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2011 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
（1）样本数据
的方差
，其中
．
（2）直棱柱的侧面积
，其中
为底面周长，
为高．
（3）棱柱的体积
，其中
为底面积，
为高．
一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合
，
，则
▲
．
2．函数
的单调增区间是
▲
．
3．设复数
满足
（为虚数单位），则的实部是
▲
．
4．根据如图所示的伪代码，当输入
分别为2，3 时，最后输出的
的值
为
▲
．
5．从1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是
▲
．
6．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差
▲
．
7．已知
，则
的值为
▲
．
8．在平面直角坐标系
中，过坐标原点的一条直线与
函数
的图象交于
、
两点，则线段
长的最小值是
▲
．
9．函数
（
，
，
是常数，
，
）的部分图象如图所示，则
的值
是
▲
．
10．已知
，
是夹角为
的两个单位向量，
，
，若
，则
实数
的值为
▲
．
11．已知实数
，函数
，若
，则
的值为
▲
．
1
Read a，b
If a>b Then
m←a
Else
m←b
End If
Print m
x
y
O
3
7
12
2
12．在平面直角坐标系
中，已知点
是函数
的图象上的动点，该图象
在
处的切线交
轴于点
，过点
作的垂线交
轴于点
，设线段
的中点
的纵坐标为，则的最大值是
▲
．
13．设
，其中
成公比为
的等比数列，
成公差为
1 的等差数列，则
的最小值是
▲
．
14．设集合
，
，
，
，若
， 则实数
的取值范围是
▲
．
二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14 分）
在
中，角
的对边分别为
．
（1）若
，求
的值；
（2）若
，
，求
的值．
16．（本小题满分14 分）
如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
分别是
的中点．
求证：（1）直线
平面
；
（2）平面
平面
．
17．（本小题满分14 分）
请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部
分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D 四个点重合于图
中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F 在AB 上，是被切去的一个等腰
直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x（cm）．
（1）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm2）最大，试问x 应取何值？
（2）某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高
2
P
E
F
A
B
C
D
与底面边长的比值．
18．（本小题满分16 分）
如图，在平面直角坐标系
中，
分别是椭圆
的顶点，过坐标原点的
直线交椭圆于
两点，其中点
在第一象限，过
作
轴的垂线，垂足为
，连接
，并延长交椭圆于点
．设直线
的斜率为
．
（1）当直线
平分线段
，求
的值；
（2）当
时，求点
到直线
的距离
；
（3）对任意
，求证：
．
19．（本小题满分16 分）
已知
是实数，函数
，
，
和
是
和
的导函数．若
在区间
上恒成立，则称
和
在区间
上
单调性一致．
（1）设
，若
和
在区间
上单调性一致，求实数
的取值范围；
（2）设
且
，若
和
在以
为端点的开区间上单调性一致，求
的最大值．
3
A
60
E
F
B
x
x
C
D
P
x
y
B
P
C
O
A
M
N
20．（本小题满分16 分）
设
为部分正整数组成的集合，数列
的首项
，前
项的和为
，已知对任
意整数
，当
时，
都成立．
（1）设
，
，求
的值；
（2）设
，求数列
的通项公式．
4
2011 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅱ（附加题）
21．[选做题]本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
（本小题满分10 分）
如图，圆
与圆
内切于点
，其半径分别为
与
（
）．圆
的弦
交圆
于点
（
不在
上）．
求证：
为定值．
B．选修4-2：矩阵与变换
（本小题满分10 分）
已知矩阵
，向量
．求向量
，使得
．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
（本小题满分10 分）
在平面直角坐标系
中，求过椭圆
（
为参数）的右焦点，且与直线
（为参数）平行的直线的普通方程．
D．选修4-5：不等式选讲
（本小题满分10 分）
5
解不等式：
．
【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10 分）
如图，在正四棱柱
中，
，
，点
是
的中点，点
在
上．
设二面角
的大小为
．
（1）当
时，求
的长；
（2）当
时，求
的长．
23．（本小题满分10 分）
设整数
，
是平面直角坐标系
中的点，其中
，
．
（1）记
为满足
的点
的个数，求
；
（2）记
为满足
是整数的点
的个数，求
．
6
A
B
C
D
1A
1B
1C
1D
N
M
7
8
9
10
11
12
