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专题23 圆锥曲线的综合问题（定值 最值 范围 ）
【练基础】
一、 单选题
1．（2023·广东广州·统考一模）已知抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点 任 铀上，过点 的且线交 于
两点，且 ，线段 的中点为 ，则直线 的斜率的取大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据给定条件，设出抛物线C及直线PQ的方程，借助垂直关系求出抛物线方程及点M的坐标，再用斜
率坐标公式建立函数，利用均值不等式求解作答.
【详解】依题意，抛物线 的焦点在x轴的正半轴上，设 的方程为： ，
显然直线 不垂直于y轴，设直线PQ的方程为： ，点 ，
由 消去x得： ，则有 ，
由 得： ，解得 ，
于是抛物线 ： 的焦点 ，弦 的中点 的纵坐标为 ，则点 ，
显然直线 的斜率最大，必有 ，则直线 的斜率 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以直线 的斜率的取大值为 .
故选：A2．（2023·河南郑州·统考一模）过抛物线 的焦点F作直线交抛物线于 、 两点，若
，则 的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义结合已知计算即可．
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为
由抛物线的定义可得，
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，P为椭圆上一动点， 关于直
线 的对称点为M， 关于直线 的对称点为N，当 最大时，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】确定 ， ， ，当M，N，P三点共线时 的值最大，计算 ，
根据余弦定理得到 ，计算面积即可.
【详解】由椭圆的方程可得 ， ，连接PM，PN，
则 ，所以当M，N，P三点共线时 的值最大，此时 ， ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，可得 ，
所以 ，
故选：D
4．（2023·江西上饶·统考一模）双曲线C： 的左，右焦点分别为 ， ，过 作垂直于x轴的直线交
双曲线于A，B两点，则 的内切圆半径等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】由已知求出 的值，找出 的坐标，即可求出 ， ，由等面积法即可求出内切圆的半径.
【详解】由双曲线 ，知 ，
所以 ，
所以 ，
所以过 作垂直于 轴的直线为 ，
代入 中，解出 ， ，
所以 ， ，
设 的内切圆半径为 ，在 中，由等面积法得：
所以 ，解得： .
故选：C.
5．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C： 的离心率为 ， ， 分别是C的左、右焦点，
经过点 且垂直于C的一条渐近线的直线l与C交于A，B两点，若 的面积为64，则C的实轴长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】由离心率得到双曲线的渐近线方程，联立方程由韦达定理得 、 ，代入
中计算可得结果.
【详解】∵ ，∴ ，即： ， ，
∴渐近线方程为 ．
由题意知，不妨设直线l的方程为 ，
，消去x得 ，则 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，解得 ，即：
，故双曲线C的实轴长为8.
故选：B.
6．（2023·陕西安康·统考二模）设抛物线C： 的焦点是F，直线l与抛物线C相交于A，B两点，
且 ，过弦AB的中点P作 的垂线，垂足为Q，则 的最小值为（ ）A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】设 ， ，过点A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为 .由抛物线定义及梯形
中位线定理可得 ，又由余弦定理可得 ，则可得 ，后
利用基本不等式可得答案.
【详解】设 ， ，过点A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为
则 ， ．因为点P为弦AB的中点，根据梯形中位线定理可得，P到抛物线C的准线 的距离
为 ，因为 ，所以在 AFB中，由余弦定理得
，所以
，当且仅当 时取等号.所以
，最小值为 ．
故选：A．7．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）若椭圆 的左右焦点为 、 ，过 和点 的直线交椭圆于M、
N两点，若P（0，m）满足 ，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】写出直线MN的方程，与椭圆方程联立，写出 ，解不等式.
【详解】设 ， ，过 和 的直线为 ，
联立 ，消去y，得 ，
所以 ， ，
则 ， ，
，
所以 ，解得 .
故选：D.
【点睛】方法点睛：将坐标的数量积，用坐标表示，即将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理式，再将其整体
代入即可得到关于m的不等式.
8．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 作两条互相垂直的直线 ，且直
线 分别与抛物线 交于 和 ，则 的最小值是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，结合抛物线焦点弦长公式可求得 ，
同理可得 ，从而得到 ，由 ，利用基本不等式可取得
最小值.
【详解】由抛物线方程得： ；
由题意知：直线 的斜率存在且不为 ，设 ， ， ，
由 得： ， ，此时 ，
， ，
同理可得： ， ，
（当且仅当
，即 时取等号），
的最小值为 .
