3.13圆锥曲线章末复习卷（一）（解析版）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_圆锥曲线PDF矢量版_原卷版+解析版

圆锥曲线章末复习卷（一）
一．选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．抛物线C：
2
4
x
ay

过点( 2,1)

，则C 的准线方程为（
）
A．
1
y 
B．
1
y 
C．
1
x 
D．= 1
x 
【答案】B
【分析】先求得参数a 的值，进而求得C 的准线方程.
【详解】抛物线C：
2
4
x
ay

过点( 2,1)

，则

2
2
4a


，解之得
1
a ，
则抛物线C 方程为
2
4
x
y

，则C 的准线方程为
1
y 
故选：B
2．已知点P 在双曲线


2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b




上，双曲线的左、右焦点分别记为
1F ，
2
F ，已知
1
2
PF
PF

，
1
2
2
PF
PF

，O为坐标原点.则（
）
A．b
a

B．
2
b
a

C．
5
b
a

D．
2
b
a

【答案】B
【分析】根据题意和双曲线的定义可得
1
4
PF
a

，
2
2
PF
a

，利用勾股定理和
2
2
2
c
a
b


可得
2
b
a

，即
可求解.
【详解】因为
1
2
2
PF
PF

，由双曲线的定义得
1
2
2
PF
PF
a


，
所以
1
4
PF
a

，
2
2
PF
a

，
因为
1
2
PF
PF

，所以





2
2
2
2
4
2
c
a
a


，
又
2
2
2
c
a
b


，
所以
2
2
4
b
a

，
0
a 
，
0
b 
，所以
2
b
a

.
故选：B.
3．我们把由半椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
x
a
b



和半椭圆
2
2
2
2
1(
0)
y
x
x
b
c



合成的曲线称作“果圆”（其中
2
2
2,
0
a
b
c
a
b
c




）．如图，
1
2
3
,
,
F F F 是相应半椭圆的焦点．若
1
2
3
F F F

是等腰直角三角形，则构成该
“果圆”的两个半椭圆的离心率之积为（
）
A．
6
6
B．
3
4
C．
6
3
D．
3
2
【答案】A
【分析】根据已知条件求得,a c 和,b c 的关系式，从而求得两个半椭圆的离心率之积.
【详解】因为
1
2
3
F F F

是等腰直角三角形，所以
1
3
OF
OF

，
则
2
2
2
2
2
a
b
b
c
c




，即
2
2
2
2
3
,
2
a
c b
c


，
则构成该“果圆”的两个半椭圆的离心率之积为
2
2
6
6
c
b
c
a
b



故选：A
4．已知双曲线


2
2
:
1
0
4
x
y
C
m
m 


的左焦点与抛物线
2
16
y
x

的焦点重合，则双曲线的实轴长为（
）
A．2 5
B．4 5
C．2 3
D．4 3
【答案】D
【分析】由抛物线方程求得其焦点坐标，进而求得c 的值，再由双曲线中a、b、c 的关系求得a 的值，进
而求得实轴长.
【详解】抛物线的焦点为

4,0

，所以
4
c 
，
由
2
4
c
m


得
12
m 
，
所以
2 3
a
m


，所以实轴长为4 3 .
故选：D.
5．已知点P 是抛物线
2
:
12
C x
y

上的一点，过点P 作直线
1
y 的垂线，垂足为M ，若


4,0
G
，则
PG
PM

的最小值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】利用抛物线定义，将PG
PM

转化为
2
PG
PM
PG
PF




，结合线段间的不等关系，即
可求得答案.
【详解】由抛物线
2
:
12
C x
y

可知其焦点为

0,3 ，准线方程为=
3
y 
记抛物线C 的焦点为


0,3
F
，
所以
2
2
2
2
4
3
2
3
PG
PM
PG
PF
FG










，
当且仅当点P 在线段FG 上时等号成立，
所以PG
PM

的最小值为3．
故选：A．
6．已知双曲线C ：


2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b




的左､右焦点分别是
1F ，2
F ，P 是双曲线C 上的一点，且
1
5
PF 
，
2
3
PF 
，
1
2
120
F PF


，则双曲线C 的离心率是（
）
A．7
5
B．7
4
C．7
3
D．7
2
【答案】D
【分析】根据且
1
5
PF 
，
2
3
PF 
，
1
2
120
F PF


