文档文本内容
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）
文科数学
1．设集合
，则
( )
A．
B．
C．
D
．
2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调
查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A．该地农户家庭年收入低于
万元的农户比率估计为
B．该地农户家庭年收入不低于
万元的农户比率估计为
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过
万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于
万元至
万元之间
3．己知
，则
( )
0
收入/ 万元
2.5
3.5
4.5
5.5
6.5
7.5
8.5
9.5
10.5
11.5
12.5
13.5
14.5
0.02
0.04
0.14
0.10
0.20
A．
B．
C．
D
．
4．下列函数中是增函数的为( )
A．
B．
C．
D
．
5．点
到双曲线
的一条渐近线的距离为( )
A．
B．
C．
D．
6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小
数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L＝5＋lgV．已
知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为
( )
A．
B．
C．
D．
7．在一个正方体中，过顶点的三条棱的中点分别为
．该正方体截去三棱锥
后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是( )
A．
B．
C.
D
.
8．在
中，已知
，则
( )
A．1
B．
C．
D．3
9．记
为等比数列
的前项和．若
，则
( )
A．7
B．8
C．9
D．10
10．将3 个1 和2 个0 随机排成一行，则2 个0 不相邻的概率为( )
A．0.3
B．0.5
C．0.6
D．0.8
11．若
( )
A．
B．
C．
D．
12．设f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(1＋x)＝f－x)．若
( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．若向量
满足| |＝3，|
|＝5，⋅＝1，则| |＝_______________．
14．己知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为_______．
15．已知函数
的部分图像如图所示，则
＝______．
x
y
13π
12
π
3
2
O
16．已知
为椭圆
两个焦点，P，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且
，则四边形
的面积为______．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60 分。
17．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品
的质量，分别用两台机床各生产了200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)能否有
的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：
，
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
18．记
为
的前项和，已知
，且数列
是等差数列．证明：
是等
差数列．
19．已知直三棱柱
中，侧面
为正方形．
分别为
和
的中点，
．
(1)求三棱锥F－EBC 的体积；
(2)已知为棱
上的点，证明：
．
20．设函数
，其中a>0．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若y＝f(x)的图像与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．
21．抛物线C 的顶点为坐标原点O，焦点在x 轴上，直线l：x＝1 交C 于P，Q 两点，且
已知点
，且
与相切．
(1)求C，
的方程；
(2)设
是C 上的三个点，直线
均与⊙M 相切．判段直线
与
的位置关系，并说明理由．
(二)选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极
坐标方程为
．
(1)将的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点的直角坐标为
为上的动点，点满足
，写出的轨迹
的参数方程，并判断与
是否有公共点．
23．[选修4－5：不等式选讲]
已知函数
．
(1)画出
和
的图象；
(2)若
，求的取值范围．