故选：B.
二、多选题
9．（2023·安徽·统考一模）已知 为坐标原点，点 ，线段 的中点 在抛物线
上，连接 并延长，与 交于点 ，则（ ）
A． 的准线方程为 B．点 为线段 的中点C．直线 与 相切 D． 在点 处的切线与直线 平行
【答案】BCD
【分析】将 代入抛物线得 ，则得到其准线方程，则可判断A，联立直线 的方程与抛物线方程即
可得到 ，即可判断B，利用导数求出抛物线 在点 处的切线方程，令 ，则可判断C，再次利用
导数求出抛物线在 处的切线斜率，则可判断D.
【详解】对A，根据中点公式得 ，将其代入 得 ，则 ，
所以抛物线 的准线方程为 ，故A错误，
对B， ，则直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
将其代入 得 ，解得 或0（舍去），此时 ，
则 ，所以 为 中点，故B正确；
对C， ，即 ，则 ，
故抛物线 在点 处的切线的斜率为 ，
故切线方程为 ，
令 得 ，所以直线 为 的切线，故C正确；
对D，抛物线 在 处的切线方程的斜率为 ，
而直线 的斜率为 ，则两直线的斜率相等，且两直线显然不可能重合，
所以 在点 处的切线与直线 平行.
故选：BCD.
10．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 ： ， ，点 为椭圆 外一点，过点 作椭圆 的两条
不同的切线 ， ，切点分别为 ， .已知当点 在圆 上运动时，恒有 .则（ ）
A．B．若矩形 的四条边均与椭圆 相切，则矩形 的面积的最小值为14
C．若点 的运动轨迹为 ，则原点 到直线 的距离恒为1
D．若直线 ， 的斜率存在且其斜率之积为 ，则点 在椭圆 上运动
【答案】BC
【分析】根据点 在圆 上运动时，恒有 ，设过 的直线为 ，代入椭圆方程后利
用 ，得到关于 的一元二次方程，确定方程的两根为 ，由 ，即可得 的值，从而判断A；
讨论直线 的斜率求得各情况下 ， ，即可得矩形 ，结合不等式求得最值来判断B；根据椭圆上
一点的切线方程结论，确定切线 ， 的方程，结合点 的运动轨迹为 ，可得切点弦 所在直线方
程，即可求得原点 到直线 的距离来判断C；设 , ，过 的直线为 ，代入椭圆方程后
利用 ，得到关于 的一元二次方程，确定方程的两根为 ，由 ，可得 所满足的方程，
即可判断D.
【详解】当 平行于 轴时， 恰好平行于 轴， ， ， ，满足 ，
将 代入圆 有 ，得 ；
当 不平行于 轴时，设 , ，则 ，过 的直线为 ，
联立 得 ，
令 得 ，整理得 ，
且此方程的两根为 ，则 ，又 ，所以 ，得 ，所以 ；
综上， ，故A不正确；
椭圆 的方程为 ，若矩形 的四条边均与椭圆 相切，
①当 的斜率为0时， ， ，
此时 ，
②当 的斜率不存在时， ， ，
此时 ，
③当 的斜率存在且不为0时，设直线 ，直线 ， ，
联立 ，消去 得 ， ，化简得
，同理可得 ，
所以两平行线 和 的距离 ，
以 代替 ，可得两平行线 和 的距离 ，
所以矩形 的对角线 ，
根据基本不等式 ，当且仅当 ，即 时等号成立，因为
，
所以矩形 面积的最大值为14，故B正确；下证：任一椭圆 在其上面的点 , 处的切线方程均可写为
设椭圆在点 , 处的切线方程为 ，则 ，
令 得 ，所以 ，所以 ，则切线
方程为整理得 .
对于椭圆 ： ，设切点坐标为 , ， , ，则切线 ， 的方程分别为 ，
，
若点 的运动轨迹为 ，设点 ，则 ，
又两切线均过点 ，可得 ， ，点 ， 的坐标都适合方程 ，故直线 的方程
是 ，即 ，所以原点 到直线 的距离为 ，故C正
确；
设 , ，过 得直线为 ，
联立 得 ，
令 得 ，整理得 ，
且此方程的两根为 ，则 ，又直线 ， 的斜率存在且其斜率之积为 ，所以 ，得 ，故点 在双曲线 上运动，故D不正确.
