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2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分
1．（5 分）已知集合A={x|
1
﹣＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（ ）
A．（﹣1，3）
B．（﹣1，0）
C．（0，2）
D．（2，3）
2．（5 分）若为a 实数，且
=3+i，则a=（ ）
A．﹣4
B．﹣3
C．3
D．4
3．（5 分）根据如图给出的2004 年至2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论
中不正确的是（ ）
A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．（5 分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2 + ）
=（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
5．（5 分）已知Sn是等差数列{an}的前n 项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（ ）
A．5
B．7
C．9
D．11
6．（5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部
分体积的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）已知三点A（1，0），B（0，
），C（2，
）则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行
该程序框图，若输入a，b 分别为14，18，则输出的a=（ ）
A．0
B．2
C．4
D．14
9．（5 分）已知等比数列{an}满足a1=
，a3a5=4（a4
1
﹣），则a2=（ ）
A．2
B．1
C．
D．
10．（5 分）已知A，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O
ABC
﹣
体积
第1页（共15页）
的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）
A．36π
B．64π
C．144π
D．256π
11．（5 分）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC，CD 与DA 运动，记
∠BOP=x．将动点P 到A，B 两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣
，则使得f（x）＞f（2x
1
﹣）成立的x 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，
）∪（1，+∞）
B．
（
，1）
C．（
）
D．
（﹣∞，﹣
，）
二、填空题
13．（3 分）已知函数f（x）=ax3
2x
﹣
的图象过点（﹣1，4）则a= ．
14．（3 分）若x，y 满足约束条件
，则z=2x+y 的最大值为 ．
15．（3 分）已知双曲线过点
且渐近线方程为y=±
x，则该双曲线的标准方程是 ．
16．（3 分）已知曲线y=x+lnx 在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1 相切，则a= ．
三．解答题
17．△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，BD=2DC
（Ⅰ）求
．
（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．
第2页（共15页）
18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B 两地区分别随机调查了40 个用户，根据用户对产
品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频
数分布表
B 地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）
频数
2
8
14
10
6
（1）做出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值
及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分
低于70 分
70 分到89 分
不低于90 分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
19．（12 分）如图，长方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，
A1E=D1F=4．过E，F 的平面α 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（Ⅱ）求平面α 把该长方体分成的两部分体积的比值．
20．椭圆C：
=1，（a＞b＞0）的离心率
，点（2，
）在C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A，B，线段AB 的中点为M．证明：直线
OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．
第3页（共15页）
21．设函数f（x）=lnx+a（1
x
﹣）．
（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；
（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a
2
﹣时，求a 的取值范围．
四、选修4-1：几何证明选讲
22．（10 分）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M，N 两点，与底边上的
高AD 交于点G，且与AB，AC 分别相切于E，F 两点．
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG 等于⊙O 的半径，且AE=MN=2
，求四边形EBCF 的面积．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C1：
（t 为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极
点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2
cosθ．
（1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
六、选修4-5 不等式选讲
24．（10 分）设a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则
+
＞
+
；
（2）
+
＞
+
是|a
b
﹣|＜|c
d
﹣|的充要条件．
第4页（共15页）
2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分
1．（5 分）已知集合A={x|
1
﹣＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（ ）
A．（﹣1，3）
B．（﹣1，0）
C．（0，2）
D．（2，3）
【考点】1D：并集及其运算．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：∵A={x|
1
﹣＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，
∴A∪B={x|
1
﹣＜x＜3}，
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5 分）若为a 实数，且
=3+i，则a=（ ）
A．﹣4
B．﹣3
C．3
D．4
【考点】A1：虚数单位i、复数．菁优网版权所有
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】根据复数相等的条件进行求解即可．
【解答】解：由
，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，
则a=4，
故选：D．
【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础．
3．（5 分）根据如图给出的2004 年至2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论
中不正确的是（ ）
A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【考点】B8：频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】A 从图中明显看出2008 年二氧化硫排放量比2007 年的二氧化硫排放量减少的最多，故A 正
确；
