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2015 年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题（每小题5 分,共40 分）
1．（5 分）（2015•北京）若集合A={x|
5
﹣＜x＜2}，B={x|
3
﹣＜x＜3}，则A∩B=（ ）
A．{x|
3
﹣＜x＜2} B．{x|
5
﹣＜x＜2} C．{x|
3
﹣＜x＜3} D．{x|
5
﹣＜x＜3}
2．（5 分）（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）
A．（x
1
﹣）2+（y﹣
1）2=1
B．B（x+1）2+
（y+1）2=1
C．（x+1）2+（y+1）
2=2
D．（x
1
﹣）2+（y﹣
1）2=2
3．（5 分）（2015•北京）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．y=x2sinx
B．y=x2cosx
C．y=|lnx|
D．y=2
x
﹣
4．（5 分）（2015•北京）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层插样的方法调查
教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320 人，则该样本的老年教师人数为（ ）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A．90
B．100
C．180
D．300
5．（5 分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
第1页（共27页）
6．（5 分）（2015•北京）设，是非零向量，“
=| || |”是“
”的（ ）
A．充分而不必要
条件
B．必要而不充分
条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不
必要条件
7．（5 分）（2015•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
8．（5 分）（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的
情况
加油时间
加油量（升）
加油时的累计
里程（千米）
2015 年5 月1
日
12
35000
2015 年5 月15
日
48
35600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100 千米平均
耗油量为 （ ）
A．6 升
B．8 升
C．10 升
D．12 升
二、填空题
9．（5 分）（2015•北京）复数i（1+i）的实部为 ．
10．（5 分）（2015•北京）2
3
﹣，3
，log25 三个数中最大数的是 ．
11．（5 分）（2015•北京）在△ABC 中，a=3，b=
，∠A=
，则∠B= ．
第2页（共27页）
12．（5 分）（2015•北京）已知（2，0）是双曲线x2﹣
=1（b＞0）的一个焦点，则b=
．
13．（5 分）（2015•北京）如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D 中任意
一点，则z=2x+3y 的最大值为 ．
14．（5 分）（2015•北京）高三年级267 位学生参加期末考试，某班37 位学生的语文成绩，数学
成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ；
②在语文和数学系两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ．
三、解答题（共80 分）
15．（13 分）（2015•北京）已知函数f（x）=sinx
2
﹣
sin2
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，
]上的最小值．
16．（13 分）（2015•北京）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4
a
﹣3=2
（1）求{an}的通项公式；
（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？
第3页（共27页）
17．（13 分）（2015•北京）某超市随机选取1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商
