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黄金冲刺大题05 导数（精选30题）
1．（2024·安徽·二模）已知函数 .
(1)求函数 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间和极值.
【答案】(1) ；
(2)递增区间为 ，递减区间为 ，极大值 ，极小值 .
【分析】（1）求出函数 的导数，赋值求得 ，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）由（1）的信息，求出函数 的导数，利用导数求出单调区间及极值.
【详解】（1）函数 ，求导得 ，
则 ，解得 ，于是 ， ，
所以所求切线方程为： ，即 .
（2）由（1）知，函数 ，定义域为 ，
求导得 ，
当 或 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 取得极大值 ，
当 时， 取得极小值 ，
所以函数 的递增区间为 ，递减区间为 ，
极大值 ，极小值 .
2．（2024·江苏南京·二模）已知函数 ，其中 ．(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)当 时，若 在区间 上的最小值为 ，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ，分别求出 及 ，即可写出切线方程；
（2）计算出 ，令 ，解得 或 ，分类讨论 的范围，得出 的单调性，由 在区
间 上的最小值为 ，列出方程求解即可．
【详解】（1）当 时， ，则 ， ，所以 ，
所以曲线 在 处的切线方程为： ，即 ．
（2） ，令 ，解得 或 ，
当 时， 时， ，则 在 上单调递减，
所以 ，则 ，符合题意；
当 时， 时， ，则 在 上单调递减，
时， ，则 在 上单调递增，
所以 ，则 ，不合题意；
当 时， 时， ，则 在 上单调递减，
所以 ，不合题意；
综上， ．3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知 ， .
(1)讨论 的单调性.
(2)若 使得 ，求参数 的取值范围.
【答案】(1)当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增.
(2)
【分析】（1）对 求导数，然后分类讨论即可；
（2）直接对 和 分类讨论，即可得到结果.
【详解】（1）由 ，知 .
当 时，有 ，所以 在 上单调递减；
当 时，对 有 ，
对 有 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）当 时，由（1）的结论，知 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以对任意的 都有 ，
故 恒成立，这表明此时条件不满足；当 时，设 ，由于
，
，
故由零点存在定理，知一定存在 ，使得 ，
故 ，从而 ，这表明此时条件满足.
综上， 的取值范围是 .
4．（2024·福建漳州·一模）已知函数 ， 且 ．
(1)证明：曲线 在点 处的切线方程过坐标原点．
(2)讨论函数 的单调性．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）先利用导数的几何意义求得 在 处的切线方程，从而得证；
（2）分类讨论 与 ，利用导数与函数的单调性即可得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 在 处的切线方程为: ，
当 时， ，故 ，
所以曲线 在点 处切线的方程过坐标原点.
（2）由（1）得 ，当 时， ，则 ，故 单调递减；
当 时，令 则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
5．（2024·山东·二模）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
【答案】(1) 的减区间为 ，增区间为
(2)
【分析】（1）当 时， ，求导得 ，令 ，
求 确定 的单调性与取值，从而确定 的零点，得函数的单调区间；
（2）求 ，确定函数的单调性，从而确定函数 的最值，即可得 的取值范围．
【详解】（1）当 时， ，
则 ，
设 ，则 恒成立，又 ，
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 的减区间为 ，增区间为 ；（2） ，
设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
又 ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， 取得极小值，也是最小值，
所以 ，
所以 ，即 ，
设 ，易知 单调递增，且 ，
所以 ，解得 ，
综上， .