，利用余弦定理求得c，再利用双曲线的定义求得a
即可.
【详解】解：设双曲线C 的半焦距为

0
c c 
.
由题意，点P 在双曲线C 的右支上，
1
5
PF 
，
2
3
PF 
，
由余弦定理得
2
2
2
1
2
1
2
5
3
1
cos
2 5 3
2
F F
F PF






，
解得
1
2
7
F F 
，即2
7
c 
，
7
2
c 
，
根据双曲线定义得
1
2
2
2
PF
PF
a



，
解得
1
a ，
故双曲线C 的离心率
7
2
c
e
a


.
故选：D
7．已知椭圆


2
2
1
1
1
2
2
1
1
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b




与双曲线


2
2
2
2
2
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b




有相同的焦点
1F 、2
F ，椭圆
1
C 的
离心率为
1e ，双曲线
2
C 的离心率为
2e ，点P 为椭圆
1
C 与双曲线
2
C 的交点，且
1
2
3
F PF



，则
2
2
1
2
1
3
e
e

的值
为（
）
A．
3
B．2
3

C．1
3

D．4
【答案】D
【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理即可求解.
【详解】不妨设P 在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得：
1
2
1
1
2
2
2 ,
2
PF
PF
a
PF
PF
a




，所以
1
1
2
2
1
2
,
PF
a
a
PF
a
a




，
在
1
2
PF F
△
中，由余弦定理可得







2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
π
cos 3
2
a
a
a
a
c
a
a
a
a







，
化简得
2
2
2
1
2
3
4
a
a
c


，所以
2
2
1
2
2
2
3
4
a
a
c
c


，即
2
2
1
2
1
3  =4
e
e

，
故选：D
8．已知双曲线C：


2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b




的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，P 为C 的右支上一点．若
1
2
1
2
5
2
F F
PF
PF 

，则双曲线C 的渐近线方程为（
）
A．3
2
0
x
y


B．2
3
0
x
y


C．
2
0
x
y


D．2
0
x
y


【答案】C
【分析】根据题意可得
5
2
c
a 
，然后由公式
2
1
c
b
a
a







可得b
a ，即可得渐近线方程.
【详解】设双曲线C 的半焦距为

0
c c 
．由题可知
1
2
2
F F
c

，
1
2
2
PF
PF
a


，
则
1
2
1
2
5
2
F F
c
PF
PF
a



，所以
2
5
1
2
c
b
a
a









，
所以
1
2
b
a 
，所以C 的渐近线方程为
2
0
x
y


．
故选：C
二．选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0）
9.（多选）经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为（
）
A．y2＝x
B．y2＝8x
C．y2＝－8x
D．x2＝－8y
【答案】AD
【详解】当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，所以p1＝
�
�，所以抛物线方程为
y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.
故选：AD
10.（多选）已知双曲线E：
�2
16 −
�2
9 = 1 的左右焦点分别为�1、�2，点P 在双曲线E 上，��1 =10，则��2
为（
）
A．2
B．6
C．16
D．18
【答案】AD
【分析】根据双曲线定义直接计算可得.
【详解】由双曲线定义可知���−���
= ��= �，即��−���=± �，
所以���= �或���= ��.
故选：AD
11.（多选）已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0, �> 0)的一条渐近线为�1: �= 2�，则下列结论正确的是（
）
A．�> �
B．�= 2�
C．双曲线�的离心率为5
D．双曲线�的焦点在�轴上
【答案】CD
【分析】由双曲线标准方程，结合已知渐近线即可知焦点位置、参数关系、离心率.
【详解】由双曲线渐近线�=±
�
��，知：�= ��，又��+ ��= ��，
∴�=
��+��
��
=
�，
综上，有：�= ��> �，离心率为�且焦点在�轴上，
故选：CD
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，根据双曲线标准方程和渐近线判断参数的数量关系、离心率、焦
点位置，属于简单题.
12.（多选）已知椭圆�：16�2 + 25�2 = 400，关于椭圆�下述正确的是（
）
A．椭圆�的长轴长为10
B．椭圆�的两个焦点分别为(0, −3)和(0,3)
C．椭圆�的离心率等于
3
5
D．若过椭圆�的焦点且与长轴垂直的直线�与椭圆�交于�, �，则|��|  =
32
5
【答案】ACD
【解析】椭圆方程化为标准方程，求出�, �, �，然后判断各选项．
【详解】由已知椭圆标准方程为
��
��+
��
��= �，则�= �, �= �，∴�= �．
长轴长为��= ��，A 正确；两焦点为(�, �), ( −�, �)，B 错误；离心率为�=
�
�=
�
�，C 正确；
�= �代入椭圆方程得��× ��+ ����= ���，解得�=±
��
�，∴��=
��
�，D 正确．
故选：ACD．
三．填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13．已知抛物线
2
2
(
0)
x
py p