品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3 种商品的概率；
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
18．（14 分）（2015•北京）如图，在三棱锥V
ABC
﹣
中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB 为等边
三角形，AC BC
⊥
且AC=BC=
，O，M 分别为AB，VA 的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱锥V
ABC
﹣
的体积．
19．（13 分）（2015•北京）设函数f（x）=
klnx
﹣
，k＞0．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，
）上仅有一个零点．
20．
（14 分）
（2015•北京）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆
C 交于A，B 两点，直线AE 与直线x=3 交于点M．
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；
（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．
第4页（共27页）
2015 年北京市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5 分,共40 分）
1．（5 分）（2015•北京）若集合A={x|
5
﹣＜x＜2}，B={x|
3
﹣＜x＜3}，则A∩B=（ ）
A．{x|
3
﹣＜x＜2} B．{x|
5
﹣＜x＜2} C．{x|
3
﹣＜x＜3} D．{x|
5
﹣＜x＜3}
考点：
交集及其运算．
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所有
专题：
集合．
分析：
直接利用集合
的交集的运算
法则求解即可．
解答：
解：集合A={x|
5
﹣＜x＜2}，
B={x|
3
﹣＜x＜
3}，
则A∩B={x|
3
﹣
＜x＜2}．
故选：A．
点评：
本题考查集合
的交集的运算
法则，考查计算
能力．
2．（5 分）（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）
A．（x
1
﹣）2+（y﹣
1）2=1
B．B（x+1）2+
（y+1）2=1
C．（x+1）2+（y+1）
2=2
D．（x
1
﹣）2+（y﹣
1）2=2
考点：
圆的标准方程．
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所有
专题：
计算题；直线与
圆．
分析：
利用两点间距
离公式求出半
径，由此能求出
圆的方程．
解答：
解：由题意知圆
半径r=
，
∴圆的方程为
（x
1
﹣）2+（y﹣
1）2=2．
故选：D．
点评：
本题考查圆的
方程的求法，解
题时要认真审
题，注意圆的方
程的求法，是基
础题．
3．（5 分）（2015•北京）下列函数中为偶函数的是（ ）
第5页（共27页）
A．y=x2sinx
B．y=x2cosx
C．y=|lnx|
D．y=2
x
﹣
考点：
函数奇偶性的
判断．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及
应用．
分析：
首先从定义域
上排除选项C，
然后在其他选
项中判断﹣x 与
x 的函数值关
系，相等的就是
偶函数．
解答：
解：对于A，（﹣
x）2sin（﹣x）=﹣
x2sinx；是奇函
数；
对于B，（﹣x）
2cos（﹣x）
=x2cosx；是偶函
数；
对于C，定义域
为（0，+∞），是
非奇非偶的函
数；
对于D，定义域
为R，但是2﹣
（﹣x）=2x≠2
x
﹣，
2x≠
2
﹣
x
﹣；是非
奇非偶的函数；
故选B
点评：
本题考查了函
数奇偶性的判
断；首先判断定
义域是否关于
原点对称；如果
不对称，函数是
非奇非偶的函
数；如果对称，
再判断f（﹣x）
与f（x） 关系，
相等是偶函数，
相反是奇函数．
4．（5 分）（2015•北京）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层插样的方法调查
教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320 人，则该样本的老年教师人数为（ ）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A．90
