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2023届高考数学三轮冲刺卷：数列前n项和的求法
一、选择题（共20小题；）
1
1. 数列 {a } 的前 n 项和为 S ，若 a = ，则 S 等于 ()
n n n n(n+1) 5
5 1 1
A. 1 B. C. D.
6 6 30
2. 已知等差数列 {a }，a =2，a =5，则公差 d 等于 ()
n 1 3
2 3
A. B. C. 3 D. −3
3 2
{ 1 }
3. 设 数 列 {a } 是 首 项 为 1 的 等 比 数 列 ． 若 是 等 差 数 列 ， 则
n 2a +a
n n+1
( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )
+ + + +…+ +
的值等于 ()
2a a 2a a 2a a
1 2 2 3 2012 2013
A. 2012 B. 2013 C. 3018 D. 3019
4. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的
太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中
华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．该数列从第一项起依次是 0，2，4，8，12，
1 1 1 1
18，24，32，40，50，⋯，记该数列为 {a }，则 + + +⋯+ = ()
n a a a a
3 5 7 2019
1009 1009 1010 505
A. B. C. D.
1010 2020 1009 1009
1
5. 数列 {a } 中， a =1 ， a ， a 是方程 x2−(2n+1)x+ =0 的两个根，则数列 {b } 的
n 1 n n+1 b n
n
前 n 项和 S = ()
n
1 1 n n
A. B. C. D.
2n+1 n+1 2n+1 n+1
6. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出
了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，
1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，
21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数 N：N>100 且该
数列的前 N 项和为 2 的整数幂．那么该款软件的激活码是 ()
A. 440 B. 330 C. 220 D. 110
4 { 1 }
7. 已知数列 {a } 的各项均为正数，a =2，a −a = ，若数列 的前 n 项和
n 1 n+1 n a +a a +a
n+1 n n+1 n
为 5，则 n= ()
A. 119 B. 121 C. 120 D. 122
8. 若 S =1−2+3−4+⋯+(−1) n+1 ⋅n，则 S +S +S 等于 ()
n 17 33 50A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
1
9. 已知数列 {a } 的通项公式是 a = ，则其前 n 项和 S = ()
n n 1+2+3+⋯+n n
2n n n 2n
A. B. C. D.
2n+1 2n+1 n+1 n+1
{ 1 } 1008
10. 设 S 为等差数列 {a } 的前 n 项和，a =3，S =25，若 的前 n 项和为 ，
n n 2 5 a a 2017
n n+1
则 n 的值为 ()
A. 504 B. 1008 C. 1009 D. 2017
1
11. 数列 {a } 的通项公式是 a = ，前 n 项和 S 为 10，则 n= ()
n n √n+√n+1 n
A. 11 B. 99 C. 120 D. 121
12. 数列 {a } 的通项 a =n2( cos2 nπ −sin2 nπ) ，其前 n 项和为 S ，则 S 为 ()
n n 3 3 n 30
A. 470 B. 490 C. 495 D. 510
2017
1
13. 已知数列 {a } 中，a =1，且对任意的 m,n∈N∗，都有 a =a +a +mn，则 ∑ =
n 1 m+n m n a
i=1 i
()
2017 2016 2018 2017
A. B. C. D.
2018 2017 1009 1009
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 { 1 }
14. 已知数列 {a }: ， + ， + + ， + + + ，…，那么数列 {b }= 前 n 项
n 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n a a
n n+1
的和为 ()
( 1 ) (1 1 ) 1 1 1
A. 4 1− B. 4 − C. 1− D. −
n+1 2 n+1 n+1 2 n+1
1 2013
15. 在数列 {a } 中，a = ，若 a 的前 n 项和为 ，则项数 n 为 ()
n n n(n+1) n 2014
A. 2011 B. 2012 C. 2013 D. 2014
1
16. 数列 {a } 的前 n 项和为 S ，若 a = ，则 S 等于 ()
