文档文本内容
2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
1．（5 分）已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B 中元素的个数为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
2．（5 分）已知点A（0，1），B（3，2），向量
=（﹣4，﹣3），则向量
=（ ）
A．（﹣7，﹣4）
B．（7，4）
C．（﹣1，4）
D．（1，4）
3．（5 分）已知复数z 满足（z
1
﹣）i=1+i，则z=（ ）
A．﹣2
i
﹣
B．﹣2+i
C．2
i
﹣
D．2+i
4．（5 分）如果3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3 个数为一组勾股数．从1，
2，3，4，5 中任取3 个不同的数，则这3 个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．
（5 分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为
，E 的右焦点与抛物线C：y2=8x 的焦点重合，A，B
是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|=（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
6．（5 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角
下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个
圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？
“已知1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
A．14 斛
B．22 斛
C．36 斛
D．66 斛
7．（5 分）已知{an}是公差为1 的等差数列，Sn为{an}的前n 项和，若S8=4S4，则a10=（ ）
A．
B．
C．10
D．12
8．（5 分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）
A．（kπ﹣
，kπ+
），k∈z
B．（2kπ﹣
，2kπ+
），k∈z
C．（k﹣
，k+
），k∈z
D．（
，2k+
），k∈z
9．（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）
第1页（共16页）
A．5
B．6
C．7
D．8
10．（5 分）已知函数f（x）=
，且f（a）=
3
﹣，则f（6
a
﹣）=（ ）
A．﹣
B．﹣
C．﹣
D．﹣
11．（5 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的
正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
12．（5 分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=
x
﹣对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（ ）
A．﹣1
B．1
C．2
D．4
二、本大题共4 小题，每小题5 分.
13．（5 分）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n 项和，若Sn=126，则n= ．
14．（5 分）已知函数f（x）=ax3+x+1 的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a= ．
15．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=3x+y 的最大值为 ．
16．（5 分）已知F 是双曲线C：x2﹣
=1 的右焦点，P 是C 的左支上一点，A（0，6
）．当△APF 周长
最小时，该三角形的面积为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知a，b，c 分别是△ABC 内角A，B，C 的对边，sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=
，求△ABC 的面积．
18．（12 分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E
ACD
﹣
的体积为
，求该三棱锥的侧面积．
第2页（共16页）
19．（12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销
售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8 年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，
8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（xi﹣）2
（wi﹣）2
（xi﹣）（yi﹣）
（wi﹣）（yi﹣）
46.6 563 6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi=
i，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+d
哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类
型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x、y 的关系为z=0.2y
x
﹣．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u1 v1），
（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
=
，
= ﹣
．
20．（12 分）已知过点A（0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C：（x
2
﹣）2+（y
3
﹣）2=1 交于点M、N 两点．
（1）求k 的取值范围；
（2）若
•
=12，其中O 为坐标原点，求|MN|．
21．（12 分）设函数f（x）=e2x
alnx
﹣
．
（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；
（Ⅱ）证明：当a＞0 时，f（x）≥2a+aln
．
第3页（共16页）
四、请考生在第22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何
证明选讲】
22．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E．
（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）若OA=
CE，求∠ACB 的大小．
五、【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy 中，直线C1：x=
2
﹣，圆C2：
（x
1
﹣）2+（y
2
﹣）2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=
（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．
六、【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）=|x+1|
2
﹣|x
a
﹣|，a＞0．
（Ⅰ）当a=1 时，求不等式f（x）＞1 的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．
第4页（共16页）
2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
1．（5 分）已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B 中元素的个数为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】根据集合的基本运算进行求解．
【解答】解：A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，17，…}，
则A∩B={8，14}，
故集合A∩B 中元素的个数为2 个，
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5 分）已知点A（0，1），B（3，2），向量
=（﹣4，﹣3），则向量
=（ ）
A．（﹣7，﹣4）
B．（7，4）
C．（﹣1，4）
D．（1，4）
【考点】9J：平面向量的坐标运算．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】顺序求出有向线段
，然后由
=
求之．
【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到
=（3，1），向量
=（﹣4，﹣3），
则向量
=
=（﹣7，﹣4）；
故选：A．
【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两
个端点的关系，顺序不可颠倒．
3．（5 分）已知复数z 满足（z
1
﹣）i=1+i，则z=（ ）
A．﹣2
