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2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时五
知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题
典例1、已知椭圆 过点 ，离心率为 ，过点 作斜率为 ， 的直线 ，
，它们与椭圆的另一交点分别为 ， ，且 .
（1）求椭圆 的方程； （2）证明：直线 过定点.
随堂练习：已知椭圆 的离心率 ，上顶点是 ，左､右焦点分别是 ， ，若
椭圆经过点 .
（1）求椭圆的方程；（2）点 和 是椭圆上的两个动点，点 ， ， 不共线，直线 和 的斜率
分别是 和 ，若 ，求证直线 经过定点，并求出该定点的坐标.典例2、已知椭圆 过点 ，且离心率为 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当椭圆 和圆 ： .过点 作直线 和 ，且两直线的斜率之积等于 ， 与
圆 相切于点 ， 与椭圆相交于不同的两点 ， ．
（i）求 的取值范围； （ii）求 面积的最大值．
随堂练习：已知椭圆 的左，右顶点分别为A，B，直线 交椭圆C于P，Q两点，直线
与
x轴不平行，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，已知 .
（1）求证：直线 恒过定点；（2）设 和 的面积分别为 ，求 的最大值.典例3、在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，过点 的动直线 与过点 的动直线
的交点为P， ， 的斜率均存在且乘积为 ，设动点Р的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程;（2）若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N，点M关
于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T，求 的最大值.
随堂练习：对于椭圆 ，有如下性质：若点 是椭圆外一点， ， 是椭圆
的两条切线，则切点A，B所在直线的方程是 ，可利用此结论解答下列问题．已知椭圆C： 和点 ，过点P作椭圆C的两条切线，切点是A，B，记点A，B到
直线 （O是坐标原点）的距离是 ， ．
（1）当 时，求线段 的长； （2）求 的最大值．
知识点二 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程,抛物线中的三角形或四边形面积问题
典例4、已知动点 到定点 的距离比 到直线 的距离小2，设动点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）设 是 轴上的点，曲线 与直线 交于 ，且 的面积为 ，求点 的坐标.随堂练习：已知动点M到点 的距离等于它到直线 的距离，记动点M的轨迹为曲线C.
（1）求动点M的轨迹方程C；（2）已知 ，过点 的直线l斜率存在且不为0，若l与曲
线C有且只有一个公共点P，求 的面积.
典例5、已知抛物线 的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点．
（1）当l的倾斜角为 时，若 ，求 ；（2）设点 ，且 ，求l的方
程．随堂练习：已知抛物线 的焦点为 ，直线 过点 ，且与抛物线 交于 、 两点，
．
（1）求 的取值范围；（2）若 ，点 的坐标为 ，直线 与抛物线的另一个交点为 ，直
线 与抛物线的另一个交点为 ，直线 与 轴交于点 ，求 的取值范围．
典例6、已知P为抛物线E： 上任意一点，过点P作 轴，垂足为O，点 在抛
物线上方（如图所示），且 的最小值为9．
（1）求E的方程；（2）若直线 与抛物线E相交于不同的两点A，B，线段AB的垂直平
分线交x轴于点N，且 为等边三角形，求m的值．随堂练习：已知抛物线C： 上的点 到其焦点F的距离为2．
（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D在直线l： 上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分
别为A，B，直线AB与直线l交于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当|
MN|最小时，求 的值．
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时五答案
典例1、答案：（1） ；（2）证明见解析.
解:（1）由于 ，故 ， 所以 .又椭圆 过点 ，故 ， 从而 ， ，椭圆 的标准方程为 .
（2）当直线 的斜率不存在时， ，不合题意，舍去.
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由 得 ， 设 ，则 .
又由 得： ，
所以 ，化简得 ， 解得 或 （舍去）.
当 时，直线 过定点 ，符合要求.
综上可知，直线 过定点 .
随堂练习：答案：（1） ；（2）直线 过定点
解：（1）因为椭圆的离心率 ，椭圆经过点 ， 所以 ，又 ，
解得 ， ， ， 所以椭圆的方程为 ．
（2）证明：设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，得 ，
所以 ， ，所以 ， ，
所以 ，
解得 ， 所以直线 过定点 ．
典例2、答案： （1） （2）（i） ；（ii）
解：（1）由题意， ，解得 ， ， ，所以椭圆的标准方程为 .
（2）（i）由题意，两直线 、 的斜率均存在，且两直线的斜率之积为1，
设 的斜率为 ，则 的斜率为 ， 则直线 的方程为 ，即 ，
直线 的方程为 ，即 ，
与圆 相切于点 ， ，化简得 ，
由 得， ，
，化简得， ，
由 得， ，代入上式化简得， ，
解得 ， 又 ，则 ，得 ，所以 的取值范围是 .
（ii）设 ， ，
由（1）可知 ， ， ，
又 ， 又原点 到直线 的距离 ，
面积
，
设 ，则 ，由 以及 得 ，
所以当 时， 面积取最大值 . 所以 面积的最大值是 .
随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2） .