故选：BC.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是确定直线与椭圆相切时，切线斜率之间的关系需要联立切线与椭圆方程得
判别式为零，则得到关于斜率的一元二次方程，由韦达定理即可得切线斜率之积的关系，即可结合轨迹方程可得
相关结论；对于直线与椭圆相切的切线方程问题，利用直线与椭圆相切，得切点坐标与直线斜率与截距的关系，
可得椭圆上一点 , 处的切线方程均可写为 ；对于切点弦问题，根据上述切线方程及两切线的交
点，由直线方程特点，即可得切点弦方程.
11．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 （ ）的离心率为 ，椭圆上一点P与焦点 所
形成的三角形面积最大值为 ，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆方程为
B．直线 与椭圆C无公共点
C．若A，B为椭圆C上的动点，且 ，过 作 ， 为垂足，则点H所在轨迹为圆，且圆的半径
满足
D．若过点 作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则
【答案】AC
【分析】根据离心率可得 ，根据 求出 ，可得 ，可得椭圆方程为 ，故A
正确；联立直线与椭圆方程，根据判别式大于0可知B不正确；根据题意求出 可知C正确；根据导数
的几何意义求出切线方程，再求出切点弦的方程，可知D不正确.
【详解】设椭圆的焦距为 ，由 得 ，设 ，则 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最大值为 ，依题意可得 ，所以 ， ， ， ，所以椭圆 的方程为：
，故A正确；
联立 ，消去 并整理得 ，
，
所以直线 与椭圆C有公共点，故B不正确；
因为 ，且 ，
所以 ， ，
设 ， ，
若 的斜率存在且不为0，设为 ，则 的斜率为 ，
则 ， ，
联立 ，得 ， ，则 ，
同理可得 ，所以 ，
若 的斜率不存在或者为0，则 为椭圆的顶点（一个为长轴的顶点，一个为短轴的顶点），则
，
终上所述： ，即 .设 ，则 ，则点H所在轨迹为圆，且圆的半径 满足 ，故C正确.
设 ， ，
由 ，得 ，得 ，得 ，
所以切线 的斜率为 ，切线 的方程为 ，
即 ，即 ，
因为 在切线上， ，同理可得 ，
由 可知， 在直线 上，
由 可知， 在直线 上，
所以直线 的方程为 ，则 .故D不正确.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：C选项中，求出 为定值 是解题关键，D选项中，利用导数的几何意义求出
切线方程是解题关键.
12．（2023·安徽淮北·统考一模）已知曲线 ，直线l过点 交 于A，B两点，下列命题正确的有
（ ）
A．若A点横坐标为8，则
B．若 ，则 的最小值为6
C．原点O在AB上的投影的轨迹与直线 有且只有一个公共点
D．若 ，则以线段AB为直径的圆的面积是
【答案】BCD
【分析】对A选项将点的横坐标代入，求出点A的坐标，进而求出直线方程，联立直线及抛物线方程，由弦长即可求出弦长；对B选项作图可知，过点A作准线的垂线，垂足为 ，当 三点共线时
取最小值，即可求得最小值；对C选项根据题意，得出原点O在AB上的投影的轨迹，联立方程由判别
式即可判断公共点的个数；对D选项设出AB直线方程，联立直线与抛物线方程，由结合 得出直线方程，
再由弦长公式计算出线段AB的长度即可判断
【详解】对于A,易得 是抛物线 的焦点，
若A点横坐标为8，则 ，即 或 ，根据抛物线的对称性可得两种情况计
算出的 相同，再此取 计算.
所以l的直线方程是 即 ，
直线与 相交，联立方程得 , ,
得 ， ，故A错误；
对于B,过点A作准线的垂线，垂足为 ，则 ，当 三点共线时 取最小值，
此时最小值为 ，故B正确；
对于C,设原点 在直线 上的投影为 ， 的中点为 ，
因为 ，所以 ，所以 为直角三角形，所以 ，根据几何性质及圆的定义可知点 的轨迹方程为 ，联立 得
，
解得 ，所以直线 与 只有一个交点，故C正确；
对于D,设直线 的方程为 ，联立 得 所以 ，
因为 ，而 ，所以 ，
所以 ，所以
所以 ，解得 ，
则 ，
所以 ，
，所以以线段AB为直径的圆的面积是 ，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．（2023·福建福州·统考二模）已知椭圆C： ，直线l与C在第二象限交于A，B两点（A在B的左下
方），与x轴，y轴分别交于点M，N，且|MA|：|AB|：|BN|=1：2：3，则l的方程为__________．【答案】
【分析】由题意可得 点为线段 中点，设 点坐标为 ，求出A点坐标，代入椭圆方程解出点的坐标即
可得解.