B．100
C．180
D．300
第6页（共27页）
考点：
分层抽样方法．
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所有
专题：
计算题；概率与
统计．
分析：
由题意，老年和
青年教师的人
数比为900：
1600=9：16，即
可得出结论．
解答：
解：由题意，老
年和青年教师
的人数比为
900：1600=9：
16，
因为青年教师
有320 人，所以
老年教师有180
人，
故选：C．
点评：
本题考查分层
抽样，考查学生
的计算能力，比
较基础．
5．（5 分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
考点：
程序框图．菁优网版权所有
专题：
图表型；算法和
程序框图．
分析：
模拟执行程序
第7页（共27页）
框图，依次写出
每次循环得到
的a，k 的值，当
a=
时满足条
件a＜，退出
循环，输出k 的
值为4．
解答：
解：模拟执行程
序框图，可得
k=0，a=3，q=
a= ，k=1
不满足条件a＜
，a= ，k=2
不满足条件a＜
，a= ，k=3
不满足条件a＜
，a=
，k=4
满足条件a＜
，退出循环，输
出k 的值为4．
故选：B．
点评：
本题主要考查
了循环结构的
程序框图，属于
基础题．
6．（5 分）（2015•北京）设，是非零向量，“
=| || |”是“
”的（ ）
A．充分而不必要
条件
B．必要而不充分
条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不
必要条件
考点：
必要条件、充分
条件与充要条
件的判断；平面
向量数量积的
运算．菁优网版权所有
专题：
平面向量及应
用；简易逻辑．
分析：
由
便可得到
夹角为0，从而
得到∥，而
第8页（共27页）
∥并不能得到
夹角为0，从
而得不到
，这样根据充分
条件、必要条件
的概念即可找
出正确选项．
解答：
解：（1）
；
∴
时，cos
=1
；
∴
；
∴∥；
∴“
”是“ ∥”
的充分条件；
（2）∥时，
的夹角为
0 或π；
∴
，或﹣
；
即∥得不到
；
∴“
”不是“ ∥
”的必要条件；
∴总上可得“
”是“ ∥”
的充分不必要
条件．
故选A．
点评：
考查充分条件，
必要条件，及充
分不必要条件
的概念，以及判
断方法与过程，
数量积的计算
公式，向量共线
第9页（共27页）
的定义，向量夹
角的定义．
7．（5 分）（2015•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
考点：
由三视图求面
积、体积．菁优网版权所有
专题：
空间位置关系
与距离．
分析：
几何体是四棱
锥，且四棱锥的
一条侧棱与底
面垂直，结合直
观图求相关几
何量的数据，可
得答案
解答：
解：由三视图
知：几何体是四
棱锥，且四棱锥
的一条侧棱与
底面垂直，
底面为正方形
如图：
其中PA⊥平面
ABCD，底面
ABCD 为正方
形
PA=1
∴
，AB=1，
AD=1，
第10页（共27页）
PB=
∴
，PC=
=
．
PD=
该几何体最长
棱的棱长为：
故选：C．
点评：
本题考查了由
三视图求几何
体的最长棱长
问题，根据三视
图判断几何体
的结构特征是
解答本题的关
键
8．（5 分）（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的
情况
加油时间
加油量（升）
加油时的累计
里程（千米）
2015 年5 月1
日
12
35000
2015 年5 月15
日
48
35600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100 千米平均
耗油量为 （ ）
A．6 升
B．8 升
C．10 升
D．12 升
考点：
一次函数的性
质与图象．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及
应用．
分析：
由表格信息，得
到该车加了48
升的汽油，跑了
600 千米，由此
得到该车每100
千米平均耗油
量．
解答：
解：由表格信
息，得到该车加
了48 升的汽
油，跑了600 千
米，所以该车每
100 千米平均耗
油量48÷6=8；
故选：B．
点评：
本题考查了学
生对表格的理
解以及对数据
信息的处理能
力．
第11页（共27页）
二、填空题
9．（5 分）（2015•北京）复数i（1+i）的实部为 ﹣
1
．
考点：
复数的基本概
念．菁优网版权所有
专题：
数系的扩充和
复数．
分析：
直接利用复数
的乘法运算法
则，求解即可．