n n n n(n+1) 5
5 1 1
A. 1 B. C. D.
6 6 30
17. 已知数列 {a } 的通项公式为 a =−2n2+29n+3，则数列 {a } 中的最大项是 ()
n n n
1
A. 107 B. 108 C. 108 D. 109
82π
18. 已知函数 f (x)=Asin(ωx+φ)（A，ω，φ 均为正的常数）的最小正周期为 π，当 x= 时，
3
函数 f (x) 取得最小值，则下列结论正确的是 ()
A. f (2)1 时，记 c = n ，求数列 {c } 的前 n 项和 T ．
n b n n
n
27. 已知数列 {a } 的前 n 项和为 S ，点 (n,2S )(n∈N∗) 均在函数 y=x2+x 的图象上．
n n n
（1）求数列 {a } 的通项公式；
n
1
（2）设 b = ，求数列 {b } 的前 n 项和 T ．
n a a n n
n n+1
1
28. 已知数列 {a } 满足：a =1，a = ，且 [3+(−1) n]a −2a +2[(−1) n−1]=0，n∈N∗．
n 1 2 2 n+2 n
（1）求 a ，a ，a ，a 的值及数列 {a } 的通项公式；
3 4 5 6 n
（2）设 b =a ⋅a ，求数列 {b } 的前 n 项和 S ．
n 2n−1 2n n n
29. 已知数列 {a } 为等比数列，且 a +2a =a ．
n 2 1 3
（1）求数列 {a } 的公比；
n
（2）若 a >0，a =2，求数列 {a +log a } 的前 n 项和 T ．
n 1 n 2 n n
30. 已知正项数列 {a } 的前 n 项和为 S ，且 a =1，S +S =a2 ，数列 {b } 满足
n n 1 n+1 n n+1 n
b ⋅b =2a n，且 b =2．
n n+1 1
（1）求数列 {a }，{b } 的通项公式；
n n
（2）令 c =a ⋅b +(−1) n (3n−2)，求数列 {c } 的前 n 项和 T ．
n n 2n n n答案
1. B
2. B 【解析】设数列 {a } 的公差为 d，则 a =a +2d，
n 3 1
5−2 3
所以 d= = ．
2 2
{ 1 } ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )
3. C 【解析】由 是等差数列得 2× + = + + + ，代入
2a +a 2a a 2a a 2a a
n n+1 2 3 1 2 3 4
{ 1 } 3
a =qn 可求得 q=1，因此 {a } 为常数列， 也为常数列，每一项都等于 ，所以
n n 2a +a 2
n n+1
( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 3
+ + + +…+ + =2012× =3018．
2a a 2a a 2a a 2
1 2 2 3 2012 2013
12−1 32−1 52−1 72−1
4. B 【解析】奇数项分别为 0，4，12，24，40，⋯，即 ， ， ， ，
2 2 2 2
92−1
，⋯，
2
n2−1
所以 a = （n 为正奇数），
n 2
1 2 1 1
所以 = = − （n 为大于 1 的奇数），
a n2−1 n−1 n+1
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1009
所以 + + +⋯+ = − + − +⋯+ − = − = ．
a a a a 2 4 4 6 2018 2020 2 2020 2020
3 5 7 2019
5. D
b =a +⋯+a =2n−1
6. A 【解析】设该数列为 {a
n
}，设 n (n−1)n
+1
n(n+1) (n∈N
+
)，则
2 2
n(n+1)
n 2
，
∑b = ∑ a
i i
i=1 i=1
由题意可设数列 {a } 的前 N 项和为 S ，数列 {b } 的前 n 项和为 T ，则
n N n n
T =21−1+22−1+⋯+2n−1=2n+1−n−2．
n
n(n+1)
可知当 N 为 时 (n∈N )，数列 {a } 的前 N 项和为数列 {b } 的前 n 项和，即为
2 + n n
2n+1−n−2．
容易得到 N>100 时，n≥14，
29×30
A 项，由 =435，440=435+5，可知 S =T +b =230−29−2+25−1=230，故 A 项符
2 440 29 5
合题意．25×26
B 项，仿上可知 =325，可知 S =T +b =226−25−2+25−1=226+4，显然不为 2 的整
2 330 25 5
数幂，故 B 项不符合题意．
20×21
C 项，仿上可知 =210，可知 S =T +b =221−20−2+210−1=221+210−23，显然不为
2 220 20 10
2 的整数幂，故 C 项不符合题意．