6．（2024·山东·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个极值点 ，且 ，求a的取值范围．
【答案】(1)增区间 ，减区间
(2)
【分析】（1）将 代入求导，然后确定单调性即可；（2）求导，根据导函数有两个根写出韦达定理，代入 ，构造函数，求导，研究函数
性质进而求出a的取值范围．
【详解】（1）当 时， ， ，
则 ，
当 ， ， 单调递增，当 ， ， 单调递减，
所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；
（2） ，
所以 ，
设 ，令 ，由于 有两个极值点 ，
所以 ，解得 ．
由 ， ，
得
，
即 ，令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，且 ，所以 ，故a的取值范围是 ．
7．（2024·湖北·二模）求解下列问题，
(1)若 恒成立，求实数k的最小值；
(2)已知a，b为正实数， ，求函数 的极值．
【答案】(1)1
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，然后分 和 讨论，确定单调性，进而得最值；
（2）先发现 ，当 时， ，当 ， 时，取 ， ，
求导，研究单调性，进而求出最值得答案.
【详解】（1）记 ，则需使 恒成立，
，
当 时， 恒成立，则 在 上单调递减，
且在 时， ，不符合题意，舍去；
当 时．令 ，解得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
要使 恒成立，只要 即可，
解得 ，所以k的最小值为1；
（2） ， ， ， ，易知 ，
当 时， ，此时函数无极值；当 ， 时， ，
取 ， ， ， ， ， ， ，
则 ，当 时，由 得 ，由（1）知 ，
当 时， ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，当 时， ，
所以 ，则 ，所以 ，
即 在 上单调递增，在 单调递减．
所以函数 ， ， ，
当 时，同理有 ，
由 得 ，即 在 上单调递增，在 上单调递减．
所以函数 ， ， ，
综上可知，当 时，函数 没有极值；当 时，函数 有唯一的极大值 ，其中，没有极小值．
【点睛】关键点点睛：取 ，将两个参数的问题转化为一个参数的问题，进而求导解答问题.
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数
．
(1)求函数 的极值；
(2)若 恒成立，求 的最大值．
【答案】(1)极小值为 ，极大值为 ；
(2)3.
【分析】（1）判断函数 为奇函数，利用导数求出 在区间 上的极值，利用奇偶性即可求得定
义域上的极值.
（2）利用导数证明当 时， 恒成立，当 时，等价变形不等式并构造函数
，利用导数并按导数为负为正确定 的取值范围，进而确定不等式恒成立与否
得解.
【详解】（1）函数 ， ，
即函数 为奇函数，其图象关于原点对称，
当 时， ，求导得：
，
由于 ，由 ，得 ，解得 ，由 ，得 ，解得 ，即 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此函数 在 上有极小值 ，
从而 在 上的极小值为 ，极大值为 .
（2）当 时， 恒成立，即 恒成立，亦即 恒成立，
令 ，求导得 ，
则函数 在 上为增函数，有 ，因此 恒成立；
当 时， 恒成立，即不等式 恒成立，
令 ，求导得：
令 ，求导得则
，
由 ，得 ，
当 时，即 时， ，则函数 在 上单调递减，则有 ，即 ，因此函数 在 上单调递减，有 ，即 ，
当 时，即 时，存在一个 ，使得 ，
且当 时， ，即 在 上单调递增，且 ，
则 ，于是 在 上单调递增，因此 ，即 ，与 矛盾，
所以 的最大值为3.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的
新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩
法，注意恒成立与存在性问题的区别．
9．（2024·湖北·模拟预测）已知函数 ， ，
(1)若对定义域内任意非零实数 ， ，均有 ，求a；
(2)记 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导可得 ，再分 与 两种情况分析原函数的单调性，当 时分析极值
点的正负与原函数的正负区间，从而确定 的值；
（2）由（1）问的结论可知， ，再累加结合放缩方法证明即可.
【详解】（1） 的定义域为 ，且 ；，因此 ；
i. 时， ，则此时令 有 ，令 有 ，
则 在 上单调递增， 上单调递减，又 ，
于是 ，此时令 ，有 ，不符合题意；
ii. 时， 有零点0和 ，
若 ，即 ，此时令 有 ， 在 上单调递减，
又 ，则 ，令 ， ，有 ，不符合题意；
若 ，即 ，此时令 有 ， 在 上单调递减，
又 ，则 ，令 ，有 ，不符合题意；
若 ，即 ，此时 ， 在 上单调递增，又 ，
则 时 ， 时 ；则 时 ，也即对 ， ，
综上，
（2）证：由（1）问的结论可知， 时， ；
且 时 ， ；
则 时， ，令 ，有 ，
即 ，于是
将上述n个式子相加， ；
欲证 ，只需证 ，只需证 ；
因为 ，
所以 ，得证：
于是得证 .
