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2013 北京高考理科数学试题
第一部分 （选择题 共40 分）
一、选择题共8 小题。每小题5 分，共40 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的一项。
1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则A∩B= ( )
A.{0} B.{－1，0}
C.{0，1} D.{－1,0,1}
2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )
A.第一象限 B. 第二象限
C.第三象限 D. 第四象限
3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为
A.1 B.
C.
D.
5.函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y 轴对称，则f(x)=
A.
B.
C.
D.
6.若双曲线
的离心率为
，则其渐近线方程为
A.y=±2x B.y=
C.
D.
7.直线l 过抛物线C:x2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于
A.
B.2 C.
D.
8.设关于x,y 的不等式组
表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，求得m 的取
值范围是
A.
B.
C.
D.
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共6 题，每小题5 分，共30 分.
9.在极坐标系中，点(2，
)到直线ρsinθ=2 的距离等于
10.若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q= ；前n 项和Sn=
.
11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D，PA=3，
，则PD=
，AB= .
12.将序号分别为1，2，3，4，5 的5 张参观券全部分给4 人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观
券连号，那么不同的分法种数是 .
13.向量a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa＋μb(λ，μ∈R)
，则
=
14.如图，在棱长为2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D1E 上，点P 到直线CC1
的距离的最小值为 .
三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演2013 年普通高等学校招生统一考试算步骤或证明过程
15. (本小题共13 分)
在△ABC 中，a=3，b=2
，∠B=2∠A.
(I)求cosA 的值，
(II)求c 的值
16.( 本小题共13 分)
下图是某市3 月1 日至14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100 表示空气质量优良，空气
质量指数大于200 表示空气重度污染，某人随机选择3 月1 日至3 月13 日中的某一天到达该市，并停
留2 天
（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率
（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望。
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
17. (本小题共14 分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C 是边长为4 的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求
的值.
18. (本小题共13 分)
设l 为曲线C：
在点(1，0)处的切线.
(I)求l 的方程；
(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方
19. (本小题共14 分)
已知A、B、C 是椭圆W：
上的三个点，O 是坐标原点.
(I)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积.
(II)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.
20. (本小题共13 分)
已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为An，第n 项之后各项
，
…
的最小值记为Bn，dn=An－Bn
(I)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4 的数列(即对任意n∈N*，
)，写出d1，d2，d3，
d4的值；
(II)设d 为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d 的等差数列；
(III)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，则{an}的项只能是1 或2，且有无穷多项为1
要使可行域存在，必有m<－2m+1，要求可行域内包含直线
上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直线
上方，且(-m，m)在直线
下方，
解不等式组
得m＜