B 从2007 年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；
C 从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；
D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D 错误．
【解答】解：A 从图中明显看出2008 年二氧化硫排放量比2007 年的二氧化硫排放量明显减少，且减
少的最多，故A 正确；
B2004
2006
﹣
年二氧化硫排放量越来越多，从2007 年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；
C 从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；
D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D 错误．
故选：D．
第5页（共15页）
【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．
4．（5 分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2 + ）
=（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．
【解答】解：因为=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2 + ）
=（1，0）•（1，﹣1）=1；
故选：C．
【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．
5．（5 分）已知Sn是等差数列{an}的前n 项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（ ）
A．5
B．7
C．9
D．11
【考点】85：等差数列的前n 项和．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列．
【分析】由等差数列{an}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前n 项和公式即可得出．
【解答】解：由等差数列{an}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．
则S5=
=5a3=5．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属
于中档题．
6．（5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部
分体积的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．
【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，
∴正方体切掉部分的体积为
×1×1×1=
，
∴剩余部分体积为1﹣
=
，
∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为
．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．
7．（5 分）已知三点A（1，0），B（0，
），C（2，
）则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
第6页（共15页）
【考点】J1：圆的标准方程．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．
【解答】解：因为△ABC 外接圆的圆心在直线BC 垂直平分线上，即直线x=1 上，
可设圆心P（1，p），由PA=PB 得
|p|=
，
得p=
圆心坐标为P（1，
），
所以圆心到原点的距离|OP|=
=
=
，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆性质及△ABC 外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．
8．（5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行
该程序框图，若输入a，b 分别为14，18，则输出的a=（ ）
A．0
B．2
C．4
D．14
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b 的值，当a=b=2 时不满足条件a≠b，输出
a 的值为2．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
a=14，b=18
满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2
满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2
不满足条件a≠b，输出a 的值为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．
9．（5 分）已知等比数列{an}满足a1=
，a3a5=4（a4
1
﹣），则a2=（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵
，a3a5=4（a4
1
﹣），
∴
=4
，
化为q3=8，解得q=2
第7页（共15页）
则a2=
=
．
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
10．（5 分）已知A，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O
ABC
﹣
体积
的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）
A．36π
B．64π
C．144π
D．256π
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O
ABC
﹣
的体积最大，利用三棱锥O
ABC
﹣
体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O 的表面积．
【解答】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O
ABC
﹣
的体积最大，设球O
的半径为R，此时VO
ABC
﹣
=VC
AOB
﹣
=
=
=36，故R=6，则球O 的表面积为4πR2=144π，
故选：C．
【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，
三棱锥O
ABC
﹣
的体积最大是关键．
11．（5 分）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC，CD 与DA 运动，记
∠BOP=x．将动点P 到A，B 两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】HC：正切函数的图象．菁优网版权所有
【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．
【解答】解：当0≤x≤
时，BP=tanx，AP=
=
，
此时f（x）=
+tanx，0≤x≤
，此时单调递增，
当P 在CD 边上运动时，
≤x≤
且x≠
时，
如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=
tan
﹣
∠POQ=﹣
=﹣
，
∴OQ=﹣
，
∴PD=AO
OQ=1
﹣
+
，PC=BO+OQ=1﹣
，
第8页（共15页）
∴PA+PB=
，
当x=
时，PA+PB=2
，
当P 在AD 边上运动时，
≤x≤π，PA+PB=
tanx
﹣
，
由对称性可知函数f（x）关于x=
对称，
且f（
）＞f（
），且轨迹为非线型，
排除A，C，D，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤
时的解析式是解决本题的
关键．
12．（5 分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣
，则使得f（x）＞f（2x
1
﹣）成立的x 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，
）∪（1，+∞）
B．
（
，1）
C．（
）
D．
（﹣∞，﹣
，）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．
【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣
为偶函数，
且在x≥0 时，f（x）=ln（1+x）﹣
，
导数为f′（x）=
+
＞0，
即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，
∴f（x）＞f（2x
1
﹣）等价为f（|x|）＞f（|2x
1
﹣|），