【点睛】方法点睛：
（1）此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准，设极值点，并确定函数正负区间是解此题的
关键；
（2）对累加结构的不等式证明，一般需要应用前问的结论，取特定参数值，得出不等式累加证明，遇到
不能累加的数列结构，需要进行放缩证明.
10．（2024·湖南·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2) 时；
（ⅰ）若 ，求 的取值范围；
（ⅱ）证明： ．【答案】(1)
(2)
（ⅰ） （ⅱ）证明见解析
【分析】（1）令 时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可.
（2）（ⅰ）设 由 得 ，再证明此时满足 .
（ⅱ）根据（ⅰ）结论判断出 在 上单调递增， 即
【详解】（1）当 时，
所以切线方程为： 即
（2）（ⅰ）
即 ，
设
又 是 的一个必要条件，即
下证 时，满足
又 ，
设 在 上单调递减，
所以 ，
又 即 在 单调递增.时， ；
下面证明 时不满足 ，
，
令 ，
则 ，
，
∴ 在 为增函数，
令 满足 ，
则 ，
又 ∴ ,使得 ，
当 时， ，
∴此时 在 为减函数，
当 时， ，
∴ 时，不满足 恒成立.
综上 .
（ⅱ）设由（ⅰ）知 ，
在 上单调递增， 即
【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是进行必要性探路，然后证明充分性，得到所要求的参数
范围即可．
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ，讨论曲线 与曲线 的交点个数．
【答案】(1) ；
(2)2．
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解方程，
（2）求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解.
【详解】（1）依题意， ，故 ，
而 ，故所求切线方程为 ，即 ．
（2）令 ，故 ，
令 ，
，令 ，
．①当 时， ，
在 上为减函数，即 在 上为减函数，
又 ，
在 上有唯一的零点，设为 ，即 ．
在 上为增函数，在 上为减函数．
又
，
在 上有且只有一个零点，在 上无零点；
②当 时， 单调递减，
又 ，
在 内恰有一零点；
③当 时， 为增函数，
，
单调递增，又 ，所以存在唯一 ，当 时， 递减；当 时， 递增，
，
在 内无零点．综上所述，曲线 与曲线 的交点个数为2．
【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，
如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单
调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是
那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
12．（2024·广东佛山·二模）已知 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个极值点 ， ，证明： .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性；
（2）借助换元法，令 ， ， ，可得 、 是方程 的两个正根，借助韦达定理
可得 ， ，即可用 、 表示 ，进而用 表示 ，
构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.
【详解】（1）当 时， ，
，
则当 ，即 时， ，当 ，即 时， ，
故 的单调递减区间为 、 ，单调递增区间为 ；
（2） ，令 ，即 ，
令 ， ，则 、 是方程 的两个正根，
则 ，即 ，
有 ， ，即 ，
则
，
要证 ，即证 ，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，
则 在 上单调递减，
又 ， ，
故存在 ，使 ，即 ，则当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增， 在 上单调递减，
则 ，
又 ，则 ，故 ，
即 ，即 .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令 ， ， ，从而可结合韦达定理得 、
的关系，即可用 表示 ，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.
13．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若函数 在 上仅有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)极小值为 ，无极大值
(2)
【分析】（1）求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解；
（2）把原函数有两个零点转化为 在 上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数
的单调性，列不等式求解即可.
【详解】（1）当 时， R），所以 ，
令 ，则 ，- 0 +
单调递
极小值 单调递增
减
所以 ，
所以 的极小值为 ，无极大值.
（2）函数 在 上仅有两个零点，
令 ，则问题等价于 在 上仅有两个零点，
易知 ，因为 ，所以 .
