广告支出x 2 4 5 6 8
4 6
销售额y 30 60 70
0 0
(1)从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X，求随机变量
X的分布列及期望 ；
(2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．
附：线性回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， ．
7．（2024·重庆·三模）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲
当裁判.记随机变量 ， ， 表示前 局中乙当裁判的
次数.
(1)求事件“ 且 ”的概率；
(2)求 ；
(3)求 ，并根据你的理解，说明当 充分大时 的实际含义.
附：设 ， 都是离散型随机变量，则 .
8．（2024·安徽池州·二模）学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会.一旦某次测试通过，
便可获得证书，不再参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会.如果每位学生在3次测试
中通过的概率依次为 ，且每次测试是否通过相互独立.现某小组有3位学生参加测试，回答下列
问题：
(1)求该小组学生甲参加考试次数 的分布列及数学期望 ；
(2)规定：在2次以内测试通过（包含2次）获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书，记该小组3
位学生中获得优秀证书的人数为 ，求使得 取最大值时的整数 .
9．（2024·辽宁·二模）一枚棋子在数轴上可以左右移动，移动的方式以投掷一个均匀的骰子来决定，规则
如下：当所掷点数为1点时，棋子不动；当所掷点数为3或5时，棋子在数轴上向左(数轴的负方向)移动
“该点数减1”个单位；当所掷的点数为偶数时，棋子在数轴上向右(数轴的正方向)移动“该点数的一半”
个单位；第一次投骰子时，棋子以坐标原点为起点，第二次开始，棋子以前一次棋子所在位置为该次的起
点．
(1)投掷骰子一次，求棋子的坐标的分布列和数学期望；
(2)投掷骰子两次，求棋子的坐标为 的概率；
(3)投掷股子两次，在所掷两次点数和为奇数的条件下，求棋子的坐标为正的概率．
10．（2024·广东湛江·一模）甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在
盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向
前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为 ．
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望；
(2)证明：数列 为等比数列．
11．（2024·广东韶关·二模）小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率
是 ，击中区域乙的概率是 ，击中区域丙的概率是 ，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比
赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得
三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的
选手被评为“优秀射击手”称号．
(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；
(2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望．
12．（2024·河北邢台·一模）小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A
类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45．已知题库中B类题的数量是A类题的两倍．
(1)求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；
(2)已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题
目中恰好回答正确k个（ ，1，2， ，10）的概率为 ，则当k为何值时， 最大？
13．（2024·湖南衡阳·模拟预测）某电竞平台开发了 两款训练手脑协同能力的游戏， 款游戏规则是：
五关竞击有奖闯关，每位玩家上一关通过才能进入下一关，上一关没有通过则不能进入下一关，且每关第
一次没有通过都有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，各关和同一关的两次挑战能否通过相
互独立，竞击的五关分别依据其难度赋分. 款游戏规则是：共设计了 （ 且 关，每位玩家都
有 次闯关机会，每关闯关成功的概率为 ，不成功的概率为 ，每关闯关成功与否相互独立；第1次闯
关时，若闯关成功则得10分，否则得5分.从第2次闯关开始，若闯关成功则获得上一次闯关得分的两倍，
否则得5分.电竞游戏玩家甲先后玩 两款游戏.(1)电竞游戏玩家甲玩 款游戏，若第一关通过的概率为 ，第二关通过的概率为 ，求甲可以进入第三关
的概率；
(2)电竞游戏玩家甲玩 款游戏，记玩家甲第 次闯关获得的分数为 ，求 关于 的解析
式，并求 的值.（精确到0.1，参考数据： .）
14．（2024·湖南邵阳·模拟预测）2023年8月3日，公安部召开的新闻发布会公布了“提高道路资源利用
率”和“便利交通物流货运车辆通行”优化措施，其中第二条提出推动缓解停车难问题．在持续推进缓解
城镇老旧小区居民停车难改革措施的基础上，因地制宜在学校、医院门口设置限时停车位，支持鼓励住宅
小区和机构停车位错时共享．某医院门口设置了限时停车场（停车时间不超过60分钟），制定收费标准
如下：停车时间不超过15分钟的免费，超过15分钟但不超过30分钟收费3元，超过30分钟但不超过45
分钟收费9元，超过45分钟但不超过60分钟收费18元，超过60分钟必须立刻离开停车场．甲、乙两人
相互独立地来该停车场停车，且甲、乙的停车时间的概率如下表所示：
停车时间/分钟
甲
乙
设此次停车中，甲所付停车费用为 ，乙所付停车费用为 ．
(1)在 的条件下，求 的概率；
(2)若 ，求随机变量 的分布列与数学期望．
15．（2024·湖北·一模）2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起
飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运
载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官．某市一调研机构为了了解当地学生对我国航
天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查，调查结果如下
表：
关注度
学生群体 合计
关注 不关注大学生
高中生
合计
附：
，其中 ．
(1)完成上述列联表，依据小概率值 的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样
本容量n的最小值；
(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题
方案选择：
方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；
方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．
已知小华同学答出三个问题的概率分别是 ， ， ，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该
选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）
16．（2024·湖北·二模）吸烟有害健康，现统计4名吸烟者的吸烟量x与损伤度y，数据如下表：
吸烟量x 1 4 5 6
损伤度y 3 8 6 7
(1)从这4名吸烟者中任取2名，其中有1名吸烟者的损伤度为8，求另1吸烟者的吸烟量为6的概率；
(2)在实际应用中，通常用各散点 到直线 的距离的平方和 来刻画“整体接
近程度”.S越小，表示拟合效果越好.试根据统计数据，求出经验回归直线方程 .并根据所求经验
回归直线估计损伤度为10时的吸烟量．附： ， .