即|x|＞|2x
1
﹣|，
平方得3x2
4x
﹣
+1＜0，
解得：
＜x＜1，
所求x 的取值范围是（
，1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性
质是解题的关键．
二、填空题
13．（3 分）已知函数f（x）=ax3
2x
﹣
的图象过点（﹣1，4）则a= ﹣
2
．
【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．
【分析】f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（﹣1，4）带入函数f
（x）解析式即可求出a．
【解答】解：根据条件得：4=
a
﹣+2；
∴a=
2
﹣．
故答案为：﹣2．
【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．
第9页（共15页）
14．（3 分）若x，y 满足约束条件
，则z=2x+y 的最大值为
8
．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=2x+y 得y=
2x
﹣
+z，
平移直线y=
2x
﹣
+z，
由图象可知当直线y=
2x
﹣
+z 经过点A 时，直线y=
2x
﹣
+z 的截距最大，
此时z 最大．
由
，解得
，即A（3，2）
将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，
得z=2×3+2=8．即z=2x+y 的最大值为8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决
此类问题的基本方法．
15．（3 分）已知双曲线过点
且渐近线方程为y=±
x，则该双曲线的标准方程是
x 2 ﹣
y 2 =1
．
【考点】KB：双曲线的标准方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设双曲线方程为y2﹣
x2=λ，代入点
，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．
【解答】解：设双曲线方程为y2﹣
x2=λ，
代入点
，可得3﹣
=λ，
∴λ=
1
﹣，
∴双曲线的标准方程是
x2
y
﹣2=1．
故答案为：
x2
y
﹣2=1．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．
16．（3 分）已知曲线y=x+lnx 在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1 相切，则a=
8
．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．
【分析】求出y=x+lnx 的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1 相
切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0 得到a 的值．
【解答】解：y=x+lnx 的导数为y′=1+
，
曲线y=x+lnx 在x=1 处的切线斜率为k=2，
则曲线y=x+lnx 在x=1 处的切线方程为y
1=2x
2
﹣
﹣，即y=2x
1
﹣．
由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1 相切，
故y=ax2+（a+2）x+1 可联立y=2x
1
﹣，
第10页（共15页）
得ax2+ax+2=0，
又a≠0，两线相切有一切点，
所以有△=a2
8a=0
﹣
，
解得a=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲
线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．
三．解答题
17．△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，BD=2DC
（Ⅰ）求
．
（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．
【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有
【专题】58：解三角形．
【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；
（Ⅱ）由∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（Ⅰ）中的结论得答案．
【解答】解：（Ⅰ）如图，
由正弦定理得：
，
∵AD 平分∠BAC，BD=2DC，
∴
；
（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，
∴
，
由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，
∴tan∠B=
，即∠B=30°．
【点评】本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．
18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B 两地区分别随机调查了40 个用户，根据用户对产
品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频
数分布表
B 地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）
频数
2
8
14
10
6
（1）做出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值
及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分
低于70 分
70 分到89 分
不低于90 分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
第11页（共15页）
【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．
（II）计算得出CA表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”，CB表示事件：“B 地区用户的满
意度等级为不满意”，
P（CA），P（CB），即可判断不满意的情况．
【解答】解：（Ⅰ）
通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于A
地区用户满意度评分的平均值，
B 地区的用户满意度评分的比较集中，而A 地区的用户满意度评分的比较分散．
（Ⅱ）A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记CA表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”，CB表示事件：“B 地区用户的满意度等级为
不满意”，
由直方图得P（CA）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6
得P（CB）=（0.005+0.02）×10=0.25
∴A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
【点评】本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题．
19．（12 分）如图，长方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，
A1E=D1F=4．过E，F 的平面α 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（Ⅱ）求平面α 把该长方体分成的两部分体积的比值．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LJ：平面的基本性质及推论．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；
（Ⅱ）求出MH=
=6，AH=10，HB=6，即可求平面a 把该长方体分成的两部分体积的比值．
【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH 如图所示；
（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．
因为EFGH 为正方形，所以EH=EF=BC=10，
于是MH=
=6，AH=10，HB=6．
因为长方体被平面α 分成两个高为10 的直棱柱，
所以其体积的比值为
．
【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
第12页（共15页）
20．椭圆C：
=1，（a＞b＞0）的离心率
，点（2，
）在C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A，B，线段AB 的中点为M．证明：直线
OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．
【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．
（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），联立直线方程与椭圆方程，通
过韦达定理求解KOM，然后推出直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．
【解答】解：（1）椭圆C：
=1，（a＞b＞0）的离心率
，点（2，
）在C 上，可得
，
，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C 方程为：
．
（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），
把直线y=kx+b 代入
可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2
8=0
﹣
，
故xM=
=
，yM=kxM+b=
，
于是在OM 的斜率为：KOM=
=
，即KOM•k=
．
∴直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．
【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．
21．设函数f（x）=lnx+a（1
x
﹣）．
（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；
（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a
2
﹣时，求a 的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；
（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a
1
﹣，根据函数的单调性即可求出a 的范围．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1
x
﹣）的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=
a=
﹣
，
若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（
，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，
在（
，+∞）上单调递减，
（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0 时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0 时，f（x）在x=
取得最大值，最大
值为f（
）=
lna
﹣
+a
1
﹣，
∵f（
）＞2a
2
﹣，
∴lna+a
1
﹣＜0，
令g（a）=lna+a
1
﹣，
∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，
∴当0＜a＜1 时，g（a）＜0，
当a＞1 时，g（a）＞0，
∴a 的取值范围为（0，1）．
【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．
四、选修4-1：几何证明选讲
第13页（共15页）
22．（10 分）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M，N 两点，与底边上的
高AD 交于点G，且与AB，AC 分别相切于E，F 两点．
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG 等于⊙O 的半径，且AE=MN=2
，求四边形EBCF 的面积．
【考点】N4：相似三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）通过AD 是∠CAB 的角平分线及圆O 分别与AB、AC 相切于点E、F，利用相似的性质即得
结论；
（2）通过（1）知AD 是EF 的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC
S
﹣△AEF计算即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC 为等腰三角形，AD⊥BC，
∴AD 是∠CAB 的角平分线，
又∵圆O 分别与AB、AC 相切于点E、F，
∴AE=AF，∴AD⊥EF，
∴EF∥BC；
（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD 是EF 的垂直平分线，
又∵EF 为圆O 的弦，∴O 在AD 上，
连结OE、OM，则OE⊥AE，
由AG 等于圆O 的半径可得AO=2OE，
∴∠OAE=30°，∴△ABC 与△AEF 都是等边三角形，
∵AE=2
，∴AO=4，OE=2，
∵OM=OE=2，DM=
MN=
，∴OD=1，
∴AD=5，AB=
，
∴四边形EBCF 的面积为
×
﹣
×
×
=
．
【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属
于中档题．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C1：
（t 为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极
点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2
cosθ．
（1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把
代入可得直角坐标方程．同理由C3：
ρ=2
cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．
（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠
；α=
时，为
x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=
即可得出．
【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，
∴x2+y2=2y．
第14页（共15页）
同理由C3：ρ=2
cosθ．可得直角坐标方程：
，
联立
，
解得
，
，
∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），
．
（2）曲线C1：
（t 为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠
；α=
时，
为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），
∵A，B 都在C1上，
∴A（2sinα，α），B
．
∴|AB|=
=4
，
当
时，|AB|取得最大值4．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间
的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
六、选修4-5 不等式选讲
24．（10 分）设a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则
+
＞
+
；
（2）
+
＞
+
是|a
b
﹣|＜|c
d
﹣|的充要条件．
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．
【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；
（2）从两方面证，①若
+
＞
+
，证得|a
b
﹣|＜|c
d
﹣|，②若|a
b
﹣|＜|c
d
﹣|，证得
+
＞
+
，注意运用不等式的性质，即可得证．
【解答】证明：（1）由于（
+
）2=a+b+2
，
（
+
）2=c+d+2
，
由a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，
则
＞
，
即有（
+
）2＞（
+
）2，
则
+
＞
+
；
（2）①若
+
＞
+
，则（
+
）2＞（
+
）2，
即为a+b+2
＞c+d+2
，
由a+b=c+d，则ab＞cd，
于是（a
b
﹣）2=（a+b）2
4ab
﹣
，
（c
d
﹣）2=（c+d）2
4cd
﹣
，
即有（a
b
﹣）2＜（c
d
﹣）2，即为|a
b
﹣|＜|c
d
﹣|；
②若|a
b
﹣|＜|c
d
﹣|，则（a
b
﹣）2＜（c
d
﹣）2，
即有（a+b）2
4ab
﹣
＜（c+d）2
4cd
﹣
，
由a+b=c+d，则ab＞cd，
则有（
+
）2＞（
+
）2．
综上可得，
+
＞
+
是|a
b
﹣|＜|c
d
﹣|的充要条件．
【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基
础题．
第15页（共15页）