①当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上没有零点，不符合题意；
②当 时，令 ，得 ，
所以在 上， ，在 上， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 .
因为 在 上有两个零点，所以 ，所以 .
因为 ，
令 ，则 ，
所以在 上， ，在 上， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以 ，
所以当 时， 在 和 内各有一个零点，
即当 时， 在 上仅有两个零点.
综上，实数 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：
（1）确定 的定义域.
（2）计算导数 .
（3）求出 的根.
（4）用 的根将 的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内 的符号，进而确定
的单调区间. ，则 在对应区间上单调递增，对应区间为增区间； ，则 在
对应区间上单调递减，对应区间为减区间.
如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
14．（2024·江苏南通·二模）已知函数 ， ， .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 且 恒成立，求 的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2) .
【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对 与 分类讨论即可得；
（2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.
【详解】（1） （ ），当 时，由于 ，所以 恒成立，从而 在 上递增；
当 时， ， ； ， ，
从而 在 上递增，在 递减；
综上，当 时， 的单调递增区间为 ，没有单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）令 ，要使 恒成立，
只要使 恒成立，也只要使 .
，
由于 ， ，所以 恒成立，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，解得： ，
所以 的最小值为 .
15．（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)证明： .
【答案】(1)答案见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）求导可得 ，分 和 两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；（2）构建 ， ，根据单调性以及零点存在性定理分析 的
零点和符号，进而可得 的单调性和最值，结合零点代换分析证明.
【详解】（1）由题意可得： 的定义域为 ， ，
当 时，则 在 上恒成立，
可知 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 上单调递减，在 上单调递增；
综上所述：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）构建 ，
则 ，
由 可知 ，
构建 ，
因为 在 上单调递增，则 在 上单调递增，
且 ，
可知 在 上存在唯一零点 ，当 ，则 ，即 ；
当 ，则 ，即 ；
可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
又因为 ，则 ， ，
可得 ，
即 ，所以 .
16．（2024·福建·模拟预测）已知函数 在 处的切线在 轴上的截距为 ．
(1)求 的值；
(2)若 有且仅有两个零点，求 的取值范围．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）借助函数与方程的关系，可将 有且仅有两个零点转化为方程 有两个根，构造对应函数
并借助导数研究单调性及值域即可得.
【详解】（1） ， ， ，
则函数 在 处的切线为： ，
即 ，令 ，则有 ，即 ；
（2）由 ，即 ，若 有且仅有两个零点，则方程 有两个根，
即方程 有两个根，
令 ，则 ，
则当 时， ，则当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
又 时， ， 时， ，
故当 时，方程 有两个根，即 有且仅有两个零点.
17．（2024·浙江杭州·二模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点，
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）证明：函数 有且只有一个零点．
【答案】(1)答案见解析；
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，再分 、 、 三种情况，分别求出函数的单调区间；
（2）（ⅰ）由（1）直接解得；（ⅱ）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
且 ，当 时， 恒成立，所以 在 单调递减；
当 时，令 ，即 ，解得 ， ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以当 时 ，
当 时 ，
当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上单调递减；
当 时，此时 ，
所以 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上可得：当 时 在 单调递减；
当 时 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）（ⅰ）由（1）可知 ．
（ⅱ）由（1） 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，又 ，所以 ，则 ，
又 ，
又 ，
所以 在 上没有零点，
又 ，则 ，则 ， ，
则 ，
所以 ，所以 在 上存在一个零点，
综上可得函数 有且只有一个零点．
18．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ， 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2) ．
【分析】（1）利用导数分类讨论判断函数 的单调性，即可求解；
（2）先利用导数证明不等式 ，分离变量可得 恒成立，进而
，即可求解.