解答：
解：复数i（1+i）
=
1+i
﹣
，
所求复数的实
部为：﹣1．
故答案为：﹣1．
点评：
本题考查复数
的基本运算，复
数的基本概念，
考查计算能力．
10．（5 分）（2015•北京）2
3
﹣，3
，log25 三个数中最大数的是
log
25
．
考点：
不等式比较大
小．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及
应用．
分析：
运用指数函数
和对数函数的
单调性，可得0
＜2
3
﹣＜1，1＜3
＜2，log25＞
log24=2，即可得
到最大数．
解答：
解：由于0＜2
3
﹣
＜1，1＜3
＜
2，
log25＞log24=2，
则三个数中最
大的数为
log25．
故答案为：
log25．
点评：
本题考查数的
大小比较，主要
考查指数函数
和对数函数的
单调性的运用，
属于基础题．
第12页（共27页）
11．（5 分）（2015•北京）在△ABC 中，a=3，b=
，∠A=
，则∠B=
．
考点：
正弦定理．菁优网版权所有
专题：
解三角形．
分析：
由正弦定理可
得sinB，再由三
角形的边角关
系，即可得到角
B．
解答：
解：由正弦定理
可得，
=
，
即有sinB=
=
=
，
由b＜a，则B＜
A，
可得B=
．
故答案为：
．
点评：
本题考查正弦
定理的运用，同
时考查三角形
的边角关系，属
于基础题．
12．（5 分）（2015•北京）已知（2，0）是双曲线x2﹣
=1（b＞0）的一个焦点，则b=
．
考点：
双曲线的简单
性质．菁优网版权所有
专题：
圆锥曲线的定
义、性质与方
程．
分析：
求得双曲线x2
﹣
=1（b＞0）
的焦点为（
，0），
（﹣
，
0），可得b 的方
程，即可得到b
的值．
第13页（共27页）
解答：
解：双曲线x2﹣
=1（b＞0）的
焦点为（
，0），
（﹣
，
0），
由题意可得
=2，
解得b=
．
故答案为：
．
点评：
本题考查双曲
线的方程和性
质，主要考查双
曲线的焦点的
求法，属于基础
题．
13．（5 分）（2015•北京）如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D 中任意
一点，则z=2x+3y 的最大值为
7
．
考点：
简单线性规划．
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所有
专题：
不等式的解法
及应用．
分析：
利用线性规划
的知识，通过平
移即可求z 的最
大值．
解答：
解：由
z=2x+3y，得y=
，
平移直线y=
，由图
象可知当直线
y=
经
过点A 时，直线
第14页（共27页）
y=
的
截距最大，此时
z 最大．
即A（2，1）．
此时z 的最大值
为
z=2×2+3×1=7，
故答案为：7．
点评：
本题主要考查
线性规划的应
用，利用数形结
合是解决线性
规划题目的常
用方法．
14．（5 分）（2015•北京）高三年级267 位学生参加期末考试，某班37 位学生的语文成绩，数学
成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙 ；
②在语文和数学系两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 数学 ．
考点：
两个变量的线
性相关．菁优网版权所有
专题：
概率与统计．
分析：
根据散点图分
析三位同学总
成绩名次，语
文、数学名次．
解答：
解：由高三年级
267 位学生参加
第15页（共27页）
期末考试，某班
37 位学生的语
文成绩，数学成
绩与总成绩在
全年级的排名
情况的散点图
可知
①在甲、乙两人
中，其语文成绩
名次比其总成
绩名次靠前的
学生是 乙；
②在语文和数
学两个科目中，
丙同学的成绩
名次更靠前的
科目是数学；
故答案为：乙；
数学．
点评：
本题考查了对
散点图的认识；
属于基础题．
三、解答题（共80 分）
15．（13 分）（2015•北京）已知函数f（x）=sinx
2
﹣
sin2
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，
]上的最小值．
考点：
三角函数的周
期性及其求法；
两角和与差的
正弦函数；三角
函数的最值．菁优网版权所有
专题：
三角函数的图
像与性质．
分析：
（1）由三角函数
恒等变换化简
函数解析式可
得f（x）=2sin
（x+
）﹣
，
由三角函数的
周期性及其求
法即可得解；
（2）由x∈[0，
]，可求范围
x+
∈[
，π]，
即可求得f（x）
的取值范围，即
可得解．
第16页（共27页）
解答：
解：（1）∵f（x）