【详解】如图，
由条件得 点为线段 中点，设 点坐标为 ，得 ，
由 得 坐标为 ，将 坐标分别代入 中，
得 解得 则 坐标分别为 ､ ，
故直线方程为 ，即 ，
所以直线 的方程为 ．
故答案为：
14．（2023·贵州贵阳·统考一模）抛物线 ，圆 ，直线l过圆心M且与抛物线E
交于A，B与圆M交于C，D.若 ，则 ___________.
【答案】 ##
【分析】设直线 的方程为 ，由题意可知圆 的圆心为弦 的中点，据此联立直线与抛物线方程，
由根与系数的关系即可求出 ，再由弦长公式即可得解.
【详解】由 可得 ，故圆心 ，半径 ，
因为直线l过圆心M且 ，所以 ， ，即 为 的中点，
显然，直线 斜率为0时，不符合题意，设直线 的方程为 ，
联立 ，消元得 ，
设 ，由 ，
所以 ，
由 为 的中点可知， ，即 ，
所以
,
所以 .
故答案为：
15．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）抛物线 的焦点为F，过C上一点P作C的准线l的垂线，垂足
为A，若直线 的斜率为 ，则 的面积为______．
【答案】 ##7.5
【分析】设 ，则 ，由 的斜率解得 ，再将 代入抛物线方程可得 ，进而可得
的面积.
【详解】由抛物线的方程可得 ，准线方程为 ，
设 ，由题意可得 ，则 ，解得n＝3，将 代入抛物线方程可得 ，解得 ，即 ，
则 ，所以 的面积 .
故答案为： ．
16．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）点A，B是抛物线C： 上的两点，F是抛物线C的
焦点，若 ，AB中点D到抛物线C的准线的距离为d，则 的最小值为________.
【答案】
【分析】由抛物线几何性质可得 ，再由余弦定理和基本不等式可得.
【详解】在 中，
，
易得 ，当且仅当 时等号成立.
故答案为： .
四、解答题
17．（2023·广东广州·统考一模）已知椭圆 的离心率为 ，以C的短轴为直径的圆与直线相切.
(1)求C的方程；
(2)直线 ： 与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的
斜率为 （O为坐标原点）， APQ的面积为 . 的面积为 ，若 ，判断 是否为定值？
△
并说明理由.
【答案】(1) ；
(2)是定值， .
【分析】（1）利用椭圆离心率及圆的切线性质，建立关于 的方程组，解方程组作答.
（2）由给定的面积关系可得直线PQ平分 ，进而可得直线 的斜率互为相反数，再联立直线与椭圆方
程，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算判断作答.
【详解】（1）由椭圆 的离心率为 得： ，即有 ，
由以C的短轴为直径的圆与直线 相切得： ，联立解得 ，
所以C的方程是 .
（2） 为定值，且 ，
因为 ，则 ，
因此 ，而 ，有 ，
于是 平分 ，直线 的斜率 互为相反数，即 ，设 ，
由 得， ，即有 ，
而 ，则 ，
即
于是
，
化简得： ，
且又因为 在椭圆上，即 ，即 ， ，
从而 ， ，
又因为 不在直线 上，则有 ，即 ，
所以 为定值，且 .
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
18．（2023·山东泰安·统考一模）已知椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ， ，离
心率为 ， 是椭圆 上不同的两点，且点 在 轴上方， ，直线 ， 交于点 .已知当
轴时， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)求证：点 在以 ， 为焦点的定椭圆上.【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的离心率及当 轴时， ，代入椭圆方程，列方程即可求得 的值，从而得
椭圆 的方程；
（2）由 ，则设直线 的方程为 ，所以直线 的方程为 ，设 ，
， ， ，代入椭圆方程可得坐标关系，可得 的表达式，由平行线分线段成比例可得
， ，结合椭圆的定义即可证得 为定值，从而得结论.
【详解】（1）由题知， ，点 在椭圆C上，则 ，解得 ，
所以椭圆C的方程为 ；
（2）证明：∵ ，且点A在x轴上方
∴设 ， ， ， ，设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
由 ，得 ，∴ 或 （舍），
∴
同理 ，所以 ，
由 ，得∴
∴
又点B在椭圆C上，∴ ，则
∴
同理： ，所以
∴
又 ，
∴
∴点P在以 ， 为焦点的定椭圆上.