解：（1）依题意， ，设 ，
直线 方程为 ，由 消去x并整理得：
， ，则 ，因 在椭圆上，有 ，直线BP斜率 ，有 ，
则 ，即 ， 而
，
解得 ，此时 ，直线 ： 恒过点 ，所以直线 恒过定点 .
由（1）知， ，令 ， ，
则 ，
令 ，函数 在 上单调递增，则当 时， 取得最小值 ，
所以当 ，即 时， 取得最大值 .
典例3、答案：（1） （2）
解：（1）设 点坐标为 ，
定点 ， ，直线 与直线 的斜率之积为 ，
，（2）设 ， ， ，则 ， ，
所以
又 ，所以 ，又 即 ，则直线 ： ，
直线 ： ，由 ，解得 ，即 ，
所以
令 ，则 ，所以
因为 ，当且仅当 即 时取等号，
所以 的最大值为 ；
随堂练习：答案：（1） ；（2） ．
解:（1）当 时，直线 方程为 ，联立，得 ．
设 ， ，则 ， ．则 ．
（2）直线 ： ，即 ，直线 ： ．
设 ， ，则 ，记 ，则 ，
法一：常规换元法
令 ， ，则
，当 即 时取得等号，则 的最大值是 ．
法二：分离常数法
，显然 时不取得最大值，
则 ，
当 时取得等号，则 的最大值是 ．
典例4、答案：（1） （2） 或
解：依题意动点 到定点 的距离等于动点 到直线 的距离，
由抛物线的定义可知，动点 的轨迹是以点 为焦点，直线 为准线的抛物线，
所以曲线 的方程为 .
（2）联立方程 ，整理得 ,
设 ，则有 , 于是 ,
设 到直线 的距离为 ，因为 ，由点到直线的距离公式得 ,
又 ，所以 ， 于是 ，解得 或 .
故点 的坐标为 或 .
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）根据抛物线定义得动点M的轨迹为曲线 ..
（2）设过点 的直线l为 ，将其与抛物线方程联立，
得 ，消去 得： ①，
因l与C有且只有一个公共点，则 .
将 代入①得 ，解得 ，代入直线l可得
则直线AP方程为： ，则其与y轴交点为 ，则由图可得：
典例5、答案： （1） （2） 或
解：（1）当l的倾斜角为 时，l的斜率为1， 又 ，所以直线 ，将 代入 ，得 ，即 ，
设 ， ，则 ， ，
根据抛物线的几何性质可知， ， ，
因为 ， 可知 ，
， 所以 ．
（2）当 轴时， ， ， ，此时PA不垂直于PB．
当l不垂直于x轴时，设l的斜率为k，则直线 ，
将 代入 ，得 ，即 ，
．
设 ， ，则 ， ，
又 ， ， ，
所以 ，
即 ，
所以 ，化简有 ，解得 ，
所以l的方程为 或 ．
随堂练习：答案： （1） （2）
解:（1）依题意，设直线 为 ，代入 得 ，其判别式为 ， ∴ ．
设 ， 为交点， ∴ ， ．
∵焦点 的坐标为 ， ∴ ， ．
∵ ， ∴ ，
∴ ， ∴ 或 ．
∵ 成立． ∴ ．
（2）若 ，则 ，
设点 ， 为直线 、直线 与抛物线的交点．
设直线 为 ，代入 得 ， ∴ ，∴ ，
同理可得 ， ∴点 和 的坐标分别为 ， ．
又∵ 在直线 上， ∴ ， 共线，
∴ ， ∴ ．
∵ ，∴ ， ∴ ，设 ，
∴ 在 时恒成立， ∴ 在 单调递增，
∴ 的取值范围为 ．典例6、答案：（1） 1、 （2）2、
解：（1）抛物线E： 的焦点 ，准线方程为 ，
所以 ，故 ，
又因为 的最小值为9，所 的最小值为 ，
当且仅当点C，P，F三点共线时， 取得最小值，
此时 ，解得 ， 故抛物线E的方程为 ；
（2）联立 ，消去x得 ，
直线 与抛物线E相交于不同的两点A，B， ，得 ，
设 ， ，则有 ， ， 所以 ，
设线段AB的中点 ， 则 ， ，即 ，
直线MN的斜率 ，直线MN的方程为： ，
令 ，得 ，即 ， 所以 ，
，
又因为 为等边三角形，所以 ， 所以 ，
解得 ，且满足 ， 故所求m的值为 ．随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）因为点 ，在抛物线C： 上，所以 ，抛物线的准线方程为 ，
由抛物线的定义得： ，解得 ，即抛物线C的方程为 ；
（2）由题意可设 ， ， ， 因为 ，所以 ，即 ，
故 ，整理得 ， 设点 ，同理可得 ，
则直线AB方程为： ， 令 得 ，即点 ，
因为直线NF与直线AB垂直， 所以直线NF方程为： ，
令 得 ，即点 ， ∴ ，
当且仅当 时， 时上式等号成立， 联立 ，得 ，
∴ ， ， ，
， ∴ ．