的焦点为F，直线
2
x 
与抛物线交于点M，且
2
MF 
，则p 
.
【答案】2
【分析】先求点M 的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得p 的值.
【详解】
把
2
x 
代入抛物线标准方程
2
2
(
0)
x
py p


，得
2
(2,
)
M
p ，
根据抛物线的定义有，
2
2
2
p
MF
MH
p



，化简得，
2
4
4
p
p


，解得
2
p 
.
故答案为：2
14．椭圆
2
2
1
49
24
y
x

与双曲线
2
2
1
24
x
y 
有公共点P，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长
为
．
【答案】24
【分析】根据椭圆与双曲线方程得到椭圆与双曲线具有共同的焦点


1 0,5
F
，


2 0, 5
F

，
从而得到P 与双曲线两焦点的距离之和
1
2
14
PF
PF


，再根据
1
2
10
F F 
，求出周长.
【详解】由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点


1 0,5
F
，


2 0, 5
F

，
由椭圆定义可知：
1
2
14
PF
PF


，
故P 与双曲线两焦点的距离之和为14，
又
1
2
10
F F 
，
因此P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为14
10
24


.
故答案为：24
15．已知椭圆
2
2
1
9
5
x
y

的左焦点为F，P 是椭圆上一点，若点


1, 1
A

，则PA
PF

的最小值为
．
【答案】6
2

/
2
6


【分析】根据椭圆定义可知
2
|
|
|
| |
| 2
|
|
PA
PF
PA
a
PF




，进而可得|
|
|
|
PA
PF

的最小值.
【详解】根据椭圆的定义：
2
|
|
|
| |
| 2
|
|
PA
PF
PA
a
PF




，
|
|
|
|
PA
PF


取得最小值时，
即
2
|
|
|
|
PA
PF

最小，
如图所示：
2
2
6
2
PA
PF
a
AF





，当P ，A ，
2
F 共线时取得最小值．
|
|
|
|
PA
PF


的最小值为：6
2

﹒
故答案为：6
2

.
16．已知双曲线M：


2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b




的左､右焦点分别为
1F ，
2
F ，点P 为双曲线M 右支上一点，且
满足
1
2
1
2
1
3
PF
PF
F F


，则双曲线M 的渐近线方程为
.
【答案】
2 2
y
x

【分析】利用双曲线定义结合已知可得
3
c
a 
，从而推出
2 2
b
a 
，可得答案.
【详解】设双曲线M 的半焦距为c，，点P 为双曲线M 右支上一点，
由双曲线的定义，知
1
2
1
2
1
3
PF
PF
F F