17．（2024·山东枣庄·一模）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完
全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，
则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为 ．当甲罐内无球
时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．
(1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；
(2)设第 次答题后游戏停止的概率为 ．
①求 ；
② 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由．
18．（2024·安徽合肥·二模）树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：
参加考试人
性别 平均成绩 标准差
数
男 30 100 16
女 20 90 19
在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为 ，其平均数记为 ，
方差记为 ；把第二层样本记为 ，其平均数记为 ，方差记为 ；把总样本数据的平均数
记为 ，方差记为 ．
(1)证明： ；
(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；
(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布 ，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作
为 和 的估计值．如果按照 的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为 四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．
附： ．
19．（2024·福建福州·模拟预测）甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差 服从正态分布 ，规定
的零件为优等品， 的零件为合格品．
(1)从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数（精确到整数）；
(2)乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取2个
作检测，若这2个零件都是优等品，则通过检测；若这2个零件中恰有1个为优等品，1个为合格品但非
优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测．求这批
零件通过检测时，检测了2个零件的概率（精确到0.01）．
（附：若随机变量 ，则 ， ，
）
20．（2024·河北保定·二模）某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错
题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设 “抽取的学生期末统考中
的数学成绩不及格”， “抽取的学生建立了个性化错题本”，且 ， ，
.
(1)求 和 .
(2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值 的独立性检验，分析学生期末统考
中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关，
期末统考中的数学成绩
个性化错题
合计
本
及格 不及格
建立
未建立合计
(3)为进一步验证（2）中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为 的样本（假设根据新
样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为（2）中列联表中数据的 倍，且新列联表中的数据都为整
数）.若要使得依据 的独立性检验可以肯定（2）中的判断，试确定 的最小值
参考公式及数据： ， .
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
21．（2024·浙江绍兴·模拟预测）书接上回.麻将学习小组中的炎俊同学在探究完问题后返回家中观看了
《天才麻将少女》，发现超能力麻将和现实麻将存在着诸多不同.为了研究超能力麻将，他使用了一些”雀
力值”和”能力值”来确定每位角色的超能力麻将水平，发现每位角色在一局麻将中的得分与个人值和该
桌平均值之差存在着较大的关系.（注：平均值指的是该桌内四个人各自的“雀力值”和“能力值”之和的
平均值，个人值类似.）为深入研究这两者的关系，他列出了以下表格：
个人值与平均值之差
0 3 6 9
得分 0
(1)①计算 的相关系数 ，并判断 之间是否基本上满足线性关系，注意：保留至第一位非9的数.
②求出 与 的经验回归方程.
③以下为《天才麻将少女》中几位角色的”雀力值”和”能力值”：
园城寺
角色 宫永照 花田煌 松实玄
怜
雀力值 24 9 10 4
能力值 24 16 3 6
试估计此四位角色坐在一桌打麻将每一位的得分（近似至百位）
(2)在分析了更多的数据后，炎俊发现麻将中存在着很多运气的成分.为衡量运气对于麻将对局的影响，炎
俊建立了以下模型，其中他指出：实际上的得分并不是一个固定值，而是具有一定分布的，存在着一个标
准差.运气实际上体现在这一分布当中取值的细微差别.接下去他便需要得出得分的标准差.他发现这一标准
差来源自两个方面：一方面是在（1）②问当中方程斜率 存在的标准差 ；另一方面则是在不影响平均值的情况下，实际表现“个人值”X符合正态分布规律 .（ 为评估得出的个人值.）已知松
实玄实际表现个人值满足 ，求（1）③中其得分的标准差.（四舍五入到百位）
(3)现在新提出了一种赛制：参赛者从平均值为10开始进行第一轮挑战，之后每一轮对手的”雀力值”
和”能力值”均会提升至原来的 .我们设进行了i轮之后，在前i轮内该参赛者的总得分为 ；若园
城寺怜参加了此比赛，求
参考数据和公式：① ； .
②相关系数 ；
经验回归方程 ， ， ；
，其中 为回归数据组数.
③对于随机变量 ， ， ，
.
④ 时， ， ；
⑤对间接计算得出的值 有标准差 满足 .
⑥ ； ；
22．（2024·江苏南通·模拟预测）“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动. 某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.