i
﹣
B．﹣2+i
C．2
i
﹣
D．2+i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z
1
﹣，进一步求得z．
【解答】解：由（z
1
﹣）i=1+i，得z
1=
﹣
，
∴z=2
i
﹣．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
4．（5 分）如果3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3 个数为一组勾股数．从1，
2，3，4，5 中任取3 个不同的数，则这3 个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．
【解答】解：从1，2，3，4，5 中任取3 个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，
5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10 种，
其中只有（3，4，5）为勾股数，
故这3 个数构成一组勾股数的概率为
．
故选：C．
【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题．
第5页（共16页）
5．
（5 分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为
，E 的右焦点与抛物线C：y2=8x 的焦点重合，A，B
是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|=（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，
求出A，B 坐标，即可求解所求结果．
【解答】解：椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为
，E 的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x 的焦点（2，0）
重合，
可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：
，
抛物线的准线方程为：x=
2
﹣，
由
，解得y=±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．
|AB|=6．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
6．（5 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角
下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个
圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？
“已知1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
A．14 斛
B．22 斛
C．36 斛
D．66 斛
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则
r=8，
解得r=
，
故米堆的体积为
×
×π×（
）2×5≈
，
∵1 斛米的体积约为1.62 立方，
∴
÷1.62≈22，
故选：B．
【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．
7．（5 分）已知{an}是公差为1 的等差数列，Sn为{an}的前n 项和，若S8=4S4，则a10=（ ）
A．
B．
C．10
D．12
【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．
第6页（共16页）
【解答】解：∵{an}是公差为1 的等差数列，S8=4S4，
∴8a1+
×1=4×（4a1+
），
解得a1=
．
则a10=
+9×1=
．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档
题．
8．（5 分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）
A．（kπ﹣
，kπ+
），k∈z
B．（2kπ﹣
，2kπ+
），k∈z
C．（k﹣
，k+
），k∈z
D．（
，2k+
），k∈z
【考点】HA：余弦函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f
（x）的减区间．
【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为
=2（
﹣
）=2，∴ω=π，f（x）
=cos（πx+ϕ）．
再根据函数的图象以及五点法作图，可得
+ϕ=
，k∈z，即ϕ=
，f（x）=cos（πx+
）．
由2kπ≤πx+
≤2kπ+π，求得 2k﹣
≤x≤2k+
，故f（x）的单调递减区间为（
，2k+
），k∈z，
故选：D．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出
φ 的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．
9．（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
第7页（共16页）
【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序
的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，S=
，m=
，n=1，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=2，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=3，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=4，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=5，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=6，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=7，满足退出循环的条件；
故输出的n 值为7，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解
答．
10．（5 分）已知函数f（x）=
，且f（a）=
3
﹣，则f（6
a
﹣）=（ ）
A．﹣
B．﹣
C．﹣
D．﹣
【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．
【分析】利用分段函数，求出a，再求f（6
a
﹣）．
【解答】解：由题意，a≤1 时，2α
1
﹣
2=
3
﹣
﹣，无解；
a＞1 时，﹣log2（a+1）=
3
﹣，∴α=7，
∴f（6
a
﹣）=f（﹣1）=2
1
1
﹣﹣
2=
﹣
﹣
．
故选：A．
【点评】本题考查分段函数，考查学生的计算能力，比较基础．
11．（5 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的
正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】5Q：立体几何．
【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．
【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，
截圆柱的平面过圆柱的轴线，
该几何体是一个半球拼接半个圆柱，
∴其表面积为：
×4πr2+
×πr2
2r×2πr+2r×2r+
×πr2=5πr2+4r2，
又∵该几何体的表面积为16+20π，
∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，
故选：B．
第8页（共16页）
【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
12．（5 分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=
x
﹣对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（ ）
A．﹣1
B．1
C．2
D．4
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】26：开放型；51：函数的性质及应用．
【分析】先求出与y=2x+a的反函数的解析式，再由题意f（x）的图象与y=2x+a的反函数的图象关于原点
对称，继而求出函数f（x）的解析式，问题得以解决．
【解答】解：∵与y=2x+a的图象关于y=x 对称的图象是y=2x+a的反函数，
y=log2x
a
﹣（x＞0），
即g（x）=log2x
a
﹣，（x＞0）．
∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=
x
﹣对称，
∴f（x）=
g
﹣（﹣x）=
log
﹣
2（﹣x）+a，x＜0，
∵f（﹣2）+f（﹣4）=1，
∴﹣log22+a
log
﹣
24+a=1，
解得，a=2，
故选：C．
【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，
属于基础题
二、本大题共4 小题，每小题5 分.