=sinx
2
﹣
sin2
=sinx
2
﹣
×
=sinx+
cosx
﹣
=2sin（x+
）﹣
f
∴（x）的最小正
周期T=
=2π；
（2）∵x∈[0，
]，
x+
∴
∈[
，
π]，
sin
∴
（x+
）
∈[0，1]，即有：f
（x）=2sin（x+
）﹣
∈[﹣
，2﹣
]，
∴可解得f（x）
在区间[0，
]
上的最小值为：
﹣
．
点评：
本题主要考查
了三角函数恒
等变换的应用，
三角函数的周
期性及其求法，
三角函数的最
值的应用，属于
基本知识的考
查．
16．（13 分）（2015•北京）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4
a
﹣3=2
（1）求{an}的通项公式；
（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？
考点：
等差数列的性
质．菁优网版权所有
专题：
计算题；等差数
列与等比数列．
第17页（共27页）
分析：
（I）由a4﹣
a3=2，可求公差
d，然后由
a1+a2=10，可求
a1，结合等差数
列的通项公式
可求
（II）由b2=a3=8，
b3=a7=16，可求
等比数列的首
项及公比，代入
等比数列的通
项公式可求b6，
结合（I）可求
解答：
解：（I）设等差
数列{an}的公差
为d．
a
∵4
a
﹣3=2，所
以d=2
a
∵1+a2=10，所
以2a1+d=10
a
∴1=4，
a
∴n=4+2（n
1
﹣）
=2n+2（n=1，
2，…）
（II）设等比数列
{bn}的公比为
q，
b
∵2=a3=8，
b3=a7=16，
∴
q=2
∴
，b1=4
∴
=128，而
128=2n+2
n=63
∴
b
∴6与数列{an}
中的第63 项相
等
点评：
本题主要考查
了等差数列与
等比数列通项
公式的简单应
用，属于对基本
公式应用的考
查，试题比较容
易．
第18页（共27页）
17．（13 分）（2015•北京）某超市随机选取1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商
品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3 种商品的概率；
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
考点：
相互独立事件
的概率乘法公
式．菁优网版权所有
专题：
概率与统计．
分析：
（1）从统计表可
得，在这1000
名顾客中，同时
购买乙和丙的
有200 人，从而
求得顾客同时
购买乙和丙的
概率．
（2）根据在甲、
乙、丙、丁中同
时购买3 种商
品的有300 人，
求得顾客顾客
在甲、乙、丙、丁
中同时购买3
种商品的概率．
（3）在这1000
名顾客中，求出
同时购买甲和
乙的概率、同时
购买甲和丙的
概率、同时购买
甲和丁的概率，
从而得出结论．
解答：
解：（1）从统计
表可得，在这
1000 名顾客中，
同时购买乙和
丙的有200 人，
故顾客同时购
买乙和丙的概
率为
=0.2．
（2）在这1000
名顾客中，在
甲、乙、丙、丁中
同时购买3 种
第19页（共27页）
商品的有
100+200=300
（人），
故顾客顾客在
甲、乙、丙、丁中
同时购买3 种
商品的概率为
=0.3．
（3）在这1000
名顾客中，同时
购买甲和乙的
概率为
=0.2，
同时购买甲和
丙的概率为
=0.6，
同时购买甲和
丁的概率为
=0.1，
故同时购买甲
和丙的概率最
大．
点评：
本题主要考查
古典概率、互斥
事件的概率加
法公式的应用，
属于基础题．
18．（14 分）（2015•北京）如图，在三棱锥V
ABC
﹣
中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB 为等边
三角形，AC BC
⊥
且AC=BC=
，O，M 分别为AB，VA 的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱锥V
ABC
﹣
的体积．
考点：
棱柱、棱锥、棱
台的体积；直线
与平面平行的
判定；平面与平
面垂直的判定．
菁优网版权
所有
专题：
综合题；空间位
第20页（共27页）
置关系与距离．
分析：
（1）利用三角形
的中位线得出
OM VB
∥
，利用
线面平行的判
定定理证明
VB∥平面
MOC；
（2）证明：OC⊥
平面VAB，即可
证明平面
MOC⊥平面
VAB
（3）利用等体积
法求三棱锥V
ABC
﹣
的体积．
解答：
（1）证明：∵O，
M 分别为AB，
VA 的中点，
OM VB
∴
∥
，
VB
∵
⊄平面