【详解】（1）函数 ， 的定义域为 ，且 ．当 时， ， 恒成立，此时 在区间 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
当 时， ， 在区间 上单调递减．
综上所述，当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
（2）设 ，则 ，
在区间 上， ， 单调递减，在区间 上， ， 单调递增，
所以 ，所以 （当且仅当 时等号成立）．
依题意， ， 恒成立，即 恒成立，
而 ，
当且仅当 时等号成立．
因为函数 在 上单调递增， ， ，
所以存在 ，使得 成立．
所以 ，即a的取值范围是 ．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：
形如 的恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令 ，利用导数求得函数 的单调性与最小值，只需 恒成立即可；
2、参数分离法：转化为 或 恒成立，即 或 恒成立，只需利用导数求
得函数 的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数 的图象在 的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
19．（2024·广东·二模）已知 .
(1)求 的单调区间；
(2)函数 的图象上是否存在两点 （其中 ），使得直线 与函数 的图象
在 处的切线平行？若存在，请求出直线 ；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增.
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间；
（2）求出直线 的斜率，再求出 ，从而得到 的等式，再进行换元和求导，即可解出答案.
【详解】（1）由题可得
因为 ，所以 ，
所以当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增.
综上， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由题意得，斜率，
,
由 得，
，即 ，即
令 ，不妨设 ，则 ，
记
所以 ，所以 在 上是增函数，所以 ，
所以方程 无解，则满足条件的两点 不存在.
20．（2024·广东深圳·二模）已知函数 ， 是 的导函数，且 ．
(1)若曲线 在 处的切线为 ，求k，b的值；
(2)在（1）的条件下，证明： ．
【答案】(1) ， ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，求导可得 的值，再由导数意义可求切线，得到答案；
（2）设函数 ，利用导数研究函数 的单调性从而求出最小值大于0，可得证.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ．则曲线 在点 处的切线斜率为 ．
又因为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即得 ， ．
（2）设函数 ， ，
则 ，
设 ，则 ，
所以，当 时， ， 单调递增．
又因为 ，
所以， 时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减．
又当 时， ，
综上 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ，
即 ，
所以，当 时， ．
21．（2024·辽宁·二模）已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线方程为 ，求实数 的值；
(2)若对于任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围．【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据导数几何意义和切线方程，可直接构造方程组求得结果；
（2）构造函数 ，将问题转化为 恒成立；求导后，分别在 、
和 的情况下，结合单调性和最值求得符合题意的范围.
【详解】（1） ， ，
在 处的切线为 ， ，
解得： ， .
（2）由 得： ，
令 ，则当 时， 恒成立；
；
①当 时， ， ， ，
在 上单调递减， ，不合题意；
②当 时， ，
i.当 ，即 时， 在 上恒成立，
在 上单调递增， ，符合题意；ii.当 ，即 时，
若 ，则 ， 在 上单调递减，
此时 ，不合题意；
综上所述：实数 的取值范围为 .
22．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)当 时，求 的单调区间和极值；
(3)若对任意 ，有 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 的单调递减区间为： ；递增区间为： ，
的极大值为 ，无极小值
(3)
【分析】（1）利用已知确定切点，导数的几何意义确定斜率，求出切线方程即可.
（2）利用导数先求解单调性，再确定极值即可.
（3）利用分离参数法结合导数求解参数范围即可.
