2024-2025 学年海南省先锋联盟高一上学期 11 月期中调研数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 ， ，则 ( )
A={x∈N|−√3<x<2} B={y|y=√x−1} A∩B=
A. B. C. D.
{0,1} ⌀ {1} {x|0≤x<2}
2.已知命题 ， ，则 是( )
P:∀x∈N √x2+1∈N ¬P
A. ， B. ，
∃x ∈N √x2+1∈N ∀x ∈N √x2+1∉N
0 0
C. ， D. ，
∃x ∉N √x2+1∉N ∃x ∈N √x2+1∉N
0 0 0 0
3.下列函数与y=x表示同一函数的是( )
n2
A. y=(√x) 2 B. u=√3 v3 C. y=√x2 D. m=
n
{x2−2x,x≥0
4.函数 ，则函数 的单调递减区间为( )
f (x)= 1 f (x)
,x<0
x
A. (−∞,0)∪[0,1] B. (−∞,0)∪[1,+∞)
C. (−∞,0)和[0,1] D. [1,+∞)
5.设a∈R，若关于x的不等式ax2−x<0的解集是区间(0,2)的子集，则a的取值范围是( )
A. (1 ) B. [1 ) C. ( 1) D. ( 1]
,+∞ ,+∞ 0, 0,
2 2 2 2
6.设函数 2(x+1) 2 的最大值为 ，最小值为 ，则 ( )
f (x)= M m M+m=
x2+1
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2 1
7.已知 + =1(x>0,y>0)，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
x y
A. −4<m<2 B. −2<m<4 C. 2<m<4 D. −4<m<−2
8.已知函数f (x)=x|x−a|，其中a∈R，下列结论正确的是( )
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1 1A. 存在实数a，使得函数f (x)为减函数
B. 存在实数a，使得函数f (x)为偶函数
C. 当a≤−2时，方程f (x)+1=0有三个实根
D. 当a>0时，若方程f (x)=k(x+2)(k>0)有两个实根，则a=k±2√2k
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是( )
1 1
A. 若a>|b|，则a2>b2 B. 若a<|b|，则 >
a2 b2
c c 1 1
C. 若a>b>0，c<0，则 > D. 若a>b>c，则 >
a b a−c b−c
1
10.已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)=x+ ，则以下说法中正确的是( )
x+a
1
A. f (0)=
a
5
B. 若f (−2)=− ，则a=0
2
C. 若a=−4，则函数f (x)在区间(4,+∞)上有最大值6
D. 若a=2，则函数f (x)在R上单调递增
11.对∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.41]=1，[−2.57]=−3，我们把y=[x]，x∈R叫做
取整函数，也称为高斯函数.以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题的有( )
A. 若{x}=x−[x]，则{x}∈(0,1)
B. 对 ，有 [ 1 ] [ 1] [ 3 ] [ 9 ] 成立
∀x∈R [x]+ x+ + x+ + x+ +⋯+ x+ =[10x]
10 5 10 10
C. 不等式 的解集为
6[x] 2+7[x]−3≥0 (−∞,−1)∪[1,+∞)
1
D. 若函数f (x)=[x] 2 − [x]+1，则f (x)≥1
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出同时满足以下条件的 一个函数f (x)的解析式为 ．①定义域为R，②在(−∞,0)上是增函数，
③函数f (x+1)是偶函数．
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2 113.已知幂函数 经过点 ， {f (x),x≥2则 ．
f (x) (4,2) g(x)= g[g(3)]=
−x3,x<2
14.已知函数
{2x2,x≥0，若对任意
，不等式 恒成立，则实数 的
f (x)= x∈[m,m+1] f (x2+m)≤16f (x) m
−x2,x<0
取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 ，集合 ．
A={x|x2+2x−3≤0} B={x|−1<x<3}
分别求 ， ．
(1) A∩B A∪(∁ B)
R
(2)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0解集为B，且a∈{−1,0,1}，求b，c的值．
16.(本小题12分)
已知集合 { x−2 }， ．