【提能力】
一、单选题
19．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 ，过 且斜率大于零的直线 与 相交于 ，
两点，若直线 与抛物线 相切，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】由已知设直线 的方程为 ， ，由直线 与抛物线 相切，列方程求 ，联立直线与抛物线 的方程，利用设而不求法结合弦长公式求 .
【详解】抛物线 的焦点 的坐标为 ，
由已知可设直线 的方程为 ， ，
因为直线 与抛物线 相切，所以 只有一组解，
所以方程 有且只有一个根，
故 ，又 ，
所以 ，
联立 ，消 ，得 ，
方程 的判别式 ，
设 ，则 ，
所以 ，
故选：C.
20．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C： ，O为坐标原点，A，B是抛物线C上两点，记直线OA，OB
的斜率分别为 ， ，且 ，直线AB与x轴的交点为P，直线OA、OB与抛物线C的准线分别交于点M，
N，则 PMN的面积的最小值为（ ）
△
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出A、B的坐标，由 解得 的值，再分别求出点M、点N的坐标，求得 的式子，研究
恒过x轴上的定点可得点P的坐标，进而用方法1基本不等式或方法2函数思想求得三角形面积的最小值.【详解】设 ， ，则 ， ，
∴
∴ ，
∴设 ： ，令 得： ，∴ ，
同理：
∴ ，
设 ： ，
， ， ，
又∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ： 恒过点 ，
∴ 与x轴交点P的坐标为 ，即： ，
∴点P到准线 的距离为8+1=9.
方法1： ，当且仅当 时取等号.
∴ ，
∴△PMN的面积的最小值为 .
方法2：∵ ∴ ，当且仅当m=0时取得最小值.
∴ ，
∴△PMN的面积的最小值为 .
故选：D.
21．（2023·广西梧州·统考一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为双曲线 右支
上的动点，过 作两渐近线的垂线，垂足分别为 ， ．若圆 与双曲线 的渐近线相切，则下列结
论正确的有（ ）个．
① ；
② 为定值；
③双曲线 的离心率 ；
④当点 异于顶点时，△ 的内切圆的圆心总在直线 上．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由双曲线渐近线方程 ，圆 圆心 ，半径是1，应用点线距离公式列方程求 ，
设 有 ，由点线距离公式写出 ，直接用离心率定义求双曲线离心率，根据圆切线性质
及双曲线定义可得 ，进而确定内切圆的圆心的位置.
【详解】由题意，双曲线渐近线方程是 ，圆 的圆心 ，半径是1，
则 ，可得 （ 舍去），①错误．
设 ，则 ，即 ，渐近线方程是 ，则 ， ，
为常数，②正确；
由 ，所以 ，离心率为 ，③正确；
设△ 的内切圆与三边切点分别为 ， ， ，如图，
由圆的切线性质知 ，
所以 ，因此内心 在直线 ，即直线 上，④正确；
故选：C
22．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知双曲线 ： 的左、右顶点为P、Q，点D在双曲线上且位
于第一象限，若 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，则 ，由 得出 ，再由正弦定理 得出 .
【详解】如图所示，设 ，则 ，设 ，则 ，即 ，由双曲线方程可得，所以 ，又 ， ，则
，解得 ，则 ，在三角形 中，由正弦定理 ，可得
故选：D
23．（2022·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，焦点在x轴上的曲线C： 的离心率 满足
，A，B是x轴与曲线C的交点，P是曲线C上异于A，B的一点，延长PO交曲线C于另一点Q，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由离心率的范围可知曲线为椭圆，根据离心率与 的关系得到 的范围，然后利用斜率公式表示出
，进而求出其范围．
【详解】由 解得 ，所以曲线C是椭圆．因椭圆C的焦点在x轴上，则 ．
因为 ，所以 ，
不妨设 ， ， ， ，
由题意知 ，则 ，即 ，
．
故选：A．
24．（2022·广东广州·统考一模）双曲线 的左，右焦点分别为 ，过 作垂直于 轴的直线交双
曲线于 两点， 的内切圆圆心分别为 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意画出图，由已知求出 的值，找出 的坐标，由 的内切圆圆心分别为
，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出 的底和高，利用三角形的面积公式计算即
可.
