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2014 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学山东卷
第Ｉ卷（共50 分）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
(1) 已知
是虚数单位. 若
＝
，则
(A)
(B)
(C)
(D)
(2) 设集合
，则
(A)
(B)
(C)
(D)
(3) 函数
的定义域为
(A)
(B)
(C)
(D)
(4) 用反证法证明命题：“设
为实数，则方程
至少有一个实根”时，要做的假设是
(A) 方程
没有实根
(B) 方程
至多有一个实根
(C) 方程
至多有两个实根(D) 方程
恰好有两个实根
(5) 已知实数
满足
，则下列关系式恒成立的是
(A)
(B)
(C)
(D)
(6) 已知函数
的图象如右图，则下列结论成立的是
(A)
(B)
(C)
(D)
(7) 已知向量
. 若向量
的夹角为
，则实数
(A)
(B)
(C) 0
(D)
(8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的
分组区间为
，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二
组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20 人，第三
组中没有疗效的有6 人，则第三组中有疗效的人数为
x
E
O
1
(A) 6
(B) 8
(C) 12
(D) 18
(9) 对于函数
，若存在常数
，使得
取定义域内的每一个值，都有
，则称
为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是
(A)
(B)
(C)
(D)
(10) 已知
满足约束条件
当目标函数
在该约束条件下取
到最小值
时，
的最小值为
(A) 5
(B) 4
(C)
(D) 2
第II 卷（共100 分）
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分.
(11) 执行右面的程序框图，若输入的
的值为1，则输出的
的值为 .
(12) 函数
的最小正周期为 .
(13) 一个六棱锥的体积为
，其底面是边长为2 的正六边形，侧棱长都
相等，则该六棱锥的侧面积为 。
(14) 圆心在直线
上的圆
与
轴的正半轴相切，圆
截
轴所
得弦的长为
，则圆
的标准方程为 。
(15) 已知双曲线
的焦距为
，右顶点为A，抛物
线
的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为
，且
，则双曲线的渐近线方程为 。
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分.
(16)（本小题满分12 分）
海关对同时从A，B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单
位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6 件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
（Ｉ）求这6 件样品中来自A，B，C 各地区商品的数量；
（II）若在这6 件样品中随机抽取2 件送往甲机构进行进一步检测，求这2 件商品来自相同地区的概率.
(17) （本小题满分12 分）
17
16
15
14
13
12
/ kPa
舒张压
频率/组距
0.36
0.08
0.16
0.24
2
开始
输入
x
是
0
n
3
4
3
0
x
x
结束
1
x
x
否
输入
x
1
n
n
中，角A，B，C 所对的边分别为
. 已知
.
（Ｉ）求
的值；
（II）求
的面积.
(18)（本小题满分12 分）
如图，四棱锥
中，
分别为线段
的中点.
（Ｉ）求证：
；
（II）求证：
.
(19) （本小题满分12 分）
在等差数列
中，已知公差
，
是
与
的等比中项.
（Ｉ）求数列
的通项公式；
（II）设
，记
，求
.
(20) （本小题满分13 分）
设函数
，其中
为常数.
（Ｉ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（II）讨论函数
的单调性.
(21)（本小题满分14 分）
在平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率为
，直线
被椭圆
截得
的线段长为
.
（Ｉ）求椭圆
的方程；
（II）过原点的直线与椭圆C 交于A，B 两点（A，B 不是椭圆C 的顶点）. 点D 在椭圆C 上，且
，
直线BD 与
轴、
轴分别交于M，N 两点.
（i）设直线BD，AM 的斜率分别为
，证明存在常数
使得
，并求出
的值；
（ii）求
面积的最大值.