【详解】（1）当 时， ，
则 ， ， ，
所以切线方程为 ．（2）当 时， ， ．
令 ， ，
故 在R上单调递减，而 ，因此0是 在R上的唯一零点
即：0是 在R上的唯一零点
当x变化时， ， 的变化情况如下表：
x 0
0
极大值
的单调递减区间为： ；递增区间为：
的极大值为 ，无极小值
（3）由题意知 ，即 ，即 ，
设 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 ， ， 单调递增，
当 ， ， 单调递减，
所以 ，
所以23．（2024·安徽合肥·二模）已知曲线 在点 处的切线为 ．
(1)求直线 的方程；
(2)证明：除点 外，曲线 在直线 的下方；
(3)设 ，求证： ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求导，得到 ，利用导数的几何意义写出切线方程；
（2）令 ，二次求导得到函数单调性，结合特殊点函数值，得到所以 ，
当且仅当 等号成立，得到证明；
（3）求导得到 的单调性，结合函数图象得到 ，不妨令 ，结合曲线 在 点
的切线方程为 ，得到 ，转化为证明 ，又 ，只要证
，令 ，求导得到函数单调性，结合特殊点函数值得到答案.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以直线 的方程为： ，即
（2）令 ，则 ，
令 ，则 ，
由 ，解得 ，由 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，当且仅当 等号成立，
所以除切点 之外，曲线 在直线 的下方．
（3）由 ，解得 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
，
当 时， ．
因为 ，则 ，不妨令 ．
因为曲线 在 点的切线方程为 ，
设点 在切线上，有 ，故 ，
由（1）知 时， ，
则 ，即 ，
要证： ，
只要证： ，只要证： ，
又 ，
只要证： ，
令 ，
则 ，
易证 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 在 上单调递减，所以 成立，
所以原命题成立．
【点睛】关键点点睛：本题关键是利用函数在零点处的切线方程，得到 ，且 ，
从而只需证明 ，再勾股函数进行求解.
24．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在正数 ，使 成立，求 的取值范围；
(3)若 ，证明：对任意 ，存在唯一的实数 ，使得 成立.
【答案】(1)当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减.(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）计算 ，然后分类讨论即可得到单调性；
（2）对 和 两种情况分别讨论，即可得到取值范围是 ；
（3）首先证明 单调递减，即得唯一性；然后求导证明对任意的 ，都有 ；而对任意的
，都有 . 再利用该结论证明 ，从而得到存在性. 最后综合两方面
即证得结论.
【详解】（1）对 求导得 .
当 时，对 有 ，故 在 上单调递增；
当 时，有 ，而当 时，
，故当 时 ，当 时 ，从而 在 上单调递
增，在 上单调递减.
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.（2）若 ，由于 ，故存在正数 使得 ，条件满足；
若 ，则由（1）的结论，知 在 上单调递增，在 上单调递减，从而此时对任意的
都有 ，条件不满足.
综上， 的取值范围是 .
（3）设 ， ，我们分唯一性和存在性两方面来证明.
唯一性：由 ，知 的导数等于 ，而 ，故 显然恒为负，
从而 在 上单调递减.
特别地， 在 上单调递减.
这表明，使得 的 至多有一个，从而唯一性得证.
存在性：我们先考虑函数 ，这里 . 由于 ，故当 时 ，
当 时 ，从而 在 上单调递减，在 上单调递增，从而对于任意的 ，
都有 ，即 .
这就得到，对任意 ，有 .
从而，对任意的 ，都有 ；而对任意的 ，都有 .
然后回到原题，首先我们有.
同时我们又有
，
，
故 .
由零点存在定理，知一定存在 ，使得 .
综合上述的存在性和唯一性两个方面，知存在唯一的 ，使得 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，对于存在唯一性的证明，将唯一性和存在性分开论证，则证明
的逻辑会更加清晰，不易出现错误.
25．（2024·重庆·模拟预测）已知函数
(1)若过点 的直线与曲线 切于点 ，求 的值；
(2)若 有唯一零点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或【分析】（1）先求 ，得到切点，再求导，求出 得到切线斜率，利用点斜式写出切线方程，再由
切线过点 ，可求 的值.
（2）根据参数 的不同取值范围，讨论函数的单调性，求出函数的极值，结合当 趋近于0时，函数值的
符号，又函数只有一个零点，就可以确定 的取值范围.
【详解】（1）由题可得 ， ， ．
有 ，解得 ．
（2）因为 ，
令 ， ， ，
， ，
由 ，所以 在 上递减，在 上递增..
所以 ，当 时 ，
（ⅰ）当 时， ， ，
由 .