【详解】由题意如图所示：
由双曲线 ，知 ，所以 ，
所以 ，
所以过 作垂直于 轴的直线为 ，
代入 中，解出 ，
由题知 的内切圆的半径相等，
且 ， 的内切圆圆心
的连线垂直于 轴于点 ，
设为 ，在 中，由等面积法得：
由双曲线的定义可知：
由 ，所以 ，
所以 ，
解得： ，
因为 为 的 的角平分线，
所以 一定在 上，即 轴上，令圆 半径为 ，
在 中，由等面积法得：
，
又
所以 ，
所以 ，所以 ，
，
所以
，
故选：A.
25．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学统考期末）椭圆 的左､右顶点分别为 ，点 在
上，且直线 斜率取值范围是 ，那么直线 斜率取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设 ，再根据 表达推导可得 ，进而根据直线 斜率取值范围求解即可.
【详解】设 ，则 ， ， ，
于是 ，故 .
∵ ∴ .
故选：B.
26．（2022·青海西宁·湟川中学校考一模）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于点A，B，与圆 相切，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直线l方程为 ，根据相切得到 ，联立方程，解得 ， ，得到答案.
【详解】直线l的斜率存在，设为k，直线l过点 ，得直线l的方程为 ，
即 ．
由直线l与圆 相切，得 ，
解得 ．不妨取 ，设 ， ，易知 ，
联立 ，消去y，整理得 ，
则 ， ，则 ，
故选：D
二、多选题
27．（2023·山东临沂·统考一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线
对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线
， 为坐标原点，一束平行于 轴的光线 从点 射入，经过 上的点 反射后，再经过
上另一点 反射后，沿直线 射出，经过点 ，则（）A．
B．延长 交直线 于点 ，则 ， ， 三点共线
C．
D．若 平分 ，则
【答案】AB
【分析】根据题设和抛物线和性质得到点 ， ，将点 代入抛物线 的方程得到 ，从而求
出直线 的方程，联立直线 和抛物线 得到点 的坐标，即可判断选项A和C，又结合直线 和直线
得到点 ，即可判断B选项，若 平分 ，得到 ，转化为直线 斜率 和直线
的斜率的关系式即可求出 .
【详解】由题意知，点 ， ，如图：
将 代入 ，得 ，所以 ，则直线 的斜率 ，
则直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，得 ，解得 ， ，
又 时， ，则
所以 ，所以A选项正确；又 ，所以C选项错误；
又知直线 轴，且 ，则直线 的方程为 ，
又 ，所以直线 的方程为 ，
令 ，解得 ，即 ， 在直线 上，
所以 ， ， 三点共线，所以B选项正确；
设直线 的倾斜角为 （ ），斜率为 ，直线 的倾斜角为 ，
若 平分 ，即 ，即 ，
所以 ，则 ，且 ，解得 ，
又 ，解得： ，所以D选项错误；
故选：AB.
28．（2023·浙江·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，准线与x轴的交点为M，过点F的直线l
与抛物线C相交于A，B两点（点A在第一象限），过A，B点作准线的垂线，垂足分别为 ．设直线l的倾斜
角为 ，当 时， ．则下列说法正确的是（ ）
A． 有可能为直角
B．
C．Q为抛物线C上一个动点， 为定点， 的最小值为
D．过F点作倾斜角的角平分线FP交抛物线C于P点（点P在第一象限），则存在 ，使
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，求出抛物线方程，再逐项分析、计算判断作答.【详解】依题意，点 ，准线方程为 ，设 ，直线 ，
由 消去x得： ， ，
当 时， ， ， ，
解得 ，抛物线 ， ，
对于A，当 时， ，有 ， 为直角，A正确；
对于B， ， ， ， ，
因此 ，即 ，而 ，则 ，B正确；
对于C，显然点E在抛物线C内， ，当且仅当点Q是直线EF与抛物线C的交点时取等号，
C错误；
对于D，由 ， ，得 ，
，同理 ，
，令 ，而 ，解得 ，则 ，D正确.
故选：ABD
29．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）设 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，P为椭圆上第一象
限内任意一点， ， 表示直线 ， 的斜率，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点P，使得 成立 B．存在点P，使得 成立
C．存在点P，使得 成立 D．存在点P，使得 成立
【答案】ABD
【分析】根据椭圆的性质逐项进行分析即可判断.