14×15
D 项，仿上可知 =105，可知 S =T +b =215−14−2+25−1=215+15，显然不为 2 的
2 110 14 5
整数幂，故 D 项不符合题意．
方法二：由题意可知：20 ，20,21 ，20,21,22 ，⋯，20,21,22,⋯,2n−1
，
¿ ¿ ¿ ¿
根据等比数列前 n 项和公式，求得每项和分别为：21−1，22−1，23−1，⋯，2n−1，
每项含有的项数为：1，2，3，⋯，n，
(1+n)n
总共的项数为 N=1+2+3+⋯+n= ，
2
所有项数的和为
S =21−1+22−1+23−1+⋯+2n−1
n
2(1−2n)
¿ = −n
1−2
¿ ¿
由题意可知：2n+1 为 2 的整数幂．只需将 −2−n 消去即可，
(1+1)×1
则① 1+2+(−2−n)=0，解得：n=1，总共有 +2=3，不满足 N>100，
2
(1+5)×5
② 1+2+4+(−2−n)=0，解得：n=5，总共有 +3=18，不满足 N>100，
2
(1+13)×13
③ 1+2+4+8+(−2−n)=0，解得：n=13，总共有 +4=95，不满足 N>100，
2
(1+29)×29
④ 1+2+4+8+16+(−2−n)=0，解得：n=29，总共有 +5=440，满足 N>100．
2
所以该款软件的激活码为 440．
7. C 【解析】依题意有 a2 −a2=4，
n+1 n
即数列 {a2} 是以 4 首项，公差为 4 的等差数列，
n
故 a2=4n，a =2√n，
n n
1 1 1 1
= ⋅ = (√n+1−√n)，
a +a 2 √n+1+√n 2
n+1 n
1 1
前 n 项和 S = (√2−1+√3−√2+⋯+√n+1−√n)= (√n+1−1)，
n 2 2
1
所以 (√n+1−1)=5，n=120．
28. C 【解析】S =1+(−2+3)+(−4+5)+⋯+(−16+17)=1+8=9，s =1+16=17，S =−25 ，
17 33 50
所以 S +S +S =1 .
17 33 50
9. D
10. B
5×4
【解析】设等差数列的公差为 d，则由题意可得 a =a +d=3，S =5a + d=25，联立解得
2 1 5 1 2
a =1，d=2，
1
所以 a =1+2(n−1)=2n−1，
n
所以
1 1
=
a a (2n−1)(2n+1)
n n+1
¿ ¿
所以
1 1 1
+ +…+ 1( 1 1 1 1 1 ) 1( 1 )
a a a a a a 1− + − +…+ − ¿=¿ 1− ,¿
1 2 2 3 n n+1 2 3 3 5 2n−1 2n+1 2 2n+1
¿
1( 1 ) 1008
所以 1− = ，
2 2n+1 2017
1 2016
所以 1− = ，
2n+1 2017
所以 2n+1=2017，
所以 n=1008．
11. C
{ nπ nπ}
12. A 【解析】由于 cos2 −sin2 以 3 为周期，故
3 3
(
12+22
) (
42+52
) (
282+292
)
S = − +32 + − +62 +⋯+ − +302
30 2 2 2
10
( 5)
¿ =∑ 9k−
2
k=1
¿ =470.
13. D
n(n+1)
14. A 【解析】因为 1+2+3+…+n 2 n，
a = = =
n n+1 n+1 2
1 4 (1 1 )
所以 b = = =4 − ．
n a a n(n+1) n n+1
n n+1
( 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 1 )
所以 S =4 1− + − + − +…+ − =4 1− ．
n 2 2 3 3 4 n n+1 n+1
15. C1 1 1 1 n 2013
【解析】因为 a = = − ，所以 S =1− = = ，解得 n=2013．
n n(n+1) n n+1 n n+1 n+1 2014
16. B
17. B 【解析】a =−2n2+29n+3=−2 ( n− 29) 2 + 865 ，又 n∈N∗，所以当 n=7 时，a 取得
n 4 8 n
最大值，为 a =108．
7
[2π π 2π] [π 2π] π
18. A 【解析】由题意知函数 f (x) 在区间 − , ，即 , 上单调递减，且 x=
3 2 3 6 3 6
是它的对称轴．
[π 2π] (π)
将要比较大小的自变量调整到区间 , 上再比较：f (−2)=f (π−2)，f (0)=f ，而
6 3 3
π π 2π (π)
< <π−2<2< ，故 f >f (π−2)>f (2)，即 f (0)>f (−2)>f (2)．
6 3 3 3
19. A 【解析】给 a、b 赋值，使它们都等于 0，再使它们都等于 1，得到结论①正确；
可算得 f (2n)=2f (2n−1)+2n−1f (2)=2f (2n−1)+2n=⋯=n⋅2n，所以 {a } 为等比数列，{b } 为等差