MOC，OM⊂平
面MOC，
VB
∴
∥平面
MOC；
（2）∵AC=BC，
O 为AB 的中
点，
OC AB
∴
⊥
，
∵平面VAB⊥
平面ABC，
OC⊂平面
ABC，
OC
∴
⊥平面
VAB，
OC
∵
⊂平面
MOC，
∴平面MOC⊥
平面VAB
（3）在等腰直角
三角形ACB
中，AC=BC=
，∴AB=2，
OC=1，
S
∴
VAB
△
=
，
OC
∵
⊥平面
VAB，
V
∴
C
VAB
﹣
=
•S
VAB
△
=
，
V
∴
V
ABC
﹣
=VC﹣
第21页（共27页）
VAB=
．
点评：
本题考查线面
平行的判定，考
查平面与平面
垂直的判定，考
查体积的计算，
正确运用线面
平行、平面与平
面垂直的判定
定理是关键．
19．（13 分）（2015•北京）设函数f（x）=
klnx
﹣
，k＞0．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，
）上仅有一个零点．
考点：
利用导数研究
函数的单调性；
利用导数研究
函数的极值．菁优网版权所有
专题：
导数的综合应
用．
分析：
（1）利用f'（x）
≥0 或f'（x）≤0
求得函数的单
调区间并能求
出极值；
（2）利用函数的
导数的极值求
出最值，利用最
值讨论存在零
点的情况．
解答：
解：（1）由f（x）
=
f'（x）=x﹣
由f'（x）=0 解得
x=
f（x）与f'（x）在
区间（0，+∞）上
的情况如下：
X
f'（x）
f（x）
所以，f（x）的单
调递增区间为（
），单
第22页（共27页）
调递减区间为
（0，
）；
f（x）在x=
处
的极小值为f（
）=
．
（2）证明：由
（1）知，f（x）在
区间（0，+∞）上
的最小值为f（
）=
．
因为f（x）存在
零点，所以
，从而k≥e
当k=e 时，f（x）
在区间（1，
）
上单调递减，且
f（
）=0
所以x=
是f
（x）在区间（1，
]上唯一零
点．
当k＞e 时，f
（x）在区间（0，
）上单调递
减，且
，
所以f（x）在区
间（1，
]上仅
有一个零点．
综上所述，若f
（x）存在零点，
则f（x）在区间
（1，
]上仅有
一个零点．
点评：
本题考查利用
函数的导数求
单调区间和导
数的综合应用，
在高考中属于
常见题型．
第23页（共27页）
20．
（14 分）
（2015•北京）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆
C 交于A，B 两点，直线AE 与直线x=3 交于点M．
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；
（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．
考点：
直线与圆锥曲
线的综合问题；
椭圆的标准方
程．菁优网版权所有
专题：
圆锥曲线的定
义、性质与方
程．
分析：
（1）通过将椭圆
C 的方程化成
标准方程，利用
离心率计算公
式即得结论；
（2）通过令直线
AE 的方程中
x=3，得点M 坐
标，即得直线
BM 的斜率；
（3）分直线AB
的斜率不存在
与存在两种情
况讨论，利用韦
达定理，计算即
可．
解答：
解：（1）∵椭圆
C：x2+3y2=3，
∴椭圆C 的标
准方程为：
+y2=1，
a=
∴
，b=1，c=
，
∴椭圆C 的离
心率e= =
；
（2）∵AB 过点
D（1，0）且垂直
于x 轴，
∴可设A（1，
y1），B（1，﹣
y1），
E
∵（2，1），∴直
线AE 的方程
为：y
1=
﹣
（1﹣
y1）（x
2
﹣），
令x=3，得M
（3，2
y
﹣1），
第24页（共27页）
∴直线BM 的
斜率kBM=
=1；
（3）结论：直线
BM 与直线DE
平行．
证明如下：
当直线AB 的斜
率不存在时，由
（2）知kBM=1，
又∵直线DE 的
斜率kDE=
=1，∴BM DE
∥
；
当直线AB 的斜
率存在时，设其
方程为y=k（x﹣
1）（k≠1），
设A（x1，y1），B
（x2，y2），
则直线AE 的方
程为y
1=
﹣
（x﹣
2），
令x=3，则点M
（3，
），
∴直线BM 的
斜率kBM=
，
联立
，得（1+3k2）x2
6k
﹣
2x+3k2﹣
3=0，
由韦达定理，得
x1+x2=
，
x1x2=
，
第25页（共27页）
k
∵BM
1=
﹣
=
=
=0，
k
∴BM=1=kDE，即
BM DE
∥
；
综上所述，直线
BM 与直线DE
平行．
点评：
本题是一道直
线与椭圆的综
合题，涉及到韦
达定理等知识，
考查计算能力，
注意解题方法
的积累，属于中
档题．
第26页（共27页）
第27页（共27页）
