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第一章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间
120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列语句是命题的是( )
A．2x2＋3x－1>0 B．比较两数大小
C．撸起袖子加油干！ D．cos45°＝
答案 D
解析 A项不能判断真假，不是命题；B，C两项不是陈述句，不是命题；D
项是命题．
2．下面所给三个命题中真命题的个数是( )
①若ac2>bc2，则a>b；
②若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
③若二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该二次函数的图象与x轴有
公共点．
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 ①该命题为真命题，由ac2>bc2，得c2>0，则有a>b.②该命题为真命题，
根据圆内接四边形的定义可进行判定．③该命题为假命题，因为当b2－4ac<0时，
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数的图象与 x轴无公共点．
综上所述，故选C.
3．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )
A．∀x∈R，|x|＋x2<0
B．∀x∈R，|x|＋x2≤0
C．∃x∈R，|x|＋x2<0
D．∃x∈R，|x|＋x2≥0
答案 C
解析 “∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“∃x∈R，|x|＋x2<0”．
4．已知x ，x ∈R，则“x >1且x >1”是“x ＋x >2且x x >1”的( )
1 2 1 2 1 2 1 2
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由x ＞1且x ＞1得x ＋x ＞1＋1＝2，x x ＞1×1＝1，所以“x ＞1且
1 2 1 2 1 2 1
x ＞1”是“x ＋x ＞2且x x ＞1”的充分条件；设x ＝3，x ＝，则x ＋x ＝＞2
2 1 2 1 2 1 2 1 2
且x x ＝＞1，但x ＜1，所以不满足必要性．故选A.
1 2 2
5．下列命题中，真命题有( )
①mx2＋2x－1＝0是关于x的一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴
至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 A
解析 对于①来说，当m＝0时，mx2＋2x－1＝0是一元一次方程；对于②来
说，抛物线y＝ax2＋2x－1对应的一元二次方程的判别式 Δ＝4＋4a，当a<－1时，
方程无实数根，此时抛物线与x轴无交点；③正确，A⊆B，B⊆A⇔A＝B；空集是
任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故④错误．
6．“a2＋(b－1)2＝0”是“a(b－1)＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 a2＋(b－1)2＝0⇒a＝0且b＝1，而a(b－1)＝0⇒a＝0或b＝1，故“a2
＋(b－1)2＝0”是“a(b－1)＝0”的充分不必要条件．
7．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所
含元素的个数为( )
A．3 B．6
C．8 D．10
答案 D
解析 当x＝5时，y＝1,2,3,4；当x＝4时，y＝1,2,3；当x＝3时，y＝1,2；
当x＝2时，y＝1，共10个．故选D.
8．在下列命题中，真命题的个数是( )
①∀x∈R，x2＋x＋3>0；
②∀x∈Q，x2＋1是有理数；
③关于x的方程x2＋|x|－6＝0有四个实数根；④∃x，y∈Z,3x－2y＝10.
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 ①中，x2＋x＋3＝2＋>0，故①是真命题；②中，∵x∈Q，∴x2＋1是有
理数，故②是真命题；③中，由x2＋|x|－6＝0，得|x|＝2，∴x＝±2，方程有两个
实数根，故③是假命题；④中，当x＝4，y＝1时，结论成立，故④是真命题．
由以上可知，正确选项为C.
9．给出下列四个命题：
①设集合X＝{x|x>－1}，则{0}∈X；
②空集是任何集合的真子集；
③集合A＝{y|y＝}，B＝{x|y＝}表示同一集合；
④集合P＝{a，b}，集合Q＝{b，a}，则P＝Q.
其中正确的命题是( )
A．①② B．①③
C．③④ D．④
答案 D
解析 ①中{0}与X均表示集合，不能用∈来表示集合与集合之间的关系，
①不正确；②中空集是任何非空集合的真子集，②不正确；③中A＝{y|y≥0}，B
＝{x|x≥1或x≤－1}，故不是同一集合，③不正确；④中根据集合中元素的无序
性知④正确．故选D.
10．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．∀x∈R，＝x
D．正方形是矩形
答案 D
解析 A中的命题是全称量词命题，但 a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－
1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称量词命题，但是假命题；C中的命题是
全称量词命题，但＝|x|，故是假命题；D中的命题是全称量词命题且是真命题，
故选D.
11．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合 C使得A⊆C，B⊆∁U C”是
“A∩B＝∅”的( )
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
答案 C
解析
若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由
Venn图可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁U C.故“存在集合C使得A⊆C，
B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充要条件．
12．已知△ABC的边长为a，b，c，定义它的等腰判别式为D＝max{a－b，
b－c，c－a}＋min{a－b，b－c，c－a}，则“D＝0”是“△ABC 为等腰三角
形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 充分性：若“D＝0”，设c≥b≥a，则D＝max{a－b，b－c，c－a}
＋min{a－b，b－c，c－a}＝c－a＋b－c＝0或c－a＋a－b＝0，∴a＝b或b＝c，
则△ABC一定为等腰三角形，所以充分性成立．
必要性：若△ABC为等腰三角形，设a＝b，当c≠a时，则b－c与c－a中必
然有一个为最大值，另一个为最小值，则D＝b－c＋c－a＝b－a＝0；当c＝a时，
D＝0＋0＝0，所以必要性成立．故选C.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横
线上)
13．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗
人王维的《相思》诗，在这四句诗中，可作为命题的是________________．
答案 红豆生南国
解析 “红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐
代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多
采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．
14．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的________条件．答案 充要
解析 因为x∈R，“x>1”⇔“x3>1”，所以“x>1”是“x3>1”的充要条件．
15．命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则命题綈p为________________．
答案 ∃x∈R，x2＋x＋1＝0
解析 命题p是全称量词命题，根据全称量词命题的否定是改量词，否结论，
则是∃x∈R，x2＋x＋1＝0.
16．由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命题，求得实数m的取值范围是
m>a，则实数a＝________.
答案 1
解析 因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命题，所以其否定
“∀x∈R，x2＋2x＋m≠0”是真命题，等价于方程x2＋2x＋m＝0无实根，所以Δ
＝4－4m<0，解得m>1，又因为m的取值范围是(a，＋∞)，所以实数a＝1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p ：∃x∈R，x2－x＋1≤0；
1
(2)p ：所有的菱形都是平行四边形；
2
(3)p ：有的梯形是等腰梯形；
3
(4)p ：任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；
4
(5)p ：有一个素数含三个正因数．
5
解 (1)綈p ：∀x∈R，x2－x＋1>0；真命题．
1
(2)綈p ：存在一个菱形，它不是平行四边形；假命题．
2
(3)綈p ：所有的梯形都不是等腰梯形；假命题．
3
(4)綈p ：存在x∈Z，使x2的个位数字等于3；假命题．
4
(5)綈p ：所有的素数都不含三个正因数；真命题．
5
18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－
1}，且B≠∅.
(1)若“命题p：∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)若“命题q：∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
解 (1)∵A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且 B≠∅，“命题
p：∀x∈B，x∈A”是真命题，
∴B⊆A，B≠∅，∴
解得2≤m≤3.
(2)q为真，则A∩B≠∅.
∵B≠∅，∴m≥2，∴∴2≤m≤4.
19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－1
