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2013 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
本试卷满分150 分，考试时120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设
，
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在复平面内，复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．在
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．执行如图所示的程序框图，输出的
值为（ ）
A． B．
C．
D．
7．双曲线
的离心率大于
的充分必要条件是
A．
B．
1
C．
D．
8．如图，在正方体
中，
为对角线
的三等分点，则
到各
顶点的距离的不同取值有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．
个
第二部分（选择题 共110 分）
二、填空题（共6 小题，每小题5 分，共30 分）
9．若抛物线
的焦点坐标为
，则
，准线方程为 。
10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 。
11．若等比数列
满足
，
，则公比
；前
项和
。
12．设
为不等式组
所表示的平面区域，区域
上的点与点
之间的距离的最小值为
。
13．函数
的值域为 。
14．向量
，
，
，若平面区域
由所有满足
（
，
）的点
组成，则
的面积为 。
2
三、解答题（共6 小题，共80 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）
15．（本小题共13 分）
已知函数
（1）求
的最小正周期及最大值。
（2）若
，且
，求
的值。
3
16．（本小题共13 分）
下图是某市3 月1 日至14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100 表示空气质量优良，空气质量指
数大于200 表示空气重度污染。某人随机选择3 月1 日至14 日中的某一天到达该市，并停留2 天。
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率。
（2）求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。
（3）由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
4
17．（本小题共14 分）
如图，在四棱锥
中，
，
，
，平面
底面
，
，
和
分别是
和
的中点，求证：
（1）
底面
（2）
平面
（3）平面
平面
5
18．（本小题共13 分）
已知函数
（1）若曲线
在点
处与直线
相切，求
与
的值。
（2）若曲线
与直线
有两个不同的交点，求
的取值范围。
19．（本小题共14 分）
6
直线
（
）
：
相交于
，
两点，
是坐标原点
（1）当点
的坐标为
，且四边形
为菱形时，求
的长。
（2）当点
在
上且不是
的顶点时，证明四边形
不可能为菱形。
20．（本小题共13 分）
给定数列
，
，
，
。对
，该数列前项的最大值记为
，后
项
，
，
，
的最小值记为
，
。
（1）设数列
为
，
，
，，写出
，
，
的值。
（2）设
，
，
，
（
）是公比大于的等比数列，且
，证明
，
，
，
是等比数列。
（3）设
，
，
，
是公差大于
的等差数列，且
，证明
，
，
，
是等差数列。
7
2013 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分）
1．B 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．B
二、填空题（共6 小题，每小题5 分，共30 分）
9．
，
10．
11．
，
12．
13．
14．
三、解答题（共6 小题，共80 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）
15．（本小题共13 分）
解：（1）
所以，最小正周期
当
（
），即
（
）时
（2）因为
所以
因为
，所以
所以
，即
16．（本小题共13 分）
8
解：（1）因为要停留2 天，所以应该在3 月1 日至13 日中的某天到达，共有13 种选择，其间重度污染的有两天，
所以概率为
（2）此人停留的两天共有13 种选择，分别是：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
其中只有一天重度污染的为
，
，
，
，共4 种，
所以概率为
（3）因为第5，6，7 三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。
17．（本小题共14 分）
证明：（1）因为
，平面
底面
且平面
底面
所以
底面
（2）因为
和
分别是
和
的中点，所以
，
而
平面
，
平面
，所以
平面
（3）因为
底面
，
平面
所以
，即
因为
，
，所以
而
平面
，
平面
，且
所以
平面
因为
，所以
，所以四边形
是平行四
边
形，
所以
，而
平面
，
平面
所以
平面
，同理
平面
，
而
平面
，
平面
且
所以平面
平面
， 所以
平面
又因为
平面
所以平面
平面
18．（本小题共13 分）
解：（1）
因为曲线
在点
处的切线为
9
所以
，即
，解得
（2）因为
所以当
时
，
单调递增
当
时
，
单调递减
所以当
时，
取得最小值
，
所以
的取值范围是
19．（本小题共14 分）
解：（1）线段
的垂直平分线为
，
因为四边形
为菱形，
所以直线
与椭圆的交点即为
，
两点
对椭圆
，令
得
所以
（2）方法一：当点
不是
的顶点时，
联立方程
得
设
，
，
则
，
，
10
若四边形
为菱形，则
，即
所以
即
因为点
不是
的顶点，所以
，
所以
即
，即
所以
此时，直线
与
轴垂直，所以
为椭圆的上顶点或下顶点，与已知矛盾，
所以四边形
不可能为菱形
方法二：
因为四边形
为菱形，所以
，
设
（
）
则
，
两点为圆
与椭圆
的交点
联立方程
得
所以
，
两点的横坐标相等或互为相反数。
因为点
在
上
若
，
两点的横坐标相等，点
应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。
若
，
两点的横坐标互为相反数，点
应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。
所以四边形
不可能为菱形。
20．（本小题共13 分）
11
解：（1）
，
，
（2）因为
，
，
，
（
）是公比大于的等比数列，且
所以
所以当
时，
所以当
时，
所以
，
，
，
是等比数列。
（3）若
，
，
，
是公差大于
的等差数列，则
，
，
，
应是递增数列，证明如下：
设
是第一个使得
的项，则
，
，所以
，与已知矛盾。
所以，
，
，
，
是递增数列
再证明
数列
中最小项，否则
（
），则
显然
，否则
，与
矛盾
因而
，此时考虑
，矛盾
因此
是数列
中最小项
综上，
（
）
于是
，也即
，
，
，
是等差数列
12