所以 在 上递减，在 上递增，当 时， ， ，
当 时， ，所以 有1个零点．
（ⅱ）当 时，由 ，所以 在 上递减，在 上递增，
，
①若 ， 有唯一零点.②若 ， ，当 时， ，
当 时， ，所以 有2个零点，不合题意；
③若 ， ， 无零点，
（ⅲ）当 时，设 满足 ，
①若 ， 在 上大于等于0，故有 单调递增，
，故有 唯一零点；
②若 ， 在 递增，在 递减，在 递增，
， 有唯一零点；
③若 ， 在 递增，在 递减，在 递增， ， 有唯一
零点；
综上，若 有唯一零点，a的取值范围是 或 .
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
26．（2024·江苏南通·模拟预测）设函数 ， .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 ，试判断函数 在区间 内的极值点的个数，并说明理由；
(3)求证：对任意的正数 ，都存在实数 ，满足：对任意的 ， .【答案】(1)减区间 ，增区间
(2) 在 内有一个极值点
(3)证明见解析
【分析】（1）求解 ，利用 ， ，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间．
（2） ，其中 ，再次构造函数令 ，分析 的零点情况． ，
令 ， ，列表分析得出 单调性，判断 ，由 ，可判断
的零点个数，即可判断 的极值点个数．
（3）先猜想 ， 恒成立．再运用导数判断证明．令 ， ．
，求解最大值，得出 即可．
【详解】（1）当 时， ， ，
令 ， ，列表分析
1
0
单调递减 单调递增
故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2） ， ，其中 ，
令 ， ，令 ， ，
列表分析：0
单调递
单调递增
减
，
而 ， ， ，
若 ，则 ， ， ，
因此 在 上有一个零点，所以 在 内有一个极值点；
（3）猜想： ， 恒成立．
证明如下：
由（2）得 在 上单调递增，且 ， ．
因为当 时， ，
所以 ．
故 在 上存在唯一的零点，设为 ．由
0
单调递减 单调递增
知， ， ，
又 ，而 时， ，
所以 （1）．
即 ， ．
所以对任意的正数 ，都存在实数 ，使对任意的 ，使 ．
补充证明令 ， ． ，
所以 在 上单调递增．
所以 时， ，即 ．
补充证明
令 ， ． ，
所以 在 上单调递减．
所以 时， ，即 ．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是先猜想 ， 恒成立，再运用导数判断证明，
对于存在性问题，找到一个可存在的情况进行证明.
27．（2024·河北保定·二模）已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，试讨论 的零点个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求得 的导数，可得切线斜率和切点，从而求得切线方程；
（2）由 为奇函数，将问题转化为讨论 在 上的零点，求得导数，讨论 ， ，
和 ，求得 的单调性、极值和最值，结合零点存在定理，即可得到零点个数.
【详解】（1）当 时， ， .
， .
故曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）因为 ，所以 为奇函数.又因为 ，所以只需要讨论 在 上的零点.
， .
令函数 ，
①当 ，即 时，分段讨论：
当时 ， .
当 时， ，所以 在 上单调递减，即 在 上单调递减
因为 ， ，所以存在 ，使得 .
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
因为 ， ，所以 在 上有1个零点，
在 上有3个零点.
②当 ，即 时， ， 在 上单调递减，
所以 在 上没有零点，在 上有1个零点.
③当 ，即 时，分段讨论：
当 时， .
当 时， ，所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增.
因为 ， ，所以存在 ，使得 .当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ， ，
所以 在 上没有零点，在 上有1个零点.
④当 ，即 时，分段讨论：
当 时， .
当 时，令函数 ，
.
所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增.
因为 ， ，所以存在 ，使得 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
即在 在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ， ，所以存在 ，使得 .
当时 ， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.因为 ， ，
所以 在 上没有零点，在 上有1个零点.
综上，当 时， 在 上有3个零点；
当 时， 在 上有1个零点.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图
象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形
结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与函数 的
图象的交点问题.