3
A
F
C
D
B
P
E
2014 年高考山东卷文科数学真题及参考答案
一．选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分。在每小题给出的四个选项中，选择符
合题目要求的选项。
（1）已知
是虚数单位，若
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】由
得，
，
故答案选A
（2）设集合
则
（A）(0,2]
（B） (1,2)
（C） [1,2)
（D）(1,4)
【解析】
，数轴上表示出来得到
[1,2)
故答案为C
（3）函数
的定义域为
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】
故
。选D
（4）用反证法证明命题“设
则方程
至少有一个实根”时要做的假设是
（A）方程
没有实根 （B）方程
至多有一个实根
（C）方程
至多有两个实根 （D）方程
恰好有两个实根
【解析】答案选A，解析略。
（5）已知实数
满足
，则下列关系式恒成龙的是
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】由
得，
，但是不可以确定
与
的大小关系，故C、D 排除，而
本身是一个周期函数，故B 也不对，
正确。
（6）已知函数
的图像如右图，则下列结论成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】
由图象单调递减的性质可得
，向左平移小于1 个单位，故
答案选C
（7）已知向量
.若向量
的夹角为
，则实数
=
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】：
答案：B
4
（8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床实验。所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）
的分组区间为[12,13）, [13,14）,[14,15）,[15,16].将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，
第五组。右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组和第二组共有20 人，第三组中没有
疗效的有6 人，则第三组中有疗效的人数为
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4
答案：C
（9）对于函数
，若存在常数
，使得取定义域内的每一个值，都有
，则称
为准偶函数。下列函数中是准偶函数的是
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】：由分析可知准偶函数即偶函数左右平移得到的。
答案：D
（10）已知
满足的约束条件
当目标函数
在该约束条件
下取得最小值
时，
的最小值为
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】：
求得交点为
，则
，即圆心
到直线
的距离的平方
。
答案： B
二．填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分，答案须填在题中横线上。
11．执行右面的程序框图，若输入的
的值为1，则输出的
的值为
。
【解析】：根据判断条件
，得
，
输入
第一次判断后循环，
第二次判断后循环，
第三次判断后循环，
第四次判断不满足条件，退出循环，输出
答案：3
12．函数
的最小正周期为
。
【解析】：
.
答案：
13．一个六棱锥的体积为
，其底面是边长为2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为
。
【解析】：设六棱锥的高为
，斜高为
，
5
则由体积
得：
，
侧面积为
.
答案：12
14．圆心在直线
上的圆
与
轴的正半轴相切，圆
截
轴所得的弦的长
，则圆
的
标准方程为
。
【解析】 设圆心
，半径为
. 由勾股定理
得：
圆心为
，半径为2，
圆
的标准方程为
答案：
15．已知双曲线
的焦距为
，右顶点为
，抛物线
的焦
点为
，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为
，且
，则双曲线的渐近线方程为
。
【解析】 由题意知
，
抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为
，
即
代入双曲线方程为
，得
，
渐近线方程为
，
.
答案：1
三．解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（16）（本小题满分12 分）
海关对同时从
三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数
量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6 件样品进行检测。
地区
数量
50
150
100
（Ⅰ）求这6 件样品中来自
各地区样品的数量；
（Ⅱ）若在这6 件样品中随机抽取2 件送往甲机构进行进一步检测，求这2 件商品来自相同地区的概率。
（16）【解析】：
（Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：
所以各地区抽取商品数为：
，
，
；
（Ⅱ）设各地区商品分别为：
基本时间空间
为：
，共15 个.
6
样本时间空间为：
所以这两件商品来自同一地区的概率为：
.
（17）（本小题满分12 分）
在
中，角
所对的边分别是
。已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求
的面积。
（17）【解析】：
（Ⅰ）由题意知：
，
，
由正弦定理得：
（Ⅱ）由余弦定理得：
又因为
为钝角，所以
，即
，
所以
（18）（本小题满分12 分）
如图，四棱锥
中，
,
分别为线段
的中点。
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求证：
【解析】：（Ⅰ）连接AC 交BE 于点O，连接OF，不妨设AB=BC=1,则AD=2
四边形ABCE 为菱形
又
（Ⅱ）
,
,
（19）（本小题满分12 分）
在等差数列
中，已知
，
是
与
等比中项.
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）设
记
，求
.
【解析】： （Ⅰ）由题意知：
为等差数列，设
，
为
与
的等比中项
且
，即
，
解得：
7
（Ⅱ）由 （Ⅰ）知：
，
①当n 为偶数时：
②当n 为奇数时：
综上：
（20）（本小题满分13 分）
设函数
，其中
为常数.
（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数
的单调性.
【解析】(1)
(2)
8
（21）（本小题满分14 分）
在平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率为
，直线
被椭圆
截得的线段长为
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆
交于
两点（
不是椭圆
的顶点），点
在椭圆
上，且
，直线
与
轴、
轴分别交于
两点.
（i）设直线
的斜率分别为
.证明存在常数
使得
，并求出
的值；
（ii）求
面积的最大值.
【解析】(1)
设直线与椭圆交于
两点。不妨设
点为直线和椭圆在第一象限的交点。
9