【详解】由椭圆方程 可得： ， ，
对于A，由椭圆的性质可得： ，又因为点P在第一象限内，所以 ，
所以存在点P，使得 成立，故选项A正确；
对于B，设点 ，因为 ，所以 ， ，则
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以存在点P，使得 ，则 成立，故选项B正确；
对于C，因为 ， ，若 ，则 ，因为点 在第一象限内，所以
，则 可化为： ，解得： 不成立，所以不存在点P，使得
成立，故选项C错误；对于D，由选项 的分析可知： ，所以存在点P，使得 成立，故选项D正
确，
故选：ABD.
30．（2023·山东济宁·统考一模）已知 ， 是椭圆 ： ( )与双曲线 ： (
)的公共焦点， ， 分别是 与 的离心率，且 是 与 的一个公共点，满足 ，则
下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】BD
【分析】根据共焦点得到 ，A错误，计算 ， ，得到 ，B正确，
设 ， ，代入计算得到C错误，D正确，得到答案.
【详解】对选项A：椭圆和双曲线共焦点，故 ，错误；
对选项B： ，即 ， ， ，
故 ， ，故 ，即 ，
即 ，正确；
对选项C：设 ， ，
，若最大值为 ，则 ， ，，即 ，不成立，错误；
对选项D：设 ， ， ，
，若最大值为 ，则 ， ，
，即 ， ， ，成立，正确；
故选：BD
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和双曲线的离心率相关问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应
用能力，其中利用三角换元求最值可以简化运算，是解题的关键.
三、填空题
31．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知拋物线 ，过焦点的直线 与抛物线 交
于 两点， 在抛物线 的准线上，且满足 ，则直线 的方程为___________.
【答案】
【分析】根据准线方程求得 ，也即求得抛物线 的方程，设直线 ，联立直线 的方程和抛物线方程，
化简写出根与系数关系，结合抛物线的性质求得 ，进而求得直线 的方程.
【详解】由题意知，抛物线 的准线为 ，即 ，得 ，
所以抛物线 的方程为 ，因为 ，所以 在以 为直径的圆上.
由抛物线性质可知 为切点，所以圆心纵坐标为 .
设直线 ，点 ，联立方程组 ，可得 ，
所以 ，所以 ，直线 .
故答案为：
32．（2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知双曲线 的右焦点为 ，直线 与双曲
线 相交于 两点，点 ，以 为直径的圆与 相交于 两点，若 为线段 的中点，则
__________.
【答案】2
【分析】根据直线与双曲线的位置关系确定交点坐标关系，利用直线和圆的几何性质，即可求得 的长.
【详解】解：如图，由题可知， 的坐标为 ，设 ，
联立方程组 ，可得 ，
则 ， .
因为 为线段 的中点，所以 的坐标为 .
又以 为直径的圆与 相交于 两点，所以 ，所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
所以 ，故 .
故答案为：2.
33．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）设F为双曲线 的右焦点，A，B分别为双曲线E的
左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有
B，P，Q三点共线，则 的最大值为____________.
【答案】 ##1.25
【分析】设出直线方程，与双曲线的方程联立，韦达定理表示出A与P的关系，根据三点B，P，Q 共 线 ，求得
Q点坐标的横坐标表示出t ,然后运用设参数m法化简 ,最后根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】
设 ， ，联立 整理得: ;
所以 ，得到 ，所以 ；
过F作直线PA的垂线 与直线 交于Q，
因为B,Q,P三点共线，所以Q是直线 与BP的交点，
Q是 与 的交点所以得 ，所以
设 则
所以当 时，即m=2即时， 取得最大值 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：（1）联立方程，根据韦达定理表示出坐标关系式；按照题目中给出的关系，构建关系式，表
示出所求变量；
（2）在计算推理的过程中运用整体转化，化简函数式，从而得到二次函数或者不等式，求得最值；
本题的解题的关键是，表示出Q点的交点坐标，找到与t有关的解析式.
34．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 ，斜率为 的直线 分别交 轴负半轴、 轴负半轴于 、
两点，交 于 、 两点，点 在 轴上方，过点 作 轴的平行线交 于 、 两点，则 面积的最大值
为________．
【答案】
【分析】设直线 的方程为 ，根据题意求得 ，求出点 的横坐标，以及 ，求出点 到
直线 的距离，利用三角形的面积可得出 ，令 ，利用导数法求出函数
在 上的最大值，即可得出 面积的最大值.