A= x| <0,x∈R B={x|k<x<3k−1}
x+1
(1)若命题p:x∈B是命题q:x∈A的充分不必要条件，求实数k的取值范围；
(2)若命题r:∀x∈A，x∉B是假命题，求实数k的取值范围．
17.(本小题12分)
已知函数
f (x)=
mx+n的定义域在
(−1,1)
上的奇函数，且
f
(1)
=−
2．
x2−1 2 3
(1)求m，n的值；
(2)判断函数y=f(x)的单调性，并用定义法证明；
求使得 成立的实数 的取值范围．
(3) f (t−1)+f (t2−1)<0 t
18.(本小题12分)
新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展必然.某汽车企业为了响应国家号召，2024年积极引
进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本3000万元，每生产x(百辆)新能源汽车，需另
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3 1{
10x2+100x,(0<x≤40)
投入成本 万元，且 由市场调研知，每辆车售价 万元，且生产
m(x) m(x)= 8100 9
904x+ −17000,(x>40)
x
的车辆当年能全部销售完．
(1)求出2024年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(利润=销售量×售价−成本)；
(2)2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润．
19.(本小题12分)
小明同学通过课外阅读了解到一元三次函数的图象均存在对称中心，而函数的图象关于(m,n)成中心对称
的充要条件是 是奇函数 若函数 ．
y=f (x+m)−n . f (x)=ax3+bx2+cx(a≠0)
1
(1)若a= ，b=−1，c=−3，
3
①求函数f (x)的图象的对称中心(m,n)．
f (x+Δx)−f (x)
②我们知道：设区间D⊆R，当x∈D，若∀Δx>0都有 >0，则f (x)在D上是增函数，
Δx
并且f (x)在关于x=m对称 区间上有相同的单调性.请依据以上知识，求出f (x)的单调递增区间．
(2)若函数y=f (x+3)是奇函数，解关于x的不等式f (x)>0．
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4 1参考答案
1.A
2.D
3.B
4.C
5.B
6.B
7.A
8.D
9.AC
10.BD
11.BCD
12. 答案不唯一
f (x)=−(x−1) 2 ( )
13.−3√3
14.[ 1+√13]
0,
2
15.(1)
由已知得 ， ，
A={x|−3≤x≤1}
∁
B={x|x≤−1或x≥3}
R
所以 ， ．
A∩B={x|−1<x≤1} A∪(∁ B)={x|x≤1或x≥3}
R
(2)
由题意知a<0且−1和3是方程ax2+bx+c=0的两个根，
a<0
{
b
− =−1+3=2，即 ， ，
∴ a b=−2a c=−3a(a<0)
c
=−1×3=−3
a
因为a∈{−1,0,1}，∴a=−1
∴b=2，c=3．
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5 116.(1)
由题可知
A={x|−1<x<2}
因为p是q的充分不必要条件，所以BA，
1
①当B=⌀时，k≥3k−1，即k≤ ，成立，
2
{3k−1>k
1 1
②当B≠⌀时， k≥−1 ，解得 <k≤1，经验证等号成立，所以 <k≤1，
2 2
3k−1≤2
综上，k的取值范围为(−∞,1]．
(2)
解法一：由 知 ，
(1) A={x|−1<x<2}
因为命题r:∀x∈A，x∉B是假命题
所以命题∃x∈A，x∈B是真命题，
所以A∩B≠⌀，
{
k<3k−1
1
又因为B={x|k<x<3k−1}，所以 k<2 ，解得 <k<2．
2
3k−1>−1
实数 的取值范围为(1 )．
k ,2
2
解法二：由 知 ，
(1) A={x|−1<x<2}
因为“命题r:∀x∈A，x∉B”是假命题
所以命题∃x∈A，x∈B是真命题，
所以A∩B≠⌀，
如图1
{k<3k−1
−1≤k<2 ，所以1≤k<2
3k−1≥2
如图2
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6 1{k<3k−1
k≤−1 ，此时k无解，
3k−1≥2
如图3
{
k<3k−1
k≤−1 ，此时k无解.，
2>3k−1>−1
如图4
{k<3k−1
1
k≥−1 ，所以 <k≤1，
2
3k−1≤2
综上，实数 的取值范围为(1 )．
k ,2
2
17.(1)
{ f (0)=0
因为函数 是定义在 上的奇函数，所以
f (x) (−1,1) (1) 2
f =−
2 3
{
n=0
得 ，解得{n=0，所以 x
2 2 f (x)=
− m=− m=1 x2−1
3 3
由题意，f (x)定义域在(−1,1)关于原点对称，且任意x∈(−1,1)，
都有 −x −x ，所以 是奇函数，满足题意，