n n
数列．
20. A
1 S
【解析】设 S =S ，S =S，由题意可得， = 0 ，得 S=3S ，所以
△OA 1 B 1 0 A n B n B n+1 A n+1 22 S +S 0
0
a2 S +(n−2)S 3n−5 a2 a2 a2 1 4 3n−5
n−1= 0 = ，所以 1 ⋅ 2⋯ n−1= ⋅ ⋯ ，所以 a =√3n−2．
a2 S +(n−1)S 3n−2 a2 a2 a2 4 7 3n−2 n
n 0 2 3 n
21. 2016
√ 1 1
√(n2+n) 2 +2(n2+n)+1
因为 1+ + =
n2 (1+n) 2 n2(1+n) 2
【解析】
(1 1 )
¿ =1+ − ,
n n+1
所以
[ (1 1)] [ (1 1)] [ ( 1 1 )] 1
S= 1+ − + 1+ − +⋯ 1+ − =2017− ，故 [S]=2016．
1 2 2 3 2016 2017 2017
22. 30
1
【解析】因为 a = =√n+2−√n+1，
n √n+1+√n+2
所以 S =√3−√2+√4−√3+⋯+√n+2−√n+1=√n+2−√2=3√2，所以 √n+2=4√2，n=30．
n
23. 7
【解析】a +(−1) na =3n−1，
n+2 n
当 n 为奇数时，a =a +3n−1；
n+2 n当 n 为偶数时，a +a =3n−1．
n+2 n
设数列 {a } 的前 n 项和为 S ，
n n
S =a +a +a +a +⋯+a
16 1 2 3 4 16
¿ =a +(a +2)+(a +10)+(a +24)+(a +44)+(a +70)+(a +102)+(a +140)+(5+17+29+41)
1 1 1 1 1 1 1 1
¿ =8a +484
1
¿ ¿
所以 a =7．
1
10
24.
11
n(n+1)
【解析】S = ，
n 2
当 n=1 时，S =a =1，
1 1
当 n≥2 时，
n(n+1) n(n−1)
S −S =a = − =n，
n n−1 n 2 2
当 n=1 时，a =1，符合 a =n，
1 n
所以 a =n，n∈N+，
n
1 1 1 1
= = − ，
a a n(n+1) n n+1
n n+1
1 1 1 1 1
前10项和 =1− + − +⋯+ −
2 2 3 10 11
10
¿ = .
11
25. a =√3n−2
n
【解析】设 S ＝S,∵OA =a =1,OA =a =2,A B ∥A B ，
△OA B 1 1 2 2 1 1 2 2
1 1
∴ A B 是三角形 OA B 的中位线，∴
S
△OA 1 B 1=
(1) 2
=
1
，
1 1 2 2 S 2 4
△OA B
2 2
∴梯形 A B B A 的面积 =3S．
1 1 2 2
故梯形 A B B A 的面积 =3S．
n n n+1 n+1
∵所有 A B 相互平行，∴所有 △OA B (n∈N∗) 都相似，
n n n n
a 2 4S 4 a 2 7S 7 a 2 10
∴ 2 = = ， 3 = = ， 4 = ，⋯,
a 2 S 1 a 2 4S 4 a 2 7
1 2 3
∵ a 2=1，∴ a 2=4，a 2=7，
1 2 3
∴数列 {a 2} 是一个等差数列，其公差 d=3，
n
故 a 2=1+(n−1)×3=3n−2，∴ a2=3n−2，
n n
因此数列 a 的通项公式是 a =√3n−2．故答案为 a =√3n−2．
n n n{10a +45d=100,
26. （1） 由题意得 1
a d=2,
1
{2a +9d=20,
1
即
a d=2,
1
{a =9,
{a =1, 1
解得 1 或 2
d=2, d= .
9
1
{a = (2n+79),
{a =2n−1, n 9
n
故 或
b =2n−1 (2) n−1
n b =9⋅ .
n 9
（2） 由 d>1，知 a =2n−1，b =2n−1，
n n
a 2n−1
故 c = n= ，
n b 2n−1
n
3 5 7 9 2n−1
于是 T =1+ + + + +⋯+ ，①
n 2 22 23 24 2n−1
1 1 3 5 7 9 2n−1
T = + + + + +⋯+ ．②
2 n 2 22 23 24 25 2n
1 1 1 1 2n−1 2n+3
① − ②可得 T =2+ + +⋯+ − =3− ，
2 n 2 22 2n−2 2n 2n
2n+3
故 T =6− ．
n 2n−1
27. （1） 由已知得 2S =n2+n(n∈N∗)．
n
当 n=1 时，2S =2a =2，即 a =1；
n 1 1
{ 2S =n2+n,
当 n≥2(n∈N∗) 时， n
2S =(n−1) 2+(n−1),
n−1
两式相减得
2a =2(S −S )
n n n−1
¿ =2n,
即
a =n.
