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2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ卷）
文科数学
一、选择题
1．已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B 等于( )
A．{－1,0,1}
B．{0,1}
C．{－1,1}
D．{0,1,2}
2．若z(1＋i)＝2i，则z 等于( )
A．－1－i
B．－1＋i
3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A. B. C. D.
4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古
典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 位学生，
其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有80
位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60 位，则该校阅读过《西游记》的
学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
5．函数f(x)＝2sin x－sin 2x 在[0,2π]上的零点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4 项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于( )
A．16 B．8 C．4 D．2
7．已知曲线y＝aex＋xln x 在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
8.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M 是
线段ED 的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN 是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线
9．执行下边的程序框图，如果输入的ε 为0.01，则输出s 的值等于( )
A．2－
B．2－
C．2－
D．2－
10．已知F 是双曲线C：
－
＝1 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若|OP|＝|
OF|，则△OPF 的面积为( )
A. B. C. D.
11．记不等式组
表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：
∀(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题：
①p∨q；②(綈p)∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∧(綈q)．
这四个命题中，所有真命题的编号是( )
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
12．设f(x)是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )
A．f
>f (
) >f (
)
B．f
>f (
)>f (
)
C．f (
)>f (
)>f
D．f (
)>f (
)>f
二、填空题
13．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.
14．记Sn为等差数列{an}的前n 项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.
15．设F1，F2为椭圆C：
＋
＝1 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF1F2
为等腰三角形，则M 的坐标为________．
16.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－
A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E，F，G，H
分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm,3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考
虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
三、解答题
17．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200 只小鼠随机分
成A，B 两组，每组100 只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．
每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残
留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值
为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b 的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
18．△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知asin
＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC 为锐角三角形，且c＝1，求△ABC 面积的取值范围．
19．图①是由矩形ADEB，Rt△ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE
＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG，如图②.
(1)证明：图②中的A，C，G，D 四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图②中的四边形ACGD 的面积．
20．已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当0<a<3 时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M，最小值为m，求M－m 的取值范围．
21．已知曲线C：y＝
，D 为直线y＝－上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为
A，B.
(1)证明：直线AB 过定点；
(2)若以E
为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
如图，在极坐标系Ox 中，A(2,0)，B
，C
，D(2，π)，弧
，
，
所在圆
的圆心分别是(1,0)，
，(1，π)，曲线M1是弧
，曲线M2是弧
，曲线M3是弧
.
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M 由M1，M2，M3构成，若点P 在M 上，且|OP|＝
，求P 的极坐标．
23．[选修4－5：不等式选讲]
设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.
(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；
(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3 或a≥－1.