f (−x)= = =−f (x) f (x)
(−x) 2−1 x2−1
故m=1，n=0；
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7 1(2)
函数y=f (x)在(−1,1)上是减函数．
设 ， ， ，
∀x x ∈(−1,1) x <x
1 2 1 2
x x x (x2−1)−x (x2−1) (x x +1)(x −x )
f (x )−f (x )= 1 − 2 = 1 2 2 1 = 1 2 2 1 ，
1 2 x2−1 x2−1 (x2−1)(x 2−1) (x2−1)(x2−1)
1 2 1 2 1 2
， ， ，所以 ，
∵∀x x ∈(−1,1) x <x (x x +1)(x −x )>0
1 2 1 2 1 2 2 1
，所以 ，所以 在 上是减函数．
(x2−1)(x2−1)>0 f (x )−f (x )>0 f (x) (−1,1)
1 2 1 2
(3)
f (t−1)+f (t2−1)<0⇔f (t−1)<−f (t2−1)
因为 是定义在 上的奇函数，所以
f (x) (−1,1) −f (t2−1)=f (1−t2)
x
f (t−1)<f (1−t2)由(2)知f (x)= 在(−1,1)上是减函数．
x2−1
{−1<t−1<1
{
0<t<2
所以 ，解得 ，解得 ．
−1<1−t2<1 0<t<√2或−√2<t<0 1<t<√2
t−1>1−t2 t>1或t<−2
故 的取值范围 ．
t (1,√2)
18.(1)
每辆车售价9万元，年产量x(百辆)时销售收入为900x万元，
{10x2+100x+3000,(0<x≤40)
总成本为
3000+m(x)= 8100 ,
904x+ −14000,(x>40)
x
{900x−(10x2+100x+3000),(0<x≤40) {−10x2+800x−3000,(0<x≤45)
L(x)= 900x− ( 904x+ 8100 −14000 ) ,(x>40) = −4x− 8100 +14000,(x>45)
x x
(2)
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8 1由 当 时， ，
(1) 0<x≤40 L(x)=−10(x−40) 2+13000
所以 时， 万元
x=40 L(x) =13000( )
max
当 时， ( 8100) √ 8100
x≥40 L(x)=− 4x+ +14000≤−2 4x⋅ +14000=13640
x x
8100
当且仅当4x= 即x=45时取等号
x
即 百辆 时，
x=45( ) L(x) =13640
max
因为13640>13000万元，
所以年产量45百辆时利润最大，最大利润为13640万元．
19.(1)
1 1
①∵a= ，b=−1，c=−3，∴f (x)= x3−x2−3x，
3 3
设f (x)关于(m,n)中心对称，则y=f (x+m)−n为奇函数，
1
y=f (x+m)−n= (x+m) 3−(x+m) 2−3(x+m)−n
3
1 1
= x3+(m−1)x2+(m2−2m−3)x+ m3−m2−3m−n，
3 3
∵y=f (x+m)−n是奇函数，
1 11
则m−1=0， m3−m2−3m−n=0，解得m=1，n=− ，
3 3
所以 的对称中心为( 11)；
f (x) 1,−
3
②∵f (x+Δx)−f (x)= 1 (x+Δx) 3−(x+Δx) 2−3(x+Δx)− (1 x3−x2−3x )
3 3
1
=(Δx)x2+((Δx) 2−2(Δx))x+ (Δx) 3−(Δx) 2−3(Δx)，
3
f (x+Δx)−f (x) 1
∴ =x2+((Δx)−2)x+ (Δx) 2−(Δx)−3
Δx 3
1
=x2−2x−3+ (Δx) 2+(Δx)(x−1)，
3
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9 11
设g(Δx)=x2−2x−3+ (Δx) 2+(Δx)(x−1)，
3
f (x+Δx)−f (x)
当x>1时，∵∀Δx>0都有 >0，
Δx
只需 ， ，
g(0)=x2−2x−3>0 ∴x>3
∴当x>1时，f (x)的递增区间是(3,+∞)，
又 的对称中心为( 11)， 在 也递增，
∵f (x) 1,− ∴f (x) (−∞,−1)
3
∴f (x)的递增区间是(3,+∞)，(−∞,−1)；
(2)
因为函数y=f (x+3)是奇函数，所以f (x)图象关于(3,0)成中心对称，
所以f (3)=0，
又因为f (0)=0，所以f (6)=0，
所以f (x)=ax(x−3)(x−6)，
∴不等式f (x)>0，即是ax(x−3)(x−6)>0，
当a>0时，有x(x−3)(x−6)>0，∴0<x<3或x>6，
此时，不等式解集为(0,3)∪(6,+∞)；
当a<0时，有x(x−3)(x−6)<0，∴x<0或3<x<6，
此时，不等式解集为(−∞,0)∪(3,6)．
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10 1