，即2
1
2
3
a
c 
，
所以
3
c
a 
，所以
2
2
2 2
b
c
a
a
a



，
所以双曲线M 的渐近线方程为
2 2
y
x

,
故答案为：
2 2
y
x

.
四．解答题（本题共6 小题，17 题10 分，剩下每题12 分。共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤）
17.已知曲线C 的方程：
�2
5−�+
�2
�−2 = 1
(1)当m 为何值时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆？
(2)当m 为何值时，曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线？
【答案】(1)�< �<
�
�
(2)�> �
【分析】（1）根据焦点在�轴上的椭圆的标准方程的特征，列不等式求参数范围即可；（2）根据焦点在�
轴上的双曲线方程的特征，列不等式求解.
【详解】（1）根据题意可得�−�> �−�> �，解得：�< �<
�
�，
所以当�< �<
�
�时，曲线�表示焦点在�轴上的椭圆.
（2）由题可知，�−�> �
�−�< �，得�> �，
所以当�> �时，曲线�表示焦点在�轴上的双曲线.
18.根据下列条件，求椭圆的标准方程：
(1)长轴长和短轴长分别为8 和6，且焦点在x 轴上；
(2)一个焦点坐标为( −3,0)，一个顶点坐标为(0,5)．
【答案】(1)
��
��+
��
�= �
(2)
��
��+
��
��= �
【分析】（1）依题意可得��= �
��= �，即可求出�、�，再根据椭圆的焦点所在位置，得到椭圆方程；
（2）依题意可得椭圆焦点在�轴，且�= �，�= �，再根据��= ��−��求出��，即可得解；
【详解】（1）解：依题意可得��= �
��= �，所以�= �
�= �，又焦点在�轴上，所以椭圆方程为
��
��+
��
�= �；
（2）解：依题意可得椭圆焦点在�轴，且�= �，�= �，又��= ��−��，所以��= ��，所以椭圆方程为
��
��+
��
��= �；
19.求适合下列条件的曲线标准方程.
（1）虚轴长为16，离心率为2的双曲线的标准方程；
（2）过点�1, −3 的抛物线的标准方程.
【答案】（1）
��
��−
��
��= �或
��
��−
��
��= �；（2）��= ��或��=−
�
��.
【解析】（1）设双曲线的实轴长为��  �> �，焦距为��  �> �，根据题意求出�、�的值，再分双曲线
的焦点在�轴上和�轴上两种情况讨论，可得出双曲线的标准方程；
（2）分两种情况讨论，抛抛物线的焦点在�轴上和�轴上，分别设出抛物线的标准方程，将点�的坐标代
入抛物线的标准方程，求出参数值，即可得出所求抛物线的标准方程.
【详解】（1）设双曲线的实轴长为��  �> �，焦距为��  �> �，则
�
�=
�⇒�=
��，
双曲线的虚轴长为��= ���−��= ��，可得�= �，
当双曲线的焦点在�轴上时，双曲线的标准方程为
��
��−
��
��= �；
当双曲线的焦点在�轴上时，双曲线的标准方程为
��
��−
��
��= �.
综上所述，所求双曲线的标准方程为
��
��−
��
��= �或
��
��−
��
��= �；
（2）当抛物线的焦点在�轴上时，可设所求抛物线的标准方程为��= ���，
将点�的坐标代入抛物线的标准方程得��= −��⇒�=
�
�，
此时，所求抛物线的标准方程为��= ��；
当抛物线的焦点在�轴上时，可设所求抛物线的标准方程为��= ���，
将点�的坐标代入抛物线的标准方程得��=−��，解得�=−
�
�，
此时，所求抛物线的标准方程为��=−
�
��.
综上所述，所求抛物线的标准方程为��= ��或��=−
�
��.
【点睛】本题考查双曲线和抛物线标准方程的求解，解答时要注意对双曲线和抛物线的焦点位置进行分类
讨论，考查运算求解能力，属于基础题.
20.已知动点M 到定点�1( −
3, 0)和�2( 3, 0)的距离之和为4
(1)求动点�轨迹�的方程；
(2)若直线�: �−�−1 = 0 交椭圆�于两个不同的点A，B，O 是坐标原点，求△���的面积
【答案】(1)
��
�+ ��= �；(2)
�
�.
【分析】（1）利用椭圆的定义即求；
（2）由直线方程与椭圆方程联立，可解得点��, −�, �
�
�,
�
�，再利用三角形面积公式即求.
(1)∵动点M 到定点��( −