13．（5 分）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n 项和，若Sn=126，则n=
6
．
【考点】89：等比数列的前n 项和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】由an+1=2an，结合等比数列的定义可知数列{an}是a1=2 为首项，以2 为公比的等比数列，代入
等比数列的求和公式即可求解．
【解答】解：∵an+1=2an，
∴
，
∵a1=2，
∴数列{an}是a1=2 为首项，以2 为公比的等比数列，
∴Sn=
=
=2n+1
2=126
﹣
，
∴2n+1=128，
∴n+1=7，
∴n=6．
故答案为：6
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本
公式．
14．（5 分）已知函数f（x）=ax3+x+1 的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=
1
．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．
【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1 的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，
切线方程为：y
a
2=
﹣﹣
（3a+1）（x
1
﹣），因为切线方程经过（2，7），
所以7
a
2=
﹣﹣
（3a+1）（2
1
﹣），
解得a=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．
第9页（共16页）
15．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=3x+y 的最大值为
4
．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优
解的坐标得答案．
【解答】解：由约束条件
作出可行域如图，
化目标函数z=3x+y 为y=
3x
﹣
+z，
由图可知，当直线y=
3x
﹣
+z 过B（1，1）时，直线在y 轴上的截距最大，
此时z 有最大值为3×1+1=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
16．（5 分）已知F 是双曲线C：x2﹣
=1 的右焦点，P 是C 的左支上一点，A（0，6
）．当△APF 周长
最小时，该三角形的面积为
12
．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；26：开放型；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线的定义，确定△APF 周长最小时，P 的坐标，即可求出△APF 周长最小时，该三角
形的面积．
【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF 周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2
≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），
直线AF′的方程为
与x2﹣
=1 联立可得y2+6
y
96=0
﹣
，
∴P 的纵坐标为2
，
∴△APF 周长最小时，该三角形的面积为
﹣
=12
．
故答案为：12
．
【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P 的坐标是关键．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知a，b，c 分别是△ABC 内角A，B，C 的对边，sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=
，求△ABC 的面积．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】58：解三角形．
【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．
（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，
由正弦定理可得：
＞0，
代入可得（bk）2=2ak•ck，
∴b2=2ac，
∵a=b，∴a=2c，
第10页（共16页）
由余弦定理可得：cosB=
=
=
．
（II）由（I）可得：b2=2ac，
∵B=90°，且a=
，
∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=
．
∴S△ABC=
=1．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题．
18．（12 分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E
ACD
﹣
的体积为
，求该三棱锥的侧面积．
【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 为菱形，
∴AC⊥BD，
∵BE⊥平面ABCD，
∴AC⊥BE，
则AC⊥平面BED，
∵AC⊂平面AEC，
∴平面AEC⊥平面BED；
解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD 中，由∠ABC=120°，得AG=GC=
x，GB=GD=
，
∵BE⊥平面ABCD，
∴BE⊥BG，则△EBG 为直角三角形，
∴EG=
AC=AG=
x，
则BE=
=
x，
∵三棱锥E
ACD
﹣
的体积V=
=
=
，
解得x=2，即AB=2，
∵∠ABC=120°，
∴AC2=AB2+BC2
2AB•BCcosABC=4
﹣
+4
2
﹣×
=12，
即AC=
，
在三个直角三角形EBA，EBD，EBC 中，斜边AE=EC=ED，
∵AE⊥EC，∴△EAC 为等腰三角形，
则AE2+EC2=AC2=12，
即2AE2=12，
∴AE2=6，
则AE=
，
∴从而得AE=EC=ED=
，
∴△EAC 的面积S=
=3，
在等腰三角形EAD 中，过E 作EF⊥AD 于F，
则AE=
，AF=
=
，
第11页（共16页）
则EF=
，
∴△EAD 的面积和△ECD 的面积均为S=
=
，
故该三棱锥的侧面积为3+2
．
【点评】本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理以及
体积公式．
19．（12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销
售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8 年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，
8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（xi﹣）2
（wi﹣
）2
（xi﹣）
（yi﹣）
（wi﹣
）（yi﹣）
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi=
i，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+d
哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类
型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x、y 的关系为z=0.2y
x
﹣．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u1 v1），
（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
=
，
= ﹣
．
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，
（Ⅱ）先建立中间量w=
，建立y 关于w 的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；
（Ⅲ）（i）年宣传费x=49 时，代入到回归方程，计算即可，
（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．
【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d
适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；
（Ⅱ）令w=
，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于=
=68，
= ﹣
=563
68
﹣
×6.8=100.6，
所以y 关于w 的线性回归方程为=100.6+68w，
因此y 关于x 的回归方程为=100.6+68
，
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49 时，年销售量y 的预报值=100.6+68
=576.6，
年利润z 的预报值=576.6×0.2
49=66.32
﹣
，
（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z 的预报值=0.2（100.6+68
）﹣x=
x
﹣+13.6
+20.12，
第12页（共16页）
当
=
=6.8 时，即当x=46.24 时，年利润的预报值最大．
【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．
20．（12 分）已知过点A（0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C：（x