(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为 两类，抽到较易的 类并答对购物打八折优惠，
抽到稍难的 类并答对购物打七折优惠，抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，
其中3张写有 字母，3张写有 字母，2张写有 字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽
到写有 的卡片，则再抽1次，直至取到写有 或 卡片为止，求该顾客取到写有 卡片的概率.
(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共
会遇到 条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同），最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小
明准备采用如下策略：不摘前 条灯谜，自第 条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，
就摘这条灯谜，否则就摘最后一条，设 ，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为 .
①若 ， ，求 ；
②当 趋向于无穷大时，从理论的角度，求 的最大值及 取最大值时 的值.（取
）
23．（2024·安徽·模拟预测）某校在90周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞
赛．在竞赛中，每位参赛教师答题若干次，每一次答题的赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错
得10分，从第2次答题开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得10分，教师甲参加答
题竞赛，每次答对的概率均为 ，每次答题是否答对互不影响.
(1)求甲前3次答题的得分之和为70分的概率．
(2)记甲第i次答题所得分数 的数学期望为 ．
（ⅰ）求 ， ， ，并猜想当 时， 与 之间的关系式；
（ⅱ）若 ，求n的最小值．
24．（2024·辽宁·模拟预测）某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已
知这种动物 拥有两个亚种（分别记为 种和 种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小
组计划在该区域中捕捉100个动物 ，统计其中 种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结
果.重复进行这个试验共20次，记第 次试验中 种的数目为随机变量 .设该区域中 种的数目为 ， 种的数目为 （ ， 均大于100），每一次试验均相互独立.
(1)求 的分布列；
(2)记随机变量 .已知 ，
（i）证明： ， ；
（ii）该小组完成所有试验后，得到 的实际取值分别为 .数据 的平均值
，方差 .采用 和 分别代替 和 ，给出 ， 的估计值.
（已知随机变量 服从超几何分布记为： （其中 为总数， 为某类元素的个数， 为抽取
的个数），则 ）
25．（2024·广东广州·一模）某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由
位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，
则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，
则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或
所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知 团队每位成员闯过第一关和第二关的概率
分别为 和 ，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.
(1)若 ，用 表示 团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求 的均值；
(2)记 团队第 位成员上场且闯过第二关的概率为 ，集合 中元素
的最小值为 ，规定团队人数 ，求 .
26．（2024·广东深圳·二模）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试
生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合
格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．
(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的
条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业
把零件交给甲工厂生产的概率．设事件 “甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件 “该大型
企业把零件交给甲工厂生产”、已知 ，证明： ．
27．（2024·湖南·二模）某大学有甲､乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可
选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率
均为 ，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为 ，已知 的分布列如
下：（其中 ）
0 1 2 3
(1)记事件 表示王同学假期三天内去运动场锻炼 次 ，事件 表示王同学在这三天内去甲运动
场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当 时，试根据全概率公式求 的值；
(2)是否存在实数 ，使得 ？若存在，求 的值：若不存在，请说明理由；
(3)记 表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”， 表示事件“王同学去甲运动场锻炼”，
.已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举办
抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明： .
28．（2024·山东济南·二模）随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重
要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方
向移动的概率均为 例如在1秒末，粒子会等可能地出现在 四点处.
(1)设粒子在第2秒末移动到点 ，记 的取值为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 ；(2)记第 秒末粒子回到原点的概率为 .
（i）已知 求 以及 ；
（ii）令 ，记 为数列 的前 项和，若对任意实数 ，存在 ，使得 ，则称粒
子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的.
29．（2024·山东潍坊·二模）数列 中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列 称为
的一阶差数列，记为 ，依此类推， 的一阶差数列称为 的二阶差数列，记为 ，…．
如果一个数列 的p阶差数列 是等比数列，则称数列 为p阶等比数列 ．
(1)已知数列 满足 ， ．
（ⅰ）求 ， ， ；
（ⅱ）证明： 是一阶等比数列；
(2)已知数列 为二阶等比数列，其前5项分别为 ，求 及满足 为整数的所有n值．
30．（2024·浙江杭州·模拟预测）在概率较难计算但数据量相当大､误差允许的情况下，可以使用
UnionBound（布尔不等式）进行估计概率.已知UnionBound不等式为：记随机事件 ，则
.其误差允许下可将左右两边视为近似相等.据此解决以下问题：
(1)有 个不同的球，其中 个有数字标号.每次等概率随机抽取 个球中的一个球.抽完后放回.记抽取 次球
后 个有数字标号的球每个都至少抽了一次的概率为 ，现在给定常数 ，则满足 的 的最小值为多少？请用UnionBound估计其近似的最小值，结果不用取整.这里 相当大且远大于 ；
(2)然而实际情况中，UnionBound精度往往不够，因此需要用容斥原理求出精确值.已知概率容斥原理：记
随机事件 ，则 .试问在（1）的情况下，
用容斥原理求出的精确的 的最小值是多少（结果不用取整）？ 相当大且远大于 .
（1）（2）问参考数据：当 相当大时，取 .
