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2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（文史类）
第I 卷 （选择题 共50 分）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求
的。
1.设i 为虚数单位，则复数(1+i)2=
(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i
2.设集合A={x11≤x≤5},Z 为整数集，则集合A∩Z 中元素的个数是
(A)6 (B) 5 (C)4 (D)3
3.抛物线y2=4x 的焦点坐标是
(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)
4.为了得到函数y=sin
)
3
(
x
的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点
(A)向左平行移动3
个单位长度 (B) 向右平行移动3
个单位长度
(C) 向上平行移动3
个单位长度 (D) 向下平行移动3
个单位长度
5.设p:实数x，y 满足x>1 且y>1，q: 实数x，y 满足x+y>2，则p 是q 的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
6.已知a 函数f(x)=x3-12x 的极小值点，则a=
(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2
7.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015 年全年投入研发奖金130 万元，在此基础
上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200 万元的年份是
(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)
(A)2018 年 (B) 2019 年 (C)2020 年 (D)2021 年
8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值
的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实
例，若输入n，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为
(A)35 (B) 20 (C)18 (D)9
9.已知正三角形ABC 的边长为
3
2
，平面ABC 内的动点P，M 满足
，
，则
的最大值
是
(A)
4
43 (B)
4
49 (C)
4
3
6
37
(D)
4
33
2
37
10. 设直线l1，l2分别是函数f(x)=
图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且
l1，l2分别与y 轴相交于点A，B，则△PAB 的面积的取值范围是
(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)
第II 卷 （非选择题 共100 分）
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分。
11、
0
750
sin
= 。
12、已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积是 。
侧视图
俯视图
13、从2、3、8、9 任取两个不同的数字，分别记为a、b，则
为整数的概率= 。
14、若函数f（x）是定义R 上的周期为2 的奇函数，当0<x<1 时，f（x）=
x
4 ，则
= 。
15、在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P 的“伴随点”为
，当P 是原
点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：
若点A 的“伴随点”是点
'
A ，则点
'
A 的“伴随点”是点A.
单元圆上的“伴随点”还在单位圆上。
若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线。
其中的真命题是 。（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16、（本小题12 分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，
获得了某年100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）， [0.5,1），……[4,4.5]分成9
组，制成了如图所示的频率分布直方图。
0.42
0.50
（I）求直方图中的a 值；
（II）设该市有30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数．说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数。
17、（12 分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，
。
D
C
B
A
P
（I）在平面PAD 内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD。
18、（本题满分12 分）
在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且
c
C
b
B
a
A
sin
cos
cos
。
（I）证明：sinAsinB=sinC；
（II）若
bc
a
c
b
5
6
2
2
2
，求tanB。
19、（本小题满分12 分）
已知数列{
}的首项为1，
为数列
的前n 项和，
，其中q>0，
.
（Ⅰ）若
成等差数列，求
的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线
的离心率为
，且
，求
.
20、（本小题满分13 分）
已知椭圆E：+=1(a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(，)在椭圆E 上。
(Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A，B，线段AB 的中点为M，直线OM 与椭圆E 交
于C，D，证明：︳MA︳·︳MB︳=︳MC︳·︳MD︳
21、（本小题满分14 分）
设函数f(x)=ax2－a－lnx，g(x)=－，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数。
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）证明：当x＞1 时，g(x)＞0；
（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。
2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（文史类）试题参考答案
一、选择题
1.C 2.B 3.D 4. A 5.A 6.D 7.B 8.C 9.B 10.A
二、填空题
11.
12.
13.
14.-2 15.②③
三、解答题
16.（本小题满分12 分）
（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.
同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.
由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，
解得a=0.30.
（Ⅱ）由（Ⅰ），100 位居民月均水量不低于3 吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计30 万居民中月均用水量不低于3 吨的人数为300000×0.13=36000.
（Ⅲ）设中位数为x 吨.
因为前5 组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5，
而前4 组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5
所以2≤x<2.5.
由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04 吨.
17.（本小题满分12 分）
D
C
B
A
P
（I）取棱AD 的中点M(M∈平面PAD)，点M 即为所求的一个点.理由如下：
因为AD∥BC,BC=
AD，所以BC∥AM, 且BC=AM.
所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM‖∥AB.
又AB
平面PAB,CM
平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
(说明：取棱PD 的中点N,则所找的点可以是直线MN 上任意一点)
（II）由已知，PA⊥AB, PA ⊥ CD,
因为AD∥BC,BC=
AD，所以直线AB 与CD 相交，
所以PA ⊥平面ABCD.
从而PA ⊥ BD.
因为AD∥BC,BC=
AD，
所以BC∥MD,且BC=MD.
所以四边形BCDM 是平行四边形.
所以BM=CD=
AD，所以BD⊥AB.
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.
又BD
平面PBD,
所以平面PAB⊥平面PBD.
18.（本小题满分12 分）
（Ⅰ）根据正弦定理，可设
则a=ksin A，b=ksin B，c=ksinC.
代入
中，有
，可变形得
sin A sin B=sin Acos B+cosAsinB=sin (A+B).
在△ABC 中，由A+B+C=π，有sin (A+B)=sin (π–C)=sin C，
所以sin A sin B=sin C.
（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=
bc，根据余弦定理，有
.
所以sin A=
.
由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B，
所以
sin B=
cos B+
sin B，
故tan B=
=4.
19.（本小题满分12 分）
（Ⅰ）由已知，
两式相减得到
.
又由
得到
，故
对所有
都成立.
所以，数列
是首项为1，公比为q 的等比数列.
从而
.
由
成等差数列，可得
，所以
，故
.
所以
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
.
所以双曲线
的离心率
.
由
解得
.所以，
，
20.（本小题满分13 分）
（I）由已知，a=2b.
又椭圆
过点
，故
，解得
.
所以椭圆E 的方程是
.
（II）设直线l 的方程为
，
，
由方程组
得
，①
方程①的判别式为
，由
，即
，解得
.
由①得
.
所以M 点坐标为
，直线OM 方程为
，
由方程组
得
.
所以
.
又
.
所以
.
21.（本小题满分14 分）
（I）
<0，
在
内单调递减.
由
=0，有
.
当
时，
<0，
单调递减；
当
时，
>0，
单调递增.
（II）令
=
，则
=
.
当
时，
>0，所以
，从而
=
>0.
（iii）由（II），当
时，
>0.
当
，
时，
=
.
故当
>
在区间
内恒成立时，必有
.
当
时，
>1.
由（I）有
,从而
，
所以此时
>
在区间
内不恒成立.
当
时，令
=
(
).
当
时，
=
.
因此
在区间
单调递增.
又因为
=0，所以当
时，
=
>0，即
>
恒成立.
综上，
.