2
﹣）2+（y
3
﹣）2=1 交于点M、N 两点．
（1）求k 的取值范围；
（2）若
•
=12，其中O 为坐标原点，求|MN|．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】26：开放型；5B：直线与圆．
【分析】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，用点斜式求得直线l 的方程，根据圆心到直线的距离等
于半径求得k 的值，可得满足条件的k 的范围．
（2）由题意可得，经过点M、N、A 的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．
【解答】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx
y
﹣+1=0．
由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2，3），半径R=1．
故由
＜1，
故当
＜k＜
，过点A（0，1）的直线与圆C：（x
2
﹣）2+（y
3
﹣）2=1 相交于M，N 两点．
（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），
由题意可得，经过点M、N、A 的直线方程为y=kx+1，代入圆C 的方程（x
2
﹣）2+（y
3
﹣）2=1，
可得 （1+k2）x2
4
﹣（k+1）x+7=0，
∴x1+x2=
，x1•x2=
，
∴y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1
=
•k2+k•
+1=
，
由
•
=x1•x2+y1•y2=
=12，解得 k=1，
故直线l 的方程为 y=x+1，即 x
y
﹣+1=0．
圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径．
所以|MN|=2．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生
的计算能力．
21．（12 分）设函数f（x）=e2x
alnx
﹣
．
（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；
（Ⅱ）证明：当a＞0 时，f（x）≥2a+aln
．
【考点】53：函数的零点与方程根的关系；63：导数的运算；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）先求导，在分类讨论，当a≤0 时，当a＞0 时，根据零点存在定理，即可求出；
（Ⅱ）设导函数f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0，根据函数f（x）的单调性得到函数的最小值f
（x0），只要最小值大于2a+aln
，问题得以证明．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=e2x
alnx
﹣
的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=2e2x﹣
．
当a≤0 时，f′（x）＞0 恒成立，故f′（x）没有零点，
当a＞0 时，∵y=e2x为单调递增，y=﹣
单调递增，
∴f′（x）在（0，+∞）单调递增，
又f′（a）＞0，
假设存在b 满足0＜b＜ln
时，且b＜
，f′（b）＜0，
第13页（共16页）
故当a＞0 时，导函数f′（x）存在唯一的零点，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0，
当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，
当x∈（x0+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0+∞）单调递增，
所欲当x=x0时，f（x）取得最小值，最小值为f（x0），
由于
﹣
=0，
所以f（x0）=
+2ax0+aln
≥2a+aln
．
故当a＞0 时，f（x）≥2a+aln
．
【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题．
四、请考生在第22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何
证明选讲】
22．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E．
（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）若OA=
CE，求∠ACB 的大小．
【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】（Ⅰ）连接AE 和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x 的方程x2=
，解方程可得x 值，可得所求角度．
【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，
在RT△ABC 中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，
连接OE，则∠OBE=∠OEB，
又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，
∴∠OED=90°，∴DE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，
由已知得AB=2
，BE=
，
由射影定理可得AE2=CE•BE，
∴x2=
，即x4+x2
12=0
﹣
，
解方程可得x=
∴∠ACB=60°
【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．
五、【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy 中，直线C1：x=
2
﹣，圆C2：
（x
1
﹣）2+（y
2
﹣）2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=
（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．
第14页（共16页）
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ 求得C1，C2的极坐标方程．
（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2
3
﹣
ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，
从而求得△C2MN 的面积
•C2M•C2N 的值．
【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=
2
﹣的
极坐标方程为 ρcosθ=
2
﹣，
故C2：（x
1
﹣）2+（y
2
﹣）2=1 的极坐标方程为：
（ρcosθ
1
﹣）2+（ρsinθ
2
﹣）2=1，
化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．
（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=
（ρ∈R）代入
圆C2：（x
1
﹣）2+（y
2
﹣）2=1，
可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，
求得ρ1=2
，ρ2=
，
∴|MN|=|ρ1
ρ
﹣
2|=
，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，
△C2MN 的面积为
•C2M•C2N=
•1•1=
．
【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．
六、【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）=|x+1|
2
﹣|x
a
﹣|，a＞0．
（Ⅰ）当a=1 时，求不等式f（x）＞1 的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）当a=1 时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不
等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x 轴围成的三
角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x 轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x
轴围成的三角形面积大于6，从而求得a 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1 时，不等式f（x）＞1，即|x+1|
2
﹣|x
1
﹣|＞1，
即
①，或
②，
或
③．
解①求得x∈∅，解②求得
＜x＜1，解③求得1≤x＜2．
综上可得，原不等式的解集为（
，2）．
（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|
2
﹣|x
a
﹣|=
，
由此求得f（x）的图象与x 轴的交点A （
，0），
B（2a+1，0），
故f（x）的图象与x 轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），
由△ABC 的面积大于6，
可得
[2a+1﹣
]•（a+1）＞6，求得a＞2．
第15页（共16页）
故要求的a 的范围为（2，+∞）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
第16页（共16页）