【详解】设直线 的方程为 ，由题意可知 ，直线 交 轴负半轴于点 ，设点 、 ，则 ，
联立 可得 ，
，由于 ，解得 ，
因为 ，可得 ，
解方程 可得 ，
所以， ，所以， ，
所以， ，可得 ，故 ，
直线 的方程为 ，联立 可得 ，所以， ，
，
所以，点 到直线 的距离为 ，
所以，，
令 ，则
，
令 ，其中 ，
则 ，令 ，可得 ，
当 时， ；
当 时， ， ，
因为 ，
故当 时， ，则 ，
当 时， ，则 .
所以，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故当 ，
因为 ，故 ，
故 .故答案为： .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单
调性或三角函数的有界性等求最值．
四、解答题
35．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ， 过椭圆的
焦点且与长轴垂直的弦长为 1 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过椭圆 的右焦点 作直线 交椭圆 于 两点， 交直线 于点 ，若 ， 求
证: 为定值.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，设出椭圆半焦距并求出弦长，进而求出a，b即可作答.
（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合向量的坐标表示推理计算作答.
【详解】（1）设椭圆 的半焦距为c，将 代入 得 ，于是 ，
由离心率为 ，得 ，即有 ，则有 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设点 ， ，而 ，显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
由 消去y整理得： ，
由于点 在椭圆 的内部，直线 与椭圆 必有两个交点，因此 ，
因为 ，令 ，得 ，
，于是
所以 .
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直
接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
36．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）已知双曲线E： 与直线l： 相交
于A、B两点，M为线段AB的中点．
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分
点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ，其中 或
(2)存在，
【分析】（1）设 ， ， ，联立直线l与双曲线E的方程，消去y，得
，根据已知直线l与双曲线E相交于A、B两点，得 且 ，即
且 ，由韦达定理，得 ，则 ， ，联立消去k，得 ，再根据 的范围得出 的范围，即可得出答案；
（2）设 ， ，根据双曲线E的渐近线方程与直线l的方程联立即可得出 ， ，
则 ，即线段AB的中点M也是线段CD的中点，若A，B为线段CD的两个三等分点，则
，结合弦长公式列式得 ，即可化简代入得出 ，即可解
出答案.
【详解】（1）设 ， ， ，
联立直线l与双曲线E的方程，得 ，
消去y，得 ．
由 且 ，得 且 ．
由韦达定理，得 ．
所以 ， ．
由 消去k，得 ．
由 且 ，得 或 ．
所以，点M的轨迹方程为 ，其中 或 ．
（2）双曲线E的渐近线方程为 ．
设 ， ，联立 得 ，同理可得 ，
因为 ，所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．
若A，B为线段CD的两个三等分点，则 ．
即 ， ．
而 ， ．
所以， ，解得 ，
所以 ，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．
37．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知 ，直线l： ，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂
足为点Q，且 ．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线与轨迹C交于A，B两点，与直线l交于点M，设 ， ，证明 定值，并
求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）设出点的坐标，运用数量积运算可得结果.
（2）设直线AB的方程，求出点M的坐标，联立直线AB与轨迹C的方程后由韦达定理得 、 ，由已知向量关系式可得 ， ，进而求得 的值与 的范围.
【详解】（1）设点 ，则 ，且 ．
由 得 ，
即 ，化简得 ．
故动点P的轨迹C的方程为： ．
（2）设直线AB的方程为： ，则 ．
联立直线AB与轨迹C的方程得 ，消去x得 ，
则 ．
设 ， ，由韦达定理知， ．
由 ， 得： ， ，
整理得 ， ．
所以 ．
故 为定值0．
∵ ，
∴ ，
∴ 的取值范围是 ．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
38．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 经过点 ，且椭圆的长轴长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设经过点 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 ，直线 与 轴相交于点
，求 的面积 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得出 的值，将点 的坐标代入椭圆 的方程，可得出 ，即可得出椭圆 的方程；
（2）分析可知直线 不与 轴重合，设直线 的方程为 ，设点 、 ，将直线 的方
程与椭圆 的方程联立，列出韦达定理，写出直线 的方程，可求得点 的坐标，利用三角形的面积公式以及
对勾函数的单调性可求得 的取值范围.
【详解】（1）解：因为椭圆 的长轴长为 ，则 ，
将点 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，可得 ，
所以，椭圆 的标准方程为 .
（2）解：若 与 轴重合，则 不存在，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，若 ，则点 与点 重合，不合乎题意，所以， ，
联立 可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
易知点 ， ，
直线 的方程为 ，
将 代入直线 的方程可得 ，即点 ，
，
所以， ，
令 ，则函数 在 上为增函数，
所以， ，所以， .
故 的面积 的取值范围是 .