�, �)和��( �, �)的距离之和为4，
∴动点M 的轨迹是以��( −
�, �)和��( �, �)为焦点的椭圆，可设方程为
��
��+
��
��= ��> �> �，
则�= �, �=
�, �=
��−��= �，
故动点�轨迹�的方程为
��
�+ ��= �；
(2)由
��
�+ ��= �
�−�−�= �
可得���−��= �，
∴�= �
�=−�或
�=
�
�
�=
�
�
，
∴��, −�, �
�
�,
�
�，又O 是坐标原点，
∴△���的面积为
�
�����=
�
�× �×
�
�=
�
�.
21.已知抛物线的顶点在原点�，焦点在�轴上，且过点�2,1 .
(1)求抛物线的方程；
(2)若点�也在抛物线上，且��⊥��，求线段��的长.
【答案】(1)��= ��
(2)���
【分析】（1）设抛物线的方程，将点A 代入，即可求得抛物线的标准方程；
（2）由��⊥��，可得直线��的方程，代入抛物线方程得到�点坐标，再求线段��的长.
【详解】（1）抛物线的顶点在原点�，焦点在�轴上，且过点��, �，则抛物线开口向上，
设抛物线��= ����> �，因为抛物线过点��, �，所以�= ��，解得�= �.
所以所求的抛物线方程为��= ��；
（2）因为��⊥��，所以���⋅���=−�，
由���=
�
�，所以���=−�
所以��的方程�=−��，由�=−��
��= ��解得�−�, ��，
所以��=
���+ ���=
���= ���，即线段��的长为���.
22.已知椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)上的点到它两个焦点的距离之和为4，以椭圆�的短轴为直径的圆�
经过两个焦点，点�，�分别是椭圆�的左、右顶点.
（Ⅰ）求圆�和椭圆�的方程；
（Ⅱ）设�，�分别是椭圆�和圆�上的动点（�，�位于�轴两侧），且直线��与�轴平行，直线��，��分别
与�轴交于点�，�，试判断��与��所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，请说明
理由.
【答案】（Ⅰ）圆方程��+ ��= �，椭圆�方程
��
�+
��
�= �（Ⅱ）见解析
【分析】（Ⅰ）根据椭圆定义知��= �，又�= �，因此易求得�, �，得椭圆方程，从而也得到圆的方程；
（Ⅱ）设出���, ��，���, ��，分别代入椭圆方程和圆的方程得到两个关系式，写出直线��的方程，求
出�点坐标，同理写出��方程，求出N 点坐标，再求得向量��റ
ሬሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ，并计算数量积��റ
ሬሬሬሬሬ⋅��റ
ሬሬሬሬ，结果为0，
可得∠���= ��°．
【详解】（Ⅰ）依题意
��= �
�= �
��= ��+ ��
，得�= �，�= �=
�
∴圆方程��+ ��= �，椭圆�方程
��
�+
��
�= �
（Ⅱ）设���, ��，���, ��
∴
��
�
�+
��
�
�= �，��
�+ ��
�= �，��≠�
∵��方程�=
��
��+��+ �，令�= �时，��,
���
��+�
��方程为�=
��
��−��−�，令�= �得��,
−���
��−�
∴��റ
ሬሬሬሬሬ= −��,
���
��+�−��，��റ
ሬሬሬሬ= −��,
���
��−�−��
∴��റ
ሬሬሬሬሬ⋅��റ
ሬሬሬሬ= ��
�+
��
���
�
��
�−�= �−��
�+
�−���
���
�
−���
�
= �
∴∠���= ��°
【点睛】方法点睛：“设而不求”是解题过程中根据需要设变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种
关系（如和、差、积）来表示变量之间的联系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到种“化难为易、化
繁为简”的效果，在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，步骤一般如下：
（1）设直线方程�= ��+ �与椭圆为���+ ���= �的两个交点坐标为�(��, ��), �(��, ��)；
（2）联立直线与椭圆的方程组成方程组，消元得一元二次方程；
（3）利用韦达定理得��+ ��, ����，��+ ��, ����，然后再求弦长以及面积，或求其他量