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2013 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理 科 数 学
参考公式：如果事件A、B 互斥，那么
如果事件A、B 独立，那么
。
第Ⅰ卷（共60 分）
一、选择题：本大题共12 小题。每小题5 分共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、复数
满组
（
为虚数单位），则
的共轭复数
为
(A)
(B)
(C)
(D)
2、已知集合
，则集合
中元素的个数是
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9
3、已知函数
为奇函数，且当
时，
则
(A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2
4、已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，体积为
，底面是边长为
的正三角形，若
为底面
的
中心，则
与平面
所成角的大小为
(A)
(B)
(C)
(D)
5、将函数
的图象沿
轴向左平移
个单位后，得到一个偶函数的图象，则
的一个可能取值为
(A)
(B)
(C)
(D)
6、在平面直角坐标系
中，
为不等式组
所表示的区域上一动点，则直线
的斜率的最
小值为
(A) 2 (B) 1 (C)
(D)
7、给定两个命题
若
是
的必要不充分条件，则
是
的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
8、函数
的图象大致为
1
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
(A) (B) (C) (D)
9、过点
作圆
的两条切线，切点分别为
，则直线
的方程为
(A)
(B)
(C)
(D)
10、用0，1，…，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为
(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 279
11、抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点的连线交
于第一象限的点
若
在点
处的切线平行于
的一条渐近线，则
(A)
(B)
(C)
(D)
12、设正实数
满足
则当
取得最大值时，
的最大值为
(A) 0 (B) 1 (C)
(D)
第Ⅱ卷（共90 分）
二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分。
13、执行右图所示的程序框图，若输入
的值为0.25，
则输出的
的值为 _______.
14、在区间
上随机取一个数
，
使得
成立的概率为______.
15、已知向量
与
的夹角为
，
且
若
，
且
，则实数
的值为____________.
16、定义“正对数”：
现有四个命题：
①若
，则
；
②若
，则
；
2
是
结 束
输出
否
开 始
输入
0
1
1,
2,
1
F
F
n
1
0
1
F
F
F
0
1
0
F
F
F
1
n
n
1
1
F
③若
，则
；
④若
，则
.
其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6 小题，共74 分.
17、（本小题满分12 分）
设
的内角
所对的边分别为
，且
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值.
18、（本小题满分12 分）
如图所示，在三棱锥
中，
，
，
分别是
的中点，
，
与
交于点
，
与
交于点
，连接
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值。
3
F
P
H
E
G
A
C
B
Q
D
19、（本小题满分12 分）
甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是
外，
其余每局比赛甲队获胜的概率都是
。假设各局比赛结果相互独立。
（Ⅰ）分别求甲队以3：0，3：1，3：2 胜利的概率；
（Ⅱ）若比赛结果为3：0 或3：1，则胜利方得3 分、对方得0 分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2 分、对方得1 分。
求乙队得分
的分布列和数学期望。
20、（本小题满分12 分）
设等差数列
的前
项和为
，且
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）设数列
的前
项和为
，且
（
为常数）。令
，求数列
的前
项和
。
4
21、（本小题满分13 分）
设函数
（
是自然对数的底数，
）
（Ⅰ）求
的单调区间、最大值；
（Ⅱ）讨论关于
的方程
根的个数。
22、（本小题满分13 分）
椭圆
的左、右焦点分别是
，离心率为
，过
且垂直于
轴
的直线被椭圆
截得的线段长为1.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）点
是椭圆
上除长轴端点外的任一点，连接
。设
的角平分线
交
的长轴于点
，求
的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点
作斜率为
的直线，使得与椭圆
有且只有一个公共点。设直线
的斜率分别为
，若
，试证明
为定值，并求出这个定值.
5