n
经检验：a =1 满足 a =n．
1 n
综上：数列 {a } 的通项公式为 a =n(n∈N∗)．
n n
1 1 1
（2） 由已知得 b = = − ，
n n(n+1) n n+11 1 1
T =b +b +⋯+b = + +⋯+
n 1 2 n 1×2 2×3 n(n+1)
1
¿ =1− (n∈N∗).
n+1
1 1
28. （1） 经计算 a =3，a = ，a =5，a = ．
3 4 4 5 6 8
当 n 为奇数时，a =a +2，即数列 {a } 的奇数项成等差数列，
n+2 n n
所以 a =a +(n−1)⋅2=2n−1；
2n−1 1
1
当 n 为偶数时，a = a ，即数列 {a } 的偶数项成等比数列，
n+2 2 n n
(1) n−1 (1) n
所以 a =a ⋅ = ．
2n 2 2 2
{ n (n为奇数),
因此，数列 {a
n
} 的通项公式为 a
n
= (1) n
2 (n为偶数).
2
(1) n
（2） 因为 b =(2n−1)⋅ ，所以
n 2
(1) 2 (1) 3 (1) n−1 (1) n
S =1⋅+3⋅ +5⋅ +…+(2n−3)⋅ +(2n−1)⋅ , ⋯⋯①
n 2 2 2 2
1 (1) (1) 3 (1) 4 (1) n (1) n+1
S =1⋅ +3⋅ +5⋅ +⋯+(2n−3)⋅ +(2n−1)⋅ . ⋯⋯②
2 n 2 2 2 2 2
①−② 得
1 1 [ (1) 2 (1) 3 (1) n] (1) n+1
S =1· +2 + +⋯+ −(2n−1)·
2 n 2 2 2 2 2
3 (1) n+1
¿ =− (2n+3)· .
2 2
(1) n
所以 S =3−(2n+3)⋅ ．
n 2
29. （1） 设等比数列 {a } 的公比为 q，
n
由 a +2a =a ，可得 a q+2a =a q2 ，
2 1 3 1 1 1
即为 q2−q−2=0，
解得 q=2或−1．
（2） 由 a >0，可得 q=2，
n
又 a =2，则 a =2n ，
1 n
所以 a +log a =2n+n，
n 2 n
所以前 n 项和T =(2+4+8+⋯+2n)+(1+2+3+⋯+n)
n
1
¿
=2n+1−2+ (n2+n).
2
30. （1） 当 n=1 时，S +S =a2，
2 1 2
即 a2−a −2=0，
2 2
因为 a >0，
n
所以 a =2，
2
{S +S =a2 ,
由 n+1 n n+1 (n≥2) 可得 a +a =a2 −a2 ，
S +S =a2, n n+1 n+1 n
n n−1 n
即 a +a =(a +a )(a −a )，
n+1 n n+1 n n+1 n
因为 a >0，
n
所以 a −a =1(n≥2)．
n+1 n
又因为 a −a =2−1=1，
2 1
所以 {a } 是公差为 1，首项为 1 的等差数列．
n
所以 a =1+(n−1)×1=n(n∈N∗)，
n
由题意得：b b =2a 1=2，
1 2
因为 b =2，
1
所以 b =1，
2
{b b =2n(n≥2),
n n+1
由
b b =2n−1,
n−1 n
b
两式相除得： n+1 =2(n≥2)，
b
n−1
所以 n 是奇数时，{b } 是公比为 2，首项为 b =2 的等比数列，
n 1
n+1
所以 b =2 2 ，
n
同理，n 是偶数时，{b } 是公比为 2，首项为 b =1 的等比数列，
n 2
n−2
所以 b =2 2 ．
n
n+1
{
2 2 ,n是奇数
综上 b = n−2 ．
n
2 2 ,n是偶数
（2） c =a ⋅b +(−1) n (3n−2)，
n n 2n
即 c =n⋅2n−1+(−1) n (3n−2)，
n
令 {n⋅2n−1} 的前 n 项和为 A ，
n{A =1⋅20+2⋅21+3⋅22+⋯+n⋅2n−1,
n
则
2A =1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n,
n
1−2n
两式相减得：−A =20+21+22 ⋯+2n−1−n⋅2n= −n⋅2n，
n 1−2
所以 A =(n−1)2n+1，
n
令 {(−1) n (3n−2)} 的前 n 项和为 B ，
n
3n
{ , n是偶数
2
所以 B = ，
n −3n+1
, n是奇数
2
3−3n
{ (n−1)2n+ ,n是奇数
2
综上 T = ．
n 3n
(n−1)2n+1+ ,n是偶数
2