28．（2024·河北·二模）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线 与坐标轴围成的三角形的周长；
(2)若函数 的图象上任意一点 关于直线 的对称点 都在函数 的图象上，且存在 ，使
成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程,进而求得 与 轴的交点与 轴的交点，计算可得结果；
（2）根据对称性求函数 的解析式，将问题转化为存在 ，使 成立，构造函数
，转化为函数的最值问题并求解.【详解】（1）由 ，得 ，
所以切线 的斜率 .
所以切线 的方程为 ，即 .
令 ，得 ，令 ，得 ，所以切线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
所以切线 与坐标轴围成的三角形的周长为 .
（2）设 ，则 ，
由题意知 在 的图象上，
所以 ，所以 .
由 ，
得 ，即 ，
因为存在 ，使 成立，所以存在 ，使 成立，
设 ，则 ，又 ，当且仅当 时等号成立，
所以 单调递增，
所以当 时， ，
可得 ，即实数 的取值范围是
29．（2024·河北邯郸·二模）已知函数 ．
(1)是否存在实数 ，使得 和 在 上的单调区间相同？若存在，求出 的取值范围；若不存
在，请说明理由．
(2)已知 是 的零点， 是 的零点．
①证明： ，②证明： ．
【答案】(1)存在，且
(2)①证明见解析 ②证明见解析
【分析】（1）结合导数与函数单调性的关系，分 与 进行讨论即可得；
（2）①利用导数得到 的单调性后，借助零点的存在性定理可得 ，解出即可得；
②构造函数 ，结合导数得到函数的单调性，画出相应图象，可得从而得
到 ， ，从而可得 ，结合 的范围即可得解.
【详解】（1）由题意得 ，
当 时， ，所以 和 在 上都单调递增，符合题意；
当 时，若 和 在 上的单调区间相同，
则 和 有相同的极值点，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
所以 无解，
综上，当 时， 和 在 上的单调区间相同；
（2）①由题意， 有两个零点， ，
若 ，则 ，所以 在 上单调递增，不符合题意，
若 ，则当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
且当 时， ，当 时， ，
所以 ，解得 ，得证；
②令 ，得 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
在同一坐标平面内作出函数 与函数 的图象，
它们有公共点 ，如图，
故 ，且有 ，
由 ，得 ，即 ，又 ，所以 ，
由 ，得 ，即 ，又 ，所以 ，由 ，得 ，即 ，
故 .
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于构造函数 ，结合导数得
到函数的单调性，从而得到 .
30．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)当 时， ，求 的最大值；
(3)若 在区间 存在零点，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）求定义域，作商法结合基本不等式比较出 ；
（2）对 求导，变形后，构造 ，求导，再构造 ，求导得到单调
性，结合 得到 的单调性和极值，最值情况，求出答案；
（3）令 ，当 时，由于 恒成立，故无解，当 时，
，令 ， ，求导得到函数单调性，又 趋向于0时，趋向于2，故 ，从而得到 ，得到答案.
【详解】（1） 定义域为 ，
当 时， ， ，
由于 ，
令 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
又 ，故 ；
（2）当 时， ，
，
设 ，则 ，
令 ，
，
故 在 上单调递增，
又 ，故当 时， ，即 ，
即 ，故 ，所以 ，则 在 恒成立，
当 时，同理可得 ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极小值，也是最小值， ，
故 ，所以 的最大值为 ；
（3） ，令 ，
当 时， ，由于 恒成立，故无解，舍去；
当 时， ，
令 ， ，
，
下面证明 , ，
令 ， ，则 ， ，其中 ，
令 ， ，则 ， ，其中 ，
令 ， ，则 ， ，
当 时， ，故 在 上单调递增，
故 ，故 在 上单调递增，故 ，故 在 上单调递增，
故 ，即 , ，
则 ， ，
则 ，
，
由于 ，而 ，故 ，
则 ，故 在 上单调递增，
又 趋向于0时， 趋向于2，故 ，
故令 ，解得 ，此时 有解，故存在零点，
故 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式
一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条
件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个
函数图像确定条件.
